(共21张PPT)
北师版·九年级下册
第2课时
二次函数y=ax?和y=ax?+c的图象与性质
复习导入
y
=－x2
y
=x2
二次函数y＝x2与y=－x2的图象一样吗？它们有什么相同点？不同点？
二次函数是否只有y＝x2与y＝－x2这两种呢?有没有其他形式的二次函数？
x
···
－2
－1
0
1
2
···
···
2
0.5
0
0.5
2
···
y
=
2x2
···
8
2
0
2
8
···
在画有y
=x2直角坐标系中，画出
，y
=2x2的图象.
探究新知
y
=x2
①列表；
②描点；
③连线.
y=2x2
y
=x2
y=2x2
函数
，y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？
开口都向上，
对称轴都是y轴.
顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点.
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
y=2x2抛物线的开口最小．
在画有
y
=－x2的直角坐标系中，画出
的图象．
y
=－x2
x
···
-2
-1
0
1
2
···
···
-2
-0.5
0
-0.5
-2
···
y
=
-2x2
···
-8
-2
0
-2
-8
···
①列表；
②描点；
③连线.
y=-2x2
y
=－x2
y=-2x2
函数
，y=－2x2的图象与函数y=－x2的图象相比，有什么共同点和不同点？
开口都向下；
对称轴都是y轴.
顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最高点；
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
a值越小，抛物线的开口越小．
y=ax2
(a≠0)
a>0
a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增
减
性
最值
向上
向下
(0，0)
(0，0)
y轴
(x=0)
y轴
(x=0)
在对称轴的左侧，
y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
x=0时，y最小=0
x=0时，y最大=0
抛物线y=ax2
(a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说来，|a|越大，抛物线的开口就越小.
在画有y
=2x2直角坐标系中，画出二次函数
y
=
2x2
+1，
y
=
2x2
-1的图象。
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
=2x2+1
…
9
3
1
3
9
…
y
=
2x2
－1
…
7
1
-1
1
7
…
y=2x2
①列表；
y=2x2＋1
y=2x2－1
②描点；
③连线.
y=2x2
y=2x2＋1
y=2x2－1
二次函数y=2x2，y=2x2+1，y=2x2-1的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同.
将二次函数y=2x2的图象向上平移1个单位，就得到函数y=2x2+1的图象.
将二次函数y=2x2的图象向下平移1个单位，就得到函数y=2x2－1的图象.
将二次函数y=2x2＋1的图象向____平移____个单位，就得到函数y=2x2－1的图象.
下
2
抛物线
y
=
2x2+1
，
y
=
2x2
-1
y=2x2
与抛物线
有什么关系？
抛物线y=ax2+c的图象相当于把抛物线y=ax2的图象____（c＞0）或
（c＜0）平移
个单位.
抛物线
y
=
2x2+1
，
y
=
2x2
-1
y=2x2
与抛物线
有什么关系？
y=ax2+c
y=ax2
y
=
ax2
c
y
=
ax2+c（c＞0）
c
y
=
ax2＋c（c＜0）
向上
向下
|c|
二次函数y
=
ax2
+c的图象和性质:
a的符号
a>0
a<0
图象
c>0
c<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0，c）
（0，c）
x=0时，y最小值=c
x=0时，y最大值=c
随堂练习
1.
抛物线y＝2x2＋3可以由抛物线y＝2x2向
平移
个单位得到．
2.
抛物线y＝－
x2+1向
平移
个单位后，会得到抛物线y=－
x2．
3.
抛物线y＝－2x2－5的开口方向
，对称轴是
，顶点坐标是
.
上
3
下
1
向下
y轴
（0，－5）
4.
下列各组抛物线中能够互相平移彼此得到对方的是(
)
A.
y＝2x2与y＝3x2
B.y=
x2+2与y=2x2+
C.
y＝2x2与y＝x2+2
D.y＝x2与y＝x2－2
D
5.
对于二次函数y＝－
x2+2，当x为xl和x2时，对应的函数值分别为y1和y2，若x1>x2>0，则y1与y2的大小关系是(
)
A.y1>y2
B.y1C.y1＝y2
D.无法比较
B
开口向下
当x＞0时，y随x增大而减小.
6.
写出下列各组函数图象的开口方向、对称轴和顶点.
（1）y=
x2+3;
（2）y=-3x2-4.
解：（1）开口向上，对称轴为y轴，顶点为（0，3）.
