(共33张PPT)
30.3
由不共线三点的坐标确定二次函数
第三十章 二次函数
冀教版
九年级下
1
2
3
4
6
7
8
9
见习题
见习题
A
见习题
见习题
见习题
提示：点击
进入习题
答案显示
5
见习题
10
B
见习题
11
见习题
提示：点击
进入习题
答案显示
1．已知抛物线y＝2x2＋bx＋c过(1，0)，(3，4)两点，则该抛物线的表达式为( )
A．y＝x2－3x＋2
B．y＝2x2－6x＋4
C．y＝2x2＋6x－4
D．y＝x2－3x－2
B
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4，则经过A、B、C三点的抛物线的表达式为__________________．
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示．
(1)这个二次函数的表达式为____________；
(2)这个二次函数图像的对称轴是__________；
(3)该函数有最___值，当x＝___时，y取最____值________；
(4)当x＝________时，y＝3.
y＝x2－2x
直线x＝1
小
1
小
－1
－1或3
4．已知二次函数的图像经过点(0，3)，(－3，0),
(2，－5)，且与x轴交于A，B两点．
(1)求此二次函数的表达式．
解：设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，把点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)的坐标分别代入上式，得
∴二次函数的表达式为y＝－x2－2x＋3.
(2)判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图像上．如果在，求出△PAB的面积；如果不在，说明理由．
解：把x＝－2代入y＝－x2－2x＋3，得y＝3，∴点P(－2，3)在这个二次函数的图像上．令－x2－2x＋3＝0，得x1＝－3，x2＝1.
∴该函数图像与x轴的交点坐标为(－3，0)，(1，0)．∴AB＝4.
∴△PAB的面积为
×4×3＝6.
5．【教材改编题】已知一个二次函数图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x
…
－3
－2
－1
0
1
…
y
…
0
－3
－4
－3
0
…
(1)求这个二次函数的表达式；
解：设
y＝a(x＋3)(x－1)，将(0，－3)代入得a×3×(－1)＝－3，解得a＝1，
∴二次函数表达式为y＝(x＋3)(x－1)，即y＝x2＋2x－3.
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图像；
解：如图．
(3)当－3＜x＜1时，直接写出y的取值范围．
解：当－3＜x＜1时，y的取值范围是－4≤y＜0.
6．【2021·浙江杭州】在“探索函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c与图像的关系”活动中，老师给出了如图所示的直角坐标系中的四个点：A(0，2)，B(1，0)，C(3，1)，D(2，3)，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图像，发现这些图像对应的
函数表达式各不相同，其中a的值最
大为( )
【答案】A
7．【易错：忽略开口方向的不确定性而致错】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与抛物线y＝－x2的形状相同，当顶点坐标为(－1，3)时，相应的二次函数表达式为_______________________________．
【点拨】抛物线形状相同，则二次项系数相等或互为相反数．
y＝－(x＋1)2＋3或y＝(x＋1)2＋3
8．【2020·湖南衡阳改编】在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2＋px＋q的图像过点(－1，0)，(2，0)．
(1)求这个二次函数的表达式；
解：由关于x的二次函数y＝x2＋px＋q的图像经过(－1，0)和(2，0)两点，得
∴此二次函数的表达式为y＝x2－x－2.
(2)求当－2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差．
解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线
∴在－2≤x≤1范围内，当x＝－2时，函数有最大值，为(－2)2－(－2)－2＝4；当
时，函数有最小值，为
∴y的最大值与最小值的差为
9.【2020·河南】如图，抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式及点G的坐标；
解：∵抛物线y＝－x2＋2x＋c与y轴正半轴
交于点B，∴B(0，c)，
∴OA＝OB＝c，∴A(c，0)，
∴0＝－c2＋2c＋c，
∴c＝3或c＝0(舍去)，
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点G的坐标为(1，4)．
(2)点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，N)的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．
解：∵y＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
∵点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且
到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，
∴点M的横坐标为－2或4，点N的横坐标为6，
∴点M的坐标为(－2，－5)或(4，－5)，点N的坐标为(6，－21)，
∵点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，N)的一个动点，
∴当点M的坐标为(4，－5)时，－21≤yQ≤－5；当点M的坐标为(－2，－5)时，－21≤yQ≤4.
10．【中考·河北】如图，在2×2网格(每个小正方形的边长均为1)中有A，B，C，D，E，F，G，H，O九个格点．抛物线l的表达式为y＝(－1)nx2＋bx＋c(n为整数)．
(1)若n为奇数，且l经过点H(0，1)和C(2，1)，
求b，c的值，并直接写出哪个格点是该
抛物线的顶点；
解：n为奇数时，y＝－x2＋bx＋c，
∵l经过点H(0，1)和C(2，1)，
∴抛物线l的表达式为y＝－x2＋2x＋1.
格点E(1，2)是该抛物线的顶点．
(2)若n为偶数，且l经过点A(1，0)和B(2，0)，通过计算说明点F(0，2)和H(0，1)是否在该抛物线上；
解：n为偶数时，y＝x2＋bx＋c，
∵l经过点A(1，0)和B(2，0)，
∴抛物线l的表达式为y＝x2－3x＋2.
当x＝0时，y＝2，
∴点F(0，2)在该抛物线上，点H(0，1)不在该抛物线上．
(3)若l经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样条件的抛物线条数．
【点拨】
当n为奇数时，由(1)
中的抛物线平移又得到3条抛
物线，如图①所示；当n为偶
数时，由(2)中的抛物线平移又得到3条抛物线，如图②所示．
【答案】解：所有满足条件的抛物线共有8条．
11．【2020·河北石家庄新华区模拟】如图，抛物线y＝ax2＋(4a－1)x－4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且OC＝2OB，点D为线段OB上一动点(D不与点B重合)，过点D作矩形DEFH，点H，F在抛物线上，点E在x轴上．
(1)求抛物线的表达式；
解：令x＝0，得y＝－4.
∴C的坐标为(0，－4)，∴OC＝4.
∵OC＝2OB，∴OB＝2，∴B的坐标为(2，0)．
将(2，0)代入y＝ax2＋(4a－1)x－4，
得
∴抛物线的表达式为
(2)当矩形DEFH的周长最大时，求矩形DEFH的面积；
解：设点D的坐标为(x，0)，则H的坐标为
∵抛物线的对称轴为直线x＝
∴点H到对称轴的距离为x＋1.
∴易得DE＝FH＝2x＋2，
∴矩形DEFH的周长为2(2x＋2)＋2(－
x2－x＋4)＝－x2＋2x＋12＝－(x－1)2＋13，∴当x＝1时，
矩形DEFH的周长取得最大值13，此时H的坐标是
HF＝2x＋2＝4，∴DH＝
∴矩形DEFH的面积为HF·DH＝4×
＝10.
