1.1.1变化率问题与导数的概念

(共16张PPT)
变 化 率 问 题
与导数的概念
问题1.气球平均膨胀率.
吹气球时,会发现:随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢,能从数学的角度解释这一现象吗
解:可知:V(r)= πr3
即：r(V)=
当空气容量Ｖ从０增加１Ｌ时，半径增加了
r(1)－r(0)= 0.62
气球平均膨胀率：
问题1.气球平均膨胀率.
当空气容量Ｖ从１加２Ｌ时，半径增加了
r(２)－r(１)= 0.１６
气球平均膨胀率：
可以看出，随着气球体积变大，它的平均
膨胀率变小．
思考：当空气容量从V1增加到V2 时,气球的平均膨胀率是多少呢
问题2.平均速度.
物体自由落体的运动方程是:
S(t)= gt2,
1
2
求１s到２s时的平均速度．
解： S2－S1= =14.7
t2－t1= 1
V =
问题2.平均速度.
思考：求t1s到t2s时的平均速度．
V =
平均变化率
如果上述的两个函数关系用f(x)表示
那么当自变量x从x1变化到x2时，
函数值就从y1变化到y2
则函数f(x)从x1到x2的
平均变化率：
它的几何意义是什么呢？
问题３：瞬时速度
物体自由落体的运动方程是:
S(t)= gt2,
1
2
如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？
能否用求平均速度的方法求某一时刻的瞬时速度？
（我们可以取t=3临近时间间隔内的　　平均速度当作t=3时刻的平均速度，不过时间隔要很小很小）
问题３：瞬时速度
物体自由落体的运动方程是:
S(t)= gt2,
1
2
如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？
解：取一小段时间：［3,3+△t]
△Ｓ=
g(3+△t)2－
g
V =
△Ｓ
△t
(6+△t)
问题３：瞬时速度
解：取一小段时间：［3,3+△t]
△Ｓ=
g(3+△t)2－
g
V =
△Ｓ
△t
(6+△t)
当△t 0时，
v 3g =29.4
（平均速度的极限为瞬时速度）
瞬时速度：
（平均速度的极限为瞬时速度）
即：lim
△t 0
S(3+△t)－S(3)
△t
= 29.4
思考：在t0时刻的瞬时速度呢？
lim
△t 0
S(t0+△t)－S(t0)
△t
瞬时变化率：
思考：我们利用平均速度的极限求得瞬时速度，那么如何求函数f(x)在x=x0点的瞬时变化率呢？
可知:函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率为：
lim
△x 0
f(x0+△x)－f(x0)
△x
lim
△x 0
△f
△x
=
导数
函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率为：
lim
△x 0
f(x0+△x)－f(x0)
△x
lim
△x 0
△f
△x
=
我们称它为函数f(x)在x=x0处的导数．
记作：f’(x0)=
lim
△x 0
f(x0+△x)－f(x0)
△x
小结：由定义知，求f(x)在x0处的导数步骤为：
例1.求y=x2在点x=1处的导数．
解：
小结：
１．平均速度　　　瞬时速度；
２．平均变化率　　　瞬时变化率；
３．导数
f’(x0)=
lim
△x 0
f(x0+△x)－f(x0)
△x