第四章图形认识初步学案
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4.1.1 几何图形
名师归纳与点拨
知识点1 几何图形可分为平面图形和立体图形
平面图形的定义：各部分都在同一平面的图形。
立体图形的定义：具有长、宽、高的物体。
说明：长方形、正方形、三角形、圆等都是我们十分熟悉的平面图形；长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等都是立体图形．
知识点2 立体图形和平面图形的转化
一个立体图形从不同方向看，可以是一个平面图形；可以把立体图形进行适当的裁剪，把它展开成平面图形，或者把一个平面图形复原成立体图形，即立体图形与平面图形可以互相转换．
说明： ①在画三视图时一般要求“长对正，高平齐，宽相等”。②不是所有的立体图形都可以展开，例如球体便不可以展开。
例1：下列几种图形：①长方形；②梯形；③正方体；④圆柱；⑤圆锥；.其中属于立体图形的是（ ）
A. ①②③；B. ③④⑤；C. ③⑤；D.④⑤
思路导引 根据几何图形的各部分不都在同一平面内，具有长、宽、高，那么此几何图形就是一个立体图形来进行判断。
解：选B
例2：如图4-1-1，表示一个用于防震的形的包装用泡沫塑料，当从上面看这一物体时看到的图形形状是（ ）
思路导引 从上往下看此物体得到的是它的俯视图，注意“看得见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线”。
解：选B
课内达标
1. 一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后“建”字对面是（ ）
A．和 B．谐
C．昆 D．明
2. 圆柱的侧面展开图是_______形。
3．主视图、左视图、俯视图都一样的几何体为________
4. 下图中哪些图形是立体的，哪些是平面的
课外巩固
1. 下图中，不是左图所示物体视图的是( )
2.若下图是某几何体的三种不同方向的视图，则这个几何体是( )
A.圆柱 B.正方体
C.球 D.圆锥
3．分别写出表面能展开成如图所示的五种平面图的几何体的名称．
(1)_______ (2)_______ (3)_______ (4)_______ (5)_______
4. 若一个棱柱的底面是一个七边形，则它的侧面必须有 个长方形，它一共
有 个面。
5. 观察一个几何体，上看下看、左看右看、前看后看，看到的都是一个同样大小的正方形，这个几何体是 ，如果看到的都是一个同样大小的圆，则该几何体是
6. .画出图中的七块小立方块组成的几何体的主视图、左视图和俯视图．
7.如图是一个正方体的展开图,标注了字母A的面是正方体的正面,设正方体的左面与右面所标注的代数式的值相等，求x的值。
8. 如图，沿长方形纸片上的边线剪下的阴影部分，恰好能围成一圆柱，设圆半径为r
（1）用含r的代数式表示圆柱的体积； 中间的四边形是正方形
（2）当r＝3，圆周率取3.14时，求圆柱的体积（保留整数）。
4.1.2 几何图形
名师归纳与点拨
知识点1 点、线、面、体组成几何图形，点是构成图形的基本元素。
包围着体的是面，面与面相交的地方时线，线与线相交的地方是点。
说明：点、线、面、体之间有如图所示的联系：
例1 ：圆锥可以看作是由一个_______旋转得到的（ ）
A.矩形（长方形） B.等腰梯形
C.半圆 D.直角三角形
思路导引 利用一个三角板绕其直角边旋转即可得到答案。
解:选D
课内达标
1、面和面相交成（ ）
A、点 B、线 C、面 D、体
2、点动成______；线动成______；面动成_______。
3、飞机飞行表演时在空中留下漂亮的“彩带”。用数学知识解释为___________。
4. 如图，第一行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第二行的某个几何体，用线连一连．
课外巩固
1.将下面的直角梯形绕直线l旋转一周，可以得到如下图所示的立体图形的是( )．
2.下列图形中绕直线l旋转一周，能得到右边立体图形的是（ ）
3．圆锥的侧面和底面相交成______条线，这条线是______的(填“直”或“曲”)
4.长方形纸片绕它的一边旋转形成了一个圆柱体，这说明了 ．
5．边长为2厘米和4厘米的长方形绕其一边旋转得到的几何体的表面积为
6. 将下列图形按要求分类：
（1）若按柱、锥、球划分；（２）若按组成面的曲或平划分.
7. 第二行的图绕直线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，用线连一连，并指出这些几何体的名称.
8.将一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，现在有一个长为4厘米，宽为3厘米的长方形，分别绕它的长、宽所在的直线旋转一周，得到不同的圆柱体，它们的体积分别是多大？
4.2.1直线、线段、射线
第一课时
名师归纳与点拨
知识点1直线、线段、射线的概念及表示
1.直线是向两个方向无限延伸着的；直线上两个点和它们之间的部分叫做线段；直线上的一点和它一旁的部分叫做射线。
2.表示方法：①直线的表示有两种：一个小写字母或两个大写字母．但前面必须加“直线”两字，如：直线l；直线m，直线AB；直线CD． ②线段的表示也有两种：一个小写字母或用端点的两个大写字母．但前面必须加“线段”两字．如：线段a；线段AB．③射线的表示同样有两种：一个小写字母或端点的大写字母和射线上的一个大写字母，前面必须加“射线”两字．如：射线a；射线OA．
说明：直线和射线都不可度量，而线段可度量。用两个大写字母表示射线时注意端点字母要写在前。
知识点2：直线的基本性质：经过两点有一条并且只有一条直线
说明： 这条性质也被称为“直线公理”。“有”表示“存在性”，“只有”表示“唯一性”。
例1 判断下列说法是否正确
1．射线EO和射线OE是同一条射线（ ）
2．直线比射线长 （ ）
3．延长射线OA到B （ ）
4．线段AB与线段BA是同一条线段 （ ）
思路导引 1.两个大写字母表示射线时，端点字母要在前；2.直线和射线都不可度量；3.射线不可度量；4.线段有两个端点，用两个大写字母表示时与端点字母顺序无关。
解:1.错 2.错 3.错 4.正确
例2．下面图形有几条线段？
思路导引：方法一：以线段的端点为顺序，从左向右观察以A为左端点的线段有几条？AB、AC、AD一共有三条。以B为左端点的线段有几条？BC、BD一共有两条。以C为左端点的线段有几条？一条。
解：3＋ 2＋ 1＝6(条)
课内达标
1. 下面几种表示直线的写法中，错误的是（ ）．
A．直线a B．直线Ma C．直线MN D．直线MO
2. 在墙上钉一根木条需_______个钉子，其根据是________ ．
3. 如图所示，直线_______和直线______相交于点P；直线AB和直线EF相交于点______；点R是直线________和直线________的交点．
4. 探索规律：
（1）若直线L上有2个点，则射线有_____条，线段有______条； ( http: / / www. / / )
（2）若直线L上有3个点，则射线有_____条，线段有______条；
（3）若直线L上有4个点，则射线有_____条，线段有______条；
（4）若直线L上有n个点，则射线有_____条，线段有______条．
课外巩固
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A．射线OA和射线AO表示同一条射线.
B．延长直线AB.
C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线.
D．延长射线AB
2.下列四个图中的线段(或直线、射线)能相交的是( )
`
A.(1) B.(2) C.(3) D.(4)
3. 如下图所示，点A在直线L______，点B在直线L________．
4. 如图2,图中共有_______条射线,指出其中的两条_____ __.
5. 如图，OA反向延长得射线 ______
6．看图写话：
(1) (2)
7.如图,要在一个长方体的木块上打四个小孔,这四个小孔要在一条直线上,且每两个相邻孔之间的距离相等,画出图形,并说明其中道理.
8．解答下列问题：
(1) 画图表示，两条直线可以把一个平面分成几个部分 三条直线呢
(2)平面上4条直线最多可以把平面分成多少个部分
4.2.2直线、线段、射线
第二课时
名师归纳与点拨
知识点1线段大小比较的两种比较方法：
重叠比较法 将两条线段的各一个端点对齐，看另一个端点的位置.
数量比较法 用刻度尺分别量出线段AB和线段CD的长度,将长度进行比较.
说明:常用的是数量比较法。
知识点2 线段的性质公理
“两点之间的所有连线中，线段最短”
说明：要强调两点之间的线段的长度叫两点间的距离，而不是两点间的线段；
线段是图形，线段的长度是数值。
例1．点P是线段AB的中点，点C、D把线段AB三等分。已知线段CP的长为1.5cm，求线段AB的长。
思路导引 先得到线段CP与线段AB之间的长度比，就能求出线段AB的长。
解：∵ 点P把线段二等分，
∴ AP=PB=1/2AB
∵ 点C、D把线段AB三等分，
∴ AC=CD=DB=1/3AB
∴ AP－AC=1/2AB－1/3AB=1/6AB, 即 CP=1/6AB
∴ AB=6CP=6×1.5=9cm
即AB的长为9cm
课内达标
1. 在直线上顺次取A、B、C三点，使得AB=5㎝，BC=3㎝，如果O是线段AC的中点，那么线段OB的长度是（ ）
A．2㎝ B．0.5㎝ C．1.5㎝ D． 1㎝
2. 如图，学生要去博物馆参观，从学校A处到博物馆B处的路径共有⑴、⑵、⑶三条，为了节约时间，尽快从A处赶到B处，假设行走的速度不变，你认为应该走第________条线路（只填番号）最快，理由是___________________。
3．若AB=BC=CD那么AD= AB AC= AD
4. 线段AD=6cm，线段AC=BD=4cm ，E、F分别是线段AB、CD中点，求EF。
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1. .如果点C在AB上,下列表达式①AC=AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB中, 能表示C是AB中点的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图,从A到B有3条路径,最短的路径是③,理由是( )
A.因为③是直的 B.两点确定一条直线
C.两点间距离的定义 D.两点之间,线段最短
3. 如图，点B、C在线段AD上，则
AC =_______+______ = ______—______，
BC =______—______ = ______—______。
4.．已知A，B，C为直线l上的三点，线段AB＝9cm，BC＝1cm，那A，C两点间的距离是
5. 长为12cm的线段AB上有一点P，M，N分别为PA，PB的中点，则线段MN= ______
6. 量出线段的长度，并比较：
（1）AB=_________cm；AC=_________cm；
AD=_________cm；AE=_________cm。
（2）比较线段的长度。
7. 试用叠合法比较线段：
8. 右图中，线段AB长为24cm，若AD长是CD长的一半少6cm，BC是CD的长的一半多1cm，求线段CD的长度。
4.3.1角
第一课时
名师归纳与点拨
知识点1 角的定义：
静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
说明：公共端点A叫做该角的顶点, 射线AB、AC叫做该角的两条边，
角的符号：∠
动态定义：角也可以看作是一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
知识点2 角的表示方法：
①用三个字母∠AOB或∠BOA 或用角的顶点∠O②用希腊字母记作∠α③用小写的数字记作∠1
说明：用单个大写字母表示，顶点处只能有一个角
例1．判断下列哪些图形是角
① ② ③ ④
思路导引 根据角的静态定义：“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边”．
解：①③④
例2．如图，（1）图中共有几个角？请把它们表示出来.