（2）开口向下，对称轴为y轴，顶点为（0，-4）.
7.
求抛物线y=2x2－1关于x轴对称的抛物线的解析式.
y=2x2－1
解：抛物线y=2x2－1关于x轴对称的抛物线的解析式为y=－2x2+1.
8.
二次函数y＝3x2－
的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？画图看一看.
解：二次函数
与y=3x2的图象都是抛物线，形状相同，只是位置不同.将二次函数
的图象向下平移
个单位长度，就得到
的图象.二次函数
与y=3x2的图象都是轴对称图形，它们的对称轴都是y轴（直线x=0），开口都向上，顶点坐标分别是
.
9.
二次函数
的图象与二次函数
的图象有什么关系？
解：二次函数
与二次函数
的图象都是抛物线，形状相同，只是位置不同.将二次函数
的图象向上平移1个单位长度，就得到二次函数
的图象.
课堂小结
课后作业
习题2.3
1、2、3(共21张PPT)
北师版·九年级下册
第3课时
二次函数y=a(x－h)?和y=a(x－h)?+k的图象与性质
复习导入
说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况:
请说出二次函数y=ax?+c与y=ax?的平移关系.
y=ax2
y=ax2+c
y=ax2
当c>0时，向上平移c个单位
当c<0时，向下平移
个单位
探索新知
我们已经认识了二次函数y=2x2的图象，那么二次函数y=2(x-1)
2，y=2(x+1)
2的图象与y=2x2有什么关系？
画出二次函数y=2(x-1)2和y=2(x+1)2的图象.
（1）列表
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
=
2x2
18
8
2
0
2
8
18
y=2(x-1)2
32
18
8
2
0
2
8
y=2(x+1)2
8
2
0
2
8
18
32
（2）描点
（3）连线
y=2x2
y=2(x＋1)2
y=2(x－1)2
y=2x2
y=2(x+1)2的呢?
y=2(x-1)2
的对称轴和顶点坐标分别是什么?
对称轴x=1，顶点坐标(1，0)，
对称轴x=-1，顶点坐标(-1，0)
y=2(x＋1)2
y=2(x－1)2
y=2x2
二次函数y
=
a(x－h)2的图象和性质:
对称轴x=h，顶点坐标(h，0).
注意此处符号！
y=2(x＋1)2
y=2(x－1)2
将y=2x?
的图象向
平移
单位，就得到的y=2(x-1)?图象;
将y=2x?
的图象向
平移
单位，就得到的y=2(x+1)?图象.
y=2x2
右
1
左
1
y=2(x＋1)2
y=2(x－1)2
y=2x2
y=2(x＋1)2
y=2(x－1)2
y=ax2
y=a(x－h)2
当h>0时，向右平移h个单位
当h<0时，向左平移|h|个单位
由二次函数y=2x2的图象，你能得到二次函数
的图象吗？你是怎样得到的？与同伴进行交流.
想一想
y=2(x＋3)2
y=2x2
y=2x2
y=2(x＋3)2
y=2x2
向左平移三个单位
向下平移半个单位
向下平移半个单位
向左平移三个单位
二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2有什么关系？
都可以通过y=ax2的图象平移得到.
y=ax2
h
k
y=a(x-h)2+k
h<0，将抛物线y=ax2向左平移，
h>0，将抛物线y=ax2向右平移；
k>0，将抛物线y=ax2向上平移；
k<0，将抛物线y=ax2向下平移，
可概括为：左加右减，上加下减.
随堂练习
1.
抛物线y＝3(x－2)2可以由抛物线y＝3x2向
平移
个单位得到．
2.
二次函数y=-2(x-1)2的图象开口方向是
，顶点坐标是
，对称轴是
.
右
2
向下
（1，0）
x=1
3.
要得到抛物线y=
(x－4)2，可将抛物线y=
x2(
)
A.向上平移4个单位
B.向下平移4个单位
C.向右平移4个单位
D.向左平移4个单位
C
4.
对称轴是直线x=-2的抛物线是(
)
A.y=-2x2-2
B.y=-2x2＋2
C.y=-(x+2)2-2
D.y=-5(x-2)2-6
C
5.
将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（
）
A.y=3(x-2)2-1
B.y=3(x-2)2+1
C.y=3(x+2)2-1
D.y=3(x+2)2+1
C
6.