(3)在(2)的条件下，矩形DEFH不动，将抛物线沿着x轴向左平移m个单位，抛物线与矩形DEFH的边交于点M，N，连接MN.若直线MN恰好平分矩形DEFH的面积，求m的值．
解：如图，连接BH，EH，DF，设EH与DF交于点G，过点G作BH的平行线，交ED于点M，交HF于点N，则直线MN恰好平分矩形DEFH的面积．
由(2)知，抛物线的对称轴为直线x＝－1，H的坐标为
∴G的坐标为
设直线BH的表达式为y＝kx＋b，
将(2，0)，(1，－
)代入，
∴直线BH的表达式为
∴可设直线MN的表达式为
将(－1，－
)代入，解得n＝
，
∴直线MN的表达式为
当y＝0时，x＝－
，
∴M的坐标为(－
，0)，
∵B的坐标为(2，0)，
∴m的值为(共28张PPT)
30.4
二次函数的应用
第2课时 用二次函数解决实际问题中的最值问题
第三十章 二次函数
冀教版
九年级下
1
2
3
4
6
7
8
9
75
A
1
558
B
C
C
B
提示：点击
进入习题
答案显示
5
见习题
10
C
见习题
11
12
见习题
见习题
提示：点击
进入习题
答案显示
1．【2019·河北邢台桥西区模拟】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6
cm，BC＝12
cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1
cm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2
cm/s的速度移动(Q不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么当四边形APQC的面积最小时，经过的时间是( )
A．1
s
B．2
s
C．3
s
D．4
s
【点拨】设P，Q同时出发后经过的时间为t
s，四边形APQC的面积为S
cm2，则有S＝S△ABC－S△PBQ＝×12×6－
(6－t)×2t＝t2－6t＋36＝(t－3)2＋27.∵0＜t＜6，
∴当t＝3时，S取得最小值．故选C.
【答案】C
2．【2019·河北唐山乐亭县模拟】某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1
m宽的门，已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27
m，则能建成的饲养室面积最大为________m2.
75
3．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8－x)个，为了使一天出售该种手工艺品的总利润y(元)最大，则x的值为( )
A．4
B．5
C．6
D．8
A
4．便民商店销售一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y(单位：元)与每件销售价x(单位：元)之间的关系满足y＝－2(x－20)2＋1
558，由于某种原因，每件销售价x(单位：元)满足15≤x≤22，那么一周可获得的最大利润是________元．
1
558
5．某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销知，这种服装每天的销售量t(单位：件)与每件的销售价x(单位：元)满足一次函数关系式：t＝－3x＋204.
(1)该商场卖这种服装每天的销售利润y(单位：元)与每件的销售价x(单位：元)之间的函数表达式为______________________；
y＝－3x2＋330x－8
568
(2)该商场要想每天获得最大销售利润，每件的销售价定为________元最合适，最大利润是________元．
55
507
6．已知某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)之间的关系满足h＝－(t－4)2＋20.若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为( )
A．3
s
B．4
s
C．5
s
D．6
s
B
7．【2020·山西】竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度，v0(m/s)是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5
m的高处以20
m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为( )
A．23.5
m
B．22.5
m
C．21.5
m
D．20.5
m
C
8．【教材改编题】使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y(m3)与旋钮的旋转角度x(°)(0°＜x≤90°)近似满足函数关系式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．下图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y与旋钮的旋转角度x的三组数据，根据上述函数
模型和数据，可推断出此燃气灶烧开
一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角
度约为( )
A．18°
B．36°
C．41°
D．58°
【点拨】设该函数图像的最低点的横坐标为x0，则x0＞
且x＜54，即36＜x0＜54，故选C.
【答案】C
9．【易错：忽略取值范围而致错】某地区一段时间内温度y与时间t的函数关系满足y＝－t2＋12t＋2，当7≤t≤10时，该地区的最高温度是( )
A．38℃
B．37℃
C．36℃
D．34℃
B
10．【教材改编题】某社区决定把一块长50
m，宽30
m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小、形状都相同的矩形)，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14
m，且不大于26
m，设绿化区较长边为x
m，活动区的面积为y
m2.小明同学根据出口宽度不小于14
m，得出x≤18.
(1)求y与x之间的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；
解：根据题意，得绿化区的宽为[30－(50－2x)]÷2＝x－10(m)，
∴y＝50×30－4x(x－10)＝－4x2＋40x＋1
500(12≤x≤18)．
(2)求活动区的最大面积；
解：y＝－4x2＋40x＋1
500＝－4(x－5)2＋1
600.
∵－4＜0，∴当12≤x≤18时，y随x的增大而减小，
∴当x＝12时，y取得最大值，最大值为1
404，即活动区的最大面积为1
404
m2.
(3)预计活动区造价为50元/m2，绿化区造价为40元/m2，若该社区的此项建造投资费用不得超过72
000元，求投资费用最少时活动区的出口宽度．
解：设投资费用为w元，由题意得w＝50
(－4x2＋40x＋1
500)＋40×4x(x－10)＝－40(x－5)2＋76
000.
当w＝72
000时，解得x1＝－5(不合题意，舍去)，x2＝15.
∵－40＜0，12≤x≤18，
∴当15≤x≤18时，w≤72
000.
∵当15≤x≤18时，w随x的增大而减小，
∴当x＝18时，投资费用最少，此时活动区的出口宽度为50－2×18＝14(m)．
11．【2020·辽宁盘锦】某服装厂生产A品牌服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中x为10的正整数倍．
(1)当100≤x≤300时，y与x的函数
表达式为_______________；
(2)某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？
解：当x＝200时，
y＝－20＋110＝90.
∵90×200＝18
000(元)，
∴需要支付18
000元．
(3)零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x(100≤x≤400)件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？
解：当100≤x≤300时，w＝(－
x＋110－71)x＝－
x2＋39x＝－
(x－195)2＋3
802.5.
∵x为10的正整数倍，
∴当x＝190或x＝200时，w有最大值，最大值是－
×(200－195)2＋3
802.5＝3
800.
②当300＜x≤400时，w＝(80－71)x＝9x.
∴当x＝400时，w有最大值，最大值是9×400＝3
600.
∵3
800＞3
600，
∴x为190或200时，w最大，最大值是3
800.
