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考点01
集合的概念
一、单选题
1．设集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．下列集合中，表示方程组的解集的是
A．
B．
C．
D．
3．已知集合，若，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
4．下列四个集合中，是空集的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．若集合中的元素是△的三边长，则△一定不是
（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
6．已知集合中至多含有一个元素，则实数a的取值范围（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知集合，且，则（
）
A．
B．
C．
D．不属于中的任意一个
二、多选题
8．下列每组对象，能构成集合的是（
）
A．中国各地最美的乡村
B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．一切很大的数
D．清华大学2020年入学的全体学生
9．下列结论不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．若集合A={-2，2，3，4}，B={x|x=t2，t∈A}，集合B中含有的元素为（
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A．4
B．9
C．-4
D．16
11．已知集合，且，则的可能取值有（
）
A．1
B．
C．3
D．2
12．由实数0、、、、、所组成的集合中，含有元素的个数可能为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
三、填空题
13．用列举法表示为______________.
14．下列四个说法中正确的个数是___________.
①集合N中最小数为1；
②若a∈N，则-aN；
③若a∈N，b∈N，则a+b的最小值为2；
④所有小的正数组成一个集合.
15．非零实数，构成的数能组成的集合是________________.
16．设集合，，且，中有唯一的公共元素9，则实数的值为______．
17．若集合Z中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是________.
四、解答题
18．已知集合，
（1）若只有一个元素，试求的值，并求出这个元素；
（2）若是空集，求的取值范围；
（3）用列举法表示集合.
19．已知集合.
（1）若集合为两个元素的集合,试求实数的范围；
（2）是否存在这样的实数,使得集合有且仅有两个子集?若存在,求出所有的的值组成的集合；若不存在,请说明理由.21世纪教育网版权所有
20．设数集由实数构成，且满足：若（且），则．
（1）若，则中至少还有几个元素？
（2）集合是否为双元素集合？请说明理由．
（3）若中元素个数不超过，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合．
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考点01
集合的概念
一、单选题
1．设集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】集合A={x∈Z|x>?1}，集合A中元素为整数，是无理数，∴，故选B.
2．下列集合中，表示方程组的解集的是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解方程组，得即，所以方程组的解集.故选C.
3．已知集合，若，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵2∈A，∴2﹣a≤0；∴a≥2，∴a的取值范围为[2，+∞）.故选C.
4．下列四个集合中，是空集的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】选项A，；
选项B，；
选项C，；
选项D，，方程无解，.
故选D.
5．若集合中的元素是△的三边长，则△一定不是
（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【答案】D
【解析】因为集合，所以由集合元素的互异性可得，，，
所以△一定不是等腰三角形.故选D.
6．已知集合中至多含有一个元素，则实数a的取值范围（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，原问题转化为方程至多只有一个根，
当时，方程为，解得，此时方程只有一个实数根，符合题意；
当时，方程为一元二次方程，
所以，解得或．
综上，实数a的取值范围为．故选D．
7．已知集合，且，则（
）
A．
B．
C．
D．不属于中的任意一个
【答案】B
【解析】
.故选B.
二、多选题
8．下列每组对象，能构成集合的是（
）
A．中国各地最美的乡村
B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．一切很大的数
D．清华大学2020年入学的全体学生
【答案】BD
【解析】对于A，最美标准不明确，不具有确定性，所以不能构成集合；
对于B，直角坐标系中横、纵坐标相等的点就在一、三象限的平分线上，是确定的，所以可以构成集合；
对于C，一切很大的数不具有确定性，所以不能构成集合；
对于D，清华大学2020年入学的全体学生是确定的，能构成集合，
故选BD.
9．下列结论不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】由表示自然数集，知，故A正确；
由为无理数且表示有理数集，知，故B错；
由表示正整数集，知，故C错；
由表示整数集，知，故D正确.
故选BC.
10．若集合A={-2，2，3，4}，B={x|x=t2，t∈A}，集合B中含有的元素为（
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A．4
B．9
C．-4
D．16
【答案】ABD
【解析】由B={x|x=t2，t∈A}，得，故选ABD.
