河南省信阳市高中2021-2022学年高二上学期9月月考数学（理）试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 河南省信阳市高中2021-2022学年高二上学期9月月考数学（理）试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 592.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-28 16:25:17 | ||
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文档简介
信阳市高级中学2021-2022学年高二上学期9月月考
数学（理）试题
一．选择题（共12小题）
1．已知集合A＝{x|y＝ln（1﹣x）}，B＝{x|≤0}，则A∩B＝（ ）
A．（1，2]
B．（0，2]
C．[0，1）
D．（0，1）
2．已知F1，F2分别是椭圆＝1的左、右焦点，点P在此椭圆上，则△PF1F2的周长是（ ）
A．20
B．18
C．16
D．14
3．已知实数x，y满足不等式组，目标函数的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．用数学归纳法证明1+2+3+…+n2＝，则当n＝k+1时左端应在n＝k的基础上加上（ ）
A．k2+1
B．（k+1）2
C．
D．（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2
5．执行如图所示的程序框图，则输出的数值是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．在△ABC中，已知A，B，C成等差数列，且b＝，则＝（ ）
A．2
B．
C．
D．
7．函数y＝4x+4﹣x+2x﹣2﹣x的最小值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．
8．设a＝cos6°﹣sin6°，b＝，c＝，则有（ ）
A．a＞b＞c
B．a＜b＜c
C．a＜c＜b
D．b＜c＜a
9．直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E为BB′的中点．异面直线CE与C′A所成角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．下列说法中正确的个数是（ ）
（1）命题“所有幂函数f（x）＝xα的图象经过点（1，1）”．
（2）“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆否命题是真命题．
（3）若非零向量满足，则与的夹角为锐角．
（4）命题“?x＞0，2020x+2021＞0”的否定是“?x0≤0，”．
（5）命题“a，b∈R，则a2+b2≥4是|a|+|b|≥2的充分不必要条件”．
A．2
B．3
C．4
D．5
11．在△ABC中，点D是AC上一点，且＝4，P为BD上一点，向量＝λ+μ（λ＞0，μ＞0），则+的最小值为（ ）
A．16
B．8
C．4
D．2
12．如图，A1，A2为椭圆+＝1的长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于A1，A2的三点，直线QA1，QA2，OS，OT围成一个平行四边形OPQR，则|OS|2+|OT|2＝（ ）
A．5
B．3+
C．9
D．14
二．填空题（共4小题）
13．函数y＝sinx﹣cosx的图象可由函数y＝sinx+cosx的图象至少向右平移
个单位长度得到．
14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝
m．
15．已知F1，F2为椭圆C：+＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为
．
16．已知△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则的取值范围为
．
三．解答题（共6小题）
17．某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电进行了调查，通过抽样，获得了某年100户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照[0，100），[100，200），[200，300），[300，400），[400，500），[500，600），[600，700），[700，800），[800，900]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中m的值并估计居民月均用电量的中位数；
（Ⅱ）现从第8组和第9组的居民中任选取2户居民进行访问，则两组中各有一户被选中的概率．
18．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
（1）求；
（2）若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
19．已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+4（a∈R）．
（1）关于x的不等式f（x）≤4﹣2a的解集恰好为[2，5]，求a的值；
（2）若对任意的x∈[1，4]，f（x）+a+1≥0恒成立，求实数a的取值范围．
20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°．
（1）证明：AB⊥A1C；
（2）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值大小．
21．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣2n+1+2（n∈N