若抛物线的顶点为(3，5)，则此抛物线的解析式可设为(
)
A.y=a(x+3)2+5
B.y=a(x-3)2+5
C.y=a(x-3)2-5
D.y=a(x+3)2-5
B
7.指出下面函数的开口方向，对称轴和顶点坐标.
（1）y=5(x+2)2+1；
（2）y=-7(x-2)2-1；
（3）y=(x-4)2+3；
（4）y=-(x+2)2-3.
开口向上
对称轴为x=-2
顶点坐标为（-2，1）
开口向下
对称轴为x=2
顶点坐标为（2，-1）
开口向上
对称轴为x=4
顶点坐标为（4，3）
开口向下
对称轴为x=-2
顶点坐标为（-2，-3）
8.对于二次函数y=3(x+2)2，
（1）它的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
解：二次函数y=-3(x+2)2的图象可以看成是由二次函数y=-3x2的图象向左平移2个单位长度得到的，它们的形状相同，开口都向下，只是位置不同.二次函数y=-3(x+2)2的图象是轴对称图形，抛物线开口向下，对称轴是直线x=-2，顶点坐标是(-2,0).
8.对于二次函数y=3(x+2)2，
（2）当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？
解：当x<-2时，y的值随x值的增大而增大；当x>-2时，y的值随x值的增大而减小.
课堂小结
y=2x2
y=2(x＋1)2
y=2(x－1)2
y=ax2
h
k
y=a(x-h)2+k
课后作业
习题2.4
1、2、3、4(共3张PPT)
习题
2.2
北师版·九年级下册
1.设正方形的边长为a，面积为S，试画出S随
a
的变化而变化的图象.
解：S
与
a
的函数关系为S
=
a2(a＞0).画二次函数S=a2(a
＞
0)图象的步骤如下：
(1)列表：
a
1
2
3
···
S
1
4
9
···
(2)描点、连线，图象如图所示.
2.点A(2,4)在二次函数y=x2的图象上吗？请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标、关于y轴的对称点C的坐标、关于原点O的对称点D的坐标.点B，C，D在二次函数y=x2的图象上吗?在二次函数y=
-x2的图象上吗?
解：点A在二次函数y=x2的图象上；B(2,-4)，C(-2,4)，D(-2,-4)；点C在二次函数y=x2的图象上，点B，D不在二次函数y=x2的图象上，点B，D在二次函数y=-x2的图象上，点C不在二次函数y=-x2的图象上.
○○
S08642(共10张PPT)
习题2.5
北师版·九年级下册
1．指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，必要时画草图进行验证：
（1）y=2
(x－2)2+5；
（2）y
=
2x2－4x－
1；
（3）y
=3x2－6x
+2；
（4）y
=－3
(x+3)(x+9).
2.
将二次函数y
=
x2－2x＋1的图象向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线y=x2＋
bx
＋c，求b，c的值，并求出这条抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，必要时画草图进行验证.
3．当火箭被竖直向上发射时，它的高度h
(m)与时间t
(s)的关系可以用公式h=－5t2+150t＋10表示.
经过多长时间，火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？
4．有心理学家研究发现，学生对某类概念的接受能力y与讲授概念所用时间x
(min)之间满足函数关系y
=
－0.1x2
+2.6x+43(0≤x≤30).
y值越大，表示接受能力越强．根据这一结论回答下列问题:
（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？在什么范围内，学生的接受能力逐渐降低？
（2）经过多长时间，学生的接受能力最强？
5.
你知道图2-6中右面抛物线的表达式是什么吗？
○○
解:草图略.
(1)图象开口向上,对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,5).
(2)(方法1配方法)∵y=2x2-4x-1=2(x-1)2-3
图象开口向上,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-3)
(方法2公式法)
2×2
4ac-b24×2×(-1)-(-4)2
4×2
图象开口向上,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-3)
(3)(方法1配方法)∵y=3x2-6x+2=3(x-1)2-1,
图象开口向上,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-1)
(方法2公式法)∵
2
2×3
4ac-b24×3×2-(-6)
4×3
图象开口向上,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-1)
(4)原函数的表达式变为y=-3x2-36x-81,其图象开口向下
36
4c-b24×(-3)×(-81)-(-36)2
2a2×(-3)
4×(-3)
对称轴为直线x=-6,顶点坐标为(-6,27)
解:y=x2-2x+1=(x-1)2,将二次函数y=x2-2x+1的图象
向上平移2个单位长度,再向左平移3个单位长度,得到
y=(x-1+3)2+2,即y=(x+2)2+2的图象
整理,得y=x2+4x+6由题意可知y=x2+bxc,
所以x2+4x+6=x2+b
+C,可得
因为二次函数的表达式为y=(x+2)2+2
所以抛物线开口向上,对称轴为直线x=-2,顶点坐标为(-2,
2).草图略.(共15张PPT)
北师版·九年级下册
第4课时
二次函数y=ax?+bx+c的图象与性质
复习导入
函数表达式
开口方向
对称轴
增减性
顶点坐标
a<0，
开口向下
a>0，
开口向上
a<0，在对称轴左侧，y都随x的增大而增大，在对称轴右侧，y都随x的增大而减小
.
