(共21张PPT)
提分专项（二）
直线与圆的位置关系中分类讨论的常见类型
冀教版
九年级下
第二十九章 直线与圆的位置关系
1
2
3
4
6
D
C
见习题
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5
见习题
见习题
1．【教材改编题】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，r为半径画圆．
(1)当r＝________时，⊙C与边AB相切．
(2)当r满足________________时，⊙C与边
AB只有一个交点．
2.4
3＜r≤4或r＝2.4
(3)随着r的变化，⊙C与边AB的交点个数有哪些变化？写出相应的r的值或取值范围．
解：当0＜r＜2.4或r＞4时，⊙C与边AB有0个交点；
当3＜r≤4或r＝2.4时，⊙C与边AB有1个交点；
当2.4＜r≤3时，⊙C与边AB有2个交点．
2．如图，⊙O的半径OC＝5
cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB＝8
cm，若l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是( )
A．1
cm
B．2
cm
C．8
cm
D．2
cm或8
cm
D
3．【2020·河北唐山遵化市一模】如图，在直线l上有相距7
cm的两点A和O(点A在点O的右侧)，以O为圆心作半径为1
cm的圆，过点A作直线AB⊥l.将⊙O以2
cm/s的速度向右移动(点O始终在直线l上)，则⊙O与直线AB相切时的时间在( )
A．第3秒
B．第3.5秒
C．第3秒或第4秒
D．第3秒或第3.5秒
C
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4
.若动点D在线段AC上(D不与点A，C重合)，过点D作DE⊥AC，DE交AB边于点E.点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE＝_________时，⊙C与直线AB相切．
【点拨】过点C作CH⊥AB于点H，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4
，∴BC＝2
，AC＝6，
由三角形的面积公式得
BC·AC＝
AB·CH，即
×2
×6＝
×4
×CH，∴CH＝3.
如图①，当点F在线段CD上时，
∵CF＝CH＝3，
∴AF＝AC－CF＝6－3＝3.
∵点A和点F关于点D对称，
∴DF＝AD＝
.
∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
解得DE＝
如图②，当点F在线段DC的延长线上时，∵CF＝CH＝3，
∴AF＝AC＋CF＝6＋3＝9.
∵点A和点F关于点D对称，
∴DF＝AD＝4.5.
∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
【答案】
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，?ABCO的顶点A，B的坐标分别是A(3，0)，B(0，2)．动点P在直线y＝
x上运动，以点P为圆心，PB长为半径的⊙P随点P运动，当⊙P与?ABCO的边相切时，点P的坐标为______________________．
【点拨】由题意易知C的坐标为(－3，2)，AB∥OC.
∴直线OC的表达式为y＝－
x.
由直线OP的表达式为y＝
x，
易得OP⊥OC，则OP⊥AB.
①当⊙P与BC相切时，
∵动点P在直线y＝
x上，
∴点P与点O重合，此时圆心P到BC的距离为OB，∴P的坐标为(0，0)．
②当⊙P与OC相切时，∵OP⊥OC，∴点O为切点．如图①，过点P作PE⊥y轴于点E，则EB＝EO，易知点P的纵坐标为1，
把y＝1代入y＝
x，得x＝
，
∴P的坐标为
③当⊙P与OA相切时，如图②，过点P作PF⊥x轴于点F，则PB＝PF，设点P的坐标为
此时，⊙P不会与线段OA相切，
∴a＝3＋
不合题意，舍去．
④当⊙P与AB相切时，如图③，设线段AB与直线OP的交点为G，此时PB＝PG，∴∠PBG＝∠BGP.
∵OP⊥AB，∴∠PBG＝∠BGP＝90°，这与三角形内角和定理矛盾，
∴此种情形不存在．
综上所述，满足条件的点P的坐标为(0，0)
或
或
.
【答案】
6．【2019·河北石家庄新华区期末】如图，点A是半径为12
cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，以2π
cm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到点A时立即停止运动，点B是OA延长线上的一点，AB＝OA，设点P运动的时间为t
s.
(1)如果∠POA＝90°，求t的值；
解：当∠POA＝90°时，点P运动的路程为⊙O周长的
或
.
当点P运动的路程为⊙O周长的
时，2π·t＝
×2π×12，
解得t＝3.
当点P运动的路程为⊙O周长的
时，2π·t＝
×2π×12，
解得t＝9.
综上，当∠POA＝90°时，t的值为3或9.
(2)当BP与⊙O相切时，求t的值．
解：如图，连接OP，则OP＝12
cm，OB＝24
cm.
∵BP与⊙O相切，∴∠OPB＝90°.
在Rt△OPB中，OP＝
OB，
∴∠B＝30°，∴∠BOP＝60°.
故当
BP与⊙O相切．
作点P关于OB的对称点P′，同理当P运动到P′时，点P运动的角度为360°－60°＝300°，
故当
BP与⊙O相切．
综上，当BP与⊙O相切时，t的值为2或10.(共41张PPT)
29.4
切线长定理
冀教版
九年级下
第二十九章 直线与圆的位置关系
1
2
3
4
6
7
8
9
B
D
A
8
48
见习题
B
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5
B
10
D
B
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11
12
13
A
D
B
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14
D
15
见习题
16
见习题
17
见习题
1．【2019·浙江杭州】如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝( )
A．2
B．3
C．4
D．5
B
2．【2020·青海西宁】如图，PA，PB与⊙O分别相切于A，B两点，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝( )
A.
B．2
C．2
D．3
B
3．【2019·湖南益阳】如图，PA，PB为⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D，下列结论不一定成立的是( )
A．PA＝PB
B．∠BPD＝∠APD
C．AB⊥PD
D．AB平分PD
D
4．如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为( )
A．2
B．3
C．4
D．4－
A
5．【创新考法】如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得WY＝0.5
m，并且XY⊥WY，则这个油桶的底面半径是( )
A．0.25
m
B．0.5
m
C．0.75
m
D．1
m
B
6．【2020·河北邯郸永年区期末】如图，△ABC是一张周长为18
cm的三角形纸片，BC＝5
cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为________cm.
8
7．【教材改编题】如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA分别与⊙O相切，且AB＝9，CD＝15，则四边形ABCD的周长为________．
48
8．如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠P＝60°.求：
(1)PA的长；
解：∵CA，CE都是⊙O的切线，
∴CA＝CE，
同理DE＝DB，PA＝PB，
∴△PCD的周长＝PD＋CD＋PC＝PD＋PC＋CA＋BD＝PA＋PB＝2PA＝12，∴PA的长为6.
(2)∠COD的度数．
解：∵∠P＝60°，
∴∠PCE＋∠PDE＝120°，
∴∠ACD＋∠CDB＝360°－120°＝240°.
∵CA，CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝∠OCA＝
∠ACD.
同理∠ODE＝
∠CDB，
∴∠OCE＋∠ODE＝
(∠ACD＋∠CDB)＝120°，
∴∠COD＝180°－120°＝60°.
9．【易错：混淆内心、外心的概念而致错】如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是( )
A．△ACD的外心
B．△ABC的外心
C．△ACD的内心
D．△ABC的内心
B
10．【2020·河北邯郸永年区期末】如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为( )
A．100°
B．160°
C．80°
D．130°
D
11．【2019·河北石家庄模拟】如图，在△ABC中，点I为△ABC的内心，点D在BC上，且ID⊥BC，若∠ABC＝44°，∠C＝56°，则∠AID的度数为( )
A．174°
B．176°
C．178°
D．180°
【点拨】∵∠ABC＝44°，∠C＝56°，
∴∠BAC＝180°－44°－56°＝80°.