）．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝，若Tn＝b1+b2+b3+…+bn，求Tn．
22．已知椭圆+＝1的离心率e＝．
（1）若＝3，求椭圆方程；
（2）直线l过点C（﹣1，0）交椭圆于A、B两点，且满足：＝3，试求△OAB面积的最大值．
信阳市高级中学2021-2022学年高二上学期9月月考
数学（理）答案
一．选择题（共12小题）
1．D；
2．B；
3．D；
4．D；
5．C；
6．B；
7．D；
8．C；
9．D；
10．B；
11．A；
12．D；
二．填空题（共4小题）
13．；
14．100；
15．8；
16．[2，]；
三．解答题（共6小题）
17.解：（Ⅰ）1﹣100×（0.0004+0.0008+0.0021+0.0025+0.0006+0.0004+0.0002）＝2m×100，
∴m＝0.0015．
设中位数是x度，前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25＝0.73＞0.5，
而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21＝0.48＜0.5，
所以400＜x＜500，，
故x＝408，即居民月均用电量的中位数为408度．
（Ⅱ）第8组的户数为0.0004×100×100＝4，分别设为A1，A2，A3，A4，
第9组的户数为0.0002×100×100＝2，分别设为B1，B2，
则从中任选出2户的基本事件为：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），
（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），
（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）共15种．
其中两组中各有一户被选中的基本事件为：
（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），
（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2）共8种．
所以第8，9组各有一户被选中的概率．
18．解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，
∵＝＝2，
∴BD＝2DC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
在△ABD中，＝，∴sin∠B＝，
在△ADC中，＝，∴sin∠C＝；
∴＝＝．…6分
（2）由（1）知，BD＝2DC＝2×＝．
过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，
∵AD平分∠BAC，
∴DM＝DN，
∴＝＝2，
∴AB＝2AC，
令AC＝x，则AB＝2x，
∵∠BAD＝∠DAC，
∴cos∠BAD＝cos∠DAC，
∴由余弦定理可得：＝，
∴x＝1，
∴AC＝1，
∴BD的长为，AC的长为1．
19．解：（1）f（x）≤﹣2a+4，即x2﹣（a+2）x+2a≤0，
即为（x﹣a）（x﹣2）≤0，当a＞2时，不等式解集为{x|2≤x≤a}；
当a＝2时，不等式解集为{x|x＝2}；当a＜2时，不等式解集为{x|a≤x≤2}．
又解集恰好为[2，5]，所以a＝5；
（2）对任意的x∈[1，4]，f（x）+a+1≥0恒成立，
即x2﹣（a+2）x+5+a≥0恒成立，
即对任意的x∈[1，4]，a（x﹣1）≤x2﹣2x+5恒成立．
①x＝1时，不等式为0≤4恒成立，此时a∈R；
②当x∈（1，4]时，，
由1＜x≤4，可得0＜x﹣1≤3，所以，
当且仅当时，即x﹣1＝2，x＝3时取“＝”，
所以a≤4．
综上可得a的取值范围是（﹣∞，4]．
20．解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°
∴AA1⊥AB，
∵三角形ABC中AB＝1，AC＝，∠ABC＝60°，
∴由正弦定理得＝，∠ACB＝30°
∴∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC；
∵AA1∩AC＝A
∴AB⊥面A1CA；
∵A1C?面A1CA；
∴AB⊥A1C；
（2）（理）如图，作AD⊥A1C交A1C于D点，连接BD，
由三垂线定理知BD⊥A1C，
∴∠ADB为二面角A﹣A1C﹣B的平面角．
在Rt△AA1C中，AD＝＝，
在Rt△BAD中，tan∠ADB＝＝，
∴cos∠ADB＝，
即二面角A﹣A1C﹣B的余弦值为
21解：（1）∵Sn＝2an﹣2n+1+2，①
∴当n＞1时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2n+2，②
①﹣②得：an＝2an﹣2an﹣1﹣2n，
∴an﹣2an﹣1＝2n，
∴﹣＝1，∵S1＝2a1﹣2，∴a1＝2，∴＝1，
∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴＝1+（n﹣1）×1＝n，
∴an＝n?2n；
（2）bn＝＝n?（）n．
Tn＝1?+2?（）2+3?（）3+???+（n﹣1）（）n﹣1+n?（）n①，
∴Tn＝1?（）2+2?（）3+???+（n﹣1）（）n+n?（）n+1②，
①﹣②得：Tn＝+（）2+???+（）n﹣n?（）n+1
∴Tn＝1++（）2+???+（）n﹣1﹣n?（）n
＝﹣n?（）n＝2﹣（2+n）（）n．
22．解：（1）e＝＝，＝3，
可得a＝，c＝，b＝1，
即有椭圆的方程为+y2＝1；
（2）设过点C（﹣1，0）的直线l的方程为x＝my﹣1，
由＝，可设c＝t，a＝3t，b＝t，t＞0，
代入椭圆方程x2+3y2＝9t2可得，（3+m2）y2﹣2my+1﹣9t2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