12．【创新考法】有一块缺角矩形地皮ABCDE(如图①)，其中AB＝110
m，BC＝80
m，CD＝90
m，∠EDC＝135°，现准备用此地建一座地基为长方形的数学大楼，建筑公司在接受任务后，设计了如图②所示的甲、乙、丙三种方案．
(1)求出甲、乙两种方案的地基面积；
解：方案甲的地基面积为80×90＝7
200(m2)；
方案乙的地基面积为110×[80－(110－90)]＝6
600(m2)．
(2)若设地基的面积为S
m2，宽为x
m，求方案丙中S与x的表达式；
解：如图，延长CD，与NM的延长线交于点F.
∵NM＝x
m，
∴MF＝(80－x)m，
∵∠EDC＝135°，
∴易得DF＝(80－x)m，
∴NB＝CD＋DF＝90＋(80－x)＝(170－x)m，
∴S＝(170－x)x＝－x2＋170x.
(3)你认为选用上述哪一种方案，才能使地基面积最大？
解：∵S＝－x2＋170x＝－(x－85)2＋7
225，
∴当60＜x＜80时，S随x的增大而增大，
∴6
600＜S＜7
200，
∴选用方案甲，才能使地基面积最大．(共12张PPT)
提分专项（四）
二次函数的图像和性质
冀教版
九年级下
第三十章 二次函数
1
2
3
4
6
7
B
A
D
见习题
见习题
提示：点击
进入习题
答案显示
5
C
B
1．【2020·河北唐山路南区期中】下列图像中，有可能是函数y＝ax2＋a(a≠0)的图像的是( )
B
2．【2020·山东菏泽】一次函数y＝acx＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系中的图像可能是( )
B
3．【2020·河北模拟】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图像如图所示，则一次函数y＝cx－
与反比例函数y＝
在同一坐标系内的大致图像是( )
A
4．【2020·河北辛集期末】已知(－1，y1)，(2，y2)，(3，y3)在二次函数y＝－x2＋4x＋c的图像上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是( )
A．y1＜y2＜y3
B．y3＜y2＜y1
C．y3＜y1＜y2
D．y1＜y3＜y2
D
5．【2021·陕西】下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x
…
－2
0
1
3
…
y
…
6
－4
－6
－4
…
下列选项中，正确的是( )
A．这个函数的图像开口向下
B．这个函数的图像与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于－6
D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
C
6．【2020·北京】在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)上任意两点，其中x1＜x2.
(1)若抛物线的对称轴为直线x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c?
解：∵y1＝y2＝c，
∴x1和x2中一定有一个是0.
∵对称轴是直线x＝1，x1＜x2，
∴x1＝0，x2＝2.
(2)设抛物线的对称轴为直线x＝t，若对于x1＋x2＞3，都有y1＜y2，直接写出t的取值范围．
7．【2020·河北石家庄新华区一模节选】如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图像经过点P(－2，3)．
(1)求a的值和图像的顶点坐标．
解：把P(－2，3)的坐标代入y＝x2＋ax＋3，得a＝2，
∴y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2.
∴图像的顶点坐标为(－1，2)．
(2)点Q(m，n)在该二次函数图像上．
①当m＝2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图像直接写出n的取值范围．
解：①当m＝2时，n＝22＋2×2＋3＝11.
②2≤n＜11.(共47张PPT)
第三十章综合复习训练
冀教版
九年级下
第三十章 二次函数
1
2
3
4
6
7
8
9
见习题
C
D
见习题
B
提示：点击
进入习题
答案显示
5
10
见习题
A
见习题
①②④
C
答案显示
11
12
13
见习题
见习题
见习题
14
15
B
16
见习题
B
提示：点击
进入习题
1．【2020·河北石家庄二十八中月考】下列关系式中，属于二次函数的是(x是自变量)( )
A．y＝
x2
B．y＝
C．y＝
D．y＝ax2＋bx＋c
A
2．已知
是关于x的二次函数．
(1)求m的值．
解：根据题意，得m2＋4m－3＝2，且m＋3≠0，
解得m＝－5或m＝1，且m≠－3.
∴m＝－5或m＝1.
(2)当m为何值时，该函数图像的开口向上？
解：∵函数图像的开口向上，
∴m＋3>0.
∴m>－3.
由(1)知m＝－5或m＝1，
∴m＝1.
∴当m＝1时，该函数图像的开口向上．
(3)当m为何值时，该函数有最大值？
解：∵函数有最大值，
∴m＋3<0.
∴m<－3.
由(1)知m＝－5或m＝1，
∴m＝－5.
∴当m＝－5时，该函数有最大值．
3．【2020·河北唐山路南区期中】对于二次函数y＝5(x－3)2＋2的图像，下列说法不正确的是( )
A．顶点是(3，2)
B．开口向上
C．与x轴有两个交点
D．对称轴是x＝3
C
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是( )
A．函数有最小值
B．函数图像的对称轴是直线x＝
C．当x＜
时，y随x的增大而减小
D．当－1＜x＜2时，y＞0
D
·
·
5．【2020·江苏南京】下列关于二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1(m为常数)的结论：①该函数的图像与函数y＝－x2的图像形状相同；②该函数的图像一定经过点(0，1)；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图像的顶点在函数y＝x2＋1的图像上．其中所有正确结论的序号是__________．
①②④
6．【2020·河北唐山乐亭县期末】如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(－1，0)、C(0，－3)两点．
(1)求抛物线的表达式和顶点坐标；
解：将A(－1，0)和C(0，－3)的坐标代入y＝x2＋bx＋c，得
∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－3.
∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴抛物线的顶点坐标为(1，－4)．
(2)当0＜x＜3时，请直接写出y的取值范围．
解：y的取值范围为－4≤y＜0.
7．对于一个函数，当自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2＋2x＋c有两个相异的不动点x1，x2，则c的取值范围是( )
A．c＜－3
B．c＜－2
C．c＜
D．c＜1
【点拨】由题意知，二次函数y＝x2＋2x＋c的两个相异不动点x1，x2是方程x2＋2x＋c＝x的两个实数根，
整理，得x2＋x＋c＝0，
则1－4c＞0，
解得c＜
.
【答案】C
8．【2020·贵州毕节】已知y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，对称轴为直线x＝2.若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，且x1＜x2，－1＜x1＜0，则下列说法正确的是( )
A．x1＋x2＜0
B．4＜x2＜5
C．b2－4ac＜0
D．ab＞0
B
9．【2021·河北模拟】抛物线y＝
x2－mx＋
m2－2(m＞0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，若点A的坐标为(1，0)．
(1)求抛物线的表达式；
解：把A(1，0)的坐标代入y＝
x2－mx＋
m2－2，得
－m＋
m2－2＝0，整理得m2－2m－3＝0，
解得m1＝－1(舍去)，m2＝3，
当m＝3时，抛物线的表达式为y＝
x2－3x＋
.
