(共7张PPT)
习题2.6
北师版·九年级下册
1.
已知二次函数图象的顶点坐标是(2，3)，且经过点(－1，0)，求这个二次函数的表达式.
2．已知二次函数图象与x轴交点的横坐标为－2和1，且经过点（0，3），求这个二次函数的表达式.
3.
某高尔夫球手击出的高尔夫球的运动路线是一条抛物线，当球水平运动了24
m时，达到最高点；落球点比击球点的海拔低1
m，它们的水平距离为50
m.
（1）建立适当的直角坐标系，求球的高度h(m)
关于水平距离x
(m）的二次函数表达式；
（2）与击球点相比，球运动到最高点时有多高？
○○
解:设这个二次函数的表达式为y=a(x-2)2+3
其图象过点(-1,0),
(-1-2)2+3=0,9+3=0
45
(x-2)2+3
45
这个二次函数的表达式为y23x+33
解:设这个二次函数的表达式为y=a(x+2)(x-1)
其图象过点(0,3)
2a=3.:.a
(x+2)(x-1)
x+3
这个二次函数的表达式为y、3,3
x+3
解:(1)取击球点为坐标原点建立如图所示的平面直角
坐标系,由题意知,球的运动路线经过点O(0,0),A(48,
0),B(50,-1)
设二次函数的表达式为h=a(x-0)(x-48)
h
B
又∵抛物线过点B(50
1=a(50-0)×(50-48)
100
12
x(x-48)
x(0≤x≤50),
100
10025
高度h关于水平距离x的二次两数表达式为h
100
12
3st(0≤x≤50)
2)当x=24时,球运动到最高点,此时h
×24
100
×24=5.76(m)
25
与击球点相比,球运动到最高点时有5.76m高.(共13张PPT)
北师版·九年级下册
第1课时
根据两个条件确定二次函数的表达式
3
确定二次函数的表达式
复习导入
我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的关系式时，通常需要
个独立的条件.确定反比例函数
（k≠0)关系式时，通常需要
个条件.
2
1
如果确定二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0）的关系式时，通常又需要几个条件？
探究新知
一名学生推铅球时，
铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示，其中(4,3)为图象的顶点，你能求出y与x之间的关系式吗?
探究新知
解：根据图象是一条抛物线且顶点坐标为（4,3），因此设它的关系式为y=a(x－4)2＋3
又∵图象过点（10,0）
∴a(10－4)2＋3=0
例1
已知二次函数y=ax2+c的图象经过点(2,3)和(-1,-3),求这个二次函数的表达式.
解:将点(2,3)和(-1,-3)的坐标分别带入表达式y=ax2+c，得
3=4a+c，
-3=a+c.
解这个方程组，得
a=2，
c=-5.
所以，所求二次函数表达式为y=2x2－5.
已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点(2,5)和(-2,13)，求这个二次函数的表达式.
做一做
解：因为抛物线与y轴交点纵坐标为1，所以可设抛物线关系式为y=ax2+bx+1，则可得：
5=4a+2b+1,
13=4a－2b+1.
解得
a=2,
b=-2.
∴二次函数表达式为y=2x2－2x+1.
解法一
已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点(2,5)和(-2,13)，求这个二次函数的表达式.
做一做
解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，由题意得
1=c,
5=4a+2b+c,
13=4a－2b+c.
解这个方程组，得
a=2,
c=1.
b=-2,
∴二次函数表达式为y=2x2－2x+1.
解法二
在什么情况下，已知二次函数图象上两点的坐标就可以确定它的表达式？
想一想
顶点坐标和图象上另一点坐标.
已知二次函数y=ax2+bx+c中一项系数，再知道图象上两点的坐标.
随堂练习
1.
已知二次函数的顶点坐标是(-1,1)，且经过点(1,-3)，求这个二次函数的表达式.
解：根据题意，设二次函数的表达式为y=a(x－h)2+k
∵顶点坐标为(-1,1),
∴h=-1,
k=1.
把点(1,-3)代入y=a(x＋1)2+1得,
a(1＋1)2+1=-3,
∴a=-1.
∴
二次函数表达式为y=
-(x＋1)2+1.
2.
（1）已知二次函数y=x?+bx+c的图象经过（1，1）与（2，3）两点，求这个二次函数的表达式；
解：由题意把（1，1）与（2，3）y=x2＋bx+c得,
1=1+b+c，
3=4+2b+c.
解得
b=-1，
c=1.
∴二次函数表达式为y=x2－x+1.
2.
（2）请更换第（1）题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数y=x2+bx+c表达式的题目，使所求得的二次函数与第（1）题相同.
此题答案不唯一.例如：已知二次函数y=x2+bx+c的图象过(0,
1)和
(3,
7)两点，求这个二次函数的表达式.再如：已知二次函数y=ax2+bx+c
(a≠0)的图象的顶点坐标为
，且图象经过点(2,
3)，求这个二次函数的表达式.
课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
数学源于生活
又服务于生活
课后作业
习题2.6
1、2、3(共7张PPT)
习题2.7
北师版·九年级下册
1.
已知一个关于x的二次函数，当x分别为1，2，3时，对应函数值分别为3，0，4，求这个二次函数的表达式.
2．已知二次函数的图象经过点（1，0），（3，0）和（2，3），求这个二次函数的表达式.
3．如图，题目中的灰色部分是被墨水污染了无法辨认的文字．请你根据已有信息添加一个适当的条件，把原题补充完整并求解.
○○
解:设这个二次函数的表达式为y=ax2+bx+c
已知其图象过(1,3),(2,0),(3,4)三点,
b+c=3
由此可得〈4a+2b+c=0,解得
27
9a+3b+c=4
C=13.