∵点I为△ABC的内心，
∴∠ABI＝∠DBI＝
∠ABC＝22°，∠BAI＝
∠BAC＝40°，
∴∠AIB＝180°－22°－40°＝118°.
∵ID⊥BC，∴∠BDI＝90°.
∴∠BID＝180°－90°－22°＝68°，
∴∠AID＝360°－118°－68°＝174°.
【答案】A
12．【2021·福建】如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D，若AB＝6，PC＝4，则sin∠CAD等于( )
D
13．【2020·山东济宁】如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4，则△DBC的面积是( )
A．4
B．2
C．2
D．4
【点拨】过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H.
∵点D为△ABC的内心，∠A＝60°，
∴∠DBC＋∠DCB＝
(∠ABC＋∠ACB)＝
(180°－∠A)＝60°，
∴∠BDC＝180°－(∠DBC＋∠DCB)＝120°，
∴∠BDH＝60°.
又∵在Rt△BDH中，BD＝4，
∴BH＝2
.
∴△DBC的面积为
CD·BH＝
×2×2
＝2
.
故选B.
【答案】B
14．【2019·四川泸州】如图，等腰三角形ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AB＝AC＝5，BC＝6，则DE的长是( )
【点拨】连接OA，OE，OD，OB，OB交DE于点H，如图所示．
∵等腰三角形ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AO平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE＝BD.
∵AB＝AC，∴AO⊥BC.
∴点A，O，E共线，即AE⊥BC.
∴BE＝CE＝3.
∴在Rt△ABE中，
∵BD＝BE＝3，∴AD＝2.
设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，AO＝4－r.
在Rt△AOD中，r2＋22＝(4－r)2，
在Rt△BOE中，OB＝
∵BE＝BD，OE＝OD，
∴OB垂直平分DE.
∴DH＝EH，OB⊥DE.
易知
HE·OB＝
OE·BE，
∴HE＝
∴DE＝2HE＝
【答案】D
15．【2019·湖南常德】如图，⊙O与△ABC的边AC相切于点C，与边AB，BC分别交于点D，E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
证明：连接OD，CD.
∵CE是⊙O的直径，
∴∠EDC＝90°.∴ED⊥DC.
∵DE∥OA，∴OA⊥CD.
又∵OD＝OC，
∴∠AOD＝∠AOC.
∵AC是⊙O的切线，
∴∠ACB＝90°.
在△AOD和△AOC中，
∴△AOD≌△AOC(SAS)．
∴∠ADO＝∠ACB＝90°.
∴AD⊥DO.
又∵OD是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
(2)若BD＝4，EC＝6，求AC的长．
解：∵∠EDC＝90°，
∴∠DCE＋∠CED＝90°.
∵AB是⊙O的切线，
∴∠BDO＝90°.
∴∠BDE＋∠ODE＝90°.
∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED.
∴∠DCE＝∠BDE.
又∵∠B＝∠B，
∴△BDC∽△BED.
设BE＝x，∵BD＝4，EC＝6，
∴42＝x(x＋6)，
解得x＝2或x＝－8(舍去)．
∴BE＝2.∴BC＝BE＋EC＝8.
∵AD，AC都是⊙O的切线，
∴AD＝AC.
设AD＝AC＝y，在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，
∴(4＋y)2＝y2＋82，解得y＝6.
∴AC＝6.
16．【2019·湖北孝感】如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD，BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G，连接AI.
(1)求证：DG∥CA；
证明：如图所示．
∵点I是△ABC的内心，∴∠2＝∠7.
∵DG平分∠ADF，∴∠1＝
∠ADF.
∵∠ADF是⊙O的内接四边形ABCD的外角，∴∠ADF＝∠ABC.
∴∠1＝∠2.∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3.
∴DG∥CA.
(2)求证：AD＝ID；
证明：如图，∵点I是△ABC的内心，∴∠5＝∠6，∠2＝∠7.
∵∠4＝∠7＋∠5，
∴∠4＝∠2＋∠6＝∠3＋∠6，
即∠4＝∠DAI，∴AD＝ID.
(3)若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
解：如图，由题易知∠3＝∠7，
又∵∠ADE＝∠BDA，
∴△DAE∽△DBA.
∴AD?DB＝DE?DA，
即AD?(4＋5)＝4?AD.
∴AD＝6.∴DI＝6.∴BI＝BD－DI＝4＋5－6＝3.
17．【教材改编题】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为点D，E，F，
(1)若AC＝3，BC＝4，求△ABC内切圆的半径；
解：如图，连接OE，OF，设⊙O的半径为r.
在Rt△ABC中，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点
分别为点D，E，F，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，CE＝CF，AE＝AD，BF＝BD，
易得四边形CFOE为正方形，
∴CE＝CF＝OE＝r，
∴AD＝AE＝3－r，BD＝BF＝4－r，
∴3－r＋4－r＝5，解得r＝1，
即△ABC内切圆的半径为1.
(2)当AD＝5，BD＝7时，求△ABC的面积；
解：设⊙O的半径为R，
易得AE＝AD＝5，BF＝BD＝7，
∴AC＝5＋R，BC＝7＋R.
在Rt△ABC中，(5＋R)2＋(7＋R)2＝(5＋7)2，
解得R＝
－6或R＝－
－6(舍去)，
∴AC＝
－6＋5＝
－1，BC＝
－6＋7＝
＋1，
∴S△ABC＝
×(
－1)×(
＋1)＝35.
(3)当AD＝m，BD＝n时，△ABC的面积为________(用含m，n的式子表示)．
mn(共15张PPT)
29.1
点与圆的位置关系
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九年级下
第二十九章 直线与圆的位置关系
1
2
3
4
6
7
C
C
B
C
C
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5
B
A
8
9
C
10
6.5
cm或2.5
cm
11
见习题
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1．【2019·河北廊坊霸州市期末】已知点P在半径为5
cm的圆内，则点P到圆心的距离可以是( )
A．4
cm
B．5
cm
C．6
cm
D．7
cm
A
2．【2019?河北唐山路南区期中】已知⊙O的半径为5，点A为线段OP的中点，当OP＝14时，点A与⊙O的位置关系是( )
A．在圆内
B．在圆上
C．在圆外
D．不能确定
C
3．【易错：忽略题中所给条件为“直径”而致错】⊙O的直径为10
cm，如果点P到圆心O的距离是d，则( )
A．当d＝8
cm时，点P在⊙O内
B．当d＝10
cm时，点P在⊙O上
C．当d＝5
cm时，点P在⊙O上
D．当d＝6
cm时，点P在⊙O内
C
4．已知⊙O的半径OA长为1，OB＝
，则正确图形可能是( )
B
5．【创新题】雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”．现有一款监测半径为5
km的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在P点，每一个小格的边长为1
km，那么能被雷达监测到的最远点为( )
A．G点
B．H点
C．M点
D．N点
B
6．【2020·河北邯郸永年区期末】若点B(a，0)在以A(1，0)为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为( )
A．a＜－1
B．a＞3
C．－1＜a＜3
D．a≥－1且a≠0
C
7．【2020·河北唐山乐亭县期末】已知⊙O的半径为1，AO＝d，且关于x的方程x2－2dx＋1＝0有两个相等的实数根，则点A与⊙O的位置关系是( )
A．在⊙O内
B．在⊙O外
C．在⊙O上
D．无法确定
C
8．如图，数轴上有A，B，C三点，点A，C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，若点A，B，C分别在⊙O外、⊙O内、⊙O上，则原点O的位置应该在( )
A．点A与点B之间靠近A点
B．点A与点B之间靠近B点
C．点B与点C之间靠近B点
D．点B与点C之间靠近C点
C
9．【2020·河北石家庄藁城区期中】如图，数轴上半径为1的⊙O从原点O开始以每秒1个单位的速度向右运动，同时，距原点右边7个单位处有一点P以每秒2个单位的速度向左运动，经过________秒，点P在⊙O上．
【点拨】设经过x秒，点P在⊙O上．当第一次点P在⊙O上时，
(2＋1)x＝7－1，解得x＝2.