(2)当n≤x≤2时，y的取值范围是－
≤y≤5－n，求n的值．
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝－
＝3，
∴当n≤x≤2时，y随x的增大而减小，而－
≤y≤5－n，
∴当x＝2时，y＝－
；
当x＝n时，y＝5－n，
即
n2－3n＋
＝5－n，
整理得n2－4n－5＝0，
解得n1＝5(舍去)，n2＝－1，
∴n的值为－1.
10．【2019·湖北十堰】某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg，设第x天的销售价格为y(元/kg)，销售量为m(kg)．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤x≤30时，y＝40；当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当x＝36时，y＝37；当x＝44时，y＝33.②m与x的关系为m＝5x＋50.
(1)当31≤x≤50时，y与x的关系式为____________．
(2)当x为多少时，当天的销售利润W(元)最大？最大利润为多少？
解：依题意，得W＝(y－18)·m，
∴W＝
当1≤x≤30时，∵110＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x＝30时，W取得最大值，为110×30＋1
100＝4
400；
当31≤x≤50时，W＝－
x2＋160x＋1
850＝－
(x－32)2＋4
410.
∵－
＜0，
∴当x＝32时，W取得最大值，为4
410.
综上所述，当x为32时，当天的销售利润W(元)最大，最大利润为4
410元．
(3)若超市希望第31天到第35天的日销售利润W(元)随x的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a元/kg，求a的最小值．
解：依题意，得W＝(y＋a－18)·m＝－
x2＋(160＋5a)x＋1
850＋50a.
∵第31天到第35天的日销售利润W随x的增大而增大，
∴a的最小值为3.
11．【2021·河北】如图，这是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5(各拐角均为90°)，每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶
T1到x轴的距离OK＝10，从点A处向
右上方沿抛物线L∶y＝－x2＋4x＋12
发出一个带光
的点P.
(1)求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；
解：令y＝0，得－x2＋4x＋12＝0，解得x＝6(舍去)或x＝－2，
∴点A的横坐标为－2，补画如图，
点P会落在T4台阶上．
(当－x2＋
4x＋12＝7时，解得x＝－1(舍去)
或x＝5，P(5，7)在T4上)
(2)当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的表达式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；
解：设抛物线C的表达式为y＝－(x－h)2＋11，
∵抛物线C过(5，7)，
∴7＝－(5－h)2＋11，解得h＝3(舍去)或h＝7，
∴抛物线C的表达式为y＝－(x－7)2＋11，
∴抛物线C的对称轴为直线x＝7.
∵台阶T5两端坐标分别为(6，6)与M(7.5，6)，
∴抛物线C的对称轴与台阶T5有交点．
(3)在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2.在△BDE沿x轴左右平移时，必须保证(2)中沿抛物线C下落的点P能落在边BD(包括端点)上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？
[注：(2)中不必写x的取值范围]
解：∵抛物线C固定，要使点P落在边BD上，
则点B横坐标最小时抛物线C过点B，点B横坐标最大时抛物线C过点D.
∵点B，点D纵坐标分别为2，0，点B，点D横坐标大于7，
∴当－(x－7)2＋11＝2时，解得x＝4(舍去)或x＝10，∴点B横坐标最小为10.
当－(x－7)2＋11＝0时，解得x＝7－
(舍去)或x＝7＋，∴点B横坐标最大为8＋
.
∵8＋
－10＝
－2，
∴点B横坐标的最大值比最小值大
－2.
12.【2019·湖北随州】某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p(百千克)与销售价格x(元/千克)满足函数关系式p＝
x＋8.从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q(百千克)与销售价格x(元/千克)满足一次函数关系，部分数据如下表：
销售价格x/
(元/千克)
2
4
…
10
市场需求量q/
百千克
12
10
…
4
已知按物价部门规定，销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克．
(1)直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围．
解：q＝－x＋14，其中2≤x≤10.
(2)当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．
①当每天的半成品食材能全部售出时，求x的取值范围；
解：当每天的半成品食材能全部售出时，有p≤q，
即
x＋8≤－x＋14，解得x≤4.
又∵2≤x≤10，∴2≤x≤4.
②求厂家每天获得的利润y(百元)与销售价格x的函数关系式．
解：由①可知，当2≤x≤4时，y＝(x－2)p＝(x－2)·
＝
x2＋7x－16；当4＜x≤10时，
(3)在(2)的条件下，当x为______元/千克时，利润y有最大值；若要使每天的利润不低于24(百元)，并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为______元/千克．
【点拨】当2≤x≤4时，y＝
x2＋7x－16＝
(x＋7)2－
，
∴当2≤x≤4时，y随x的增大而增大．
∴当x＝4时，y有最大值，
y最大＝
×42＋7×4－16＝20.
当4＜x≤10时，y＝－x2＋13x－16＝－
＋
，
∵－1＜0，10>
＞4，
∴当x＝
时，y有最大值
.
∵20＜
，
∴当x为
元/千克时，利润y有最大值．
要使每天的利润不低于24(百元)，则当2≤x≤4时，显然不符合．
故y＝－
≥24，
解得5≤x≤8.
∵尽可能减少半成品食材的浪费，
∴x应定为5元/千克．
【答案】
13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图像上部分点的坐标(x，y)的对应值如表所示：
则方程ax2＋bx＋1.37＝0的根是( )
A.
B.
或4－
C．0或4
D．无实根
B
14．已知抛物线y＝mx2＋4x＋m＋3开口向下，且与坐标轴的公共点有且只有2个，则m的值为( )
A．m＝－4
B．m＝－3或m＝－4
C．m取－3、－4、0或1
D．－4＜m＜0
B
15．已知二次函数y＝3x2＋2x＋n，当自变量x的取值在－1≤x≤1的范围内时，图像与x轴有且只有一个公共点，则n的取值范围是__________________．
【点拨】抛物线的对称轴为直线x＝－
＝－
，若抛物线与x轴有两个交点，且在－1≤x≤1的范围内时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，则当x＝－1时，y＜0且当x＝1时，y≥0，即3－2＋n＜0且
3＋2＋n≥0，解得－5≤n＜－1；若抛物线与x轴只有一个交点，则22－4×3n＝0，在－1≤x≤1的范围内时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，即n＝
，综上所述，n的取值范围是－5≤n＜－1或n＝
.
【答案】
16．【2019·黑龙江龙东地区】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(3，0)、点B(－1，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式；
解：将点A(3，0)、点B(－1，0)的坐标代入y＝x2＋bx＋c，得
∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－3.
