吉林省洮南市第一重点高中2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题（Word版含答案）

洮南一中2021-2022学年度上学期第一次月考
高二数学试题
第I卷（选择题）
1、单选题(共10个小题每小题5分)
1．若平面α，β的法向量分别为＝(－1，2，4)，＝(x，－1，－2)，且α⊥β，则x的值为（
）
A．10
B．－10
C．
D．－
2．直线经过直线和直线的交点，且与直线垂直，则直线的方程为（
）A．
B．
C．
D．
3．已知点，点与点关于平面对称，点与点关于轴对称，则
(
)
A．
B．
C．
D．
4．如图，在空间直角坐标系中，四棱柱为长方体，，点，分别为，的中点，则二面角的余弦值为（
）
4题图
6题图
A．
B．
C．
D．
5．以下命题中，不正确的个数为（
）
①“”是“，共线”的充要条件；②若，则存在唯一的实数，使得；③若，，则；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；⑤.
A．2
B．3
C．4
D．5
6．如图所示，二面角的棱上有、两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，，则该二面角的大小为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知定点，若直线上总存在点P，满足条件，则实数k的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（
）A．
B．
C．
D．
8题图
9题图
11题图
9．将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧.则异面直线与所成的角的大小为（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知、、分别是正方形边、及对角线的中点，将三角形沿着进行翻折构成三棱锥，则在翻折过程中，直线与平面所成角的余弦值的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题(本题共2个小题.每小题部分选对3分,满分5分)
11．如图，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AD//
BC，AD⊥AB，AE=
BC=2，AB=AD=1，，则（
）
A．BD⊥EC
B．BF//平面ADE
C．二面角E-
BD-F的余弦值为
D．直线CE与平面BDE所成角的正弦值为
12．下列结论错误的是（
）
A．过点，的直线的倾斜角为
B．若直线与直线垂直，则
C．直线与直线之间的距离是
D．已知，，点P在x轴上，则的最小值是5
第II卷（非选择题）
2、填空题(本题共4个小题每小题5分共20分)
13．直线过点且与轴、轴分别交于两点，若恰为线段的中点，则直线的方程为_________．
14．已知长方体中，，，，为的中点，则点到平面的距离为________．
15．有一光线从点A(-3，5)
射到直线:
3x–4y
+
4=0以后，再反射到点B(2，15)，则这条光线的入射线的反射线所在直线的方程为________.
16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于__________．
四、解答题(写出必要的解体过程与步骤)
17．(本题满分10分)在中，已知
（1）若直线过点且点到的距离相等，求直线的方程；
（2）若直线：为的平分线，求直线的方程.
18．(本题满分12分)已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，
（1）求反射光线所在的方程；
（2）在直线l上求一点P，使；
（3）若点Q在直线l上运动，求的最小值．
19．(本题满分12分)如图，在四棱锥中，平面平面ACDE，是等边三角形，在直角梯形ACDE中，，，，，P是棱BD的中点．
（1）求证：平面BCD；
（2）设点M在线段AC上，若平面PEM与平面EAB所成的锐二面角的余弦值为，求MP的长．
20．(本题满分12分)在正四棱柱中，，为的中点.
（1）求直线与平面所成的角；
（2）求点到平面的距离.
21．(本题满分12分)已知的两条高所在的直线方程为，若点A坐标为
（1）求垂心H的坐标；
（2）若关于直线的对称点为N，求点N到直线BC的距离．
22．(本题满分12分)已知三棱柱中，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，在线段上是否存在一点，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
参考答案
1．B
2．A
3．D
4．C
5．C
6．C
7．D
8．C
9．B
10．A
【分析】
设，，直线与平面所成的角为，，以为一组基底，利用空间向量法求解.
11．BC
12．ABC
13．3x﹣2y+12=0
14．
15．.
16．
17．（1）或；（2）
【详解】
（1）点到的距离相等，直线过线段的中点或，
①当直线过线段的中点时，直线斜率不存在，则的方程为；
②当时，则斜率，
则的方程为，即；
综上，的方程为或；
（2）直线为的平分线，所以点关于直线的对称点在直线上，
则有，解得，即，
直线的斜率，
直线的方程为，即
18．（1）；（2）；（3）．
【详解】
（1）设线段AB中点D，点A关于直线l的对称点，直线AC与直线l交于，
因为直线AC与直线l垂直，并且过点A，
所以其方程为，即，
由，，解得，，即M坐标为．
因为A、C两点关于直线l对称，所以关于点M对称，
所以，，
所以
根据光线反射定律，反射光线经过B、C两点，
由直线的两点式方程得：
直线BC方程为，
即反射光线所在直线的方程为
设线段AB的垂直平分线为m，因为，
所以点P在直线m上，又因为点P在直线l上，
所以点P为直线l与m交点，
由，的坐标可知，
线段AB中点，直线AB斜率为，
所以其垂直平分线m斜率，
因其经过点D，由直线的点斜式方程得直线m的方程为
，即．
与直线l的方程联立
解方程组得P点坐标为
设点Q坐标为，令，
则
，
当且仅当最小时，u取得最小值.
即点Q到线段AB中点D距离最小，
因为点Q在直线l上，所以点Q是点D在直线l上的射影，
此时DQ是点D到直线l的距离，由点到直线距离公式得
．
所以．
19．（1）证明见解析；（2）.
【详解】
（1）证明：如图，取BC的中点Q，连接PQ、AQ，因为是等边三角形，所以，
又平面平面ACDE，，平面平面ACDE=AC，所以面，又面，所以，
又，所以，又，所以面，
因为，又P是棱BD的中点，所以，，又，，
所以，，即四边形是一个平行四边形，所以，
所以平面BCD；
（2）由（1）得平面，所以以点Q为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量为，
由，
因为点M在线段上，设其坐标为，其中，
所以，
设平面的法向量为，
由，
由题意，设平面与平面所成的锐二面角为，
则或，因为，
所以，所以.
20．（1）；（2）
【详解】
解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系
则，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则，化为，
令，解得，．
．
设直线与平面所成的角为，则，
因为
直线与平面所成的角为．
（2）设平面的法向量，，，
则，，令，解得，．
．
点到平面的距离．
21．（1）；（2）．
【详解】
设，
由题意，
，可得，故垂心
；
由（1）知：，
由“三条高线交于一点”得：，
，又
，可设，代入，解得：
，
，
，可得，即，
∴，整理后得：
，
设的对称点，则有，且MN的中点在l上，
∴，整理得，解得，
∴N到直线BC的距离为
．
22．（1）证明见解析；（2）在线段上存在一点，.
【详解】
（1）在三棱柱中，四边形为平行四边形，
，所以，四边形为菱形，
连接，则，又，且，平面，
平面，，
又，即，，平面，
平面，平面平面；
（2）以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴，面内过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，
、、、，
设在线段上存在一点，满足，使得二面角的余弦值为，则，
，
，，
设平面的一个法向量为，由，
取，可得，，得，
平面的一个法向量为，
由，
整理可得，即，
，解得.
故在线段上存在一点，满足，使二面角的余弦值为．