当第二次点P在⊙O上时，
(2＋1)x＝7＋1，解得x＝
.
10．【2021·青海】点P是非⊙O上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离为4
cm，最大距离为9
cm，则⊙O的半径为______________．
6.5
cm或2.5
cm
11．【教材改编题】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2AB.
(1)以点A为圆心，6为半径画⊙A，并说出点B，C，D与⊙A的位置关系；
解：画图略．点B在⊙A内，点C在⊙A外，点D在⊙A上．
(2)若以点A为圆心作⊙A，且使点B，C，D中至少有一点在⊙A内，同时至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r应满足什么条件？
解：连接AC，易得AD＝6，AC＝3
，则⊙A的半径r应满足的条件为3.(共36张PPT)
29.3
切线的性质和判定
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第二十九章 直线与圆的位置关系
1
2
3
4
6
7
8
9
B
D
见习题
D
A
A
D
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5
C
10
C
85
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11
12
13
见习题
见习题
14
见习题
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1．【2021·吉林长春】如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35°，则∠ACB的大小为( )
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
C
2．【2019·江苏无锡】如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B的度数为( )
A．20°
B．25°
C．40°
D．50°
B
3．【2020·浙江温州】如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D.若⊙O的半径为1，则BD的长为( )
A．1
B．2
C.
D.
D
4．【2020·浙江嘉兴】已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C.求证：AC＝BC.小明同学的证明过程如下框：
证明：连接OC，
∵OA＝OB，∴∠A＝∠B.
又∵OC＝OC，∴△OAC≌△OBC，∴AC＝BC.
小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．
解：证法错误．
证明：连接OC，∵⊙O与AB相切于点C，∴OC⊥AB.又∵OA＝OB，∴AC＝BC.
5．下列四个选项中的表述，正确的是( )
A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线
C
6．如图，已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P(点E，F在点P的两旁)，下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是( )
A．OP＝5
B．OE＝OF
C．O到直线EF的距离是4
D．OP⊥EF
D
7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，下列能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是( )
A．∠EAB＝∠C
B．∠B＝90°
C．EF⊥AC
D．AB＝AC
A
8．【荣德原创】已知⊙O及⊙O外一点P，过点P作⊙O的切线(只有圆规和三角板这两种工具)，以下是甲(图①)、乙(图②)两同学的作业：
下列说法正确的是( )
A．甲、乙都对
B．甲、乙都不对
C．甲对，乙不对
D．甲不对，乙对
A
9．【易错：考虑不全面漏解而致错】如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点为B、C，且∠BAC＝50°，D是⊙O上一动点(D不与B、C重合)，则∠BDC的度数为( )
A．130°
B．65°
C．50°或130°
D．65°或115°
【点拨】连接BO，CO，∵AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，∴∠ABO＝∠ACO＝90°，∵∠BAC＝50°，∴∠BOC＝130°，∴∠BDC＝65°或115°.故选D.
【答案】D.
10．【2021·浙江温州】如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B，将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，使点O′落在⊙O上，边A′B交线段AO于点C，若∠A′＝25°，则∠OCB＝________度．
【点拨】∵⊙O与△OAB的边AB相切，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°.
连接OO′，如图，
∵△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，
∴∠A＝∠A′＝25°，
∠ABA′＝∠OBO′，OB＝BO′.
∵OB＝OO′，
∴△OO′B为等边三角形，
∴∠OBO′＝60°，
∴∠ABA′＝60°，
∴∠OCB＝∠A＋∠ABC＝25°＋60°＝85°.
【答案】85
11．【易错：考虑不全面漏解而致错】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13，点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为____________．
【点拨】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BD＋CD＝18，
在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝12，
CD＝5，
当⊙P与BC相切时，点P到BC的距离为6，过点P作PH⊥BC于点H，如图①，则PH＝6.
∵∠C＝90°，∴AC⊥BC.∴PH∥AC.
易证△DPH∽△DAC，
∴PD＝6.5.
∴AP＝6.5.
当⊙P与AB相切时，点P到AB的距离为6，过点P作PG⊥AB于点G，如图②，则PG＝6.
∵AD＝BD＝13，∴∠PAG＝∠B.
又∵∠AGP＝∠C＝90°，
∴△AGP∽△BCA.
∵CD＝5＜6，
∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切．
综上所述，AP的长为6.5或
12．【2020·天津】在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°.
(1)如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；
解：∵∠APC是△PBC的一个外角，
∴∠C＝∠APC－∠ABC＝100°－63°＝37°.
∴∠BAD＝∠C＝37°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵∠ADC＝∠ABC＝63°，
∴∠CDB＝∠ADB－∠ADC＝90°－63°＝27°.
(2)如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．
解：连接OD，
∵CD⊥AB，∴∠CPB＝90°，
又∵∠ABC＝63°，
∴∠PCB＝180°－90°－63°＝27°.
∴∠BOD＝2∠PCB＝54°.
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，∴∠ODE＝90°.
∴∠E＝180°－90°－54°＝36°.
13．【教材改编题】如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦CD⊥AB于E，连接CO，CB.
(1)求证：PD是⊙O的切线；
证明：如图，连接OD.
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCO＝90°，即∠PCD＋∠OCD＝90°.
∵OA⊥CD，
∴CE＝DE，∠CEP＝∠DEP.
又∵PE＝PE，∴△PCE≌△PDE.
∴∠PDC＝∠PCD.
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠PDC＋∠ODC＝∠PCD＋∠OCD＝90°，即∠ODP＝90°，
∴OD⊥PD，∴PD是⊙O的切线．
(2)若AB＝10，tan
B＝
，求PA的长；
解：如图，连接AC.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
设AC＝m，BC＝2m，则由勾股定理得m2＋(2m)2＝102，解得m＝2
(负值舍去)，
∴AC＝2
，BC＝4
.
∵CE×AB＝AC×BC，
即10CE＝2
×4
，
∴CE＝4.
∵AB＝10，∴OA＝OC＝5.
在Rt△BCE中，
∴BE＝8，∴AE＝2，
∴OE＝OA－AE＝3.
(3)试探究线段AB，OE，OP之间的数量关系，并说明理由．
解：AB2＝4OE·OP.理由如下：
∵PC切⊙O于C，
∴∠OCP＝90°.
又∵∠OEC＝90°，
∴∠OCP＝∠OEC.
又∵∠COE＝∠POC，
∴△OCE∽△OPC，
∵OC＝
AB，
即AB2＝4OE·OP.