27
故这个二次函数的表达式为y
x+13
解:(方法1)设这个二次函数的表达式为y=x2+bx+c
因为二次函数的图象经过点(1,0),(3,0)和(2,3)
a+6+c=o
所以9n+3b+c=0,解得〈b=12,
4a+2b+c=3
因此,这个二次函数的表达式为y=-3x2+12x-9
(方法2)设这个二次两数的表达式为y=a(x-1)(x-3)
把点(2,3)的坐标代入y=a(x-1)(x-3)中,得
3=a×(2-1)×(2-3),解得a=-3
把a=-3代入y=(x-1)(x-3)中,得
(x-1)(x-3)=-3x2+12x-9
因此,这个二次函数的表达式为y=-3x2+12x-9
已知二次函数y=ax2+bx+c的
图象经过点A(0,a),B(1,-2),
求该二次函数的表
达式
解:再添加一个点的坐标即可求出二次函数的表达式
例如添上二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-2,2),则
由已知条件可知{a+b+c=-2,②)
(4a-2b+c=2.③3
2a+6
将①代入②③,得
5a-2b=2.5
2
由④×2+⑤,得9=-2,解得a
所以
14
把
代入④4,得b
所以方程组的解为b
929
142
所以该二次函数的表达式为y
(此题答
9
案不唯一)
提示:此题也可补充b或c的值或图象的对称轴等(共17张PPT)
北师版·九年级下册
第2课时
根据两个条件确定二次函数的表达式
复习导入
确定二次函数表达式的一般方法:
已知条件
选用表达式的形式
顶点和另一点的坐标
二次函数各项系数中的一个和两点的坐标
y=a(x-h)2+k（a≠0）
顶点式
y=ax2+bx+c（a≠0）
一般式
探究新知
例2
已知二次函数的图象经过(-1,10)，(1,4)，(2,7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标.
解:设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.
将三点(-1,10),(1,4),(2,7)的坐标分别代入表达式，得
10=a－b+c，
4=a+b+c，
7=4a+2b+c.
解这个方程组，得
a=2，
c=5.
b=-3，
∴二次函数表达式为y=2x2－3x+5.
∵y=2x2－3x+5=2(x－
)2+
，
∴二次函数图象的对称轴为直线x=
，
顶点坐标为(
,
).
例2
已知二次函数的图象经过(-1,10)，(1,4)，(2,7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标.
探究新知
一个二次函数的图象经过点
A（0，1），B（1，2），C（2，1），你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流．
议一议
方法一
A（0，1），B（1，2），C（2，1）
解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.
将(0,1)，(1,2)，(2,1)的坐标分别代入表达式，得
1=c，
2=a+b+c，
1=4a+2b+c.
解这个方程组，得
a=-1，
c=1.
b=2，
∴二次函数表达式为y=－x2＋2x+1.
A（0，1），B（1，2），C（2，1）
方法二
解：因为二次函数的抛物线经过A（0，1），所以可设抛物线关系式为y=ax2+bx+1，则可得：
2=a+b+1，
1=4a＋2b+1.
解得
a=-1，
b=2.
∴二次函数表达式为y=－x2＋2x+1.
A（0，1），B（1，2），C（2，1）
方法三
解：A（0，1）与C（2，1）的纵坐标相同，
∴
A，
C两点关于二次函数的对称轴对称.
∴根据对称轴性质可得对称轴的横坐标
.
∴所以B（1，2）为二次函数的顶点.
则可设
，
将A（0，1）代入
，
解得a=－1.
∴二次函数表达式为y=－(x－1)2＋2
=－x2＋2x+1.
已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的表达式.
除了用“一般式”还有其他的方法吗？
如果已知二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为(
x1，0
)，
(
x2，0).
那么可设二次函数的表达式为：y=a(x－x1)(x－x2)
再将另一个已知点的坐标带入，解方程求出a的值即可.
交点式
解：设二次函数的表达式为y=a(x＋1)(x－3).
将
(0，－3)
代入，可得
a(0＋1)
(0－3)
=－3
解得a=1
∴二次函数表达式为y=(x＋1)(x－3)=x2－2x－3
交点式
随堂练习
1.
若抛物线y=(m＋1)x2－2x
＋
m2－1经过原点，则m的值为（
）
A.0
B.1
C.
－1
D.
±1
（0，0）
m2－1
＝0
则m＝
±1
当m=
－1时，二次项系数为0
所以m=1
B
2.
已知二次函数y=ax2+
bx+c的x与y的部分对应值如下表:
则此二次函数的表达式为___________________.
y=－x2－2x＋3
3.
已知二次函数经过点（1，0），（3，0）和（2，3），求这个二次函数的表达式.
交点式
解：设二次函数的表达式为y=a(x－1)(x－3).
将
(2，3)
代入，可得
a(2－1)
(2－3)
=3
解得a=－3
∴二次函数表达式为y=－3(x－1)(x－3)=－3x2＋12x－9
4.
已知二次函数经过点（0，2），（1，0）和（-2，3），求这个二次函数的表达式.
解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.
将(0,2)，(1,0)，(-2,3)的坐标分别代入表达式，得
2=c，
0=a+b+c，
3=4a-2b+c.
解这个方程组，得
a=
，
c=2.
b=
，
∴二次函数表达式为y=
.
课堂小结
y=a(x-h)2+k
y=ax2+bx+c
y=a(x－x1)(x－x2)
二次函数的3种表达方式
顶点式
交点式
一般式
课后作业
习题2.7
1、3
