2022届平冈高级中学高二第一次月考（9月）
数学试卷
一．单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集，2，3，4，5，6，，集合，3，5，，，2，4，，则
A．，4，
B．，5，
C．
D．，3，4，5，
2．已知复数，则复数在复平面上对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．在直角坐标系中，角的终边经过点，，，且，则
A．
B．
C．
D．2
4．设、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则．
其中假命题的序号是
A．①④
B．①②③
C．①②④
D．①③
5．已知数据，，，，，的平均数是5，方差是9，则
A．159
B．204
C．231
D．636
6．已知向量，，，，1，，，0，，若，，共面，则等于
A．
B．1
C．1或
D．1或0
7．在中，已知，，，且的面积为，则边上的高等于
A．1
B．
C．
D．2
8．如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则线段的长度为
A．
B．
C．
D．
二．多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)
9．袋子中有1个红球，1个黄球，1个蓝球，从中取两个球，每次取一个球，取球后不放回，设事件第一个球是红球，第二个球是黄球，则下列结论正确的是
A．与互为对立事件
B．与互斥
C．（A）（B）
D．
10．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是
A．两条不重合直线，的方向向量分别是，3，，，，，则
B．直线的方向向量，，，平面的法向量是，4，，则
C．两个不同的平面，的法向量分别是，2，，，4，，则
D．直线的方向向量，3，，平面的法向量是，，，则
11．已知函数，则下列结论正确的是
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于点，对称
C．函数的图象关于直线对称
D．若实数使得方程在，上恰好有三个实数解，，，则一定有
12．在棱长固定的正方体中，点，分别满足，，，，，则
A．当时，三棱锥的体积为定值
B．当时，存在使得平面
C．当时，点，到平面的距离相等
D．当时，总有
三．填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13．已知一组数据为85，87，88，90，92，则这组数据的第60百分位数为
．
14．已知平面向量，若，则向量与的夹角的大小为 ．
15．如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示，则 ．
16．四面体中，，，，则直线和平面所成角的正弦值为
．
四．解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，三棱锥各棱的棱长都是1，点是棱的中点，点在棱上，且，记，，．
（1）用向量，，表示向量；
（2）求的最小值．
18．已知空间中三点，0，，，，，，0，，设，．
（Ⅰ）若，且，求向量；
（Ⅱ）已知向量与互相垂直，求的值；
（Ⅲ）求的面积．
19．在中，内角，，对应的边分别为，，，请在①；②；③这三个条件中任选一个，完成下列问题：
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，，求的面积．
20．如图所示，在直三棱柱中，，，，分别为棱、的中点．
（1）求点到平面的距离；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
21．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为，的中点，，．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
22．已知函数且．
（1）求的解析式；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）若关于的方程有解，求的取值范围．2022届平冈高级中学高二第一次月考（9月）
数学试卷参考答案
1．【解答】解：因为全集，2，3，4，5，6，，集合，3，5，，，2，4，，
所以，4，，，5，
则．
故选：．
2．【解答】解：，
复数在复平面上对应的点，位于第三象限．
故选：．
3．【解答】解：方法一：根据任意角的三角函数定义，得，化简得，
，，
，，
方法二：，，，，
．
故选：．
4．【解答】解：对于选项
如图所示：
故选项错误；
对于选项：如图所示：
若，，则．故选项错误；
对于选项：若，，，则，该命题与线面平行的条件不符，故错误；
对于选项：若，直线相当于的法向量，由于，则，故正确．
故选：．
5．【解答】解：根据题意，数据，，，，，中平均数，方差，
则，
变形可得：则，