（2）能把∠AOB记作∠O吗 为什么 ∠AOB还可以怎样表示呢？
思路导引 一个顶点处不止一个角时，就不能用一个大写字母表示角。
解：（1）图中共有三个角，分别是：∠AOB、∠AOC、∠BOC
(2)不能，因为“一个顶点处不止一个角时，就不能用一个
大写字母表示角”，∠AOB还可以表示为∠BOA.
课内达标
1. 下列语句正确的是（ ）
A.两条直线相交，组成的图形叫做角
B.两条有公共端点的线段组成的图形叫角
C.两条有公共点的射线组成的图形叫角
D.从同一点引出的两条射线组成的图形叫角
2.用三个大写字母表示角:
∠1为 ；∠ 2为 ;
∠3为 .； 可以用一个大写字母表示的角是______
3. 图中以OC为边的角有______个，它们分别是______
4.以O为顶点的角有几个，请分别把他们写出来。
课外巩固
1. 下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是 ( )
2．如图，图中共有( )个角．
(A) 6 (B)7 (C)8 (D)9
3．如下左图所示，把图中用数字表示的角，改用大写字母表示分别是________．
4．将上右图中的角用不同的方法表示出来，填入下表：
∠1 ∠3 ∠4
∠BCA ∠ABC
5．用三个字母表示图中所注的∠1、∠2、∠3：
(1) (2) (3)
∠1是______； ∠1是______； ∠1是______；
∠2是______； ∠2是______； ∠2是______；
∠3是______； ∠3是______； ∠3是______；
∠4是______．。
6如图，图中能用一个大写字母表示的角有几个 分别把它们表示出来．
7.如图，(1)中有几个角？(2)中有几个角；(3)中有几个角．以此类推，若从一点o引n条射线，则以点0为顶点的角【最大的角都小于平角】有几个？
8．想一想，做一做．
（1）用字母表示图中的每个城市．
（2）请用字母在下图分别表示以北京为中心的每两个城市之间的夹角．
( http: / / www. / )
4.3.1角
第二课时
名师归纳与点拨
知识点1 角的度量方法：
计量角的大小常用的单位是“度”，用符号“°”表示。把半圆平均分成180份，每一份所对的角叫做1度的角，记作1°。使用量角器的方法：把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的顶点重合，零度刻度线和角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数
说明：度量角的工具：一般用量角器
知识点2 以度、分、秒为单位的角度制规定，
把一个周角_等分为360份_____，每一份叫做1度，记作___1°___；把1度的角__等分为60份____，每一份叫做1分，记作___1′___；把1分的角__等分为60份____，每一份叫做1秒，记作___1″___．这样，1周角是_360____°，1平角是__180____°，1°＝__60____'，1′＝___60___″．
例1：时钟在5点15分时，时钟的时针与分针所成的角是多少度？
思路导引 根据钟面上时针走一圈（360°）需要12小时=12*60=720分钟，即时针的速度是360/720=0.5°/分钟；分针走一圈（360°）需要1小时=60分钟，即时针的速度是360/60=6°/分钟.即时针走过一小时在钟面上扫过30°，分针在钟面上走过一分钟扫过6°。
解：所以时针离开12点的角度为5*30°+15*0.5°=157.5°，
分针离开数字12的角度为15*6°=90°，
157.5°-90°=67.5°。
所以5点15分时,时钟的时针和分针所成的锐角是67.5°。
课内达标
1. 在钟表上，1点30分时，时针与分针所成的角是（ ）．
A．150° B．165° C．135° D．120°
2.如图，量出图中三个角的度数分别是__________，这三个角的和是_____．
3．如图所示，点O在直线AB上，图中小于180°的角共有 个
4.如下图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数．
课外巩固
1. 下列各角中，不可能是钝角的角是（ ）．
A．周角 B．平角 C．钝角 D．直角.
2. 下列说法正确的是( )
(A)一个周角就是一条射线 (B)平角是一条直线
(C)角的两边越长，角就越大 (D)∠AOB也可以表示为∠BOA
3．用一副三角板可以拼出________的角．
4. 30.6°=_____°_____′=_______′
5. 时钟从3点15分走到3点35分，它的分针转过________度．
6.计算：
（1）53°28′+47°32′； （2）17°50′-3°27′；
7.已知：如图，AOB是直线，∠1∶∠2∶∠3＝1∶3∶2，求∠DOB的度数．
8. 小明先在笔直的路AB上行走,走道B点后拐了个弯,然后在笔直的路BC上行走,走到C点后, 又拐了个与刚才相同角度的弯.请画出拐弯后的行走路线
4.3.2角的比较与运算
名师归纳与点拨
知识点1 角的大小比较的两种方法：
一种方法为度量法：可以用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小，另一种方法为叠合法：即把他们叠合在一起比较大小。
说明：1.在用叠合法比较两角大小时，顶点必须重合，一边必须重合，另一边落在其余一边的圆旁。2.角的大小只与角两边的张大张小有关，而与角的边画出部分长短无关。3.角的和、差、倍、分的度数，等于它们度数的和、差、倍、分。
知识点2 把一个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，类似的还有角的三等分线等。
说明：角平分线的画法一般有两种
（1）借助量角器画图：以已知角顶点为顶点，已知角的一边为边，在已知线的内部画一个度数等于已知角度数一半的角，则这个角的另一边就是已知角的平分线．
（2）用折叠方法：把角沿顶点对折，使角的两边重合，沿折痕在角的内部画一条射线即为已知角的平分线．
说明：角平分线也是一条射线，角平分线在角的内部，角平分线分成的两个角度数相等。
例1．已知O为直线AB上一点，∠AOC的平分线OM，∠BOC的平分线为ON，求∠MON的度数？
思路导引 根据平角的定义可知∠AOB=180°,再根据OM平分∠AOC,则2∠MOC=∠AOC,同理可得2∠NOC=∠BOC,而
∠AOC+∠BOC=180°,所以2∠MOC+2∠NOC=180°,
∠MOC+∠NOC=90°
解: ∠MON的度数为90°.
课内达标
如图，射线OD是平角∠AOB的平分线，∠COE＝90°，那么下列式子中错误的是( )．
(A)∠AOC＝∠DOE (B)∠COD＝∠BOE
(C)∠AOD＝∠BOD (D)∠BOE＝∠AOC
2.如图，∠AOB∠COD，则∠1 ∠2(填“＜,＞, ＝”)
3．如图，用“＝”或“>”或“<”填空：
（1）∠AOC_______∠AOB+∠BOC； （2）∠AOC_______∠AOB；
（3）∠BOD-∠BOC______∠DOC；
4. 如图，已知：∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=140求：∠AOB的度数。
课外巩固
1. 射线OC在∠AOB的内部，下列四个式子中不能判定OC是∠AOB的平分线的是( )．
(A)∠AOB＝2∠AOC (B)∠BOC＝∠AOC
(C)∠AOC∠AOB (D)∠AOC＋∠BOC＝∠AOB
2. ．如图，OC是∠AOB的平分线，OD平分∠AOC，且∠COD＝25°，则∠AOB＝( )．
(A)100° (B)75°
(C)50° (D)20°
3. 如图，OM是∠AOB的平分线且∠AOM＝30°，
则∠BOM＝______；∠AOB＝______．
4．如图，在横线上填上适当的角：
(1)∠AOC＝______＋______；
(2)∠AOD－∠BOD＝______；
(3)∠BOC＝______－∠COD；
(4)∠BOC＝∠AOC＋______－______．
5．按图填空：
(1)∠ABC是∠ABD与∠DBC的______；
(2)∠BDC是∠ADC与∠ADB的_______．
6. 下面是小马虎解的一道题．
题目：在同一平面上，若∠BOA＝70°，∠BOC＝15°，求∠AOC的度数．
解：根据题意可画出下图．
∵∠AOC＝∠BOA－∠BOC
＝70°－15°
＝55°，
∴∠AOC＝55°．
若你是老师，会给小马虎满分吗 若会，说明理由．若不会，请将小马虎的错误指出，并给出你认为正确的解法．
7. 如图，OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，∠AOD＝40°，∠BOE＝25°，求∠AOB的度数．
解：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠AOC＝2∠AOD，
∠BOC＝2∠______．
∵∠AOD＝40°，∠BOE＝25°，
∴∠BOC＝______，
∠AOC＝______．
∴∠AOB＝____．
8. 如图，∠AOB的平分线为OM，ON为∠MOA内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线，某同学经过认真的分析，得出一个关系式是∠MON＝(∠BON－∠AON)，你认为这个同学得出的关系式是正确的吗 若正确，请把得出这个结论的过程写出来。
4.3.3 余角与补角
第一课时
名师归纳与点拨
知识点1余角与补角的定义
如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.
说明：互余互补是两个角之间的关系，且互为余角是两角之和等于90°（直角），互为补角是两角之和等于180°（平角）.“互为”一词的意思，于是得到： 互余、互补的角总是成对出现的.
知识点2余角与补角的性质
①等角的余角相等②等角的补角相等
说明：等（或同）角的余（或补）角相等”这一性质在今后的角度转换中经常用到，应引起重视．
例1：如图，直线AB与CD相交于一点，那么∠1=∠2吗？试说明理由.
思路导引：∵直线AB与CD相交于一点O（已知）
∴∠1与∠3互为补角，∠2与∠3互为补角（互为补角的定义）∴∠1=∠2（等角的补角相等）
解：∠1=∠2
例2：如图，∠AOB是直角，∠COD=90°，OB平分∠DOE，则∠3与∠4是什么关系？并说明理由.
思路导引：∵∠AOB是直角，∠COD=90°（已知）
∴∠1＋∠2=90°，∠1＋∠3=90°（互为余角的定义）
∴∠2=∠3（等角的余角相等）
∵OB平分∠DOE（已知）
∴∠2=∠4（角平分线的定义）
∴∠3=∠4（等量代换）
解：∠3=∠4
课内达标：
1.已知：如图，∠AOB＝∠COD＝90°，则∠1与∠2的关系是 )．
(A)互余 (B)互补
(C)相等 (D)无法确定
2.若一个角的余角和它的补角互补，那么这个角为______度。
3.一个角的4倍和这个角的余角互补，这个角是______度。
4. 如图，∠AOC=∠BOD=90 ，∠AOD=130 ，求∠BOC的度数。
课外巩固
1. 互为余角的两个角之差为35°，则较大角的补角是（ ）
A．117.5° B．112.5° C．125° D．127.5°
2、正确的有（ ）
⑴一个角的补角一定是钝角，⑵互补的两个角不可能相等，（3）∠A的补角与∠A的余角的差一定等于直角（4）两个锐角一定互为余角，（5）直角没有补角，（6）如果∠MON=180 ,那么M、O、N三点在一条直线上。
A、1个；B、2个；C、3个；D、4个
3. 若∠ 与∠ 互补，∠ 与∠ 互余，则∠ 与∠ 的差为____________．
4．如图，已知A，O，E三点在同一条直线上，OB平分∠AOC，OD平分∠COE，则∠BOC与∠COD的关系为____________．
5. 如图，∠ACB=∠CDB=90 ，图中∠ACD的余角有 个。
6.填写下列空白和理由 ，如右图，
∵∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠DOA＝1周角，
∴∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠DOA＝360°．
(理由_____________________.)