14．【2020·河北模拟】如图，AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，AC是弦，取
的中点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
证明：如图，连接OD.
∵D是
的中点，
∴
＝
，∴∠1＝∠2.
∵OA＝OD，∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
(2)当AB＝10，AC＝5
时，求
的长；
解：如图，连接BC，OC，则∠ACB是直角．
当AB＝10，AC＝5
时，
cos∠BAC＝
∴∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°.
(3)当AB＝20时，直接写出△ABC面积最大时，点D到直径AB的距离．
解：点D到直径AB的距离为5
.(共17张PPT)
提分专项（一）
三角形外心与内心的中考题型
冀教版
九年级下
第二十九章 直线与圆的位置关系
1
2
3
4
6
7
8
9
D
C
B
A
B
C
255
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答案显示
5
D
D
1．【2019·河北唐山路南区期中】下列说法正确的是( )
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．三角形的内心是三角形三边的垂直平分线的交点
C．圆内接四边形的对角互余
D．三角形的内心是三角形三个内角的平分线的交点
D
2．【2020·江苏连云港】10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A，B，C，D，E，O均是正六边形的顶点，则点O是下列哪个三角形的外心？( )
A．△AED
B．△ABD
C．△BCD
D．△ACD
D
3．如图，把△ABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN上，MN∥AB，则点O是△ABC的( )
A．外心
B．三条中线的交点
C．内心
D．三条高的交点
C
4．【2020·内蒙古通辽】根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是( )
B
5．【2020·河北承德县期末】已知点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBC＝28°，则∠A的度数为( )
A．28°
B．52°
C．56°
D．62°
D
6．【2020·河北】有一题目：“已知点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A.”嘉嘉的解答为：如图，画△ABC以及它的外接圆⊙O，连接OB，OC.由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同
的值．”下列判断正确的是( )
A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，∠A就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°
D．两人都不对，∠A应有3个不同值
【答案】A
7．【中考·河北】如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为( )
A．4.5
B．4
C．3
D．2
【点拨】如图，连接AI，BI，∵点I为△ABC的内心，∴AI平分∠CAB，∴∠CAI＝∠BAI.由平移得AC∥DI，∴∠CAI＝∠AID，∴∠BAI＝∠AID，
∴AD＝DI，同理可得BE＝EI，
∴△DIE的周长为DE＋DI＋EI＝DE＋AD＋BE＝AB＝4，
即阴影部分的周长为4，故选B.
【答案】B
8．【2019·河北模拟】如图，点O是△ABC的内心，M，N是AC上的点，且CM＝CB，AN＝AB，若∠ABC＝100°，则∠MON的度数为( )
A．60°
B．70°
C．80°
D．100°
【点拨】如图，连接OB，OC.
∵点O是△ABC的内心，
∴∠OCB＝∠OCM.
又∵CB＝CM，CO＝CO，
∴△OCB≌△OCM，
∴OB＝OM.同理可得OB＝ON.
∴点O为△BMN的外心．
∵∠ABC＝100°，
∴∠A＋∠ACB＝80°.
∵CB＝CM，AN＝AB，
∴∠CMB＝∠CBM，∠ANB＝∠ABN，
∴∠CMB＋∠ANB＝
×(360°－80°)＝140°，
∴∠MBN＝180°－140°＝40°.
∴∠MON＝2∠MBN＝2×40°＝80°.故选C.
【答案】C
9．【2019·河北改编】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，BC边上有一点P(P不与点B，C重合)，I为△APC的内心，若∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，则m＋n＝________．
【点拨】设∠BAP＝α，
∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，
∴∠PCA＝60°，∠PAC＝90°－α.
∵I为△APC的内心，
∴AI，CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC＝
∠PAC，∠ICA＝
∠PCA，
∴∠AIC＝180°－(∠IAC＋∠ICA)＝180°－
(∠PAC＋∠PCA)＝180°－
(90°－α＋60°)＝
α＋105°.
∵0°＜α＜90°，
∴105°＜
α＋105°＜150°，
即105°＜∠AIC＜150°，
∴m＝105，n＝150，
∴m＋n＝255.
【答案】255(共32张PPT)
29.5
正多边形与圆
冀教版
九年级下
第二十九章 直线与圆的位置关系
1
2
3
4
6
7
8
9
B
A
B
15
80
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5
10
见习题
B
D
答案显示
11
12
13
B
D
54
14
15
3π
16
见习题
C
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17
见习题
1．【2021·河北唐山玉田县期末】如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是
上不同于点C的任意一点，则∠BPC的大小是( )
A．22.5°
B．45°
C．30°
D．50°
B
2．【2020·河北石家庄长安区二模】如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是
上一点(点P不与点C重合)，则∠CPD＝( )
A．45°
B．36°
C．35°
D．30°
B
3．【2019·河北石家庄桥西区模拟】正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角的关系是( )
A．相等
B．互余
C．互补
D．互余或互补
A
4．【易错：忽略边心距与半径的关系而致错】已知圆内接正三角形的面积为
，则该圆的内接正六边形的边心距是( )
A．2
B．1
C.
D.
B
5．【2021·黑龙江绥化】边长为4
cm的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是________．
6．【2019·江苏扬州】如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B
在上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n＝________.
【点拨】连接BO，∵AC是⊙O的内接正六边形的一边，∴∠AOC＝360°÷6＝60°.∵BC是⊙O的内接正十边形的一边，∴∠BOC＝360°÷10＝36°，∴∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝60°－36°＝24°，∴n＝360°÷24°＝15.
【答案】
15
7．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是6，则它的外接圆圆心P的坐标是________．
8．【2020·湖南株洲】一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M，N分别在射线OA，OC上，则∠MON＝________度．
80
9．利用等分圆可以作正多边形，下列只利用直尺和圆规不能作出的正多边形是( )
A．正三角形
B．正方形
C．正六边形
D．正七边形
D
10．【教材改编题】在学习圆与正多边形时，嘉嘉、琪琪两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法：
(1)如图，作直径AD；
(2)作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点；
(3)连接AB，AC，那么△ABC为所求的三角形．
请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC，然后给出
解：两位同学的作法正确．
如图，连接BO，CO.
∵BC垂直平分OD，
∴OE＝
OD＝
OB.
△ABC是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由．
∴在Rt△OEB中，
cos∠BOE＝
∴∠BOE＝60°，
由垂径定理得∠COE＝∠BOE＝60°，
∴∠BOC＝120°.
∵AD为直径，
∴∠AOB＝∠AOC＝120°＝∠BOC，
∴AB＝CA＝BC，
即△ABC为等边三角形．
11．【2021·河北石家庄第二十八中月考】如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H.若该圆的半径为15
cm，则线段GH的长为( )
【点拨】在圆内接正六边形ABCDEF中，易知∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴AG＝BG，BH＝CH，
∠BGH＝∠BHG＝60°，AC＝2AN
∴△BGH为等边三角形，
∴BG＝GH＝BH，
∴AG＝GH＝CH，
连接OA，OB，OB交AC于N，
则OB⊥AC，∠AOB＝60°，AC＝2AN
∵OA＝15
cm，
【答案】B
12．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论中，错误的是( )
A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长
B.
