第三章 圆锥曲线的方程综合测试——2021-2022学年第一学期人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析）

第三章
圆锥曲线的方程
一、单选题
1．椭圆与双曲线有相同的焦点，则a=（
）
A．-1
B．1
C．
D．2
2．已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．3
3．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（
）.
A．
B．
C．
D．
4．已知双曲线(，)，过其左焦点作轴的垂线，交双曲线于、两点，若双曲线的右顶点在以为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（
）.
A．
B．
C．
D．
5．已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则双曲线C的离心率为（
）
A．
B．2
C．3
D．4
6．直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
7．若椭圆或双曲线上存在点，使得点到两个焦点的距离之比为，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知双曲线的左焦点为，过点F且斜率为1的直线与双曲线C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于点，则双曲线C的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．2
二、多选题
9．若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为，则下列结论正确的是（
）
A．的渐近线上的点到距离的最小值为4
B．的离心率为
C．上的点到距离的最小值为2
D．过的最短的弦长为
10．过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，M为线段的中点，则下列结论正确的是（
）
A．以线段为直径的圆与直线相交
B．以线段为直径的圆与y轴相切
C．当时，
D．的最小值为4
11．已知双曲线的两个顶点分别为，，，的坐标分别为，，且四边形的面积为，四边形内切圆的周长为，则双曲线的方程可以为（
）
A．
B．
C．
D．
12．椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，则以下说法正确的是（
）
A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8
B．椭圆上存在点，使得
C．椭圆的离心率为
D．为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为3
三、填空题
13．已知直线与圆交于两点，则________
14．已知圆与抛物线的准线相切，则__________．
15．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若双曲线的左支上存在一点P，使得与双曲线的一条渐近线垂直于点H，且，则此双曲线的离心率为______.
16．已知为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，如果线段的中点在
轴上，且，则的值为________．
四、解答题
17．设椭圆经过点，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左，右顶点分别为，，过定点的直线与椭圆交于，两点（与，不重合），证明：直线，的交点的横坐标为定值．
18．已知椭圆，，为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线，过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线分别交直线、直线于、两点，当最小时，求直线的方程．
19．已知是以，为焦点的双曲线上的一点，且，．
（1）求双曲线的离心率；
（2）过点作直线分别与双曲线两渐近线相交于，两点，若（为坐标原点），，求双曲线的标准方程．
20．已知椭圆：过点，且离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于，两点，，求的面积．
参考答案
1．B
【解析】由双曲线知：且，而其与椭圆有相同焦点，
∴且，解得，故选：B
2．C
【解析】∵双曲线的一条渐近线经过点，∴，
∴，可得，所以．故选：C．
3．C
【解析】抛物线的焦点，则双曲线的一个焦点为，则，且该双曲线的焦点在轴上，，解得，
所以，双曲线的标准方程为，该双曲线的渐近线方程为.故选：C.
4．B
【解析】将代入可得，
所以以为直径的圆的半径为，圆心为，
圆的方程为，右顶点为，
因为双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，
所以，整理得，即，
解得，因为，所以.故选：B.
5．B
【解析】双曲线的渐近线为
因为两条渐近线均与圆相切，
所以点到直线的距离等于半径
即，又因为整理得到，
故双曲线C的离心率为.故选：B.
6．A
【解析】当，此时圆心到MN的距离
要使得，则要求，故，解得，故选A．
7．C
【解析】，则，若是椭圆，则，，，若是双曲线，则，，
A中椭圆，，，，，不存在；
B中椭圆，，，，，不存在
C中双曲线，，双曲线上点到到右焦点距离的最小值是，
，，，构成，存在“点”，
D中双曲线，，，，，，不存在
故选：C．
8．D
【解析】设线段AB的中点坐标为，则有，
设，代入双曲线方程有，两式相减得，
，
可得，即，.故选:D.
9．AC
【解析】由题意知，，即，因为，所以，解得，所以右焦点为为，双曲线的渐近线方程为，
对于选项A：由点向双曲线的渐近线作垂线时，垂线段的长度即为的渐近线上的点到距离的最小值，由点到直线的距离公式可得，，
故选项A正确；
对于选项B：因为，所以双曲线的离心率为，故选项B错误；
对于选项C：当双曲线上的点为其右顶点时，此时双曲线上的点到的距离最小为，故选项C正确；
对于选项D：过点且斜率为零的直线与双曲线的交点为，此时为过点的最短弦为，故选项D错误.
故选：AC
10．ACD
【解析】的焦点，准线方程为，
设，，在准线上的射影为，，，
由，，，
可得线段为直径的圆与准线相切，与直线相交，故A对；
当直线的斜率不存在时，显然以线段为直径的圆与轴相切；
当直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为，联立，可得，设，，，，
可得，，设，，
可得的横坐标为，的中点的横坐标为，，
当时，的中点的横坐标为，，显然以线段为直径的圆与轴相交，故B错；
，，则，故C正确；
显然当直线垂直于轴，可得取得最小值4，故D正确．
故选：ACD．
11．AB
【解析】因为四边形的面积为，
所以，整理得，
记四边形内切圆半径为r，则，得．
又，所以，
又，联立可得，或，
所以双曲线的方程为或．
故选：AB.
12．ABD
【解析】对于选项：由椭圆定义可得：，因此的周长为，所以选项正确；
对于选项：设，则，且，又，，
所以，，
因此，
解得，，故选项正确；
对于选项：因为，，所以，即，所以离心率，所以选项错误；
对于选项：设，，则点到圆的圆心的距离为，
因为，所以，
所以选项正确，
故选：ABD．
13．
【解析】圆可化为
即圆心坐标为，半径
圆心到直线的距离
故
14．2
【解析】，圆心为，半径为4，抛物线准线为，由圆与直线相切可知
15．.
【解析】设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为：
，，
一条渐近线方程为，
可得到渐近线的距离为，，
则，，
在直角三角形中，，
在中，可得
，化为，即有，
16．7.
【解析】∵原点O是F1F2的中点，∴PF2平行y轴，即PF2垂直于x轴
∵c=3，∴|F1F2|=6，设|PF1|=x，根据椭圆定义可知
∴，解得，∴|PF2|=，∵|PF1|=t|PF2|，∴t=7.
17．【解析】（1）由题意知，，解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设过点的直线方程为，
代入椭圆的方程，整理得，
因为，
设，，，
则，
①，
由（1）得，，
则直线的方程为，直线的方程为，
联立两直线方程，消去，整理得，
②
将，代入②，
整理得
③，
把①式代入③，整理得，
所以直线，的交点的横坐标为定值．
18．【解析】（1）设，则，则，
∴，则由椭圆定义，
∴，则，
故椭圆的标准方程为；
（2）由题意直线的斜率必定不为零，于是可设直线，
联立方程得，
∵设，，由题意，，
由韦达定理，，
则，∴，
∵，∴，∴，
又，
∴，
当且仅当即时取等号．
此时直线的方程为或．
19．【解析】（1）不妨设点在第一象限
，，，．
，，．
（2）由（1），知双曲线的方程为，则渐近线的方程为．
不妨设，，，，．
，．点在双曲线上，，化简，得，，，双曲线的标准方程为．
20．【解析】（1）将代入椭圆方程可得，即①
因为离心率，即，②
由①②解得，，
故椭圆的标准方程为．
（2）由题意可得，，设直线的方程为．
将直线的方程代入中，得，
设，，则，．
所以，，
所以
由，解得，所以，，
因此．