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD＋∠BOC＝180°．
(理由：__________________)
又∵∠BOC＝42°，
∴∠AOD＝180°－∠BOC＝180°－42°＝__________．
7. 如图所示，∠AOC=90°，OB⊥OD，则与∠BOC相等的角有谁？图中共有多少对互为余角请写出来。
8．如图，O是直线AB上的一点，OM是∠AOC的角平分线，ON是∠BOC的角平分线，
（1）图中互余的角有几对？请写出来。
（2）图中互补的角有几对？请写出来。
4.3.3 余角与补角
第二课时
名师归纳与点拨
知识点1用角度表示方向：一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋
转的角度表示方向，如图所示，OA方向可表示为北偏西60 。
说明：（1）用量角器画这样的射线OA时要注意：（1）是以正南或者是正北方向
做角的始边，（2）要理解偏东，偏西的意义。
（3）正北，正南，正西，正东，射线OD OC OB OA
西北方向:射线OE；西南方向:射线OF东南方向:射线OG；东北方向:射线OH
直线AB和直线CD互相垂直，所成四个角均为直角
知识点2 如何表示乙地对甲地的方位角
1. 先找出中心点,然后画出方向指标
2. 把中心点和目的地用线连接起來
3.度量向北的射线和视线之间的角度
例1. 如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东50°方向上有一艘船，同时从B地发现这 艘船在它的北偏东30°方向，试在图中确定这艘船的位置。
思路导引：找到A地北偏东50°和B地北偏东30°的射线。两条射线的交点即为这艘轮船的位置。
解：
课内达标
1.轮船航行到C处测得小岛A的方向为北偏西32°，那么从A观测此时的C处的方向为( )．
(A)南偏东32° (B)东偏南32°
(C)南偏东68° (D)东偏南68°
2.若轮船甲自A岛沿北偏东45°的方向行驶30海里到达B岛，轮船乙自A岛沿南偏西
70°的方向行驶50海里到达C岛，则∠BAC＝____________．
3. 如图，由A到B的方向是 ____________
4．．在图中画出表示下列方向的射线：
(1)南偏西30° (2)南偏东25°
(3)北偏西20° (4)北偏东65°
(5)东北方向 (6)西南方向
课外巩固
1．A看B的方向是北偏东21°，那么B看A的方向（ ）
A:南偏东69° B:南偏西69° C:南偏东21° D:南偏西21°
2.如图，下列说法中错误的是（ ）
A: OC的方向是北偏东60°
B: OD的方向是南偏东60°
C: OB的方向是西南方向
D: OA的方向是北偏西22°
3.在点O 北偏西60°的某处有一点A，在点O南偏西20°的某处有一点B，则∠AOB的度数是_____
4.如图,甲从A点出发向北偏东70°方向走50m至点B,
乙从A出发向南偏西15°方向走80m至点C,则∠BAC的度数是_____
5.说出B在A的＿＿＿＿，那么A在B的＿＿＿___.
6.如图，分别指出A，B，C，D在O的什么方向
7. 如图所示,A、B两条海上巡逻艇同时发现海面上有一不明物体,A艇发现该不明物体在它的东北方向,B艇发现该不明物体在它的南偏东60°的方向上, 请你试着在图中确定这个不明物体的位置.
8.小明从点A出发向北偏西50°方向走了3米，到达点B，小林从点A出发向南偏西40°方向走了4米，试画图确定出A、B、C三点的位置（用1厘米表示3米），并从图上求出B点到C点的实际距离
章末总结复习
知识体系构建
知识：（一）多姿多彩的图形
立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。
1、几何图形
平面图形：三角形、四边形、圆等。
主（正）视图---------从正面看
2、几何体的三视图 侧（左、右）视图-----从左（右）边看
俯视图---------------从上面看
3、点、线、面、体
（1）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
（2）点动成线，线动成面，面动成体
（二）直线、射线、线段
1、基本概念
直线 射线 线段
图形
端点个数 无 一个 两个
表示法 直线a直线AB（BA） 射线AB 线段a线段AB（BA）
作法叙述 作直线AB；作直线a 作射线AB 作线段a；作线段AB；连接AB
延长叙述 不能延长 反向延长射线AB 延长线段AB；反向延长线段BA
2、直线的性质
经过两点有一条直线，并且只有一条直线。
简单地：两点确定一条直线。
3、线段的中点（二等分点）、三等分点、四等分点等
定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点。
图形：
A M B
符号：若点M是线段AB的中点，则AM=BM=AB，AB=2AM=2BM。
4、线段的性质
两点的所有连线中，线段最短。简单地：两点之间，线段最短。
5、两点的距离
连接两点的线段长度叫做两点的距离。
6、点与直线的位置关系
（1）点在直线上 （2）点在直线外。
（三）角
1、角：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。
2、角的表示法（四种）：
3、角的度量单位及换算
4、角的分类
∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角
范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360°
5、角的和、差、倍、分及其近似值
6、角的平线线
定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线。
7、互余、互补
（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角。其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角。
（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角。其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角。
（3）余（补）角的性质：等角的补（余）角相等。
8、方向角
（1）正方向
（2）北（南）偏东（西）方向
能力：1.能判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图。
2.能根据三视图描述基本几何体或实物原型。
3.能根据展开图判断立体模型。
4．能借助量角器能画出给定度数的角。
5.能正确的分辨并表示方位角
方法:1. 用“度量法”和“用尺规作图法”画一条线段等于已知线段，并用“度量法”和“叠合法”比较线段的大小
2. 用“度量法”和“叠合法”比较角的大小
3．借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角。
4．用尺规作图法画出一个角与已知角相等
综合题型剖析
已知如图，线段AD=6，线段AC=BD=4，E,F分别是线段AB,CD的中点，求EF。
思维导引 因为AC=BD=4，所以
可得AC+BC+BC+CD=8，又知道AB+BC+CD=6，所以可以求得BC=8-6=2，因此也可推出AB=2，CD=2，又根据E,F分别是AB,CD的中点可知，EB=1，CF=1，因此可求得EF.
解：
点拨：此题关键是由AC+BD=8cm,把线段分解以后气的BC的长。
例2. 若∠AOB＝∠COD＝∠AOD，已知∠COB＝80°，求∠AOB、∠AOD的度数
思路导引 因为已知∠AOB＝∠COD＝∠AOD，所以可设∠AOB=x°，则可推出∠COD=x°，∠AOD=6 x°，有根据图可以知道∠AOD=∠AOB+∠COB+∠COD，因此可以推出∠COB=4 x°，又告诉了∠COB＝80°，所以可求出图中所有角的度数。
解：
点拨： 根据条件推导出∠COB=4 x°=80°是本题的关键所在。
例3.如图所示，学校、工厂、电视塔在平面图上的标点分别是A、B、C，工厂在学校的北偏西30°电视塔在学校的南偏东15°，则平面图上的∠BAC应是多少度？
思路导引 这是关于方位角的问题，现在要求∠BAC的度数，首先应明白∠BAC是由∠BAD和∠CAD组成的，然后根据条件即可解出∠BAC的度数。
解：
点拨： 解此题时一定要搞清方位角的大小。
综合练习巩固
选择题
1.在以下四个图形中，经过折叠能围成一个正方体的是（ ）
2.如图，能用∠1，∠ACB，∠C三种方法表示同一个角的是 ( )
3． ①平角是一条直线；②射线是直线的一半；③射线AB与射线BA表示同一条射线；④用一个扩大2倍的放大镜去看一个角，这个角会扩大2倍；⑤两点之间，线段最短；⑥120.5°= 120°50 .
以上说法正确的有( )
A .0个 B.1个 C.2个 D.3个
二．填空题
4.已知中，，，的平分线交于点，则的度
数为
5.已知互余两角的差为，则这两个角的度数分别为
6. 如图，AB=16 cm，C是AB上一点，且AC=10 cm，D是AC的中点，E是BC的中点，则线段DE的长度为
三，解答题
7. 如图所示，∠AOC=90°，OB⊥OD，则与∠BOC相等的角有谁？图中共有多少对互为余角请写出来。
8. 如图，OA的方向是北偏东15°,OB的方向是西偏北50°。
（1）若∠AOC=∠AOB，则OC的方向(方位角)是____
（2）OD是OB的反向延长线,OD的方向是(方位角)是_________;
（3）∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD,
作∠BOD的平分线OE,并用方位角表示OE的方向。
（4）在(1)、（2）、（3）的条件下，求∠COE。
学业水平测试
1. .（2010·滨州中考）
2. （2008·十堰中考）如图，C、D是线段AB上两点，若CB＝4cm，DB=7cm，且D是AC的中点，则AC的长等于( )
A．3cm B．6cm C．11cm D．14cm
3.（2010·凉山中考）将一副三角板按图中的方式叠放，则角等于（ ）
A． B． C． D．
4. .（2009·长沙中考）如图，于点是的平分线，则的度数为 ．
5.（2009·云南中考）如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AB＝10，AC＝6 ，则CD＝_______________．
( http: / / )
6.（2009·枣庄中考）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O点，则 ．
7. （2010湖南娄底）如图6，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOD=100°，求∠AOE的度数。
8. （2009山东枣庄）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点
重合于O点，求的度数。
9.（2010 嵊州市）如图，平面内有公共端点的六条射线OA,OB,OC,OD,OE,OF,从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，….
（1）“17”在射线 上．）
（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律．
（3）“2007”在哪条射线上？
10.（2010年杭州市）已知直四棱柱的底面是边长为a的正方形， 高为, 体积为V, 表面积等于S.
(1) 当a = 2, h = 3时，分别求V和S；
(2) 当V = 12，S = 32时，求 ( http: / / www. / )的值.
学业水平考试卷
（时间60分钟，满分100分）
班级 姓名 得分
一．选择题（每小题3分，共24分）
下图所示几何体的俯视图是（ ）
A B C D
2、下列图形中为正方体的平面展开图的是 （ ）
A B C D
3．如图7，∠AOE＝∠BOC，OD平分∠COE，
那么图中，相等的角共有（ ）
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对 ＜图7＞
4. 如图，能用∠1，∠ACB，∠C三种方法表示同一个角的是 ( )
5． ①平角是一条直线；②射线是直线的一半；③射线AB与射线BA表示同一条射线；④用一个扩大2倍的放大镜去看一个角，这个角会扩大2倍；⑤两点之间，线段最短；⑥120.5°= 120°50 .