(2)过点D(0，3)作直线MN∥x轴，点P在直线MN上且S△PAC＝S△DBC，直接写出点P的坐标．
解：点P的坐标为(4，3)或(8，3)．(共15张PPT)
30.1
二次函数
第三十章 二次函数
冀教版
九年级下
1
2
3
4
6
7
8
9
D
C
D
y＝a(1＋x)2
－1
见习题
见习题
提示：点击
进入习题
答案显示
5
D
10
见习题
A
1．【2020·河北张家口涿鹿县期中】下列函数是二次函数的是( )
A．y＝x(x＋1)
B．x2y＝1
C．y＝2x2－2(x－1)2
D．y＝x－0.5
A
2．【教材改编题】已知二次函数y＝2－3x＋x2，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为( )
A．a＝2，b＝－3，c＝1
B．a＝2，b＝3，c＝1
C．a＝1，b＝3，c＝2
D．a＝1，b＝－3，c＝2
D
3．【易错：忽略二次函数二次项系数不为0而致错】已知二次函数y＝(a－1)x2－x＋a2－1的常数项为0，则a的值为( )
A．±1
B．1
C．－1
D．无法确定
【点拨】∵二次函数y＝(a－1)x2－x＋a2－1的常数项为0，∴a2－1＝0，∴a＝±1，又∵a－1≠0，∴a≠1，
∴a的值为－1.
本题易忽视二次项系数a－1≠0这一隐含条件，而错选A.
C
4．【2019·河北石家庄新华区期末】下列函数关系中，是二次函数的是( )
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆的面积S与半径R之间的关系
D
5．如图，正方形ABCD的边长为5，点E是AB上一点(不与点A，B重合)，点F是AD延长线上一点，且BE＝DF.四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数表达式为( )
A．y＝5－x(0＜x＜5)
B．y＝5－x2(0＜x＜)
C．y＝25－x(0＜x＜25)
D．y＝25－x2(0＜x＜5)
D
6．【2020·河南改编】国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加.2019年我国快递业务收入为a亿元，设我国2019年至2021年快递业务收入的年平均增长率为x，则2021年我国快递业务的收入y(亿元)与x的函数表达式为____________．
y＝a(1＋x)2
7．若y＝(m－1)xm2＋1是二次函数，则m的值是________．
－1
8．在寒假期间，石家庄市某中学九年级1班的每两名同学都通一次电话，若每两名同学之间仅通一次电话，那么通电话次数y与该班人数x之间的关系式为__________，当x＝48时，对应的y＝__________．
1
128
9．一个花园门的形状如图所示，它的上部分是半圆，下部分是矩形，矩形的一边长是2.5
m.
(1)求花园门的面积S(m2)关于上部分半圆的半径r(m)之间的函数关系式；
解：
(2)求当上部分半圆的半径为2
m时，花园门的面积(结果精确到0.1
m2)．
解：当r＝2时，
答：花园门的面积约为16.3
m2.
10．【2020·河北辛集期末】某商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果售价每上涨5元，销售量就减少100件．
(1)设这种衬衫的售价上涨x元，则销售量为__________件．
(800－20x)
(2)设商场销售这批衬衫获得的利润为y元，写出y关于x的函数表达式；
解：根据(1)得y＝(60＋x－50)(800－20x)，整理得y＝－20x2＋600x＋8
000.
(3)如果商场销售这批衬衫要获利润12
000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种衬衫应提价多少元？
解：由题意得－20x2＋600x＋8
000＝12
000，整理，得x2－30x＋200＝0，解得x1＝10，x2＝20.
为使顾客获得更多的优惠，所以x＝10.
答：这种衬衫应提价10元．(共32张PPT)
30.4
二次函数的应用
第3课时 把二次函数问题转化成一元二次方程问题
第三十章 二次函数
冀教版
九年级下
1
2
3
4
6
7
8
9
D
B
2
见习题
见习题
A
见习题
提示：点击
进入习题
答案显示
5
12
10
B
见习题
11
见习题
提示：点击
进入习题
答案显示
1．【2020·河北唐山乐亭县期末】小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系大致满足二次函数y＝－
x2＋
x＋
，则小强此次成绩为( )
A．8米
B．10米
C．12米
D．14米
B
2．【教材改编题】如图，一名运动员在距离篮圈中心4
m(水平距离)远处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当篮球运行的水平距离为2.5
m时，达到最大高度3.5
m，然后准确落入篮圈．建立平面直角坐标系，已知篮圈中心到地面的距离为
3.05
m，则在这次跳投中，篮
球运行的高度为3.3
m时，篮
球运行的水平距离是( )
A．1.5
m
B．3
m
C．3.5
m
D．1.5
m或3.5
m
【答案】D
3．从地面竖直向上先后抛出两个小球，小球的高度h(m)与小球运动时间t(s)之间的函数表达式为h＝－
(t－3)2＋40，若后抛出的小球经过2.5
s比先抛出的小球高
m，则抛出两个小球的间隔时间是( )
A．1
s
B．1.5
s
C．2
s
D．2.5
s
B
4．如图，某建筑物有一抛物线形的大门，门的宽度AB＝8
m，门高OE＝
m，用一根长为4
m的小竹竿CD竖直接触地面和门的内壁，则AC的长为________m.
2
5．如图，一个横截面为抛物线形的隧道底部宽12
m、高6
m．车辆双向通行(车辆间的间隔忽略不计)，若规定车辆必须在中心线两侧距离道路边缘2
m的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于m的空隙，要保证高为3
m的车辆能够通过，
行车道最宽可铺设________m.
【点拨】建立如图所示的平面直角坐标系．
根据题意得A(0，6)，B(6，0)，设抛物
线的表达式为y＝ax2＋6，把(6，0)代入，
得a＝－
，所以抛物线的表达式为
解得x＝4或x＝－4.因为是双车道，且车辆必须在中心线两侧距离道路边缘2
m的范围内行驶，所以行车道最宽可铺设2×(4＋2)＝12(m)．
【答案】12
6．【2019·河北唐山丰南区期中】如图①，这是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形，当水面的宽度为10
m时，桥洞与水面的最大距离是5
m.
(1)经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案(如图②)，你选择的方案是_________(填“方案一”“方案二”或“方案三”)，则B点坐标是________，求出你所选方案中的抛物线的表达式；
方案二
(10，0)
【点拨】(1)题答案不唯一．
解：由题意知抛物线的顶点坐标为(5，5)，且经过点O(0，0)，
∴可设抛物线的表达式为y＝a(x－5)2＋5，把(0，0)代入，得0＝a(0－5)2＋5，解得a＝－
，
∴抛物线的表达式为y＝－
(x－5)2＋5.
(2)因为上游水库泄洪，水面高度上涨了3.2
m，求此时水面的宽度．
解：当y＝3.2时，－
(x－5)2＋5＝3.2，解得x1＝2，x2＝8.
∵8－2＝6(m)，
∴此时水面的宽度为6
m.