C．弦AC的长等于圆内接正十二边形
的边长
D．∠BAC＝30°
D
13．德国数学家高斯在大学二年级时得出了正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件．下面是高斯正十七边形作法的一部分：“如图，已知AB是⊙O的直径，分别以A，B为圆心、
AB长为半径作弧，两弧交于点C，D……”若
AB长为2，则
的长为( )
C
14．【2020·广西玉林】如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD′E′F′处，此时边AD′与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是________．
【点拨】在正六边形ABCDEF中，
∠B＝∠BCD＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，∴∠ACD＝90°.
易得∠DAC＝30°，
∴AD＝2CD＝6，
∴阴影部分的面积＝S四边形ADEF＋S扇形DAD′－S四边形AD′E′F′＝S扇形DAD′＝
【答案】3π
15．【2020·黑龙江绥化】如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为
上一点(点P与点D，点E不重合)，连接PC，PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG等于________度．
54
16．(1)如图①，已知△PAC是圆O的内接正三角形，那么∠OAC＝________；
30°
(2)如图②，设AB是圆O的直径，AC是圆的任意一条弦，∠OAC＝α.
①如果α＝45°，那么AC能否成为圆内接正多边形的一条边？若有可能，那么此多边形是几边形？
解：能．连接OC，
∵α＝45°，OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∴正多边形的边数为
∴此多边形是正方形．
②若AC是圆的内接正n边形的一边，则用含n的代数式表示α应为________．
17．【2021·河北】如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An(n为1～12的整数)，过点A7作⊙O的切线交
延长线于点P.
(1)通过计算比较直径和劣弧A7A11哪个更长；
解：如图，连接OA7，OA11，
易知∠A7OA11＝
×4＝120°，
∴
的长＝
＝4π＞12，
∴
比直径长．
(2)连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；
解：PA1⊥A7A11.
理由：如图，连接A1O，
易知A7，O，A1三点共线．
∴A1A7是⊙O的直径，
∴∠A7A11A1＝90°，
∴PA1⊥A7A11.
(3)求切线长PA7的值．
解：∵PA7是⊙O的切线，
∴PA7⊥A1A7，
∴∠PA7A1＝90°.
由(1)知∠A7OA11＝120°，
∴∠A1OA11＝60°.
又∵OA1＝OA11，
∴△OA1A11为等边三角形，
∴∠PA1A7＝60°，∴PA7＝A1A7·tan
60°＝12
.(共53张PPT)
第二十九章综合复习训练
冀教版
九年级下
第二十九章 直线与圆的位置关系
1
2
3
4
6
7
8
9
C
D
C
B
见习题
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5
10
见习题
B
见习题
见习题
见习题
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11
12
13
B
B
(2，3)
14
15
C
16
C
219°
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17
B
18
19
60°或120°
20
见习题
答案显示
提示：点击
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21
见习题
1．在平面直角坐标系中，⊙A的半径为5，圆心A的坐标为(3，4)，点P的坐标是(5，8)，则点P与⊙A的位置关系是( )
A．点P在⊙A上
B．点P在⊙A内
C．点P在⊙A外
D．不确定
B
2．【中考·广东广州】平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线的条数为( )
A．0条
B．1条
C．2条
D．无数条
C
3．【2021·河北唐山玉田县期末】在平面直角坐标系内，已知点M(4，3)，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r的取值范围为( )
A．0＜r＜5
B．3＜r＜5
C．4＜r＜5
D．3＜r＜4
D
4．已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O公共点的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
C
5．如图，在?ABCD中，∠D＝60°，以AB为直径作⊙O，已知AB＝10，AD＝m.
(1)求点O到CD的距离(用含m的代数式表示)；
解：根据平行线间的距离处处相等，得点O到CD的距离即为点A到CD的距离．过A作AE⊥CD于E，
∵∠D＝60°，AD＝m，
∴AE＝AD·sin
D＝
m，即点O到CD的距离是
m.
(2)若m＝6，通过计算判断CD与⊙O的位置关系；
解：当m＝6时，
m＝3
>5，
故CD与⊙O相离．
(3)若线段CD与⊙O有两个公共点，求m的取值范围．
解：若线段CD与⊙O有两个公共点，则线段CD和该圆相交．当点C在圆上时，易得m＝5；
当线段CD与⊙O相切时，
m＝5，解得m＝
.
∴m的取值范围是5≤m<
.
6．【中考·福建】如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于( )
A．55°
B．70°
C．110°
D．125°
B
7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以点D为圆心，DB长为半径作⊙D.
求证：AC与⊙D相切．
证明：如图，过点D作DE⊥AC，垂足为点E.
∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DE⊥AC，
∴DE＝DB，即点D到AC的距离等于
⊙D的半径．∴AC与⊙D相切．
8．【2020·北京】如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F.
(1)求证：∠ADC＝∠AOF；
证明：连接OD.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BD.
又∵OF⊥AD，∴OF∥BD，
∴∠AOF＝∠B.
∵CD是⊙O的切线，
∴∠CDO＝90°.
∴∠ADC＋∠ADO＝90°.
又∵∠ADB＝90°，
∴∠ADO＋∠BDO＝90°.
∴∠ADC＝∠BDO.
∵OD＝OB，∴∠BDO＝∠B，
∴∠ADC＝∠AOF.
(2)若sin
C＝
，BD＝8，求EF的长．
解：由知OF∥BD，
∴设OD＝x，则OC＝3x，
∴OB＝OD＝x，∴BC＝4x.
∵OF∥BD，
∴OF＝6，
∴EF＝OF－OE＝6－4＝2.
9．【2019·河北唐山玉田县模拟】如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为弧BC的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA，BC.
(1)求证：EF为半圆O的切线；
证明：连接OD，
∵D为弧BC的中点，
∴∠CAD＝∠BAD.
∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴DO∥AE.∴∠ODF＝∠E.
∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，
∴∠ODF＝90°，∴OD⊥EF.
又∵OD是半圆O的半径，
∴EF为半圆O的切线．
(2)若DA＝DF＝6
，求弧BC的长(结果保留π)；
解：连接OC，∵DA＝DF，
∴∠F＝∠BAD.
∵∠DOF＝2∠BAD，
∴∠DOF＝2∠F.
由(1)可知OD⊥EF，
∴∠F＋2∠F＝90°，
∴∠F＝30°，∴∠DOF＝60°.
∵D为弧BC的中点，
∴∠COD＝∠DOF＝60°，
∴∠BOC＝120°.
在Rt△DOF中，DF＝6
，
∴OD＝DF·tan
F＝
(3)若AB＝20，直接写出当△ABC的面积最大时，点D到直径AB的距离．
【点拨】
过点D作DM⊥AB于点M，
由题意可知当△ABC的面积最大时，CO⊥AB，∴∠COB＝90°.
∵D为弧BC的中点，
∴△DOM是等腰直角三角形．
∵AB＝20，∴OD＝10，
即当△ABC的面积最大时，点D到直径AB的距离是5
.
【答案】解：当△ABC的面积最大时，点D到直径AB的距离是5
.
10．如图①，正方形ABCD的边长为4，点P为线段AD上的一动点，以BP为直径作半圆，圆心为O，线段OF∥AD，OF与CD相交于点F，与半圆O相交于点E.
(1)如图②，当点P与点D重合时，求EF的长；
解：在Rt△ABP中，根据勾股定理可得BP＝4
，∴OE＝OP＝2
.