以上说法正确的有( )
A .0个 B.1个 C.2个 D.3个
6.如图，AB=16 cm，C是AB上一点，且AC=10 cm，D是AC的中点，E是BC的中点，则线段DE的长度为 ( )
A．6 cm B.8 cm C.10 cm D.12cm
7．如图10，由A到B的方向是（ ）
A．南偏东30° B．南偏东60°
C．北偏西30° D．北偏西60°
8.如图所示，从O点出发的五条射线，可以组成角的个数是（ ）．
A．10个 B．9个 C．8个 D．4个
二．填空（每小题3分，共24分）
9.圆柱的侧面展开图是一个 ，圆锥的侧面展开图是一个 ，棱柱的侧面展开图是一个 。
10.北京时间2点30分，钟面上的时针和分针的夹角为 度。
11．如图1，已知CB＝5，DB＝7.5，D是AC的中点，
则AC＝_________ . ＜图1＞
12．126.31°＝____°____′___″
13．如图2，CB⊥AB，∠CBA与∠CBD的度数比是4:1，则∠DBA＝________度，
∠CBD的补角是_________度.
＜图2＞ ＜图3＞
14．如图3，AC⊥BC，CD⊥AB，点A到BC边的距离是线段_____的长，点B到CD边的距离是线段_____的长，图中的直角有_____________，∠A的余角有_______________，和∠A相等的角有__________.
15. 如图，折叠围成一个正方体时，数字 会在与数字2所在的平面相对的平面上。
16. 如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体的个数是
。
三．解答题
17.作图：（1）（5分）如图，有一个几何体，请画出看它的三视图
18．（5分）已知线段a、b（如图），画出线段AB，设AB＝3a－b，并写出画法．
19.计算（每小题2分，共8分）
①．37°28′＋44°49′； ②．108°18′－52°30″；
③．25°36′×4； ④ ．40°40′÷3．
20.（7分）一个角的余角的两倍比它的补角的 少40°,求这个角的度数.
21. （7分）如图,已知直线和相交于点，是直角，平分，，求的度数．
22．（10分）如图，M是线段AB的中点，点C在线段AB上，且AC＝4 cm，N是AC的中点，
MN＝3 cm，求线段CM和AB的长
23．（10分）如图，∠AOB是直角，∠AOC等于46°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．
附加题
已知∠ 与∠ 互为补角，且∠ 互为补角，且∠ 的比∠ 大15°，求∠ 的余角．
4.1.1 几何图形
课内达标
1.D 2,长方形 3.球，正方体4.立体图形：①④⑤⑥⑦；平面图形：②③
课外巩固
1.C 2.A 3. (1) 正方体 (2)长方体 (3) 三棱柱(4)四棱锥 (5)圆柱 4.7,9
5.正方体，球 6. 分析:主视图有2列，第一列3个小正方形，第2列有1个小正方形;左视图有3列，小正方形数目分别为1，3，2;俯视图有3行，小正方形数目分别为1，2，1．
解: 如图：
7.x=1 8.
4.1.2 几何图形
课内达标
B 2. 点动成_线_____；线动成__面____；面动成___体____ 3.点动成线
4.
课外巩固
1． B 2.D 3.一，曲 4.面动成体 5.
6. 思路解析：分类时一定要注意把握好特征，做到不重不漏，标准统一.
答案:（1）柱体：①，③，④，⑤，⑦；锥体：②；球体：⑥
（２）组成的面有曲面：②，⑥，⑦；组成的面是平面：①，③，④，⑤
7. 思路解析：线段旋转一周形成一个圆，长方形旋转一周形成一个圆柱，半圆旋转一周会形成球 答案:（1）与C；（2）与A；（3）与B连起来.A是圆台；B是球；C是圆柱与圆锥的组合.
8.
4.2.1直线、线段、射线
第一课时
课内达标
1. B 2.2，经过两点有且只有一条直线 3. ．AB CD O CD EF 4. （1）4 1 （2）6 3 （3）8 6 （4）2n n（n-1）
课外巩固
1.C 2.A 3.上，外 4.2，射线AB,射线BA 5.OE 6.直线AB与直线CD交于点O，点E在直线l上 7. 道理:经过两点,有且只有一条直线 8. （1）4,7（2）11
4.2.2直线、线段、射线
第二课时
课内达标
1.D 2.(2),两点之间，线段最短 3.3， 4.
课外巩固
1.C 2.D 3.AB+BC=AD-CD;AC-AB=BD-CD 4. 5.6cm
6.略 7.略 8.14.5cm
4.3.1角
第一课时
课内达标
1.D 2. ∠EDB, ∠DBE, ∠ABC: ∠A, ∠C, ∠D 3.3, ∠DOC, ∠COB, ∠COA
4. .以O为顶点的角有几个，请分别把他们写出来。
解：共有10个角，
分别是：
∠AOB，∠AOC，
∠AOD，∠AOE，
∠BOC，∠BOD，
∠BOE，∠COD，
∠COE，∠DOE。
课外巩固
1.B 2.A 3. ∠ADE, ∠DEC
4.
5.(1) ∠AGB, ∠ACE, ∠DEC(2) ∠EGB, ∠EHB, ∠CHG(3) ∠DAC, ∠ACB, ∠BAC, ∠ACD
6.3个，∠A,∠B,∠C 7.3,6,10， 8.略
4.3.1角
第二课时
课内达标
1.C 2,略 ,180° 3.9 4. 30°，0°，120°，90°
课外巩固
1.D 2.D 3.75°、105°、135°、120°、15°、30°、150°、180°
4.30,36,216 5.10 6. （1）101° （2）14°23′ 7.30° 8.略
4.3.2角的比较与运算
课内达标
1.D 2.= 3.=,>,= 4.28°
课外巩固
1.D 2.A 3.30°,60°4.
5.和，差 6.55°或者是85°，分OC在角内部及角外部两种情况讨论
7. 解：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠AOC＝2∠AOD，
∠BOC＝2∠_ BOE _____．
∵∠AOD＝40°，∠BOE＝25°，
∴∠BOC＝__50°____，
∠AOC＝__80°____．
∴∠AOB＝__130°__．
8.∠BON=∠BOM+∠MON=1/2∠AOB+∠MON
∠AON=∠BOM-∠MON=1/2∠AOB-∠MON
∠BON-∠AON=(1/2∠AOB+∠MON)-(1/2∠AOB-∠MON)=2∠MON
∠MON=1/2(∠BON-∠AON)
4.3.3 余角与补角
第一课时
课内达标
1.B 2.45° 3.30° 4.50°
课外巩固
1.A 2.B 3.90° 4.互余 5.2个 6.周角的定义，等式基本性质1,138 °
7.
8.。有四对互余的角∠AOM与∠CON，∠AOM与∠BON，
∠COM与∠CON，∠COM与∠BON，3对互补的角：∠BON与∠NOA，∠BOC与∠AOC, ∠BOM 与∠AOM
4.3.3 余角与补角
第二课时
课内达标
1.A 2.155° 3.北偏西60° 4.略
课外巩固
1.C 2.A 3.110° 4.125° 5.北偏西40度，南偏西40度
6.A在O的北偏东60度，B在O的北偏西30度，C在O 的南偏西75度，D在O的西南方向
7.如图
综合练习巩固
1.B 2.C 3.B 4.120° 5.55°或者是35° 6.8cm 7.略 8.北偏东70°，南偏东40°，南偏西40度，北偏东40°,160°
学业水平测试
1.B 2.B 3.A 4.135° 5.2 6.180° 7.40° 8.180°
9. 【解析】（1）“17”在射线上．
（2）射线上数字的排列规律：
射线上数字的排列规律：
射线上数字的排列规律：
射线上数字的排列规律：
射线上数字的排列规律：
射线上数字的排列规律：
（3）在六条射线上的数字规律中，只有有整数解．解为
“2007”在射线上．
10. 答案：
(1) 当a = 2, h = 3时，
V = a2h= 12 ;
S = 2a2+ 4ah =32 .
(2) ∵a2h= 12, 2a(a + 2h) =32，
∴ , (a + 2h) =,
∴===.
学业水平考试卷
1.C 2.C 3.B 4.C 5.B 6.B 7.B 8.10 9.长方形，扇形，长方形 10.105°
11.5 12. ___126_°_18___′__36_″ 13.72°，162° 14.AC, BD, ∠AOC, ∠COD,
∠ACB, ∠ACD, ∠B, ∠DCB 15.5 16.5 17.略
18. 【答案】
方法一：
①量得a＝1.9 cm，b＝2.6 cm；
②算AB的长，AB＝3×1.9－×2.6＝4.4（cm）；
③画线段AB＝4.4 cm．
则线段AB就是所要画的线段．
方法二：
①画射线AM，并在射线AM上顺次截取AC＝CD＝DE＝a；
②在线段EA上截取EB＝b．
则线段AB就是要画的线段．
19. 【提示】
1°＝60′，1′＝60″，低一级单位满“60”，要向高一级单位进“1”，由高一级单位借“1”要化成“60”加入低一级单位参与运算．
【答案】1．82°17′； 2．56°17′30″； 3．102°24′； 4．13°33′20″．
20.40° 21.24°
22. 【提示】CM＝MN－NC，AB＝2 AM．
【答案】∵ N是AC中点，AC＝4 cm，
∴ NC＝AC＝×4＝2（cm），
∵ MN＝3 cm，
∴ CM＝MN－NC＝3－2＝1（cm），
∴ AM＝AC＋CM＝4＋1＝5（cm），
∵ M是AB的中点，
∴ AB＝2 AM＝2×5＝10（cm）．
答：线段CM的长为1 cm，AB的长为10 cm．
23. 【提示】
∠MON＝∠CON－∠COM．
【答案】
∵ ∠AOB是直角．
∴ ∠AOB＝90°（直角的定义），
∵ ∠AOC＝46°，
∴ ∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝90°＋46°＝136°，
∵ ON平分∠BOC，
∴ ∠CON＝∠BOC＝×136°＝68°（角平分线定义），
∵ OM平分∠AOC，
∴ ∠COM＝∠AOC＝×46°＝23°（角平分线定义），
∴ ∠MON＝∠CON－∠COM＝68°－23°＝45°．
答：∠MON＝45°．
【点评】
和线段计算一样，在进行有关角度计算时，也要根据已知，仔细看图，找出已知角与所求角的关系，此题中的∠MON还可看成是∠BOM与∠BON的差，∠MON也可看成是∠AOM与∠AON之和，请试一试怎么算，比一比哪种方法较简便．关于角平分线的三种表达式，也应结合图形灵活运用．
附加题：【提示】
互补两角和为180°，根据题意可知列出关于∠ 、∠ 的方程组，求出∠ ，再根据“互余两角和为90°”，求出∠ 的余角．
【答案】
由题意可得：
解之得：
∴ ∠ 的余角＝90°－∠ ＝90°－63°＝27°．
答：∠ 的余角是27°．
图4-1-1
A．
B．
C．
D．
建
设
和
谐
昆明
明
图4-1-2
正面
左面
上面
-2
A
x
3
1
3x-2
点
线
面点
体点
动
交
交
交
动
动
③
①
②
C
A
B
O
O
A
C
D
E
A
B
C
O
A
B
D
C
3
1
2
4
A
C
D
B
C
A
D
B
E
3
1
2
4
60
B
C
D
A
A
E
B
C
F
D
O
D
C
B
A
东
D
B
C
A
北
西
南
A．
B．
C．
D．
（ ）
A
C
B
D
E
O
图6
A
B
C
D
O
1
（第3题图）
A
B
C
D
E
O
名师归纳与点拨
知识点1 几何图形可分为平面图形和立体图形
平面图形的定义：各部分都在同一平面的图形。
立体图形的定义：具有长、宽、高的物体。
说明：长方形、正方形、三角形、圆等都是我们十分熟悉的平面图形；长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等都是立体图形．