a>0，在对称轴左侧，y都随x的增大而减小，在对称轴右侧，y都随
x的增大而增大；
y轴
y轴
x=h
x=h
（0，0）
（0，c）
（h，0）
（h，k）
探究新知
我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗?
化成y=a(x-h)2+k的形式.
探究新知
例1
求二次函数y=2x2－8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
解：
y
=
2x2－8x+7
=
2(x2－4x)+7
=
2(x2－4x+4)－8+7
=
2(x－2)2－1
∴
对称轴是x=2，顶点坐标为(2，－1)
提取二次项系数
配方
顶点式
做一做
确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
（1）y=3x2－6x＋7；
（2）y=2x2－12x＋8；
=
3(x2－2x)+7
=
3(x2－2x+1)－3+7
=
3(x－1)2＋4
对称轴是x=1，顶点坐标为(1，4)
=
2(x2－6x)+8
=
2(x2－6x+9)－18+8
=
2(x－3)2－10
对称轴是x=3，
顶点坐标为(3，－10)
例2
求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标.
y
=
ax2+bx+c
解：把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方，得
∴对称轴是
，顶点坐标为
y
O
x
（a>0）
y
O
x
（a<0）
二次函数y=ax2+bx+c的图象：
最小值
最大值
做一做
如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左右两条抛物线关于y轴对称.按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用
表示.
（1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少?
（2）两条钢缆最低点之间的距离是多少?
y/m
x/m
桥面
-5
O
5
10
解:
顶点坐标
顶点坐标
∴钢缆的最低点到桥面的距离是1m
两条钢缆最低点之间的距离是|-20|×2=40m
y/m
x/m
桥面
-5
O
5
10
随堂练习
1.确定下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.
（1）y=－3x2+12x－3；
（2）y=4x2－24x+26；
（3）y=2x2+8x－6；
（4）y=
x2－2x－1.
?
开口向上，
对称轴为x=3，
顶点为（3，
－
10）.
开口向下，
对称轴为x=2，
顶点为（2，9）.
开口向上，
对称轴为x=－2
顶点为（
－
2，
－
14）.
开口向上，
对称轴为x=2，
顶点为（2，
－
3）.
1
2.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：
二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=
,
x=2对应的函数值y=
.
－8
3.用配方法确定下列函数图象的对称轴和顶点坐标：
（1）y=2x2－12x+3；
（2）y=－5x2+80x－319；
?
=
2(x2-6x)+3
=
2(x2-6x+9)-18+3
=
2(x-3)2-15
对称轴为x=3，
顶点为（3，-15）.
=
-5(x2-16x)-319
=
-5(x2-16x+64)+320-319
=
-5(x-8)2+1
对称轴为x=8，
顶点为（8，1）.
3.用配方法确定下列函数图象的对称轴和顶点坐标：
（3）y=
；
（4）y=-3(x+3)(x+9).
=
2x2-5x+2
对称轴为x=
，顶点为
.
=
-6x2+9x+6
对称轴为x=
，顶点为
.
课堂小结
谈一谈你的收获！
二次函数y=ax?+bx+c的图象是一条抛物线.
顶点坐标公式
对称轴是
，顶点坐标为
课后作业
习题2.5
1、2、3、4(共18张PPT)
北师版·九年级下册
2
二次函数的图象与性质
第1课时
二次函数y=x2和y=-x2的图像与性质
复习导入
一次函数y=kx+b和反比例函数
，(k≠0)图象是什么形状?
图象
k＞0
k＜0
b＞0
b＜0
k＞0
k＜0
探究新知
画二次函数
y
=
x2
的图象.