y1+y2＝，y1y2＝，
即有|AB|＝＝?，
＝?，
点O到直线l的距离d＝．
即有S△OAB＝d|AB|＝，
由＝3，可得y1＝﹣3y2，
代入韦达定理，可得9t2＝，
则△OAB面积为＝≤＝，
当且仅当m＝±时，△OAB的面积取得最大值．
数学（理）试题
一．选择题（共12小题）
1．已知集合A＝{x|y＝ln（1﹣x）}，B＝{x|≤0}，则A∩B＝（ ）
A．（1，2]
B．（0，2]
C．[0，1）
D．（0，1）
2．已知F1，F2分别是椭圆＝1的左、右焦点，点P在此椭圆上，则△PF1F2的周长是（ ）
A．20
B．18
C．16
D．14
3．已知实数x，y满足不等式组，目标函数的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．用数学归纳法证明1+2+3+…+n2＝，则当n＝k+1时左端应在n＝k的基础上加上（ ）
A．k2+1
B．（k+1）2
C．
D．（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2
5．执行如图所示的程序框图，则输出的数值是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．在△ABC中，已知A，B，C成等差数列，且b＝，则＝（ ）
A．2
B．
C．
D．
7．函数y＝4x+4﹣x+2x﹣2﹣x的最小值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．
8．设a＝cos6°﹣sin6°，b＝，c＝，则有（ ）
A．a＞b＞c
B．a＜b＜c
C．a＜c＜b
D．b＜c＜a
9．直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E为BB′的中点．异面直线CE与C′A所成角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．下列说法中正确的个数是（ ）
（1）命题“所有幂函数f（x）＝xα的图象经过点（1，1）”．
（2）“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆否命题是真命题．
（3）若非零向量满足，则与的夹角为锐角．
（4）命题“?x＞0，2020x+2021＞0”的否定是“?x0≤0，”．
（5）命题“a，b∈R，则a2+b2≥4是|a|+|b|≥2的充分不必要条件”．
A．2
B．3
C．4
D．5
11．在△ABC中，点D是AC上一点，且＝4，P为BD上一点，向量＝λ+μ（λ＞0，μ＞0），则+的最小值为（ ）
A．16
B．8
C．4
D．2
12．如图，A1，A2为椭圆+＝1的长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于A1，A2的三点，直线QA1，QA2，OS，OT围成一个平行四边形OPQR，则|OS|2+|OT|2＝（ ）
A．5
B．3+
C．9
D．14
二．填空题（共4小题）
13．函数y＝sinx﹣cosx的图象可由函数y＝sinx+cosx的图象至少向右平移
个单位长度得到．
14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝
m．
15．已知F1，F2为椭圆C：+＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为
．
16．已知△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则的取值范围为
．
三．解答题（共6小题）
17．某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电进行了调查，通过抽样，获得了某年100户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照[0，100），[100，200），[200，300），[300，400），[400，500），[500，600），[600，700），[700，800），[800，900]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中m的值并估计居民月均用电量的中位数；
（Ⅱ）现从第8组和第9组的居民中任选取2户居民进行访问，则两组中各有一户被选中的概率．
18．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
（1）求；
（2）若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
19．已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+4（a∈R）．
（1）关于x的不等式f（x）≤4﹣2a的解集恰好为[2，5]，求a的值；
（2）若对任意的x∈[1，4]，f（x）+a+1≥0恒成立，求实数a的取值范围．
20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°．
（1）证明：AB⊥A1C；
（2）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值大小．
21．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣2n+1+2（n∈N
）．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝，若Tn＝b1+b2+b3+…+bn，求Tn．
22．已知椭圆+＝1的离心率e＝．
（1）若＝3，求椭圆方程；
（2）直线l过点C（﹣1，0）交椭圆于A、B两点，且满足：＝3，试求△OAB面积的最大值．
信阳市高级中学2021-2022学年高二上学期9月月考
数学（理）答案