知识点2 立体图形和平面图形的转化
一个立体图形从不同方向看，可以是一个平面图形；可以把立体图形进行适当的裁剪，把它展开成平面图形，或者把一个平面图形复原成立体图形，即立体图形与平面图形可以互相转换．
说明： ①在画三视图时一般要求“长对正，高平齐，宽相等”。②不是所有的立体图形都可以展开，例如球体便不可以展开。
例1：下列几种图形：①长方形；②梯形；③正方体；④圆柱；⑤圆锥；.其中属于立体图形的是（ ）
A. ①②③；B. ③④⑤；C. ③⑤；D.④⑤
思路导引 根据几何图形的各部分不都在同一平面内，具有长、宽、高，那么此几何图形就是一个立体图形来进行判断。
解：选B
例2：如图4-1-1，表示一个用于防震的形的包装用泡沫塑料，当从上面看这一物体时看到的图形形状是（ ）
思路导引 从上往下看此物体得到的是它的俯视图，注意“看得见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线”。
解：选B
课内达标
1. 一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后“建”字对面是（ ）
A．和 B．谐
C．昆 D．明
2. 圆柱的侧面展开图是_______形。
3．主视图、左视图、俯视图都一样的几何体为________
4. 下图中哪些图形是立体的，哪些是平面的
课外巩固
1. 下图中，不是左图所示物体视图的是( )
2.若下图是某几何体的三种不同方向的视图，则这个几何体是( )
A.圆柱 B.正方体
C.球 D.圆锥
3．分别写出表面能展开成如图所示的五种平面图的几何体的名称．
(1)_______ (2)_______ (3)_______ (4)_______ (5)_______
4. 若一个棱柱的底面是一个七边形，则它的侧面必须有 个长方形，它一共
有 个面。
5. 观察一个几何体，上看下看、左看右看、前看后看，看到的都是一个同样大小的正方形，这个几何体是 ，如果看到的都是一个同样大小的圆，则该几何体是
6. .画出图中的七块小立方块组成的几何体的主视图、左视图和俯视图．
7.如图是一个正方体的展开图,标注了字母A的面是正方体的正面,设正方体的左面与右面所标注的代数式的值相等，求x的值。
8. 如图，沿长方形纸片上的边线剪下的阴影部分，恰好能围成一圆柱，设圆半径为r
（1）用含r的代数式表示圆柱的体积； 中间的四边形是正方形
（2）当r＝3，圆周率取3.14时，求圆柱的体积（保留整数）。
4.1.2 几何图形
名师归纳与点拨
知识点1 点、线、面、体组成几何图形，点是构成图形的基本元素。
包围着体的是面，面与面相交的地方时线，线与线相交的地方是点。
说明：点、线、面、体之间有如图所示的联系：
例1 ：圆锥可以看作是由一个_______旋转得到的（ ）
A.矩形（长方形） B.等腰梯形
C.半圆 D.直角三角形
思路导引 利用一个三角板绕其直角边旋转即可得到答案。
解:选D
课内达标
1、面和面相交成（ ）
A、点 B、线 C、面 D、体
2、点动成______；线动成______；面动成_______。
3、飞机飞行表演时在空中留下漂亮的“彩带”。用数学知识解释为___________。
4. 如图，第一行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第二行的某个几何体，用线连一连．
课外巩固
1.将下面的直角梯形绕直线l旋转一周，可以得到如下图所示的立体图形的是( )．
2.下列图形中绕直线l旋转一周，能得到右边立体图形的是（ ）
3．圆锥的侧面和底面相交成______条线，这条线是______的(填“直”或“曲”)
4.长方形纸片绕它的一边旋转形成了一个圆柱体，这说明了 ．
5．边长为2厘米和4厘米的长方形绕其一边旋转得到的几何体的表面积为
6. 将下列图形按要求分类：
（1）若按柱、锥、球划分；（２）若按组成面的曲或平划分.
7. 第二行的图绕直线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，用线连一连，并指出这些几何体的名称.
8.将一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，现在有一个长为4厘米，宽为3厘米的长方形，分别绕它的长、宽所在的直线旋转一周，得到不同的圆柱体，它们的体积分别是多大？
4.2.1直线、线段、射线
第一课时
名师归纳与点拨
知识点1直线、线段、射线的概念及表示
1.直线是向两个方向无限延伸着的；直线上两个点和它们之间的部分叫做线段；直线上的一点和它一旁的部分叫做射线。
2.表示方法：①直线的表示有两种：一个小写字母或两个大写字母．但前面必须加“直线”两字，如：直线l；直线m，直线AB；直线CD． ②线段的表示也有两种：一个小写字母或用端点的两个大写字母．但前面必须加“线段”两字．如：线段a；线段AB．③射线的表示同样有两种：一个小写字母或端点的大写字母和射线上的一个大写字母，前面必须加“射线”两字．如：射线a；射线OA．
说明：直线和射线都不可度量，而线段可度量。用两个大写字母表示射线时注意端点字母要写在前。
知识点2：直线的基本性质：经过两点有一条并且只有一条直线
说明： 这条性质也被称为“直线公理”。“有”表示“存在性”，“只有”表示“唯一性”。
例1 判断下列说法是否正确
1．射线EO和射线OE是同一条射线（ ）
2．直线比射线长 （ ）
3．延长射线OA到B （ ）
4．线段AB与线段BA是同一条线段 （ ）
思路导引 1.两个大写字母表示射线时，端点字母要在前；2.直线和射线都不可度量；3.射线不可度量；4.线段有两个端点，用两个大写字母表示时与端点字母顺序无关。
解:1.错 2.错 3.错 4.正确
例2．下面图形有几条线段？
思路导引：方法一：以线段的端点为顺序，从左向右观察以A为左端点的线段有几条？AB、AC、AD一共有三条。以B为左端点的线段有几条？BC、BD一共有两条。以C为左端点的线段有几条？一条。
解：3＋ 2＋ 1＝6(条)
课内达标
1. 下面几种表示直线的写法中，错误的是（ ）．
A．直线a B．直线Ma C．直线MN D．直线MO
2. 在墙上钉一根木条需_______个钉子，其根据是________ ．
3. 如图所示，直线_______和直线______相交于点P；直线AB和直线EF相交于点______；点R是直线________和直线________的交点．
4. 探索规律：
（1）若直线L上有2个点，则射线有_____条，线段有______条； ( http: / / www. / / )
（2）若直线L上有3个点，则射线有_____条，线段有______条；
（3）若直线L上有4个点，则射线有_____条，线段有______条；
（4）若直线L上有n个点，则射线有_____条，线段有______条．
课外巩固
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A．射线OA和射线AO表示同一条射线.
B．延长直线AB.
C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线.
D．延长射线AB
2.下列四个图中的线段(或直线、射线)能相交的是( )
`
A.(1) B.(2) C.(3) D.(4)
3. 如下图所示，点A在直线L______，点B在直线L________．
4. 如图2,图中共有_______条射线,指出其中的两条_____ __.
5. 如图，OA反向延长得射线 ______
6．看图写话：
(1) (2)
7.如图,要在一个长方体的木块上打四个小孔,这四个小孔要在一条直线上,且每两个相邻孔之间的距离相等,画出图形,并说明其中道理.
8．解答下列问题：
(1) 画图表示，两条直线可以把一个平面分成几个部分 三条直线呢
(2)平面上4条直线最多可以把平面分成多少个部分
4.2.2直线、线段、射线
第二课时
名师归纳与点拨
知识点1线段大小比较的两种比较方法：
重叠比较法 将两条线段的各一个端点对齐，看另一个端点的位置.
数量比较法 用刻度尺分别量出线段AB和线段CD的长度,将长度进行比较.
说明:常用的是数量比较法。
知识点2 线段的性质公理
“两点之间的所有连线中，线段最短”
说明：要强调两点之间的线段的长度叫两点间的距离，而不是两点间的线段；
线段是图形，线段的长度是数值。
例1．点P是线段AB的中点，点C、D把线段AB三等分。已知线段CP的长为1.5cm，求线段AB的长。
思路导引 先得到线段CP与线段AB之间的长度比，就能求出线段AB的长。
解：∵ 点P把线段二等分，
∴ AP=PB=1/2AB
∵ 点C、D把线段AB三等分，
∴ AC=CD=DB=1/3AB
∴ AP－AC=1/2AB－1/3AB=1/6AB, 即 CP=1/6AB
∴ AB=6CP=6×1.5=9cm
即AB的长为9cm
课内达标
1. 在直线上顺次取A、B、C三点，使得AB=5㎝，BC=3㎝，如果O是线段AC的中点，那么线段OB的长度是（ ）
A．2㎝ B．0.5㎝ C．1.5㎝ D． 1㎝
2. 如图，学生要去博物馆参观，从学校A处到博物馆B处的路径共有⑴、⑵、⑶三条，为了节约时间，尽快从A处赶到B处，假设行走的速度不变，你认为应该走第________条线路（只填番号）最快，理由是___________________。
3．若AB=BC=CD那么AD= AB AC= AD
4. 线段AD=6cm，线段AC=BD=4cm ，E、F分别是线段AB、CD中点，求EF。
课外巩固
1. .如果点C在AB上,下列表达式①AC=AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB中, 能表示C是AB中点的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图,从A到B有3条路径,最短的路径是③,理由是( )
A.因为③是直的 B.两点确定一条直线
C.两点间距离的定义 D.两点之间,线段最短
3. 如图，点B、C在线段AD上，则
AC =_______+______ = ______—______，
BC =______—______ = ______—______。
4.．已知A，B，C为直线l上的三点，线段AB＝9cm，BC＝1cm，那A，C两点间的距离是
5. 长为12cm的线段AB上有一点P，M，N分别为PA，PB的中点，则线段MN= ______
6. 量出线段的长度，并比较：
（1）AB=_________cm；AC=_________cm；
AD=_________cm；AE=_________cm。
（2）比较线段的长度。
7. 试用叠合法比较线段：
8. 右图中，线段AB长为24cm，若AD长是CD长的一半少6cm，BC是CD的长的一半多1cm，求线段CD的长度。
4.3.1角
第一课时
名师归纳与点拨
知识点1 角的定义：
静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
说明：公共端点A叫做该角的顶点, 射线AB、AC叫做该角的两条边，
角的符号：∠
动态定义：角也可以看作是一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
知识点2 角的表示方法：
①用三个字母∠AOB或∠BOA 或用角的顶点∠O②用希腊字母记作∠α③用小写的数字记作∠1
说明：用单个大写字母表示，顶点处只能有一个角
例1．判断下列哪些图形是角
① ② ③ ④
思路导引 根据角的静态定义：“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边”．
解：①③④
例2．如图，（1）图中共有几个角？请把它们表示出来.
