高中数学人教A版选修（2—1）第二章2.2双曲线测试题（含解析答案）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版选修（2—1）第二章2.2双曲线测试题（含解析答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 93.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-07-21 09:47:11 | ||
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文档简介
高中数学人教A版选修（2—1）第二章2.2双曲线测试题（含解析答案）
一、选择题
1．双曲线的范围是 （ ）
A． B． C． D．
C提示：。
2.已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为 （ ）
A． B． C． D．
A提示:因为,则,焦点在轴上。
3．实轴长为4且过点A(2，－5)的双曲线的标准方程是 （ ）
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
B提示：依题意，a＝2，排除C、D，由点A在曲线上，排除A，故选B.
4．“”是“方程表示双曲线”的 （ ）
(A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件
(C) 充分必要条件 (D) 即不充分也不必要条件
C提示：由得异号，所以方程表示双曲线，反之亦然。
5．已知定点A、B且|AB|=4，动点P满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
C提示: P的轨迹是双曲线右支,其方程是,当P是双曲线左 顶点时|PA|最小。
6．已知双曲线的一条渐进线与直线垂直，则此双曲线的离心率是 （ ）
A． B． C． D．
A提示：渐进线方程为，则，即。
7．已知双曲线的方程为，点A、B在双曲线的右支上，线段 AB经过双曲线的右焦点，，另一焦点为，则的周长为（ ） A. B. C. D.
B 提示：
8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 （ ）
A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
解析 C 由已知e＝＝，即＝，又c2＝a2＋b2，∴＝，得＝，∴ ＝±.∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
9.双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为、，，则双曲线的离心率为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
B提示：设O为原点，则为直角三角形且，。
10．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为 （ ）
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
A提示：依题意：∴c＝5，焦点为(±5,0)．由双曲线定义，C2为双曲
线，且a＝4，c＝5，b2＝9，故选A.
11．已知点、，动点P满足. 当点P的纵坐标是 时，点P到坐标原点的距离是 （ ）
(A) (B) (C) (D)2
A提示：由双曲线定义可知P的轨迹为双曲线的右支，其方程可求得
时，代入得。
12.已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 ( )
（A） （B） （C） （D）
C 提示：。
二、填空题
13．双曲线上一点P到它的一个焦点的距离为17,则点P到另一个焦 点的距离为 ．
1或33 提示：由定义得,又,或33。
14．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是_______。
提示：且。
15．已知双曲线与椭圆＋＝1共焦点，它们的离心率之和为，则此双曲线方程是 _____ ．
－＝1
提示：由椭圆＋＝1得焦点(0，±4)，e1＝，∴双曲线的离心率e2＝－＝2，
∴＝2，∴a＝2，b2＝12，∴方程为－＝1.
16．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点为F1、F2，M为双曲线上一点，以F1F2为 直径的圆与双曲线的一个交点为M，且tan ∠MF1F2＝，则双曲线的离心率为 ．
提示：由题意知△MF1F2为直角三角形，tan ∠MF1F2＝，则＝，|MF1|＝
2|MF2|，由双曲线的定义可知，|MF1|－|MF2|＝2a，故|MF2|＝2a，|MF1|＝4a，|F1F2|2
＝|MF1|2＋|MF2|2＝20a2，∴|F1F2|＝2c＝2a，e＝＝.
三、解答题
17．根据下列条件求双曲线的标准方程．
(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，且过点M；
(2)与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝.
解析 (1)∵双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，
∴可设双曲线的方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)．
又∵双曲线过点M，∴λ＝4×－9＝72.
∴双曲线方程为4x2－9y2＝72，即－＝1.
(2)方法一(设标准方程)
由椭圆方程可得焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，即c＝5且焦点在x轴上，
∴可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，且c＝5.
又e＝＝，∴a＝4，∴b2＝c2－a2＝9.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
方法二(设共焦点双曲线系方程)
∵椭圆的焦点在x轴上，
∴可设双曲线方程为－＝1(24<λ<49)．
又e＝，∴＝－1，解得λ＝33.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近 线的直线与双曲线交于点B，求△AFB的面积。
解析: ∵－＝1， ∴A(3,0)，F(5,0)，渐近线方程为y＝±x.
设l：y＝(x－5)，与－＝1联立可求得xB＝，
∴yB＝－，
∴S△AFB＝|AF||yB|＝×(c－a)×＝×2×＝.