一．选择题（共12小题）
1．D；
2．B；
3．D；
4．D；
5．C；
6．B；
7．D；
8．C；
9．D；
10．B；
11．A；
12．D；
二．填空题（共4小题）
13．；
14．100；
15．8；
16．[2，]；
三．解答题（共6小题）
17.解：（Ⅰ）1﹣100×（0.0004+0.0008+0.0021+0.0025+0.0006+0.0004+0.0002）＝2m×100，
∴m＝0.0015．
设中位数是x度，前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25＝0.73＞0.5，
而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21＝0.48＜0.5，
所以400＜x＜500，，
故x＝408，即居民月均用电量的中位数为408度．
（Ⅱ）第8组的户数为0.0004×100×100＝4，分别设为A1，A2，A3，A4，
第9组的户数为0.0002×100×100＝2，分别设为B1，B2，
则从中任选出2户的基本事件为：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），
（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），
（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）共15种．
其中两组中各有一户被选中的基本事件为：
（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），
（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2）共8种．
所以第8，9组各有一户被选中的概率．
18．解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，
∵＝＝2，
∴BD＝2DC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
在△ABD中，＝，∴sin∠B＝，
在△ADC中，＝，∴sin∠C＝；
∴＝＝．…6分
（2）由（1）知，BD＝2DC＝2×＝．
过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，
∵AD平分∠BAC，
∴DM＝DN，
∴＝＝2，
∴AB＝2AC，
令AC＝x，则AB＝2x，
∵∠BAD＝∠DAC，
∴cos∠BAD＝cos∠DAC，
∴由余弦定理可得：＝，
∴x＝1，
∴AC＝1，
∴BD的长为，AC的长为1．
19．解：（1）f（x）≤﹣2a+4，即x2﹣（a+2）x+2a≤0，
即为（x﹣a）（x﹣2）≤0，当a＞2时，不等式解集为{x|2≤x≤a}；
当a＝2时，不等式解集为{x|x＝2}；当a＜2时，不等式解集为{x|a≤x≤2}．
又解集恰好为[2，5]，所以a＝5；
（2）对任意的x∈[1，4]，f（x）+a+1≥0恒成立，
即x2﹣（a+2）x+5+a≥0恒成立，
即对任意的x∈[1，4]，a（x﹣1）≤x2﹣2x+5恒成立．
①x＝1时，不等式为0≤4恒成立，此时a∈R；
②当x∈（1，4]时，，
由1＜x≤4，可得0＜x﹣1≤3，所以，
当且仅当时，即x﹣1＝2，x＝3时取“＝”，
所以a≤4．
综上可得a的取值范围是（﹣∞，4]．
20．解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°
∴AA1⊥AB，
∵三角形ABC中AB＝1，AC＝，∠ABC＝60°，
∴由正弦定理得＝，∠ACB＝30°
∴∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC；
∵AA1∩AC＝A
∴AB⊥面A1CA；
∵A1C?面A1CA；
∴AB⊥A1C；
（2）（理）如图，作AD⊥A1C交A1C于D点，连接BD，
由三垂线定理知BD⊥A1C，
∴∠ADB为二面角A﹣A1C﹣B的平面角．
在Rt△AA1C中，AD＝＝，
在Rt△BAD中，tan∠ADB＝＝，
∴cos∠ADB＝，
即二面角A﹣A1C﹣B的余弦值为
21解：（1）∵Sn＝2an﹣2n+1+2，①
∴当n＞1时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2n+2，②
①﹣②得：an＝2an﹣2an﹣1﹣2n，
∴an﹣2an﹣1＝2n，
∴﹣＝1，∵S1＝2a1﹣2，∴a1＝2，∴＝1，
∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴＝1+（n﹣1）×1＝n，
∴an＝n?2n；
（2）bn＝＝n?（）n．
Tn＝1?+2?（）2+3?（）3+???+（n﹣1）（）n﹣1+n?（）n①，
∴Tn＝1?（）2+2?（）3+???+（n﹣1）（）n+n?（）n+1②，
①﹣②得：Tn＝+（）2+???+（）n﹣n?（）n+1
∴Tn＝1++（）2+???+（）n﹣1﹣n?（）n
＝﹣n?（）n＝2﹣（2+n）（）n．
22．解：（1）e＝＝，＝3，
可得a＝，c＝，b＝1，
即有椭圆的方程为+y2＝1；
（2）设过点C（﹣1，0）的直线l的方程为x＝my﹣1，
由＝，可设c＝t，a＝3t，b＝t，t＞0，
代入椭圆方程x2+3y2＝9t2可得，（3+m2）y2﹣2my+1﹣9t2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
y1+y2＝，y1y2＝，
即有|AB|＝＝?，
＝?，
点O到直线l的距离d＝．
即有S△OAB＝d|AB|＝，
由＝3，可得y1＝﹣3y2，
代入韦达定理，可得9t2＝，
则△OAB面积为＝≤＝，
当且仅当m＝±时，△OAB的面积取得最大值．
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