（2）能把∠AOB记作∠O吗 为什么 ∠AOB还可以怎样表示呢？
思路导引 一个顶点处不止一个角时，就不能用一个大写字母表示角。
解：（1）图中共有三个角，分别是：∠AOB、∠AOC、∠BOC
(2)不能，因为“一个顶点处不止一个角时，就不能用一个
大写字母表示角”，∠AOB还可以表示为∠BOA.
课内达标
1. 下列语句正确的是（ ）
A.两条直线相交，组成的图形叫做角
B.两条有公共端点的线段组成的图形叫角
C.两条有公共点的射线组成的图形叫角
D.从同一点引出的两条射线组成的图形叫角
2.用三个大写字母表示角:
∠1为 ；∠ 2为 ;
∠3为 .； 可以用一个大写字母表示的角是______
3. 图中以OC为边的角有______个，它们分别是______
4.以O为顶点的角有几个，请分别把他们写出来。
课外巩固
1. 下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是 ( )
2．如图，图中共有( )个角．
(A) 6 (B)7 (C)8 (D)9
3．如下左图所示，把图中用数字表示的角，改用大写字母表示分别是________．
4．将上右图中的角用不同的方法表示出来，填入下表：
∠1 ∠3 ∠4
∠BCA ∠ABC
5．用三个字母表示图中所注的∠1、∠2、∠3：
(1) (2) (3)
∠1是______； ∠1是______； ∠1是______；
∠2是______； ∠2是______； ∠2是______；
∠3是______； ∠3是______； ∠3是______；
∠4是______．。
6如图，图中能用一个大写字母表示的角有几个 分别把它们表示出来．
7.如图，(1)中有几个角？(2)中有几个角；(3)中有几个角．以此类推，若从一点o引n条射线，则以点0为顶点的角【最大的角都小于平角】有几个？
8．想一想，做一做．
（1）用字母表示图中的每个城市．
（2）请用字母在下图分别表示以北京为中心的每两个城市之间的夹角．
( http: / / www. / )
4.3.1角
第二课时
名师归纳与点拨
知识点1 角的度量方法：
计量角的大小常用的单位是“度”，用符号“°”表示。把半圆平均分成180份，每一份所对的角叫做1度的角，记作1°。使用量角器的方法：把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的顶点重合，零度刻度线和角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数
说明：度量角的工具：一般用量角器
知识点2 以度、分、秒为单位的角度制规定，
把一个周角_等分为360份_____，每一份叫做1度，记作___1°___；把1度的角__等分为60份____，每一份叫做1分，记作___1′___；把1分的角__等分为60份____，每一份叫做1秒，记作___1″___．这样，1周角是_360____°，1平角是__180____°，1°＝__60____'，1′＝___60___″．
例1：时钟在5点15分时，时钟的时针与分针所成的角是多少度？
思路导引 根据钟面上时针走一圈（360°）需要12小时=12*60=720分钟，即时针的速度是360/720=0.5°/分钟；分针走一圈（360°）需要1小时=60分钟，即时针的速度是360/60=6°/分钟.即时针走过一小时在钟面上扫过30°，分针在钟面上走过一分钟扫过6°。
解：所以时针离开12点的角度为5*30°+15*0.5°=157.5°，
分针离开数字12的角度为15*6°=90°，
157.5°-90°=67.5°。
所以5点15分时,时钟的时针和分针所成的锐角是67.5°。
课内达标
1. 在钟表上，1点30分时，时针与分针所成的角是（ ）．
A．150° B．165° C．135° D．120°
2.如图，量出图中三个角的度数分别是__________，这三个角的和是_____．
3．如图所示，点O在直线AB上，图中小于180°的角共有 个
4.如下图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数．
课外巩固
1. 下列各角中，不可能是钝角的角是（ ）．
A．周角 B．平角 C．钝角 D．直角.
2. 下列说法正确的是( )
(A)一个周角就是一条射线 (B)平角是一条直线
(C)角的两边越长，角就越大 (D)∠AOB也可以表示为∠BOA
3．用一副三角板可以拼出________的角．
4. 30.6°=_____°_____′=_______′
5. 时钟从3点15分走到3点35分，它的分针转过________度．
6.计算：
（1）53°28′+47°32′； （2）17°50′-3°27′；
7.已知：如图，AOB是直线，∠1∶∠2∶∠3＝1∶3∶2，求∠DOB的度数．
8. 小明先在笔直的路AB上行走,走道B点后拐了个弯,然后在笔直的路BC上行走,走到C点后, 又拐了个与刚才相同角度的弯.请画出拐弯后的行走路线
4.3.2角的比较与运算
名师归纳与点拨
知识点1 角的大小比较的两种方法：
一种方法为度量法：可以用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小，另一种方法为叠合法：即把他们叠合在一起比较大小。
说明：1.在用叠合法比较两角大小时，顶点必须重合，一边必须重合，另一边落在其余一边的圆旁。2.角的大小只与角两边的张大张小有关，而与角的边画出部分长短无关。3.角的和、差、倍、分的度数，等于它们度数的和、差、倍、分。
知识点2 把一个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，类似的还有角的三等分线等。
说明：角平分线的画法一般有两种
（1）借助量角器画图：以已知角顶点为顶点，已知角的一边为边，在已知线的内部画一个度数等于已知角度数一半的角，则这个角的另一边就是已知角的平分线．
（2）用折叠方法：把角沿顶点对折，使角的两边重合，沿折痕在角的内部画一条射线即为已知角的平分线．
说明：角平分线也是一条射线，角平分线在角的内部，角平分线分成的两个角度数相等。
例1．已知O为直线AB上一点，∠AOC的平分线OM，∠BOC的平分线为ON，求∠MON的度数？
思路导引 根据平角的定义可知∠AOB=180°,再根据OM平分∠AOC,则2∠MOC=∠AOC,同理可得2∠NOC=∠BOC,而
∠AOC+∠BOC=180°,所以2∠MOC+2∠NOC=180°,
∠MOC+∠NOC=90°
解: ∠MON的度数为90°.
课内达标
如图，射线OD是平角∠AOB的平分线，∠COE＝90°，那么下列式子中错误的是( )．
(A)∠AOC＝∠DOE (B)∠COD＝∠BOE
(C)∠AOD＝∠BOD (D)∠BOE＝∠AOC
2.如图，∠AOB∠COD，则∠1 ∠2(填“＜,＞, ＝”)
3．如图，用“＝”或“>”或“<”填空：
（1）∠AOC_______∠AOB+∠BOC； （2）∠AOC_______∠AOB；
（3）∠BOD-∠BOC______∠DOC；
4. 如图，已知：∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=140求：∠AOB的度数。
课外巩固
1. 射线OC在∠AOB的内部，下列四个式子中不能判定OC是∠AOB的平分线的是( )．
(A)∠AOB＝2∠AOC (B)∠BOC＝∠AOC
(C)∠AOC∠AOB (D)∠AOC＋∠BOC＝∠AOB
2. ．如图，OC是∠AOB的平分线，OD平分∠AOC，且∠COD＝25°，则∠AOB＝( )．
(A)100° (B)75°
(C)50° (D)20°
3. 如图，OM是∠AOB的平分线且∠AOM＝30°，
则∠BOM＝______；∠AOB＝______．
4．如图，在横线上填上适当的角：
(1)∠AOC＝______＋______；
(2)∠AOD－∠BOD＝______；
(3)∠BOC＝______－∠COD；
(4)∠BOC＝∠AOC＋______－______．
5．按图填空：
(1)∠ABC是∠ABD与∠DBC的______；
(2)∠BDC是∠ADC与∠ADB的_______．
6. 下面是小马虎解的一道题．
题目：在同一平面上，若∠BOA＝70°，∠BOC＝15°，求∠AOC的度数．
解：根据题意可画出下图．
∵∠AOC＝∠BOA－∠BOC
＝70°－15°
＝55°，
∴∠AOC＝55°．
若你是老师，会给小马虎满分吗 若会，说明理由．若不会，请将小马虎的错误指出，并给出你认为正确的解法．
7. 如图，OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，∠AOD＝40°，∠BOE＝25°，求∠AOB的度数．
解：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠AOC＝2∠AOD，
∠BOC＝2∠______．
∵∠AOD＝40°，∠BOE＝25°，
∴∠BOC＝______，
∠AOC＝______．
∴∠AOB＝____．
8. 如图，∠AOB的平分线为OM，ON为∠MOA内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线，某同学经过认真的分析，得出一个关系式是∠MON＝(∠BON－∠AON)，你认为这个同学得出的关系式是正确的吗 若正确，请把得出这个结论的过程写出来。
4.3.3 余角与补角
第一课时
名师归纳与点拨
知识点1余角与补角的定义
如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.
说明：互余互补是两个角之间的关系，且互为余角是两角之和等于90°（直角），互为补角是两角之和等于180°（平角）.“互为”一词的意思，于是得到： 互余、互补的角总是成对出现的.
知识点2余角与补角的性质
①等角的余角相等②等角的补角相等
说明：等（或同）角的余（或补）角相等”这一性质在今后的角度转换中经常用到，应引起重视．
例1：如图，直线AB与CD相交于一点，那么∠1=∠2吗？试说明理由.
思路导引：∵直线AB与CD相交于一点O（已知）
∴∠1与∠3互为补角，∠2与∠3互为补角（互为补角的定义）∴∠1=∠2（等角的补角相等）
解：∠1=∠2
例2：如图，∠AOB是直角，∠COD=90°，OB平分∠DOE，则∠3与∠4是什么关系？并说明理由.
思路导引：∵∠AOB是直角，∠COD=90°（已知）
∴∠1＋∠2=90°，∠1＋∠3=90°（互为余角的定义）
∴∠2=∠3（等角的余角相等）
∵OB平分∠DOE（已知）
∴∠2=∠4（角平分线的定义）
∴∠3=∠4（等量代换）
解：∠3=∠4
课内达标：
1.已知：如图，∠AOB＝∠COD＝90°，则∠1与∠2的关系是 )．
(A)互余 (B)互补
(C)相等 (D)无法确定
2.若一个角的余角和它的补角互补，那么这个角为______度。
3.一个角的4倍和这个角的余角互补，这个角是______度。
4. 如图，∠AOC=∠BOD=90 ，∠AOD=130 ，求∠BOC的度数。
课外巩固
1. 互为余角的两个角之差为35°，则较大角的补角是（ ）
A．117.5° B．112.5° C．125° D．127.5°
2、正确的有（ ）
⑴一个角的补角一定是钝角，⑵互补的两个角不可能相等，（3）∠A的补角与∠A的余角的差一定等于直角（4）两个锐角一定互为余角，（5）直角没有补角，（6）如果∠MON=180 ,那么M、O、N三点在一条直线上。
A、1个；B、2个；C、3个；D、4个
3. 若∠ 与∠ 互补，∠ 与∠ 互余，则∠ 与∠ 的差为____________．
4．如图，已知A，O，E三点在同一条直线上，OB平分∠AOC，OD平分∠COE，则∠BOC与∠COD的关系为____________．
5. 如图，∠ACB=∠CDB=90 ，图中∠ACD的余角有 个。
6.填写下列空白和理由 ，如右图，
∵∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠DOA＝1周角，
∴∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠DOA＝360°．
(理由_____________________.)
