河南省信阳市高中2021-2022学年高二上学期9月月考数学（文）试题（Word版含答案）

信阳市高级中学2021-2022学年高二上学期9月月考
文科数学
9.26
一?选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知直线的倾斜角为，则（
）
A．
B．
C．
D．1
3．下列说法正确的是（
）
A．若则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4．已知等差数列的前n项和为，且，，则取得最大值时（
）
A．14
B．15
C．16
D．17
5．已知为奇函数，且，当时，，则（
）
A．2
B．
C．
D．9
6．已知,则λ是“与的夹角为钝角”_____条件（
）
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
7．在一次53.5公里的自行车个人赛中，25名参赛选手的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，现将参赛选手按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中选取5人，已知选手甲的成绩为85分钟，若甲被选取，则被选取的5名选手的成绩的平均数为（
）
A．93.6
B．94.6
C．95.6
D．97
8．要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性，动植物死亡后，停止新陈代谢，不再产生，且原有的会自动衰变.经科学测定，的半衰期为5730年(设的原始量为1，经过x年后，的含量即)，现有一古物，测得其的原始量的79.37%，则该古物距今约多少年？(参考数据：，)（
）
A．17190
B．9168
C．3581
D．1910
9．若函数的一条对称轴为，则下列四个命题
（1）函数的一个对称中心为；
（2）函数在上单调递减；
（3）将函数图象向右平移个单位，得到的函数为奇函数；
（4）若函数在区间上有两个不同的实根，，则.
其中正确的命题有（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
10．在圆内任取一点，则该点到直线的距离小于1的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知外接圆的圆心为，，，为钝角，是边的中点，则（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
12．如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱中，，，?分别在?上移动，始终保持平面，设，，则函数的图象大致是（
）
A．B．C．D．
二?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知两个单位向量，的夹角为，，若，则_______．
14．不恒为0的函数是奇函数，则的最小值为________．
设，满足约束条件且的最小值为7，则_______.
已知数列的前n项和为
,则=
.
三?解答题：17题10分，其余每题12分，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
设函数的定义域为设，，不等式对上恒成立，如果命题“”为真命题，命题“”为假命题，求实数的取值范围．
18．某中学某社团为研究高三学生课下钻研数学时间与数学考试中的解答题得分的关系，随机调查了某中学高三某班6名学生每周课下钻研数学时间（单位：小时）与高三下学期期中考试数学解答题得分，数据如表：
2
4
6
8
10
12
30
38
44
48
50
54
（1）根据上述数据，求出数学考试中的解答题得分与该学生课下钻研数学时间的线性回归方程，并预测某学生每周课下钻研数学时间为7小时其数学考试中的解答题得分；
（2）从这6人中任选2人，求这2人中至少有1人课下钻研数学时间不低于8小时的概率．
参考公式：，其中，．
参考数据：，，．
19．已知各项均为正数的等差数列的公差为4，其前n项和为且为的等比中项
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和；
（3）求证：.
20．如图，平面，O是的中点，为等边三角形.
（1）证明：平面平面；
（2）若，P为的中点，Q为线段上的动点，判断三棱锥的体积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
21．在锐角中，角的对边分别是．
（1）求角；
（2）若，求面积的取值范围．
22．已知函数是偶函数，.
（1）若，求a的值；
（2）设函数.
①若函数有两个零点，且，求m的取值范围；
②若函数在区间上的最小值为，求m的值.
信阳市高级中学2021-2022学年高二上学期9月月考
文科数学参考答案
选择题（每题5分，共60分）
1.D
2.D
3.C
4.A
5.B
6.B
7.B
8.D
9.B
10.C
11.C
12.C
填空题（每题5分，共20分）
2
14.
15.3
16.
三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17.【答案】
解：命题为真命题时，恒成立，则，解得；
命题为真命题时，不等式对恒成立，
即对恒成立，
在上单调递增；；因此；
又命题“”为真命题，命题“”为假命题，所以一真一假；
当命题为真，命题为假时，，此时无解；
当命题为假，命题为真时，，
综上：.
18.【答案】（1），44；（2）.
解：（1）根据表中数据，计算，，
，，
所以与的线性回归方程为，
当时，，
预测某学生每周课下钻研数学时间为7小时其数学考试中的解答题得分为44分。
（2）设2人中至少有1人课下钻研数学时间不低于8小时事件为A，
所有基本事件如下：（2,4），（2,6），（2,8），（2,10），（2,12），（4,6），（4,8），（4,10），（4,12），（6,8），（6,10），（6,12），（8,10），（8,12），（10,12）共15个基本事件，
事件A包含（2,8），（2,10），（2,12），（4,8），（4,10），（4,12），（6,8），（6,10），（6,12），（8,10），（8,12），（10,12）共12个基本事件，
所以.
19.【答案】（1）；（2）；(3)证明见解析.
解：（1）因为数列是公差为4的等差数列，
所以．
又，所以，即，
解得或（舍去），所以．
（2）因为，
所以
．
(3),单调递增，n=1时，最小为，又>0,所以.
法二：（1）因为数列是公差为4的等差数列，且为.的等比中项，
所以，从而．
因为，所以，即，解得，所以．
后解法同上．
20.【答案】（1）证明见解析；（2）是定值，.
（1）证明：由题意可知，平面.
因为平面，所以.
又因为，所以.
因为平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）三棱锥的体积是定值.
取的中点M，连接，如图.
因为，所以.因为，所以.
因为平面平面，所以平面.
同理可证明平面.
因为，所以平面平面，
又平面，所以平面.
所以.
21.【答案】（1）；（2）．
解：（1）由，化简得，
因为为锐角三角形，所以，所以，又因为，所以．
（2）因为，
由正弦定理，可得，
因为，可得，所以，
由正弦定理得，
所以
，
由为锐角三角形，且，得，所以，
所以，所以，
因为的面积，所以，
即面积的取值范围是．
22.【答案】（1）；（2）①；②或.
解：（1）因为是偶函数，所以对于恒成立，
化简后得，故，即.
所以，
由得，，即，
注意到，所以，所以.
（2）①由（1）得，
所以
令，所以，
因为在实数集R上递增，所以当时，相应的，当时，相应的，
因为函数有两个零点，且，
所以函数有两个零点，且，
所以所以所以
②，
因为，所以
1.当时，即时，在上递增，所以，
所以或（舍去）；
2.当时，即时，在上递减，在上递增，
所以，所以；
3.时，即时，在上递减，
所以所以（舍去）.
综上所述：或.