在二次函数
y
=
x2
中，y随x的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？
画函数图形的主要步骤是什么？
①
列表；
②描点；
③连线.
1.
列表：在y
=
x2中，自变量x可以是任意实数.
x
···
-3
-2
-1
0
1
2
3
···
y
=
x2
···
9
4
1
0
1
4
9
···
2.
描点.
3.
连线.
注意：①在连接时必须用光滑的曲线；②在连接时必须依次连接.
y
=x2
议一议
（1）你能描述图象的形状吗?
与同伴进行交流.
二次函数y
=
x2的图象是一条开口向上的曲线.
y
=x2
（2）图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么?
有交点，交点在原点(0,0).
议一议
y
=x2
（3）当x<0时，随着x的值增大，y
的值如何变化？当x>0时呢？
当x<0时，
y随着x的增大而减小.
当x>0时，y随着x的增大而增大.
（4）当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？
当x=0时，
y有最小值0.
议一议
y
=x2
（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流.
图象是轴对称图形，它的对称轴是y轴.
总结归纳
y
=x2
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴.
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点，它是图象的最低点.
总结归纳
y
=x2
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外)，开口向上，并且向上无限伸展；当x=0时，函数y的值最小，最小值是0.
当x<0(在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而减小.
当x>0(在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而增大.
做一做
二次函数
y
=－x
2的图象是什么形状？先想一想，然后画出它的图象.
x
···
-3
-2
-1
0
1
2
3
···
y
=
-x2
···
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
···
①列表；
②描点；
③连线.
y
=－x2
二次函数y=－x2的图象也是一条抛物线，它的开口向下，关于y轴对称.
对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最高点.
它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
y
=－x2
y
=x2
y
=x2和
y=－x2的图象关于x轴对称.
总结归纳
抛物线
y=x2
y=－x2
对称轴
顶点坐标
开口方向
位置
增减性
最值
二次函数y=x2
与y=－x2的性质
y
=－x2
y
=x2
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方
在x轴的下方
向上
向下
如图所示
如图所示
最小值为0
最大值为0
随堂练习
1.下列各点中，在二次函数
y
=－x2
的图象上的是（
）
A.（1，－1）
B.（2，－2）
C.
（－2，4）
D.（2，4）
－4
－4
－4
A
2.
关于二次函数y=
x2的图象，下列说法错误的是（
）
A.它的形状是一条抛物线
B.它的开口向上，且关于y轴对称
C.它的顶点是抛物线的最高点
D.它的顶点在原点处，坐标为（0，0）
最低点
C
3.
下列关于二次函数y=x2和
y
=－x2的图象的说法中，错误的是（
）
A.
二次函数y=x2和y
=－x2的图象有相同的顶点和对称轴
B.
在同一平面直角坐标系中，二次函数y=x2和y
=－x2的图象既关于x轴对称，又关于原点对称
C.
二次函数y=x2和y
=－x2的图象的开口方向相反
D.
点（－3，9）既在二次函数y=x2的图象上，也在二次函数y
=－x2的图象上
（－3，－9）
D
4.
已知点A（－1
，y1），B（－
，y2
），C（
2，y3）都在函数y=x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为________________.（用“<”连接）
y
=x2
y1
y2
y3
y1＜y2＜y3
课堂小结
y
=－x2
y
=x2
关于y=x2和y=－x2的图象，你还有哪些疑惑？
课后作业
习题2.2
1、2(共7张PPT)
习题2.4
北师版·九年级下册
1．指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，必要时画草图进行验证:
（1）y=2(x－3)2－5；
（2）y=－0.5
(x+1)2；
（3）y=－
x2－1；
（4）y=2(x－2)2+5；
（5）y=0.5(x+4)2＋2；
（6）y=－
(x－3)2.
2.
对于二次函数
，它的图象与二次函数y=－3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
3．怎样由函数y
=2x2的图象得到函数y
=
2
(x
－1)2+3的图象？对于函数y
=
2
(x－1)2+3，当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？
4．分别写出符合下列条件的二次函数表达式:
（1）两个函数的图象都不经过第三、四象限；
（2）两个函数的图象只有顶点坐标不同.
○○
解:草图略.
(1)开口向上,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,-5)
(2)开口向下,对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,0)
(3)开口向下,对称轴为y轴(或直线x=0),顶点坐标为
(0,-1)
(4)开口向上,对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,5)
(5)开口向上,对称轴为直线x=-4,顶点坐标为(-4,2).