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD＋∠BOC＝180°．
(理由：__________________)
又∵∠BOC＝42°，
∴∠AOD＝180°－∠BOC＝180°－42°＝__________．
7. 如图所示，∠AOC=90°，OB⊥OD，则与∠BOC相等的角有谁？图中共有多少对互为余角请写出来。
8．如图，O是直线AB上的一点，OM是∠AOC的角平分线，ON是∠BOC的角平分线，
（1）图中互余的角有几对？请写出来。
（2）图中互补的角有几对？请写出来。
4.3.3 余角与补角
第二课时
名师归纳与点拨
知识点1用角度表示方向：一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋
转的角度表示方向，如图所示，OA方向可表示为北偏西60 。
说明：（1）用量角器画这样的射线OA时要注意：（1）是以正南或者是正北方向
做角的始边，（2）要理解偏东，偏西的意义。
（3）正北，正南，正西，正东，射线OD OC OB OA
西北方向:射线OE；西南方向:射线OF东南方向:射线OG；东北方向:射线OH
直线AB和直线CD互相垂直，所成四个角均为直角
知识点2 如何表示乙地对甲地的方位角
1. 先找出中心点,然后画出方向指标
2. 把中心点和目的地用线连接起來
3.度量向北的射线和视线之间的角度
例1. 如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东50°方向上有一艘船，同时从B地发现这 艘船在它的北偏东30°方向，试在图中确定这艘船的位置。
思路导引：找到A地北偏东50°和B地北偏东30°的射线。两条射线的交点即为这艘轮船的位置。
解：
课内达标
1.轮船航行到C处测得小岛A的方向为北偏西32°，那么从A观测此时的C处的方向为( )．
(A)南偏东32° (B)东偏南32°
(C)南偏东68° (D)东偏南68°
2.若轮船甲自A岛沿北偏东45°的方向行驶30海里到达B岛，轮船乙自A岛沿南偏西
70°的方向行驶50海里到达C岛，则∠BAC＝____________．
3. 如图，由A到B的方向是 ____________
4．．在图中画出表示下列方向的射线：
(1)南偏西30° (2)南偏东25°
(3)北偏西20° (4)北偏东65°
(5)东北方向 (6)西南方向
课外巩固
1．A看B的方向是北偏东21°，那么B看A的方向（ ）
A:南偏东69° B:南偏西69° C:南偏东21° D:南偏西21°
2.如图，下列说法中错误的是（ ）
A: OC的方向是北偏东60°
B: OD的方向是南偏东60°
C: OB的方向是西南方向
D: OA的方向是北偏西22°
3.在点O 北偏西60°的某处有一点A，在点O南偏西20°的某处有一点B，则∠AOB的度数是_____
4.如图,甲从A点出发向北偏东70°方向走50m至点B,
乙从A出发向南偏西15°方向走80m至点C,则∠BAC的度数是_____
5.说出B在A的＿＿＿＿，那么A在B的＿＿＿___.
6.如图，分别指出A，B，C，D在O的什么方向
7. 如图所示,A、B两条海上巡逻艇同时发现海面上有一不明物体,A艇发现该不明物体在它的东北方向,B艇发现该不明物体在它的南偏东60°的方向上, 请你试着在图中确定这个不明物体的位置.
8.小明从点A出发向北偏西50°方向走了3米，到达点B，小林从点A出发向南偏西40°方向走了4米，试画图确定出A、B、C三点的位置（用1厘米表示3米），并从图上求出B点到C点的实际距离
章末总结复习
知识体系构建
知识：（一）多姿多彩的图形
立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。
1、几何图形
平面图形：三角形、四边形、圆等。
主（正）视图---------从正面看
2、几何体的三视图 侧（左、右）视图-----从左（右）边看
俯视图---------------从上面看
3、点、线、面、体
（1）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
（2）点动成线，线动成面，面动成体
（二）直线、射线、线段
1、基本概念
直线 射线 线段
图形
端点个数 无 一个 两个
表示法 直线a直线AB（BA） 射线AB 线段a线段AB（BA）
作法叙述 作直线AB；作直线a 作射线AB 作线段a；作线段AB；连接AB
延长叙述 不能延长 反向延长射线AB 延长线段AB；反向延长线段BA
2、直线的性质
经过两点有一条直线，并且只有一条直线。
简单地：两点确定一条直线。
3、线段的中点（二等分点）、三等分点、四等分点等
定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点。
图形：
A M B
符号：若点M是线段AB的中点，则AM=BM=AB，AB=2AM=2BM。
4、线段的性质
两点的所有连线中，线段最短。简单地：两点之间，线段最短。
5、两点的距离
连接两点的线段长度叫做两点的距离。
6、点与直线的位置关系
（1）点在直线上 （2）点在直线外。
（三）角
1、角：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。
2、角的表示法（四种）：
3、角的度量单位及换算
4、角的分类
∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角
范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360°
5、角的和、差、倍、分及其近似值
6、角的平线线
定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线。
7、互余、互补
（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角。其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角。
（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角。其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角。
（3）余（补）角的性质：等角的补（余）角相等。
8、方向角
（1）正方向
（2）北（南）偏东（西）方向
能力：1.能判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图。
2.能根据三视图描述基本几何体或实物原型。
3.能根据展开图判断立体模型。
4．能借助量角器能画出给定度数的角。
5.能正确的分辨并表示方位角
方法:1. 用“度量法”和“用尺规作图法”画一条线段等于已知线段，并用“度量法”和“叠合法”比较线段的大小
2. 用“度量法”和“叠合法”比较角的大小
3．借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角。
4．用尺规作图法画出一个角与已知角相等
综合题型剖析
已知如图，线段AD=6，线段AC=BD=4，E,F分别是线段AB,CD的中点，求EF。
思维导引 因为AC=BD=4，所以
可得AC+BC+BC+CD=8，又知道AB+BC+CD=6，所以可以求得BC=8-6=2，因此也可推出AB=2，CD=2，又根据E,F分别是AB,CD的中点可知，EB=1，CF=1，因此可求得EF.
解：
点拨：此题关键是由AC+BD=8cm,把线段分解以后气的BC的长。
例2. 若∠AOB＝∠COD＝∠AOD，已知∠COB＝80°，求∠AOB、∠AOD的度数
思路导引 因为已知∠AOB＝∠COD＝∠AOD，所以可设∠AOB=x°，则可推出∠COD=x°，∠AOD=6 x°，有根据图可以知道∠AOD=∠AOB+∠COB+∠COD，因此可以推出∠COB=4 x°，又告诉了∠COB＝80°，所以可求出图中所有角的度数。
解：
点拨： 根据条件推导出∠COB=4 x°=80°是本题的关键所在。
例3.如图所示，学校、工厂、电视塔在平面图上的标点分别是A、B、C，工厂在学校的北偏西30°电视塔在学校的南偏东15°，则平面图上的∠BAC应是多少度？
思路导引 这是关于方位角的问题，现在要求∠BAC的度数，首先应明白∠BAC是由∠BAD和∠CAD组成的，然后根据条件即可解出∠BAC的度数。
解：
点拨： 解此题时一定要搞清方位角的大小。
综合练习巩固
选择题
1.在以下四个图形中，经过折叠能围成一个正方体的是（ ）
2.如图，能用∠1，∠ACB，∠C三种方法表示同一个角的是 ( )
3． ①平角是一条直线；②射线是直线的一半；③射线AB与射线BA表示同一条射线；④用一个扩大2倍的放大镜去看一个角，这个角会扩大2倍；⑤两点之间，线段最短；⑥120.5°= 120°50 .
以上说法正确的有( )
A .0个 B.1个 C.2个 D.3个
二．填空题
4.已知中，，，的平分线交于点，则的度
数为
5.已知互余两角的差为，则这两个角的度数分别为
6. 如图，AB=16 cm，C是AB上一点，且AC=10 cm，D是AC的中点，E是BC的中点，则线段DE的长度为
三，解答题
7. 如图所示，∠AOC=90°，OB⊥OD，则与∠BOC相等的角有谁？图中共有多少对互为余角请写出来。
8. 如图，OA的方向是北偏东15°,OB的方向是西偏北50°。
（1）若∠AOC=∠AOB，则OC的方向(方位角)是____
（2）OD是OB的反向延长线,OD的方向是(方位角)是_________;
（3）∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD,
作∠BOD的平分线OE,并用方位角表示OE的方向。
（4）在(1)、（2）、（3）的条件下，求∠COE。
学业水平测试
1. .（2010·滨州中考）
2. （2008·十堰中考）如图，C、D是线段AB上两点，若CB＝4cm，DB=7cm，且D是AC的中点，则AC的长等于( )
A．3cm B．6cm C．11cm D．14cm
3.（2010·凉山中考）将一副三角板按图中的方式叠放，则角等于（ ）
A． B． C． D．
4. .（2009·长沙中考）如图，于点是的平分线，则的度数为 ．
5.（2009·云南中考）如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AB＝10，AC＝6 ，则CD＝_______________．
( http: / / )
6.（2009·枣庄中考）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O点，则 ．
7. （2010湖南娄底）如图6，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOD=100°，求∠AOE的度数。
8. （2009山东枣庄）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点
重合于O点，求的度数。
9.（2010 嵊州市）如图，平面内有公共端点的六条射线OA,OB,OC,OD,OE,OF,从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，….
（1）“17”在射线 上．）
（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律．
（3）“2007”在哪条射线上？
10.（2010年杭州市）已知直四棱柱的底面是边长为a的正方形， 高为, 体积为V, 表面积等于S.
(1) 当a = 2, h = 3时，分别求V和S；
(2) 当V = 12，S = 32时，求 ( http: / / www. / )的值.
学业水平考试卷
（时间60分钟，满分100分）
班级 姓名 得分
一．选择题（每小题3分，共24分）
下图所示几何体的俯视图是（ ）
A B C D
2、下列图形中为正方体的平面展开图的是 （ ）
A B C D
3．如图7，∠AOE＝∠BOC，OD平分∠COE，
那么图中，相等的角共有（ ）
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对 ＜图7＞
4. 如图，能用∠1，∠ACB，∠C三种方法表示同一个角的是 ( )
5． ①平角是一条直线；②射线是直线的一半；③射线AB与射线BA表示同一条射线；④用一个扩大2倍的放大镜去看一个角，这个角会扩大2倍；⑤两点之间，线段最短；⑥120.5°= 120°50 .