7．【教材改编题】一球从地面抛出后的运动路线呈抛物线形，如图．当球离抛出地的水平距离为30
m时，达到最大高度10
m.
(1)求出抛物线的表达式，球被抛出多远？
解：根据题意，设抛物线的表达式为y＝a(x－30)2＋10，
把(0，0)代入得a＝－
.
所以抛物线的表达式为y＝－
(x－30)2＋10＝－
x2＋
x.
当y＝0时，－
x2＋
x＝0，
解得x1＝0，x2＝60.
故球被抛出60
m远．
(2)当球的高度为
m时，球离抛出地的水平距离是多少？
解：当y＝
时，
＝－
x2＋
x，解得x1＝50，x2＝10.
故球离抛出地的水平距离是10
m或50
m.
8．飞机着陆后滑行的距离y(m)关于滑行时间t(s)的函数表达式是y＝60t－
t2.在飞机着陆滑行中，滑行最后的150
m所用的时间是( )
A．10
s
B．20
s
C．30
s
D．40
s或30
s
【点拨】当y取得最大值时，飞机停下来．由y＝60t－
t2＝－
(t－20)2＋600，得t的取值范围是0≤t≤20，y的最大值为600.当y＝600－150＝450时，60t－
t2＝450，解得t1＝10，t2＝30(不合题意，舍去)，∴滑行最后的150
m所用的时间是20－10＝10(s)，故选A.
【答案】A
9．【易错：最后结果未根据实际意义合理取舍而致错】某单位为响应“创建全国文明城市”的号召，不断美化环境，拟在一块矩形空地ABCD上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18
m，另外三边由36
m长的栅栏围成．设矩形空地ABCD中，垂直于墙的边AB＝x
m，面积为y
m2(如图)．
(1)求y与x之间的函数表达式，并求出自变量x的取值范围；
解：y＝x(36－2x)＝－2x2＋36x.
∵0＜36－2x≤18，∴9≤x＜18.
∴y与x之间的函数表达式为y＝－2x2＋36x(9≤x＜18)．
(2)若矩形空地ABCD的面积为160
m2，求x的值；
解：由题意得－2x2＋36x＝160，
解得x1＝8，x2＝10，
∵9≤x＜18，∴x＝10.
(3)当矩形空地ABCD的面积最大时，利用的墙长是多少米？并求此时的最大面积．
解：∵y＝－2x2＋36x＝－2(x－9)2＋162，9≤x＜18，
∴当x＝9时，y有最大值162.
∴36－2x＝36－18＝18，
∴矩形空地ABCD的面积最大时，利用的墙长是18
m，此时的最大面积为162
m2.
10．【2020·河北】我们常用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x(cm)的平方成正比，当x＝3时，W＝3.
(1)求W关于x的函数表达式．
解：设W＝kx2，
把x＝3，W＝3代入W＝kx2，
得3＝9k，解得k＝
，∴W＝
x2.
(2)如图，选一块厚度为6
cm的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗)，设薄板的厚度为x
cm，Q＝W厚－W薄．
①求Q与x的函数表达式；
②x为何值时，Q是W薄的3倍？
[注：(1)及(2)中的①都不必写x的取值范围]
解：①Q＝
(6－
x)2－
x2
＝
x2－4x＋12－
x2
＝－4x＋12.
②由题意得，－4x＋12＝3×
x2，
解得x1＝2，x2＝－6(不合题意，舍去)，
∴x＝2时，Q是W薄的3倍．
11．【教材改编题】如图，△ABC是一块铁板余料，BC＝150
cm，高AD＝75
cm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形的一边QM在BC边上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC边上，设矩形PQMN的一边PN＝x
cm，面积为S
cm2.
(1)求S与x之间的函数表达式；
解：∵四边形PQMN是矩形，
∴PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∵PN∥BC，AD⊥BC，
∴AD⊥PN.
∴
.
设PQ＝a
cm，则AE＝(75－a)cm，
∴
，
∴a＝75－
x.
∴S＝(75－
x)x＝－
x2＋75x.
(2)矩形PQMN的相邻两边长分别为何值时，它的面积有最大值？最大值是多少？
解：∵S＝－
x2＋75x＝－
(x－75)2＋2
812.5，
－
<0，
∴当x＝75时，S取最大值，为2
812.5，
此时PQ＝75－
×75＝37.5(cm)．
故矩形PQMN的相邻两边长分别为75
cm和37.5
cm时，它的面积有最大值，最大值是2
812.5
cm2.
(3)当S＝2
500时，求矩形PQMN的相邻两边的长度．
解：当S＝2
500时，有－
(x－75)2＋2
812.5＝2
500.
∴(x－75)2＝625，
解得x1＝50，x2＝100.
当
x＝50时，
PQ＝75－
×50＝50(cm)；
当
x＝100时，
PQ＝75－
×100＝25(cm)．
故当S＝2
500时，矩形PQMN的相邻两边的长度分别为50
cm和50
cm或100
cm和25
cm.(共30张PPT)
30.2
二次函数的图像和性质
第4课时
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图像和性质
第三十章 二次函数
冀教版
九年级下
1
2
3
4
6
7
8
9
A
D
A
A
3
见习题
C
提示：点击
进入习题
答案显示
5
B
10
C
C
11
12
13
14
见习题
B
A
见习题
提示：点击
进入习题
答案显示
15
见习题
16
见习题
1．【2020·河北唐山乐亭县期末】抛物线y＝－(x－3)2＋7的顶点坐标是( )
A．(－3，7)
B．(－3，－7)
C．(3，7)
D．(3，－7)
C
2．【2020·河北邯郸武安市期末】二次函数y＝(x＋1)2－2的最小值是( )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
A
3．【中考·内蒙古呼伦贝尔】二次函数y＝(x＋2)2－1的图像大致为( )
D
4．【中考·浙江宁波】二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0)的图像在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
A
5．抛物线y＝(x＋2)2＋(m2＋1)(m为常数)的顶点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
B
6．【2019·河北唐山开平区模拟】对于抛物线y＝－(x＋2)2＋3，下列结论中正确的个数为( )
①抛物线开口向下；
②对称轴是直线x＝－2；
③不经过第一象限；
④当x＞2时，y随x的增大而减小．
A．4
B．3
C．2
D．1
A
7．【2020·甘肃兰州】点A(－4，3)，B(0，k)在二次函数y＝－(x＋2)2＋h的图像上，则k＝________．
3
8．【教材改编题】已知抛物线y＝－(x－1)2＋3.