(6)开口向下,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0)
解:二次函数y=-3(x
的图象可以看成是由二次
两数y=-3x2的图象向右平移一个单位长度得到的,它们
2
的形状相同,开口都向下,只是位置不同
二次函数y=-3(x-2
的图象是轴对称图形,它的开
口向下,对称轴是直线x
3,顶点坐标是/1
0
解:将y=2x2的图象先向右平移1个单位长度,再向上平
移3个单位长度,就得到二次函数y=2(x-1)2+3的图象
对于函数y=2(x-1)2+3,当x1时,y的值随x值的增大
而增大;当κ<1时,y的值随x值的增大而减小
解:(1)答案不唯一如y=x2和y=x2+2
提示:一般地,形如y=a(x-h)2+k(a>0,k≥0)的二次函数
图象都不经过第三、四象限
(2)答案不唯一如二次函数y=2(x-3)2+4与y=2(x-3)2+3
的图象只有顶点坐标不同
提示:形如y=a(x-h)2+k的二次函数图象,当a,取值相
同,取值不同时,都符合要求.(共13张PPT)
习题
2.3
北师版·九年级下册
1.二次函数
y
=
x2的图象与二次函数
y=3x2的图象有什么相同和不同?
解:二次函数y
=
x2的图象与二次函数y=3x2的图象的同点:图象都是抛物线,抛物线的开口都向上,顶点坐标都是(0,0),都是轴对称图形,对称轴都是y轴(或直线
x=0).不同点:两者的开口大小不同,函数y
=3x2的图象在函数y=
x2的图象的内侧.
2.二次函数
y
=
-3x2
的图象与二次函数
y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？先想一想，如果需要，画图看一看.二次函数y
=
-
x2
的图象与二次函数y=
x2的图象呢？
解:二次函数y=-3x2的图象与二次函数y=
3x2的图象都是抛物线,并且形状相同,都是轴对称图形,对称轴都是y轴(或直线x=0),顶点坐标都是(0,0).但它们的开口方向不同,二次函数y=-3x2的图象的开口向下,而二次函数y=3x2的图象的开口向上,二次函数y=-3x2的图象与二次函数y=
3x2的图象关于x轴成轴对称，图象如图①所示.
二次函数y=
-
x2的图象与二次函数y=
x2的图象都是抛物线,并且形状相同,都是轴对称图形,对称轴都是y轴(或直线x=0),顶点坐标都是(0,0).但它们的开口方向不同,二次函数y=
-
x2的图象的开口向下,而二次函数y=
x2的图象的开口向上,它们关于x轴成轴对称,
如图②所示.
3.二次函数y=5x2-3与二次函数y=5x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?先想一想，如果需要，画图看一看.二次函数y=-5x2-2的图象与二次函数
y=-5x2
+3的图象呢?
解:二次函数y=5x2-3的图象是由二次函数y=5x2的图象向下平移3个单位长度得到的,这两个图象都是抛物线，并且形状相同,顶点坐标不同,都是轴对称图形.二次函数y=5x2-3的图象的开口向上,对称轴是y轴(或直线x
=0),顶点坐标是(0,-3);二次函数y=
5x2的图象开口向上,对称轴是y轴(或直线x=0),顶点坐标是(0,0).
二次函数y=-5x2-2的图象可以由二次函数y=-5x2的图象向下平移2个单位长度得到.二次函数y=-5x2+3的图象可以由二次函数y=-5x2的图象向上平移3个单位长度得到.这两个图象都是抛物线,并且形状相同,顶点坐标不同,都是轴对称图形.
二次函数y=-5x2-2的图象开口向下,对称轴是y轴(或直线x=0),顶点坐标是(0,-2);二次函数y=-5x2+3的图象开口向下,对称轴是y轴(或直线x
=0),顶点坐标是(0，3);将二次函数y=-5x2-2的图象向上平移5个单位长度，就得到二次函数y=-5x2+3的图象.
4.请写出两个二次函数的表达式，要求这两个函数图象的对称轴为y轴，开口方向不同.
解:本题答案不唯一,如
y
=
4x2与y
=-4x2
,
y
=
4x2与
y
=
-
4x2-1.
解:本题答案不唯一，如y=x2与y
=x2+1，y=x2
与y=2x2.
5.请写出两个二次函数的表达式，要求这两个函数图象的对称轴为y轴，开口方向相问.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业