19．在双曲线中，设，直线过点和，原点到直
线的距离为为半焦距），求双曲线的离心率。
解：由题意知，直线的方程为，即，
由点线距离公式得，又
，即，两边除以，得
，解得或，
又，，即，。
20．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，求双曲线
的方程．
解析 法一：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵渐近线的方程为y＝±x，且焦点都在圆x2＋y2＝100上，
∴解得
∴双曲线的方程为－＝1；
当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵渐近线的方程为y＝±x，且焦点都在圆x2＋y2＝100上，
∴解得
∴双曲线的方程为－＝1.
综上，所求双曲线的方程为－＝1或－＝1.
法二：设双曲线的方程为42x2－32y2＝λ(λ≠0)，
从而有2＋2＝100，解得λ＝±576.
故双曲线的方程为－＝1或－＝1.
21.已知平行于直线2x－y＋1＝0的直线l与双曲线－＝1交于A、B两点，且|AB|＝4.
(1)求直线l的方程； (2)求△AOB的面积(O是坐标原点)．
解析 (1)设直线l的方程为2x－y＋m＝0.
由得2x2－3(2x＋m)2－6＝0，
即10x2＋12mx＋3m2＋6＝0， ∴
∴|AB|＝×
＝×＝×＝4.
∴m＝±.
又Δ＝144m2－40(3m2＋6)>0，即m2>10，
∴m＝±均符合题意．
∴直线l的方程为2x－y±＝0
22.设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另外一个外切．
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点M，F(，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此 时点P的坐标．
解析:(1) 两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心分别为F1(－，0)、F2(，0)，
由题意得R＝|CF1|－2＝|CF2|＋2或R＝|CF2|－2＝|CF1|＋2，
∴||CF1|－|CF2||＝4<2＝|F1F2|，
可知圆心C的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，
设方程为－＝1(a>0，b>0)，
则2a＝4，a＝2，c＝，b2＝c2－a2＝1，b＝1，
所以轨迹L的方程为－y2＝1.
(2)∵||MP|－|FP||≤|MF|＝2，当且仅当＝λ(λ>0)时取“＝”，
由kMF＝－2知直线lMF：y＝－2(x－)，
联立－y2＝1并整理得15x2－32x＋84＝0，
解得x＝或x＝(舍去)，此时P.
所以||MP|－|FP||的最大值为2，此时点P的坐标为.
一、选择题
1．双曲线的范围是 （ ）
A． B． C． D．
C提示：。
2.已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为 （ ）
A． B． C． D．
A提示:因为,则,焦点在轴上。
3．实轴长为4且过点A(2，－5)的双曲线的标准方程是 （ ）
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
B提示：依题意，a＝2，排除C、D，由点A在曲线上，排除A，故选B.
4．“”是“方程表示双曲线”的 （ ）
(A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件
(C) 充分必要条件 (D) 即不充分也不必要条件
C提示：由得异号，所以方程表示双曲线，反之亦然。
5．已知定点A、B且|AB|=4，动点P满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
C提示: P的轨迹是双曲线右支,其方程是,当P是双曲线左 顶点时|PA|最小。
6．已知双曲线的一条渐进线与直线垂直，则此双曲线的离心率是 （ ）
A． B． C． D．
A提示：渐进线方程为，则，即。
7．已知双曲线的方程为，点A、B在双曲线的右支上，线段 AB经过双曲线的右焦点，，另一焦点为，则的周长为（ ） A. B. C. D.
B 提示：
8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 （ ）
A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
解析 C 由已知e＝＝，即＝，又c2＝a2＋b2，∴＝，得＝，∴ ＝±.∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
9.双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为、，，则双曲线的离心率为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
B提示：设O为原点，则为直角三角形且，。
10．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为 （ ）
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
A提示：依题意：∴c＝5，焦点为(±5,0)．由双曲线定义，C2为双曲
线，且a＝4，c＝5，b2＝9，故选A.
11．已知点、，动点P满足. 当点P的纵坐标是 时，点P到坐标原点的距离是 （ ）
(A) (B) (C) (D)2
A提示：由双曲线定义可知P的轨迹为双曲线的右支，其方程可求得
时，代入得。
12.已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 ( )
（A） （B） （C） （D）
C 提示：。
二、填空题
13．双曲线上一点P到它的一个焦点的距离为17,则点P到另一个焦 点的距离为 ．
1或33 提示：由定义得,又,或33。
14．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是_______。
提示：且。
15．已知双曲线与椭圆＋＝1共焦点，它们的离心率之和为，则此双曲线方程是 _____ ．
－＝1
提示：由椭圆＋＝1得焦点(0，±4)，e1＝，∴双曲线的离心率e2＝－＝2，
∴＝2，∴a＝2，b2＝12，∴方程为－＝1.