故选：．
6．【解答】解：向量，，，，1，，，0，，
，，共面，
，，，
，，，，，
，解得，
．
故选：．
7．【解答】解：因为且的面积为，
所以，即①
又，所以，
即②
联立①②结合解得：，．
设边上的高为，所以．
．
故选：．
8．【解答】解：四边形是平行四边形，，
，
，，，，
，，，
，
，
，即．
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．【解答】解：因为事件和事件有可能同时发生，故与不是对立事件，故选项错误，选项错误；
因为（A），（B），则（A）（B），故选项正确；
因为，
所以（A）（B），故选项正确．
故选：．
10．【解答】解：对于，两条不重合直线，的方向向量分别是，3，，，，，
且，所以，选项正确；
对于，直线的方向向量，，，平面的法向量是，4，，
且，所以或，判断选项错误；
对于，两个不同的平面，的法向量分别是，2，，，4，，
且，所以，选项正确；
对于，直线的方向向量，3，，平面的法向量是，，，
且，所以，选项错误．
故选：．
11．【解答】解：函数，
故函数的最小正周期为．故正确．
当时，故错误．
当时，故正确．
当实数时，使得方程在，上恰好有三个实数解，，，
则一定有．故正确．
故选：．
12．【解答】解：对于，当时，三棱锥的体积即为三棱锥的体积，且此时为中点，
而三棱锥的体积，为定值，故正确；
对于，当时，不可能有，则不存在使得平面，故错；
对于，当时，为线段的中点，
则点，到平面的距离相等，故正确；
对于，以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，0，、，1，，设，则，，，，1，，
从而，1，，，，，，，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．【解答】解：该组数据85，87，88，90，92有5个，且，
所以这组数据的第60百分位数是．
故答案为：89．
14．【解答】解：，
，
，
，且，
与的夹角为．
故答案为：．
15．【解答】解：因为，，
所以
．
故答案为：．
16．【解答】解：设四面体所在的长方体如图所示，
设长方体的棱长分别为，，，
因为，，，
所以，解得，
建立空间直角坐标系如图所示，
则，0，，，0，，，1，，，1，，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
故，
又，
所以，
则直线和平面所成角的正弦值为．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
17．【解答】解：（1）根据题意，连接，，点是棱的中点，点在棱上，
且，记，，．
，
（2）根据题意，点是棱的中点，则，且，
则当时，取得最小值，
则的最小值为．
18．【解答】解：空间中三点，0，，，，，，0，，设，，
，
，且，，
，
，，1，或，，．
，，，0，，，，
，0，，
向量与互相垂直，
，解得．
的值是5．
，，，，0，，，1，，
，
，
．
19．【解答】解：（Ⅰ）选①，因为，
所以，得，
即，
由正弦定理得，，
因为，所以，
因为，所以．
选②，因为，所以，
因为，
所以，
即，
所以，
因为，所以，
因为，所以．
选③，因为，
所以，即，
所以，
所以，
因为，
所以，即，
所以，
因为，所以，即．
（Ⅱ）由余弦定理得，，
因为，，
所以，即，
所以．
20．【解答】解：（1）如图所示，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
由，得，0，，，2，，，0，，，0，，
则，，，，2，，，0，，
设平面的法向量为，，，
则，取，得，0，，
点到平面的距离为．
（2），2，，，0，，
，2，，，0，，
设平面的法向量为，，，
则，取，得，，，
平面的法向量，1，，
设平面与平面夹角为，
则平面与平面夹角的余弦值为：
．
21．【解答】（1）证明：在平行四边形中，由已知可得，，
，，
由余弦定理可得，，
则，即，
又，，平面，
而平面，．
（2）解：由（1）知，平面，
又平面，平面平面，
且平面平面，
，且平面，平面，
连接，则，
在中，，，，
可得，
又，在中，求得，
取中点，连接，则，可得、、两两互相垂直，
以为坐标原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，
则，2，，，0，，，，，
又为的中点，，，，
，，，，0，，，，，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，，，
设直线与平面所成角为，
则，．
故直线与平面所成角的正弦值为．
22．【解答】解：（1）函数且，
令，则，
因为，解得，则，
所以，
故；
（2）由，
所以函数为奇函数；
（3）因为有解，
所以，
所以方程有解，
即有解，
令，则，
所以，
因为，则，
故，
所以的取值范围为
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