23.4 中位线课件2021—2022学年华东师大版九年级数学上册（30张）

(共30张PPT)
华师版数学九年级上册第23章图形的相似
23.4中位线
三角形的中位线
沪科版数学八年级下册19.2平行四边形
学习目标
1、掌握三角形中位线和重心的概念，探索并证明三角形中位线定理和重心定理
2、初步会用定理进行有关的论证和计算
三角形的中位线
华师版版数学九年级上册23.4中位线
三角形的中位线
沪科版数学八年级下册19.2平行四边形
做一做
1.如图，在△ABC中，
DE∥BC，则△ADE
与
△ABC相似吗？
2.当点D和点E在AB和AC上移动时，点D和点E处在什么位置时△ADE
与△ABC
的相似比为1比2？
B
C
D
E
F
三角形的中位线
华师版版数学九年级上册23.4中位线
A
C
B
A
F
E
D
定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
我们把线段DE叫△
ABC
的中位线
三角形的中位线
华师版版数学九年级上册23.4中位线
三角形中线
顶点-----中点
三角形中位线
中点-----中点；
一个三角形有
条中位线？
3
？
三角形的中位线
沪科版数学八年级下册19.2平行四边形
猜
想
三角形的中位线
华师版版数学九年级上册23.4中位线
如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC
的中点.根据画出的图形，可以猜想：DE
//
BC,且DE
=
BC.
对此，我们可以用演绎推理给出证明.
C
三角形的中位线
沪科版数学八年级下册19.2平行四边形
三角形的中位线
华师版版数学九年级上册23.4中位线
在△ABC中，
∵点D、E分别是AB与AC的中点，
∴
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC
∵∠ADE
=
∠ABC,
∴
证明：
三角形的中位线
沪科版数学八年级下册19.2平行四边形
三角形的中位线
华师版版数学九年级上册23.4中位线
结
论
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。
三角形的中位线
沪科版数学八年级下册19.2平行四边形
三角形的中位线
华师版版数学九年级上册23.4中位线
数学语言
∵DE是△ABC的中位线
∴DE∥BC
∵DE是△ABC的中位线
∴⑴
DE∥BC，
①
平行问题
用
途
A
B
C
D
E
三角形中位线定理
三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
三角形的中位线定理
华师版版数学九年级上册23.4中位线
位置关系
数量关系
②
一条线段是另一条线段的2倍或
⑵
DE=
BC
1.如图1：在△ABC中，DE是中位线
（1）若∠ADE=60°，
则∠B=
度，为什么？
（2）若BC=8cm，
则DE=
cm，为什么？
2.如图2：在△ABC中，D、E、F分别
是各边中点
AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，
则△DEF的周长=
cm
图1
图2
60
4
12
A
B
C
D。
。E
B
A
C
D
。
。E
。F
5
4
3
三角形的中位线定理
华师版版数学九年级上册23.4中位线
应用：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。
A
B
C
D
E
F
G
H
∴
EF//HG，EF=HG
∴四边形EFGH是平行四边形
证明：连接AC，
在△ABC中，
在△ADC中，同理可得
HG//AC，HG=
AC
∵E、F分别是AB、BC边的中点，即EF是△ABC的中位线.
∴EF//AC，EF=
AC
三角形的中位线定理
华师版版数学九年级上册23.4中位线
转化思想
三角形的中位线
沪科版数学八年级下册19.2平行四边形
三角形的中位线
华师版版数学九年级上册23.4中位线
特别提醒
1.
一个三角形有三条中位线；
2.
三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形，三个面积相等的平行四边形；
3.
三角形的中位线与三角形的中线的区别：三角形的中线是连结一顶点和它的对边中点的线段，而三角形的中位线则是连结两边中点的线段；
4.
三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.
三角形的中位线
沪科版数学八年级下册19.2平行四边形
三角形的中位线
华师版版数学九年级上册23.4中位线
拓展：由三角形三条中位线组成的三角形与原三角形相似，它的周长等于原三角形周长的
，面积等于原三角形面积的
三角形的中位线
沪科版数学八年级下册19.2平行四边形
三角形的中位线
华师版版数学九年级上册23.4中位线
例
1
如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC
的中点，若BC＝6
cm，则DE的长为________．
直接根据三角形的中位线定理
解答即可．因为D，E分别是边
AB，AC的中点，
所以DE是△ABC的中位线，
所以DE＝
BC＝
×6＝3(cm)．
3cm
导引：
三角形的中位线
沪科版数学八年级下册19.2平行四边形
三角形的中位线
华师版版数学九年级上册23.4中位线
例2
求证:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.
已知：如图,
在
△ABC
中，AD
=DB，
BE=EC,
AF
=
FC.
求证：AE、DF互相平分.