16．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点为F1、F2，M为双曲线上一点，以F1F2为 直径的圆与双曲线的一个交点为M，且tan ∠MF1F2＝，则双曲线的离心率为 ．
提示：由题意知△MF1F2为直角三角形，tan ∠MF1F2＝，则＝，|MF1|＝
2|MF2|，由双曲线的定义可知，|MF1|－|MF2|＝2a，故|MF2|＝2a，|MF1|＝4a，|F1F2|2
＝|MF1|2＋|MF2|2＝20a2，∴|F1F2|＝2c＝2a，e＝＝.
三、解答题
17．根据下列条件求双曲线的标准方程．
(1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，且过点M；
(2)与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝.
解析 (1)∵双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，
∴可设双曲线的方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)．
又∵双曲线过点M，∴λ＝4×－9＝72.
∴双曲线方程为4x2－9y2＝72，即－＝1.
(2)方法一(设标准方程)
由椭圆方程可得焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，即c＝5且焦点在x轴上，
∴可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，且c＝5.
又e＝＝，∴a＝4，∴b2＝c2－a2＝9.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
方法二(设共焦点双曲线系方程)
∵椭圆的焦点在x轴上，
∴可设双曲线方程为－＝1(24<λ<49)．
又e＝，∴＝－1，解得λ＝33.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近 线的直线与双曲线交于点B，求△AFB的面积。
解析: ∵－＝1， ∴A(3,0)，F(5,0)，渐近线方程为y＝±x.
设l：y＝(x－5)，与－＝1联立可求得xB＝，
∴yB＝－，
∴S△AFB＝|AF||yB|＝×(c－a)×＝×2×＝.
19．在双曲线中，设，直线过点和，原点到直
线的距离为为半焦距），求双曲线的离心率。
解：由题意知，直线的方程为，即，
由点线距离公式得，又
，即，两边除以，得
，解得或，
又，，即，。
20．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，求双曲线
的方程．
解析 法一：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵渐近线的方程为y＝±x，且焦点都在圆x2＋y2＝100上，
∴解得
∴双曲线的方程为－＝1；
当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵渐近线的方程为y＝±x，且焦点都在圆x2＋y2＝100上，
∴解得
∴双曲线的方程为－＝1.
综上，所求双曲线的方程为－＝1或－＝1.
法二：设双曲线的方程为42x2－32y2＝λ(λ≠0)，
从而有2＋2＝100，解得λ＝±576.
故双曲线的方程为－＝1或－＝1.
21.已知平行于直线2x－y＋1＝0的直线l与双曲线－＝1交于A、B两点，且|AB|＝4.
(1)求直线l的方程； (2)求△AOB的面积(O是坐标原点)．
解析 (1)设直线l的方程为2x－y＋m＝0.
由得2x2－3(2x＋m)2－6＝0，
即10x2＋12mx＋3m2＋6＝0， ∴
∴|AB|＝×
＝×＝×＝4.
∴m＝±.
又Δ＝144m2－40(3m2＋6)>0，即m2>10，
∴m＝±均符合题意．
∴直线l的方程为2x－y±＝0
22.设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另外一个外切．
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点M，F(，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此 时点P的坐标．
解析:(1) 两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心分别为F1(－，0)、F2(，0)，
由题意得R＝|CF1|－2＝|CF2|＋2或R＝|CF2|－2＝|CF1|＋2，
∴||CF1|－|CF2||＝4<2＝|F1F2|，
可知圆心C的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，
设方程为－＝1(a>0，b>0)，
则2a＝4，a＝2，c＝，b2＝c2－a2＝1，b＝1，
所以轨迹L的方程为－y2＝1.
(2)∵||MP|－|FP||≤|MF|＝2，当且仅当＝λ(λ>0)时取“＝”，
由kMF＝－2知直线lMF：y＝－2(x－)，
联立－y2＝1并整理得15x2－32x＋84＝0，
解得x＝或x＝(舍去)，此时P.
所以||MP|－|FP||的最大值为2，此时点P的坐标为.