∵OF∥AD∥BC，且O为BP的中点，
(2)当AP的长为何值时，CD与半圆O相切？
解：如图，延长EO与AB相交于点M.设AP的长为x.
∵OF∥AD，且O为BP的中点，
易知∠BMO＝90°，
在Rt△OBM中，根据勾股定理可得
解得x＝3.
即当AP的长为3时，CD与半圆O相切．
11．【2020·湖南湘西州】如图，PA，PB为圆O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D.下列结论不一定成立的是( )
A．△BPA为等腰三角形
B．AB与PD互相垂直平分
C．点A，B都在以PO为直径的圆上
D．PC为△BPA的边AB上的中线
B
12．如图，一条公路环绕山脚的部分是一段圆弧形状(O为圆心)，过A，B两点的切线交于点C，测得∠C＝120°，A，B两点之间的距离为60
m，则这段公路AB的长度是( )
B
13．【中考·江苏南京】如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C，D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝________．
219°
14．如图，△ABC的顶点B，C在直线l上，且其内心为I.固定C点，将△ABC按顺时针方向旋转，使得新三角形A′B′C的顶点A′落在l上，且其内心为I′，连接IC，I′A′，II′.若∠A＜∠ACB，则下列叙述正确的是( )
A．IC和I′A′平行，II′和l平行
B．IC和I′A′平行，II′和l不平行
C．IC和I′A′不平行，II′和l平行
D．IC和I′A′不平行，II′和l不平行
【点拨】过点I作ID⊥BA′于点D，过点I′作I′F⊥BA′于点F，如图所示，则ID∥I′F，
∵△ABC的内心为I，
△A′B′C的内心为I′，△ABC≌△A′B′C，
【答案】C
∴四边形IDFI′是平行四边形，
∴II′∥l.
∵∠A＜∠ACB，∠A＝∠B′A′C，
∴∠B′A′C＜∠ACB，
∴∠I′A′C＜∠ICD，
∴IC和I′A′不平行．
15．【2020·山东泰州】如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A，B，C在直角坐标系中的坐标分别为(3，6)，(－3，3)，(7，－2)，则△ABC内心的坐标为________．
(2，3)
16．【2021·河北衡水期中】如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是( )
A．60°
B．70°
C．72°
D．144°
C
17．【2021·河北】如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，S△AFO＝8，S△CDO＝2，则S正六边形ABCDEF的值是( )
A．20
B．30
C．40
D．随点O位置而变化
【点拨】连接AC，AD，CF，AD与CF交于点M，
可知M是正六边形ABCDEF的中心，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BAF＝120°，
∴∠BAC＝30°，∴∠FAC＝90°，
同理，∠DCA＝∠FDC＝∠DFA＝90°，
∴四边形ACDF是矩形．
【答案】B
18．【中考·山东菏泽】如图，直线y＝－
x－3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是______________．
【点拨】∵直线y＝－
x－3交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A(－4，0)，B(0，－3)．
∴OA＝4，OB＝3.∴AB＝5.
当点P在直线AB上方且⊙P与直线AB相切时，设切点为D，连接PD，如图所示．
则PD⊥AB，PD＝1.
∵∠ADP＝∠AOB＝90°，∠PAD＝∠BAO，
当点P在直线AB下方且⊙P与直线AB相切时，设切点为D′(此时⊙P记为⊙P′)，如图，易知
综上，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是
【答案】
19．【教材改编题】如图，∠ABC＝90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，
OB长为半径作⊙O，将射线BA绕点B按顺时针方向旋转一周，若在旋转过程中BA与⊙O相切，则旋转的角度为____________．
【点拨】如图，当BA1与⊙O相切时，设切点为P，连接OP，则∠OPB＝90°.
在Rt△OPB，OB＝2OP，
∴∠PBO＝30°，∴∠ABA1＝60°.
当BA2与⊙O相切时，
易得∠A2BO＝∠PBO＝30°，
则∠ABA2＝90°＋30°＝120°.
故旋转的角度为60°或120°.
【答案】60°或120
20．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝5，BC＝3，点P在边AB上运动，以P为圆心，PA长为半径作⊙P，若⊙P与平行四边形ABCD的边有四个公共点，则AP的长度的取值范围是______________．
【点拨】如图①，当⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE.
在Rt△ABC中，由勾股定理得
设AP＝x，则BP＝5－x，PE＝x，
∵⊙P与边BC相切于点E，
∴PE⊥BC.∵AC⊥BC，
∴AC∥PE，
如图②，当⊙P与CD相切时，设切点为F，连接PF.
∵S平行四边形ABCD＝
观察图形可知
＜AP＜
时，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4.
当⊙P过A，B，C三点时，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
此时AP＝
.
综上所述，AP的值的取值范围是
【答案】
21．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝9，半径为1的⊙O的圆心与点B重合，D，E分别为AC与⊙O上的动点．
探究
(1)当DE的长度最大时，求DE的长度；
解：探究(1)当点D与A重合，AB的延长线与⊙O的交点为E时，此时DE的长度
最大，为12＋1＝13.
(2)当DE的长度最小时，求DE的长度；
解：过点B作BD⊥AC，交AC于点D，交⊙O于点E，此时DE的长度最短．
在Rt△ABC中，AC＝
拓展
若⊙O从点B出发沿B→C→A→B的路线以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当⊙O与AC相切时，求t的值；
解：当点O在BC上且⊙O与AC相切时，过点O作OF⊥AC于点F.
易得△OFC∽△ABC，OF＝1，
当点O在AB上且⊙O与AC相切时，过点O作OG⊥AC于点G.
易得△OGA∽△CBA，OG＝1，
综上，⊙O与AC相切时，t的值为
延伸
当⊙O与AC有两个交点时，求t的取值范围．
解：易知当t＝8或t＝10时，点C在⊙O上；
当t＝23或t＝25时，点A在⊙O上，
∴当⊙O与AC有两个交点时，t的取值范围为
或(共38张PPT)
29.2
直线与圆的位置关系
冀教版
九年级下
第二十九章 直线与圆的位置关系
1
2
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4
6
7
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B
B
B
B
见习题
D
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5
B
10
D
A
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11
12
13
B
见习题
14
15
见习题
见习题
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1．已知⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系为( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法确定
A
2．如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是( )
A．以PA为半径的圆
B．以PB为半径的圆
C．以PC为半径的圆
D．以PD为半径的圆
B
3．【2020·河北邯郸武安市期末】如图，已知⊙O的半径为6，点O到某条直线的距离为8，则这条直线可以是( )
A．l1
B．l2
C．l3
D．l4
B
4．【教材改编题】如图，已知∠BOA＝30°，M为OB边上一动点，以M为圆心、2
cm为半径作⊙M.当OM＝5
cm时，直线OA与⊙M的位置关系是( )
A．相切
B．相离
C．相交
D．不能确定
B
5．【易错：混淆圆心到直线的距离而致错】已知⊙O的直径为6
cm，M是直线l上一点，且点M与圆心O之间的距离为3
cm，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相切
B．相切或相交
C．相交
D．相离或相切
【点拨】由题意可知，⊙O的半径r＝3
cm，∵直线上存在一点到圆心的距离d＝3
cm，∴直线与圆至少有一个交点．
①当圆与直线有且只有一个交点时，直线与圆相切．②当直线与圆有两个交点时，直线与圆相交．故选B.
