高中数学人教A版选修（2—1）第二章2.2抛物线测试题（含解析答案）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版选修（2—1）第二章2.2抛物线测试题（含解析答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 153.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-07-21 09:50:42 | ||
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文档简介
高中数学人教A版选修（2—1）第二章2.2抛物线测试题（含解析答案）
一、选择题
1．抛物线y＝2x2的准线方程为( )
A．y＝－ B．y＝－ C．y＝－ D．y＝－1
A提示：抛物线的标准方程为x2＝y，准线方程为y＝－.
2．设，抛物线的焦点坐标为 （ ）
（A） （B） （C） （D）随符号而定
C提示：化为标准方程
3．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4 B．6 C．8 D．12
B提示：由抛物线的方程得＝＝2，根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.
4．过抛物线的顶点O作互相垂直的两弦OM、ON，则M、N的横坐标与之积为 （ ）
（A）4 （B）16 （C）32 （D）64
B提示：设M、N的纵坐标分别为与，则有，又， ，代入得。
5．以抛物线的焦半径为直径的圆与轴位置关系为 （ ）
(A)相交 （B）相离 （C）相切 （D）不确定
C提示：利用抛物线的定义。
6．过抛物线焦点F的弦AB，点A、B在抛物线的准线上的射影分别是A、B，则为 ( )
（A）45° （B） 60° （C）90° （D）120°
C提示：由抛物线的定义及平行线性质知 。
7．抛物线与直线交于、两点，其中点的坐标为，设抛物线的焦点为，则等于（ ）
（A）7 （B） （C）6 （D） 5
A提示：由为两曲线的交点得∴∴
8．若AB是抛物线的一条过焦点F的弦，|AB|=20, AD、BC垂直于y轴，D、C分别为垂足，则梯形ABCD的中位线的长是 （ ）
（A）5 （B）10 （C） （D）
D提示：由定义及梯形中位线定理得中位线长等于。
9．在抛物线上有点Ｍ，它到直线y＝x的距离为４，如果点Ｍ的坐标为、，则的值为 （ ）
（A） （B） （C）１ （D）２
D提示：由已知得 ，，解得。
10．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
C提示：设PF中点为,则。
11．一个正三角形的三个顶点都在抛物线y2＝4x上，其中一个顶点在原点，则这个三
角形的面积是( )
A．48 B．24 C . D.
A提示：如图，设AB所在的直线方程为y＝x，
由得B点坐标为(12，4)，
∴S△ABC＝2S△ABD＝2××12×4＝48.
12．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O
为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x C．y2＝4x D．y2＝8x
B解析：y2＝ax的焦点坐标为，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2， 令x＝0得y＝－. ∴××＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.
二、填空题
13．已知抛物线与抛物线关于直线对称，则的准线方程是____________.
提示：由题意知的方程为，即，
14．圆心在抛物线上，且与轴和该抛物线的准线相切的圆方程是__________.
提示：设圆心为，由题意知，解得，故圆心为，
半径为1。
15．直线与抛物线交于A、B两点，F是抛物线的焦点，则的面积为 ．
提示： 的焦点为，由点线距离公式得F到该直线的距离为 ，由弦长公式得弦AB的长为5，。
16．抛物线上的点到直线的最近距离是 ．
提示：设与平行的直线与相切，把
代入，得 ①，令，得，代入①式得
，所以点到直线的距离最短。
三、解答题
17.点M与点的距离比它到直线的距离小1，求点M的轨迹方程。
解：由题意得点M与点的距离等于到直线的距离，
所以点M的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，
可设方程为，
所以M的轨迹方程为
18. 抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，并与双曲线的 实轴垂直，又双曲线与抛物线的一个交点是，求抛物线和双曲线的方程.
解：双曲线焦距是，
由题意设抛物线方程为，又点在其上，
即 ①
所以抛物线方程为
又 ②
联立①②解得(舍），或∴双曲线方程是。
19.求过定点且与抛物线只有一个公共点的直线方程。
解：（1）若直线斜率不存在，则过点的直线为，此直线符合题意。
（2）若直线斜率存在，设为，则方程为，代入消去得：
①当时，方程是一次方程，方程组只有一个解，
此时所求直线方程为；
②当时， 若直线与抛物线只有一个公共点，
则，
即所求直线方程为 ，即。
综上可知，所求直线方程为 或或。
20. 若抛物线上的两点关于直线对称且
，求的值。
解：设直线AB的方程是，代入得
即直线AB的方程是，
设AB的中点为，则，
代入得, 又在直线上，
,
21．A、B是抛物线上的两点，且（O为坐标原点），求证：
（1）A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别是都是定值；
（2）直线AB经过一个定点。
证明：（1）设，则
因为，所以
所以
即为定值。
也为定值。
（2） 又
所以直线AB的方程为
所以
由（1）可得
所以直线AB过定点。
22．如图，已知一次函数与二次函数的图像相交于两点，其中，且，点F（0，b），
（1）求的值
（2）求t关于的函数关系式
（3）当时，求以原点为中心，F为一个焦点，且过点
B的椭圆方程
解：① 由
=＝＝
② ,
而是方程的根，
③
，得 为焦点，故半焦距为。
设椭圆方程为，将B点坐标代入方程，
解得(舍去) 所求椭圆方程为
一、选择题
1．抛物线y＝2x2的准线方程为( )
A．y＝－ B．y＝－ C．y＝－ D．y＝－1
A提示：抛物线的标准方程为x2＝y，准线方程为y＝－.