(1)抛物线的对称轴是__________，顶点坐标是________；
直线x＝1
(1，3)
(2)选取适当的数值填入下表，并在如图所示的直角坐标系中画出该抛物线；
x
…
…
y
…
…
－1
0
1
2
3
－1
2
3
2
－1
画抛物线如图所示．
(3)当x满足________时，y随x的增大而减小；
(4)当－1≤x≤4时，y的取值范围是___________；
(5)当y≤2时，x的取值范围是___________．
x≥1
－6≤y≤3
x≤0或x≥2
9．把函数y＝(x－1)2＋2的图像向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后图像的函数表达式为( )
A．y＝x2＋4
B．y＝(x－2)2
C．y＝x2
D．y＝(x－2)2＋4
C
10．抛物线的函数表达式为y＝3x2，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为( )
A．y＝3(x＋3)2＋2
B．y＝3(x－3)2＋2
C．y＝3(x－3)2－2
D．y＝3(x＋3)2－2
C
11．把二次函数y＝a(x－h)2＋k的图像先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到二次函数y＝
x2的图像．
(1)试确定a，h，k的值；
解：a＝
，h＝1，k＝－5.
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解：图像的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－5)．
12．【易错：忽略不唯一性而导致漏解】已知二次函数y＝(x－h)2＋1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为( )
A．1或－5
B．－1或5
C．1或－3
D．1或3
【点拨】本题需要考虑h＜1，1≤h≤3，h>3三种情况．
B
13．【2019·广西玉林】已知抛物线C：y＝
(x－1)2－1，顶点为D(如图)，将C沿水平方向向右(或向左)平移|m|个单位长度，得到抛物线C1，顶点为D1，C与C1相交于点Q，若∠DQD1＝60°，则m等于( )
A
14．如图，已知抛物线y＝a(x－h)2＋k与x轴的一个交点为A(3，0)，与y轴的交点为B(0，3)，对称轴为直线x＝1.
(1)求抛物线对应的函数表达式；
解：由题意可知h＝1，
则y＝a(x－1)2＋k.
将点(3，0)，(0，3)的坐标代入上式，
故抛物线对应的函数表达式为y＝－(x－1)2＋4.
(2)已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标．
解：①当MA＝MB时，M的坐标为(0，0)；
②当AB＝AM时，M的坐标为(0，－3)；
③当AB＝BM时，∵AB＝
＝3
，
∴M的坐标为(0，3＋3
)或(0，3－3
)．
故点M的坐标为(0，0)或(0，－3)或(0，3＋3
)或(0，3－3
)．
15．已知抛物线y＝－(x－m)2＋1与x轴的交点为A，B(点B在点A的右边)，与y轴的交点为C，当点B在原点右边，点C在原点下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
解：存在．
∵点B在x轴上，点C在y轴上，△BOC为等腰三角形，∴BO＝CO.
对于y＝－(x－m)2＋1，令y＝0，
则x1＝m＋1，x2＝m－1.
∵点B在点A的右边，∴B的坐标为(m＋1，0)．
∵点B在原点右边，
∴OB＝m＋1.
对于y＝－(x－m)2＋1，令x＝0，则y＝1－m2，
∴C的坐标为(0，1－m2)．
∵点C在原点下方，
∴OC＝m2－1.
∴m＋1＝m2－1.
解得m1＝2，m2＝－1(舍去)．
∴m＝2.
16．【中考·河北】如图，已知点O(0，0)，A(－5，0)，B(2，1)，抛物线l：y＝－(x－h)2＋1(h为常数)与y轴的交点为C.
(1)若l经过点B，求它的表达式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；
解：把(2，1)代入y＝－(x－h)2＋1，得1＝－(2－h)2＋1.
解得h＝2.
∴抛物线l的表达式为y＝－(x－2)2＋1，
∴抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点坐标是(2，1)．
(2)设点C的纵坐标为yC，求yC的最大值，此时l上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1＞x2≥0，比较y1与y2的大小；
解：由题意可知，点C的横坐标为0，∴yC＝－h2＋1.
∴当h＝0时，yC取得最大值1，
此时抛物线l的表达式为y＝－x2＋1，∴当x>0时，y随x的增大而减小，且当x＝0时，y取最大值．
∴当x1＞x2≥0时，y1＜y2.
(3)当线段OA被l分为两部分，且这两部分的比是1∶4时，求h的值．
解：∵线段OA被l分为两部分，且这两部分的比是1∶4，O(0，0)，A(－5，0)，∴把线段OA分为两部分的点的坐标为(－1，0)或(－4，0)．
把(－1，0)代入y＝－(x－h)2＋1，得0＝－(－1－h)2＋1，
解得h＝0或h＝－2.
∵当h＝－2时，线段OA被l分为三部分，∴不合题意，舍去．
把(－4，0)代入y＝－(x－h)2＋1，得0＝－(－4－h)2＋1，
解得h＝－5或h＝－3.
∵当h＝－3时，线段OA被l分成三部分，∴不合题意，舍去．
综上所述，h的值是0或－5.(共19张PPT)
提分专项（六）
二次函数的图像和系数的关系
冀教版
九年级下
第三十章 二次函数
1
2
3
4
6
7
C
＝；＜；＞
B
C
提示：点击
进入习题
答案显示
5
B
a＞b＞d＞c
8
D
9
正
10
①②③⑤
1．二次函数y＝ax2，y＝bx2，y＝cx2，y＝dx2的图像分别为如图所示的抛物线①②③④，则a，b，c，d的大小关系为______________．
a＞b＞d＞c
2．抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝bx2如图所示，则不等式－ax＋b＞0的解集是__________．
3．若二次函数y＝3x2＋(b－3)x－4的图像如图所示，则b的值是( )
A．－5
B．0
C．3
D．4
C
4．当抛物线y＝x2－nx＋2的对称轴是y轴时，n______0；当对称轴在y轴左侧时，n______0；当对称轴在y轴右侧时，n______0.(填“＞”“＜”或“＝”)
＝
＜
＞
5．【中考·贵州六盘水】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则( )
A．c＞0
B．c＜0
C．c≤0
D．c≥0
B
6．【2020·辽宁葫芦岛】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③4a＋b2＜4ac；④3a＋c＜0.其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【点拨】①根据抛物线开口向下可知a＜0，又因为对称轴在y轴右侧，所以b＞0.
因为抛物线与y轴正半轴相交，所以c＞0，所以abc＜0，所以①错误；
②因为抛物线的对称轴是直线x＝1，即
所以b＝－2a，所以b＋2a＝0，所以②正确；
③因为b＝－2a，若4a＋b2＜4ac成立，则4a＋4a2＜4ac.
∵a＜0，∴c＜1＋a＜1.根据抛物线与y轴的交点知，c＞1，所以③错误；
④当x＝－1时，y＜0，即a－b＋c＜0.因为b＝－2a，所以3a＋c＜0，所以④正确．
故选B.