三角形的中位线
沪科版数学八年级下册19.2平行四边形
三角形的中位线
华师版版数学九年级上册23.4中位线
证明：连结DE、EF.
∵AD
=
DB,BE
=
EC,
∴DE//AC(三角形的中位线平行于第
三边，并且
等于第三边的一半).
同理可得EF//BA.
∴四边形ADEF是平行四边形.
∴
AE、DF互相平分.
三角形的中位线
沪科版数学八年级下册19.2平行四边形
三角形的中位线
华师版版数学九年级上册23.4中位线
D
三角形的中位线
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三角形的中位线
华师版版数学九年级上册23.4中位线
如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G.
求证：
例
3
三角形的重心
2
知识点
三角形的中位线
沪科版数学八年级下册19.2平行四边形
三角形的中位线
华师版版数学九年级上册23.4中位线
证明：连结ED.
∵D、E分别是边BC、AB的中点，
∴DE//AC，
(三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半).
∴△ACG∽△DEG,
∴
三角形的中位线
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三角形的中位线
华师版版数学九年级上册23.4中位线
三角形的重心的定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点．
三角形重心的性质：三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线长的
归纳总结
三角形的中位线
沪科版数学八年级下册19.2平行四边形
三角形的中位线
华师版版数学九年级上册23.4中位线
特别提醒
三角形的重心到角顶点的距离等于它到对边中点距离的2
倍.
如图23.4-5
中，AO=2OF，CO=2OE，BO=2OD.三角形的重心是三角形中每条中线的一个三等分点.
如图23.4-5中，点O
是中线AF，BD，CE
的三等分点.
三角形的中位线
沪科版数学八年级下册19.2平行四边形
三角形的中位线
华师版版数学九年级上册23.4中位线
如图所示，在△ABC中，G为重心，连结AG并延长，交
边BC于点D，若△ABC的面积为6
cm2，则△BGD的面
积为________．
导引：
由点G为△ABC的重心可知AD为
BC边上的中线，且DG＝
AD，
故S△ABD＝
S△ABC＝3
cm2，
由△BGD与△ABD同高不等底易
1cm2
例4
得
故S△BGD＝
，S△ABD＝
×3＝1(cm2)．
三角形的中位线
沪科版数学八年级下册19.2平行四边形
三角形的中位线
华师版版数学九年级上册23.4中位线
归
纳
已知三角形的重心求线段的长度或比值时，要准确把握以下几点：
三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线长的
(2)
重心与三角形一个顶点的连线的长是对应中线长的
(3)
重心分中线所成两条线段的比为2∶1.
三角形的中位线
沪科版数学八年级下册19.2平行四边形
三角形的中位线
华师版版数学九年级上册23.4中位线
1．给出以下结论：
(1)线段的中点是线段的重心；
(2)三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心；
(3)平行四边形的重心是它的两条对角线的交点；
(4)三角形的重心是它的中线的一个三等分点．
那么以上结论中正确的有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D
三角形的中位线
沪科版数学八年级下册19.2平行四边形
三角形的中位线
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中点四边形
知识点
3
1.
中点四边形：顺次连结四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．
2．常见的中点四边形：
(1)
顺次连结任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形；
(2)
顺次连结矩形各边中点所得的四边形是菱形；
(3)
顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形；
(4)
顺次连结正方形各边中点所得的四边形是正方形；
(5)
顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形．
三角形的中位线
沪科版数学八年级下册19.2平行四边形
三角形的中位线
华师版版数学九年级上册23.4中位线
例
5
如图所示，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．
请判断四边形EFGH的形状，并说明理由；
(2)若四边形EFGH为正方形，则四边ABCD的对角线应满足怎样的条件？
三角形的中位线
沪科版数学八年级下册19.2平行四边形
三角形的中位线
华师版版数学九年级上册23.4中位线
解：(1)四边形EFGH是平行四边形．
理由如下：如图所示，连结AC.
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，EF＝
AC.
∵G，H分别是CD，DA的中点，
∴GH是△ADC的中位线，
∴GH∥AC，GH＝
AC.
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
(2)四边形ABCD的对角线应满足：AC⊥BD且AC＝BD.
三角形的中位线
沪科版数学八年级下册19.2平行四边形
三角形的中位线
华师版版数学九年级上册23.4中位线
三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线性质:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半。
任意四边形四边中点连线所组成的四边形是：
平行四边行
课堂小结
三角形的中位线
沪科版数学八年级下册19.2平行四边形
三角形的中位线
华师版版数学九年级上册23.4中位线
运用中位线定理证明线段相等或计算线段长度的方法：
当题目中有中点时，特别是有两个中点时，如果中点都在一个三角形中，直接用中位线定理.如果不在一个三角形中，就需要作辅助线取某边上的中点，构造三
角形的中位线，然后利用中位线定理及相关的知识解决问题.
课堂小结
再见