2．设，抛物线的焦点坐标为 （ ）
（A） （B） （C） （D）随符号而定
C提示：化为标准方程
3．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4 B．6 C．8 D．12
B提示：由抛物线的方程得＝＝2，根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.
4．过抛物线的顶点O作互相垂直的两弦OM、ON，则M、N的横坐标与之积为 （ ）
（A）4 （B）16 （C）32 （D）64
B提示：设M、N的纵坐标分别为与，则有，又， ，代入得。
5．以抛物线的焦半径为直径的圆与轴位置关系为 （ ）
(A)相交 （B）相离 （C）相切 （D）不确定
C提示：利用抛物线的定义。
6．过抛物线焦点F的弦AB，点A、B在抛物线的准线上的射影分别是A、B，则为 ( )
（A）45° （B） 60° （C）90° （D）120°
C提示：由抛物线的定义及平行线性质知 。
7．抛物线与直线交于、两点，其中点的坐标为，设抛物线的焦点为，则等于（ ）
（A）7 （B） （C）6 （D） 5
A提示：由为两曲线的交点得∴∴
8．若AB是抛物线的一条过焦点F的弦，|AB|=20, AD、BC垂直于y轴，D、C分别为垂足，则梯形ABCD的中位线的长是 （ ）
（A）5 （B）10 （C） （D）
D提示：由定义及梯形中位线定理得中位线长等于。
9．在抛物线上有点Ｍ，它到直线y＝x的距离为４，如果点Ｍ的坐标为、，则的值为 （ ）
（A） （B） （C）１ （D）２
D提示：由已知得 ，，解得。
10．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
C提示：设PF中点为,则。
11．一个正三角形的三个顶点都在抛物线y2＝4x上，其中一个顶点在原点，则这个三
角形的面积是( )
A．48 B．24 C . D.
A提示：如图，设AB所在的直线方程为y＝x，
由得B点坐标为(12，4)，
∴S△ABC＝2S△ABD＝2××12×4＝48.
12．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O
为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x C．y2＝4x D．y2＝8x
B解析：y2＝ax的焦点坐标为，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2， 令x＝0得y＝－. ∴××＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.
二、填空题
13．已知抛物线与抛物线关于直线对称，则的准线方程是____________.
提示：由题意知的方程为，即，
14．圆心在抛物线上，且与轴和该抛物线的准线相切的圆方程是__________.
提示：设圆心为，由题意知，解得，故圆心为，
半径为1。
15．直线与抛物线交于A、B两点，F是抛物线的焦点，则的面积为 ．
提示： 的焦点为，由点线距离公式得F到该直线的距离为 ，由弦长公式得弦AB的长为5，。
16．抛物线上的点到直线的最近距离是 ．
提示：设与平行的直线与相切，把
代入，得 ①，令，得，代入①式得
，所以点到直线的距离最短。
三、解答题
17.点M与点的距离比它到直线的距离小1，求点M的轨迹方程。
解：由题意得点M与点的距离等于到直线的距离，
所以点M的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，
可设方程为，
所以M的轨迹方程为
18. 抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，并与双曲线的 实轴垂直，又双曲线与抛物线的一个交点是，求抛物线和双曲线的方程.
解：双曲线焦距是，
由题意设抛物线方程为，又点在其上，
即 ①
所以抛物线方程为
又 ②
联立①②解得(舍），或∴双曲线方程是。
19.求过定点且与抛物线只有一个公共点的直线方程。
解：（1）若直线斜率不存在，则过点的直线为，此直线符合题意。
（2）若直线斜率存在，设为，则方程为，代入消去得：
①当时，方程是一次方程，方程组只有一个解，
此时所求直线方程为；
②当时， 若直线与抛物线只有一个公共点，
则，
即所求直线方程为 ，即。
综上可知，所求直线方程为 或或。
20. 若抛物线上的两点关于直线对称且
，求的值。
解：设直线AB的方程是，代入得
即直线AB的方程是，
设AB的中点为，则，
代入得, 又在直线上，
,
21．A、B是抛物线上的两点，且（O为坐标原点），求证：
（1）A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别是都是定值；
（2）直线AB经过一个定点。
证明：（1）设，则
因为，所以
所以
即为定值。
也为定值。
（2） 又
所以直线AB的方程为
所以
由（1）可得
所以直线AB过定点。
22．如图，已知一次函数与二次函数的图像相交于两点，其中，且，点F（0，b），
（1）求的值
（2）求t关于的函数关系式
（3）当时，求以原点为中心，F为一个焦点，且过点
B的椭圆方程
解：① 由
=＝＝
② ,
而是方程的根，
③
，得 为焦点，故半焦距为。
设椭圆方程为，将B点坐标代入方程，
解得(舍去) 所求椭圆方程为