11．已知集合，且，则的可能取值有（
）
A．1
B．
C．3
D．2
【答案】AC
【解析】因为，所以或，解得：，或，，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
当时，，不满足元素互异性，不成立
所以或，故选AC.
12．由实数0、、、、、所组成的集合中，含有元素的个数可能为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】AC
【解析】∵，，故当时，这几个实数均为0，含有元素的个数为1个；
当时，它们分别是，含有元素的个数为3个；
当时，它们分别是.，含有元素的个数为3个；
故选AC.
三、填空题
13．用列举法表示为______________.
【答案】
【解析】，故答案为：
14．下列四个说法中正确的个数是___________.
①集合N中最小数为1；
②若a∈N，则-aN；
③若a∈N，b∈N，则a+b的最小值为2；
④所有小的正数组成一个集合.
【答案】0
【解析】①集合N中最小数为，故①错误；
②若∈N，则-N，故②错误；
③若a∈N，b∈N，则a+b的最小值为2，错误，当时，；
④所有小的正数组成一个集合，不符合集合中元素的确定性.
故答案为：0.
15．非零实数，构成的数能组成的集合是________________.
【答案】
【解析】当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
由元素的互异性可知数能组成的集合是，
故答案为：
.
16．设集合，，且，中有唯一的公共元素9，则实数的值为______．
【答案】
【解析】∵，，且，中有唯一的公共元素9，
∴或．
当时，，此时，，，中还有公共元素，不符合题意；
当时，，若，，集合违背互异性．
若，
∴．故答案为：．
17．若集合Z中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是________
【答案】
【解析】f（x）＝x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0，即x2﹣2x+1＜a（x+1）﹣1，
分别令y＝x2﹣2x+1，
y＝a（x+1）﹣1，易知过定点（﹣1，﹣1），
分别画出函数的图象，如图所示：
∵集合A＝{x∈Z|f（x）＜0}中有且只有一个元素，即点（0，0）和点（2,1）在直线上或者其直线上方，点（1,0）在直线下方，结合图象可得∴，解得a，故答案为（，].
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四、解答题
18．已知集合，
（1）若只有一个元素，试求的值，并求出这个元素；
（2）若是空集，求的取值范围；
（3）用列举法表示集合.
【解析】（1）①时，满足题意；
②时，要使只有一个元素，则需：
，即，此时.
综上：时，；时，.
（2）∵，显然不合题意，
∴，即
∴时，.
（3）由（2）得，当时，方程无解，即，
由（1）得时，方程的解为，即；
当时，方程的解为，即.
当时，由求根公式得的解为或，
即
综上可得：当时，；当时，，当时，；当时，.
19．已知集合.
（1）若集合为两个元素的集合,试求实数的范围；
（2）是否存在这样的实数,使得集合有且仅有两个子集?若存在,求出所有的的值组成的集合；若不存在,请说明理由.21教育网
【解析】（1）集合为两个元素的集合,
所以方程有两个不等实根，
即，
得：；
（2）存在这样的实数,使得集合有且仅有两个子集，
即集合里面恰有一个元素，
即只有一个实数根，
当时，符合题意；
或即，
所以.
20．设数集由实数构成，且满足：若（且），则．
（1）若，则中至少还有几个元素？
（2）集合是否为双元素集合？请说明理由．
（3）若中元素个数不超过，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合．
【解析】（1），．
，．
，．
中至少还有两个元素为，；
（2）不是双元素集合．理由如下：
，，，
由于且，，则，
则，可得，由，即，可得，
故集合中至少有个元素，所以，集合不是双元素集合．
（3）由（2）知中有三个元素为、、（且），
且，
设中有一个元素为，则，，且，
所以，，且集合中所有元素之积为.
由于中有一个元素的平方等于所有元素的积，
设或，解得（舍去）或或．
此时，，，，
由题意得，整理得，
即，解得或或，
所以，．
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