B
6．【2020·广东广州】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝
，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r＝3时，AC与⊙B的位置关系是( )
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
B
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P在边AC上，⊙P的半径为1.如果⊙P与边BC和边AB都没有公共点，那么线段PC长的取值范围是________．
【点拨】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝4，当BC与⊙P相切时，PC＝1；当AB与⊙P相切时，设切点为D，如图，连接PD，则PD⊥AB，
∴∠C＝∠ADP＝90°.
又∵∠A＝∠A，
∴△ADP∽△ACB，
∴PA＝
，∴PC＝AC－PA＝
，
∴线段PC长的取值范围是
【答案】
8．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝－2x＋
与⊙O的位置关系怎样？
解：如图，画出直线y＝－2x＋，设直线与两坐标轴的交点分别为A，B.过O作OC⊥AB，垂足为C，在直线y＝－2x＋
中，令x＝0，解得y＝
；令y＝0，解得x＝
，∴A
，B(0，
)，即OA＝
，
OB＝
在Rt△AOB中，根据勾股定理得
又⊙O的半径为1，∴直线y＝－2x＋
与⊙O的位置关系是相切．
9．【2021·浙江嘉兴】已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O的半径为2
cm，线段OA＝3
cm，OB＝2
cm，则直线AB与⊙O的位置关系为( )
A．相离
B．相交
C．相切
D．相交或相切
D
10．【2019·河北保定模拟】如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A，B两点，点P的坐标为(3，－1)，AB＝2
.将⊙P沿着与y轴平行的方向平移，当⊙P与x轴相切时，平移距离为( )
A．1
B．2
C．3
D．1或3
【点拨】如图，连接PA，过点P作PC⊥AB于点C，则PC＝1，
在Rt△PAC中，PA2＝12＋(
)2＝4，
∴PA＝2，∴⊙P的半径是2.
将⊙P向上平移，当⊙P与x轴相切时，平移的距离为1＋2＝3；将⊙P向下平移，当⊙P与x轴相切时，平移的距离为2－1＝1.故选D.
【答案】D
11．【易错：忽略图形的不确定而漏解致错】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.点O为边AB上一点(O不与A重合)，⊙O是以点O为圆心，AO为半径的圆．当⊙O与三角形边的交点个数为3时，OA长的取值范围是( )
A．0＜OA≤
或2.5≤OA＜5
B．0＜OA＜
或OA＝2.5
C．OA＝2.5
D．OA＝2.5或
【点拨】如图所示，当圆心从O1到O3的过程中，⊙O与三角形边的交点个数为3，当恰好到达O3时则变为4个交点，
作O3D⊥BC于点D，
则∠O3DB＝∠ACB.
又∠O3BD＝∠ABC，
∴△O3BD∽△ABC.
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，
设O3A＝a，则O3B＝5－a，
⊙O与三角形边的交点个数为3.
当点O为AB的中点(即图中O4)时，⊙O与三角形边的交点个数为3，此时OA＝2.5.由上可得，当0＜OA＜
或OA＝2.5时，⊙O与三角形边的交点个数为3，故选B.
【答案】B
12．【2020·上海】在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，⊙O的半径为2，如果⊙O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是________________．
【点拨】在矩形ABCD中，∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.
如图①，设⊙O与AD边相切于点E，连接OE，则OE⊥AD，
又∵CD⊥AD，∴OE∥CD，
∴△AOE∽△ACD，
如图②，设⊙O与BC边相切于点F，连接OF，则OF⊥BC，
又∵AB⊥BC，
∴OF∥AB，
∴△COF∽△CAB，
∴OC＝
，∴AO＝AC－OC＝
.
∴如果⊙O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是
＜AO＜
.
【答案】
13．如图所示，P是直线y＝2x在第一象限上的一点，以点P为圆心，1为半径作⊙P，设点P的坐标为(x，y)．
(1)求当x为何值时，⊙P与直线y＝3相切，并求点P的坐标．
解：∵P是直线y＝2x上的一点，⊙P的半径为1，且与直线y＝3相切，
∴点P的纵坐标为2或4，
∴点P的横坐标为1或2.
∴点P的坐标为(1，2)或(2，4)．
(2)直接写出当x为何值时，⊙P与直线y＝3相交、相离．
解：当1＜x＜2时，
⊙P与直线y＝3相交，
当x＞2或0＜x＜1时，
⊙P与直线y＝3相离．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6.点E为CD边上的一个动点(不与C、D重合)，⊙O是△BCE的外接圆．
(1)若CE＝2，⊙O交AD于点F、G，求FG的长度．
解：过点O作OM⊥FG于点M，延长MO交BC于点N，连接OG.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴BE是⊙O的直径．
∵∠C＝∠D＝∠DMN＝90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∴MN⊥BC，MN＝CD＝AB＝4，
∴BN＝CN.
∵OB＝OE，
∴ON是△BCE的中位线，
∴ON＝
CE＝1，∴OM＝4－1＝3.
在Rt△BCE中，
在Rt△OMG中，
∴FG＝2MG＝2.
(2)若CE的长度为m，⊙O与AD的位置关系随着m的值的变化而变化，试探索⊙O与AD的位置关系及对应的m的取值范围．
解：由(1)易得ON＝
CE＝
m，OB＝
，OM＝4－
m.
当⊙O与边AD相切时，OM＝OB，
解得m＝
；
当⊙O与边AD相离时，OM＞OB，
当⊙O与边AD相交时，OM＜OB，
解得m＞
.
又∵点E在CD上，且不与C、D重合，
∴0＜m＜4.
∴当0＜m＜
时，⊙O与AD相离；
当m＝
时，⊙O与AD相切；
当
＜m＜4时，⊙O与AD相交．
15．【教材改编题】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10.点P是边AC上的动点(点P不与A，C重合)，设PC＝x，点P到AB的距离为y.
(1)求y关于x的函数关系式；
解：过点P作PH⊥AB于点H，
则PH＝y，在Rt△ABC中，BC＝
＝6，
AP＝AC－PC＝8－x.
∵∠PAH＝∠BAC，∠AHP＝∠ACB，
∴Rt△APH∽Rt△ABC，
(2)试讨论以点P为圆心，以x长为半径的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围．
解：当PH＝PC时，⊙P与AB所在直线相切，即
解得x＝3；
当PH＜PC时，⊙P与AB所在直线相交，
当PH＞PC时，⊙P与AB所在直线相离，
又∵0＜x＜8，
∴当0＜x＜3时，⊙P与AB所在直线相离；当x＝3时，⊙P与AB所在直线相切；当3＜x＜8时，⊙P与AB所在直线相交．(共37张PPT)
提分专项（三）
圆的常考综合题型
冀教版
九年级下
第二十九章 直线与圆的位置关系
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10
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1．【2020·河北唐山路南区期中】如图，已知⊙O是以数轴上原点O为圆心，半径为2的圆，∠AOB＝45°，点P在正半轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P点对应的数为x，则x的取值范围是___________．
2．【2020·河北唐山路北区期末】如图，AD是⊙O的弦，AC是⊙O直径，⊙O的切线BD交AC的延长线于点B，切点为D，∠DAC＝30°.
(1)求证：△ADB是等腰三角形；
证明：如图，连接OD.
∵∠DAC＝30°，OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAC＝30°，
∴∠DOC＝60°.