以上说法正确的有( )
A .0个 B.1个 C.2个 D.3个
6.如图，AB=16 cm，C是AB上一点，且AC=10 cm，D是AC的中点，E是BC的中点，则线段DE的长度为 ( )
A．6 cm B.8 cm C.10 cm D.12cm
7．如图10，由A到B的方向是（ ）
A．南偏东30° B．南偏东60°
C．北偏西30° D．北偏西60°
8.如图所示，从O点出发的五条射线，可以组成角的个数是（ ）．
A．10个 B．9个 C．8个 D．4个
二．填空（每小题3分，共24分）
9.圆柱的侧面展开图是一个 ，圆锥的侧面展开图是一个 ，棱柱的侧面展开图是一个 。
10.北京时间2点30分，钟面上的时针和分针的夹角为 度。
11．如图1，已知CB＝5，DB＝7.5，D是AC的中点，
则AC＝_________ . ＜图1＞
12．126.31°＝____°____′___″
13．如图2，CB⊥AB，∠CBA与∠CBD的度数比是4:1，则∠DBA＝________度，
∠CBD的补角是_________度.
＜图2＞ ＜图3＞
14．如图3，AC⊥BC，CD⊥AB，点A到BC边的距离是线段_____的长，点B到CD边的距离是线段_____的长，图中的直角有_____________，∠A的余角有_______________，和∠A相等的角有__________.
15. 如图，折叠围成一个正方体时，数字 会在与数字2所在的平面相对的平面上。
16. 如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体的个数是
。
三．解答题
17.作图：（1）（5分）如图，有一个几何体，请画出看它的三视图
18．（5分）已知线段a、b（如图），画出线段AB，设AB＝3a－b，并写出画法．
19.计算（每小题2分，共8分）
①．37°28′＋44°49′； ②．108°18′－52°30″；
③．25°36′×4； ④ ．40°40′÷3．
20.（7分）一个角的余角的两倍比它的补角的 少40°,求这个角的度数.
21. （7分）如图,已知直线和相交于点，是直角，平分，，求的度数．
22．（10分）如图，M是线段AB的中点，点C在线段AB上，且AC＝4 cm，N是AC的中点，
MN＝3 cm，求线段CM和AB的长
23．（10分）如图，∠AOB是直角，∠AOC等于46°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．
附加题
已知∠ 与∠ 互为补角，且∠ 互为补角，且∠ 的比∠ 大15°，求∠ 的余角．
4.1.1 几何图形
课内达标
1.D 2,长方形 3.球，正方体4.立体图形：①④⑤⑥⑦；平面图形：②③
课外巩固
1.C 2.A 3. (1) 正方体 (2)长方体 (3) 三棱柱(4)四棱锥 (5)圆柱 4.7,9
5.正方体，球 6. 分析:主视图有2列，第一列3个小正方形，第2列有1个小正方形;左视图有3列，小正方形数目分别为1，3，2;俯视图有3行，小正方形数目分别为1，2，1．
解: 如图：
7.x=1 8.
4.1.2 几何图形
课内达标
B 2. 点动成_线_____；线动成__面____；面动成___体____ 3.点动成线
4.
课外巩固
1． B 2.D 3.一，曲 4.面动成体 5.
6. 思路解析：分类时一定要注意把握好特征，做到不重不漏，标准统一.
答案:（1）柱体：①，③，④，⑤，⑦；锥体：②；球体：⑥
（２）组成的面有曲面：②，⑥，⑦；组成的面是平面：①，③，④，⑤
7. 思路解析：线段旋转一周形成一个圆，长方形旋转一周形成一个圆柱，半圆旋转一周会形成球 答案:（1）与C；（2）与A；（3）与B连起来.A是圆台；B是球；C是圆柱与圆锥的组合.
8.
4.2.1直线、线段、射线
第一课时
课内达标
1. B 2.2，经过两点有且只有一条直线 3. ．AB CD O CD EF 4. （1）4 1 （2）6 3 （3）8 6 （4）2n n（n-1）
课外巩固
1.C 2.A 3.上，外 4.2，射线AB,射线BA 5.OE 6.直线AB与直线CD交于点O，点E在直线l上 7. 道理:经过两点,有且只有一条直线 8. （1）4,7（2）11
4.2.2直线、线段、射线
第二课时
课内达标
1.D 2.(2),两点之间，线段最短 3.3， 4.
课外巩固
1.C 2.D 3.AB+BC=AD-CD;AC-AB=BD-CD 4. 5.6cm
6.略 7.略 8.14.5cm
4.3.1角
第一课时
课内达标
1.D 2. ∠EDB, ∠DBE, ∠ABC: ∠A, ∠C, ∠D 3.3, ∠DOC, ∠COB, ∠COA
4. .以O为顶点的角有几个，请分别把他们写出来。
解：共有10个角，
分别是：
∠AOB，∠AOC，
∠AOD，∠AOE，
∠BOC，∠BOD，
∠BOE，∠COD，
∠COE，∠DOE。
课外巩固
1.B 2.A 3. ∠ADE, ∠DEC
4.
5.(1) ∠AGB, ∠ACE, ∠DEC(2) ∠EGB, ∠EHB, ∠CHG(3) ∠DAC, ∠ACB, ∠BAC, ∠ACD
6.3个，∠A,∠B,∠C 7.3,6,10， 8.略
4.3.1角
第二课时
课内达标
1.C 2,略 ,180° 3.9 4. 30°，0°，120°，90°
课外巩固
1.D 2.D 3.75°、105°、135°、120°、15°、30°、150°、180°
4.30,36,216 5.10 6. （1）101° （2）14°23′ 7.30° 8.略
4.3.2角的比较与运算
课内达标
1.D 2.= 3.=,>,= 4.28°
课外巩固
1.D 2.A 3.30°,60°4.
5.和，差 6.55°或者是85°，分OC在角内部及角外部两种情况讨论
7. 解：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠AOC＝2∠AOD，
∠BOC＝2∠_ BOE _____．
∵∠AOD＝40°，∠BOE＝25°，
∴∠BOC＝__50°____，
∠AOC＝__80°____．
∴∠AOB＝__130°__．
8.∠BON=∠BOM+∠MON=1/2∠AOB+∠MON
∠AON=∠BOM-∠MON=1/2∠AOB-∠MON
∠BON-∠AON=(1/2∠AOB+∠MON)-(1/2∠AOB-∠MON)=2∠MON
∠MON=1/2(∠BON-∠AON)
4.3.3 余角与补角
第一课时
课内达标
1.B 2.45° 3.30° 4.50°
课外巩固
1.A 2.B 3.90° 4.互余 5.2个 6.周角的定义，等式基本性质1,138 °
7.
8.。有四对互余的角∠AOM与∠CON，∠AOM与∠BON，
∠COM与∠CON，∠COM与∠BON，3对互补的角：∠BON与∠NOA，∠BOC与∠AOC, ∠BOM 与∠AOM
4.3.3 余角与补角
第二课时
课内达标
1.A 2.155° 3.北偏西60° 4.略
课外巩固
1.C 2.A 3.110° 4.125° 5.北偏西40度，南偏西40度
6.A在O的北偏东60度，B在O的北偏西30度，C在O 的南偏西75度，D在O的西南方向
7.如图
综合练习巩固
1.B 2.C 3.B 4.120° 5.55°或者是35° 6.8cm 7.略 8.北偏东70°，南偏东40°，南偏西40度，北偏东40°,160°
学业水平测试
1.B 2.B 3.A 4.135° 5.2 6.180° 7.40° 8.180°
9. 【解析】（1）“17”在射线上．
（2）射线上数字的排列规律：
射线上数字的排列规律：
射线上数字的排列规律：
射线上数字的排列规律：
射线上数字的排列规律：
射线上数字的排列规律：
（3）在六条射线上的数字规律中，只有有整数解．解为
“2007”在射线上．
10. 答案：
(1) 当a = 2, h = 3时，
V = a2h= 12 ;
S = 2a2+ 4ah =32 .
(2) ∵a2h= 12, 2a(a + 2h) =32，
∴ , (a + 2h) =,
∴===.
学业水平考试卷
1.C 2.C 3.B 4.C 5.B 6.B 7.B 8.10 9.长方形，扇形，长方形 10.105°
11.5 12. ___126_°_18___′__36_″ 13.72°，162° 14.AC, BD, ∠AOC, ∠COD,
∠ACB, ∠ACD, ∠B, ∠DCB 15.5 16.5 17.略
18. 【答案】
方法一：
①量得a＝1.9 cm，b＝2.6 cm；
②算AB的长，AB＝3×1.9－×2.6＝4.4（cm）；
③画线段AB＝4.4 cm．
则线段AB就是所要画的线段．
方法二：
①画射线AM，并在射线AM上顺次截取AC＝CD＝DE＝a；
②在线段EA上截取EB＝b．
则线段AB就是要画的线段．
19. 【提示】
1°＝60′，1′＝60″，低一级单位满“60”，要向高一级单位进“1”，由高一级单位借“1”要化成“60”加入低一级单位参与运算．
【答案】1．82°17′； 2．56°17′30″； 3．102°24′； 4．13°33′20″．
20.40° 21.24°
22. 【提示】CM＝MN－NC，AB＝2 AM．
【答案】∵ N是AC中点，AC＝4 cm，
∴ NC＝AC＝×4＝2（cm），
∵ MN＝3 cm，
∴ CM＝MN－NC＝3－2＝1（cm），
∴ AM＝AC＋CM＝4＋1＝5（cm），
∵ M是AB的中点，
∴ AB＝2 AM＝2×5＝10（cm）．
答：线段CM的长为1 cm，AB的长为10 cm．
23. 【提示】
∠MON＝∠CON－∠COM．
【答案】
∵ ∠AOB是直角．
∴ ∠AOB＝90°（直角的定义），
∵ ∠AOC＝46°，
∴ ∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝90°＋46°＝136°，
∵ ON平分∠BOC，
∴ ∠CON＝∠BOC＝×136°＝68°（角平分线定义），
∵ OM平分∠AOC，
∴ ∠COM＝∠AOC＝×46°＝23°（角平分线定义），
∴ ∠MON＝∠CON－∠COM＝68°－23°＝45°．
答：∠MON＝45°．
【点评】
和线段计算一样，在进行有关角度计算时，也要根据已知，仔细看图，找出已知角与所求角的关系，此题中的∠MON还可看成是∠BOM与∠BON的差，∠MON也可看成是∠AOM与∠AON之和，请试一试怎么算，比一比哪种方法较简便．关于角平分线的三种表达式，也应结合图形灵活运用．
附加题：【提示】
互补两角和为180°，根据题意可知列出关于∠ 、∠ 的方程组，求出∠ ，再根据“互余两角和为90°”，求出∠ 的余角．
【答案】
由题意可得：
解之得：
∴ ∠ 的余角＝90°－∠ ＝90°－63°＝27°．
答：∠ 的余角是27°．
图4-1-1
A．
B．
C．
D．
建
设
和
谐
昆明
明
图4-1-2
正面
左面
上面
-2
A
x
3
1
3x-2
点
线
面点
体点
动
交
交
交
动
动
③
①
②
C
A
B
O
O
A
C
D
E
A
B
C
O
A
B
D
C
3
1
2
4
A
C
D
B
C
A
D
B
E
3
1
2
4
60
B
C
D
A
A
E
B
C
F
D
O
D
C
B
A
东
D
B
C
A
北
西
南
A．
B．
C．
D．
（ ）
A
C
B
D
E
O
图6
A
B
C
D
O
1
（第3题图）
A
B
C
D
E
O