∵BD是⊙O的切线，
∴OD⊥BD，即∠ODB＝90°，
∴∠B＝30°，
∴∠DAC＝∠B，
∴DA＝DB，
即△ADB是等腰三角形．
(2)若BC＝
，则AD的长为________．
3
3．【2020·河北唐山乐亭县期末】如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于C，交⊙O于D.
(1)求证：AE平分∠BAC；
证明：如图，连接OE，
则OA＝OE，∴∠OEA＝∠OAE.
∵PQ切⊙O于E，∴OE⊥PQ.
∵AC⊥PQ，∴OE∥AC.
∴∠OEA＝∠EAC，
∴∠OAE＝∠EAC，
∴AE平分∠BAC.
(2)若AD＝EC＝4，求⊙O的半径．
解：如图，过点O作OM⊥AC于M，
又∠OEC＝∠ACE＝∠OMC＝90°，
∴四边形OECM为矩形，
∴OM＝EC＝4，
∴在Rt△AOM中，OA＝
4．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝9，边AB上有一点E，且AE＝1.连接CE，DE.以CE为直径的⊙O与线段CD交于点F，与线段DE交于点G.
(1)求证：AD是⊙O的切线；
证明：由题意知BE＝AB－AE＝9－1＝8，BC＝AD＝6.
在Rt△BCE中，
∴OE＝OC＝
CE＝5.
如图，过点O作OH⊥AD于点H，
OP⊥AB于点P，
则四边形APOH为矩形，
EP＝
BE＝4.
∴OH＝AP＝AE＋EP＝1＋4＝5＝OE.
∴OH为⊙O的半径，故AD是⊙O的切线．
(2)求GE的长．
解：如图，连接CG.
∵CE为直径，
∴∠CGE＝∠CGD＝90°.
设GE＝a，则
∴DG＝
－a.
在Rt△EGC和Rt△DGC中，
有CG2＝CE2－GE2＝CD2－DG2，
5．【2020·湖南湘潭】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E.
(1)求证：△ABD≌△ACD；
证明：∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BC，
在Rt△ADB和Rt△ADC中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)．
解：直线DE与⊙O相切，
理由如下：连接OD,
由△ABD≌△ACD知BD＝DC.
又∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.
∵OD为⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切．
(2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
6．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于点D.
(1)若AB＝8，∠ABC＝30°，求⊙O的半径；
解：在Rt△ABC中，
∵AB＝8，∠ABC＝30°，
∴AC＝
AB＝4，
∴⊙O的半径为2.
(2)若点E是边BC的中点，连接DE，求证：直线DE是⊙O的切线；
证明：连接OD，CD，
∵AC为⊙O的直径，
∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.
∵点E是边BC的中点，
∴DE＝CE＝
CB，
∴∠DCE＝∠CDE.
∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.
∵∠ACE＝∠OCD＋∠DCE＝90°，
∴∠ODC＋∠CDE＝90°，
即∠ODE＝90°.
∴OD⊥DE，
∴直线DE是⊙O的切线．
(3)在(1)的条件下，保持Rt△ACB不动，将⊙O沿直线BC向右平移m个单位长度后得到⊙O′，当⊙O′与直线AB相切时，m＝_____________．
7．已知⊙O的半径为2，
的度数是120°，E是
的中点．
(1)如图①，试说明：点O，E关于AB对称；
解：如图①，连接OA，OB，AE，
OE，设AB与OE交于点M.
∵E是的
中点，
∴OE⊥AB，∠AOE＝∠BOE＝
∠AOB.
∵
的度数是120°，∴∠AOB＝120°，
∴∠AOE＝∠BOE＝60°.
∵AO＝OE，∴△AOE是等边三角形．
∴OM＝EM.
∴AB垂直平分OE.
∴点O，E关于AB对称．
(2)如图②，把
沿直线AB折叠，⊙O的动弦CD始终与折叠后的
相切，求CD的长度的变化范围．
解：当弦CD过圆心O时最长，此时CD是直径，CD＝4；
当弦CD过A或B，与折叠后的弧相切时最短，这时CD与AE垂直(假设点C与点A重合)．
如图②，连接DE，AE，则DE过圆心O，
由(1)易知∠AED＝60°，AE＝OE＝2，
又∵ED＝4，
∴CD的长度变化范围是
8．如图，半圆O的直径AB＝4，点P(P不与点A，B重合)为半圆上一点，将图形沿着BP折叠，分别得到点A，O的对称点A′，O′，设∠ABP＝α.
(1)当α＝22.5°时，过点A′作A′C∥AB，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由．
解：相离，理由如下：
过点O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，
∵α＝22.5°，∴∠A′BP＝22.5°.
∵A′C∥AB，
∴∠CA′B＝∠ABA′＝45°，
∴DE＝
A′E，OE＝
BE，
∴DO＝DE＋OE＝
(A′E＋BE)＝
A′B＝
AB＞OA，
∴A′C与半圆O相离．
(2)当α＝________时，点O′落在
上．当α＝________时，BA′与半圆O相切．
(3)当线段BO′与半圆O只有一个公共点B时，α的取值范围是_____________________________．
30°
45°
0°＜α＜30°或45°≤α＜90°
9．【中考·河北】如图，AB＝16，O为AB的中点，点C在线段OB上(C不与点O，B重合)，将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧
于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP.
(1)求证：AP＝BQ；
证明：如图，连接OQ.
∵AP，BQ是⊙O的切线，
∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，
∴∠APO＝∠BQO＝90°.
∵O为AB的中点，
∴OA＝OB.
在Rt△APO和Rt△BQO中，
∴Rt△APO≌Rt△BQO，
∴AP＝BQ.
(2)当BQ＝4
时，求
的长(结果保留π)；
解：∵Rt△APO≌Rt△BQO，
∴∠AOP＝∠BOQ，
∴P，O，Q三点共线．
∵OB＝
AB＝8，BQ＝4
，
∴cos
B＝
∴∠B＝30°，
∴∠BOQ＝60°，OQ＝
OB＝4.
∴优弧
的度数为270°－60°＝210°.
∴优弧
的长＝
(3)若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围．
解：解：∵△APO是直角三角形，∴它的外心是OA的中点．易知OA＝8，
∴当△APO的外心在扇形COD的内部时，OC的取值范围为4＜OC＜8.
10．【2020·河北石家庄桥西区模拟】已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，⊙C与对角线BD相切．
(1)如图①，求⊙C的半径；
解：在矩形ABCD中，CD＝AB＝4，BC＝AD＝3，∠BCD＝90°，
如图①，设切点为H，连接CH.
∵BD与⊙C相切于H，
∴CH⊥BD，
根据勾股定理得
(2)如图②，点P是⊙C上一个动点，连接AP，AC，AP交⊙C于点Q，若sin∠PAC＝
，求∠CPA的度数和
的长；
解：如图②，连接CQ，过点C作CM⊥AP
于M，∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝5.
在Rt△ACM中，sin∠PAC＝
在Rt△CMP中，sin∠CPM＝
∴∠CPM＝60°，即∠CPA＝60°.
∵CP＝CQ，∴△CPQ是等边三角形，
∴∠PCQ＝60°，
(3)如图③，对角线AC与⊙C交于点E，点P是⊙C上一个动点，设点P到直线AC的距离为d，当0＜d≤
时，请直接写出∠PCE度数的取值范围．
解：∠PCE度数的取值范围为0°＜∠PCE≤60°或120°≤∠PCE＜180°.