【答案】B
7．【2020·四川遂宁】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，对称轴为直线x＝－1，则下列结论中不正确的是( )
A．b2＞4ac
B．abc＞0
C．a－c＜0
D．am2＋bm≥a－b(m为任意实数)
【点拨】由图像可得a＞0，c＞0，
b2－4ac＞0，－
＝－1，
∴b＝2a＞0，b2＞4ac，
∴abc＞0，故A，B均正确．
∵当x＝－1时，y＜0，∴a－b＋c＜0，
∴－a＋c＜0，即a－c＞0，
故C不正确．
当x＝m时，y＝am2＋bm＋c.
当x＝－1时，y有最小值，为a－b＋c，
∴am2＋bm＋c≥a－b＋c，
∴am2＋bm≥a－b，
故D正确．故选C.
【答案】C
8．【2019·河北邢台临西县期中】抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图像如图所示，下列结论：
①abc＜0；②4ac＜b2；③方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；④3a＋c＞0；
⑤当y≥0时，x的取值范围是－1≤x≤3.
其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【点拨】∵抛物线开口向下，∴a＜0.
∵对称轴在y轴的右侧，∴
∴b＞0.
∵抛物线与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确．
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2－4ac＞0，∴b2＞4ac，故②正确．
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
点(－1，0)关于直线x＝1的对称点的坐标为(3，0)，
∴方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3，故③正确．
∵－
＝1，∴b＝－2a.
∵x＝－1时，y＝0，∴a－b＋c＝0，
∴a＋2a＋c＝0，∴3a＋c＝0，故④错误．
∵抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，抛物线开口向下，
∴当y≥0时，－1≤x≤3，故⑤正确．
故选D.
【答案】D
9．【2020·河北唐山路南区期中】如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，则bc的值为________(填“正”或“负”)．
正
10．【2020·河北张家口涿鹿县期中】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a＋b＞0；④其顶点坐标为
；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小；
⑥a＋b＋c＞0中．其中正确的是
________．(只填序号)
①②③⑤(共24张PPT)
提分专项（七）
抛物线的交点问题
冀教版
九年级下
第三十章 二次函数
1
2
3
4
6
7
D
D
－1＜x＜2
2，3，4
提示：点击
进入习题
答案显示
5
D
C
8
见习题
见习题
1．在平面直角坐标系中，若函数y＝(k－2)x2－2kx＋k的图像与坐标轴共有三个交点，则k的值可能为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
C
2．【2020·河北辛集期末改编】我们定义一种新函数：形如y＝|ax2＋bx＋c|(a≠0，b2－4ac＞0)的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”
函数y＝|x2－2x－3|的图像(如图所示)，
则图像与坐标轴的交点坐标为
_________________________．
(－1，0)，(3，0)和(0，3)
3．【荣德原创】当－4＜m＜0时，抛物线y＝x2＋4x－m与坐标轴的交点的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
D
4．【中考·河北】对于题目“一段抛物线L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)与直线l：y＝x＋2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值．”甲的结果是c＝1，乙的结果是c＝3或c＝4，则( )
A．甲的结果正确
B．甲、乙的结果合在一起才正确
C．乙的结果正确
D．甲、乙的结果合在一起也不正确
【点拨】分两种情况．
情况一：如图①，当抛物线与直线相切时，
令－x(x－3)＋c＝x＋2，
整理得x2－2x＋2－c＝0，
∴(－2)2－4(2－c)＝0，解得c＝1.
情况二：如图②，抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点．
把x＝3代入y＝x＋2，得y＝5.
∴易得2＜c≤5.
又∵c为整数，
∴c可取3，4，5.
综上，c可取1，3，4，5.故选D.
【答案】D
5．【2020·广西梧州】二次函数y＝(a－1)x2－(2a－3)x＋a－4的图像与x轴有两个公共点，a取满足条件的最小整数，将图像在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新图像，当直线y＝kx－2(k≠0)与新图像恰有三个公共点时，则k的值不可能是( )
A．－1
B．－2
C．1
D．2
【点拨】∵二次函数y＝(a－1)x2－(2a－3)x＋a－4的图像与x轴有两个公共点，∴[－(2a－3)]2－4(a－1)(a－4)＝8a－7＞0且a－1≠0，解得a＞
且a≠1，∵a取满足条件的最小整数，∴a＝2，∴y＝(a－1)x2－(2a－3)x＋a－4＝x2－x－2.设原抛物线交x轴于点A，B，
交y轴于点C，将图像在x轴上方的部分沿x轴翻折，
其余部分保持不变，得到一个新图像(如图所示)，
对于y＝x2－x－2，令y＝0，则x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2；令x＝0，则y＝－2.
∴点A，B，C的坐标分别为(－1，0)，
(2，0)，(0，－2)，
由题意知直线y＝kx－2过点C(0，－2)．
①当k＞0时，若直线y＝kx－2与新图像恰有三个公共点，则该直线过点B，C，
将点B的坐标代入y＝kx－2得0＝2k－2，解得k＝1.
②当k＜0时，若直线y＝kx－2与新图像恰有三个公共点，则该直线过A，C点或该直线与y＝x2－x－2的图像只有一个交点．
当该直线过点A，C时，将点A的坐标代入y＝kx－2得0＝－k－2，解得k＝－2；
当该直线与y＝x2－x－2的图像只有一个交点时，
令x2－x－2＝kx－2，即x2－(k＋1)x＝0，
∴[－(k＋1)]2－4×1×0＝0，解得k＝－1.综上，k＝1或k＝－2或k＝－1，故选D.
【答案】D
6．【2020·江苏无锡】二次函数y＝ax2＋c的图像与直线y＝kx＋b(k＞0)交于点M(－2，m)、N(1，n)(mn＜0)，则关于x的不等式ax2＋kx＋(c－b)＞0的解集为__________．
－1＜x＜2
7．如图，二次函数y＝x2－x＋m(m＞0)的图像交y轴于点A，顶点为P，直线PA与x轴交于点B.在第一象限内，以AB为边作正方形ABCD.若二次函数的图像与正方形ABCD的边CD有公共点，则符
合条件的整数m的值为________．
【点拨】
∴P(2，
m)，又∵A(0，m)，
∴易得直线PA的表达式为
令y＝0，则－
mx＋m＝0，
∵m＞0，∴x＝3，故B(3，0)．
如图，过点D作DH⊥y轴于点H，
∴∠HAD＋∠HDA＝90°，∠DHA＝90°.
∵∠HAD＋∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠HDA，
∵∠AOB＝∠DHA＝90°，AD＝AB，
∴△AOB≌△DHA，
∴HD＝AO＝m，AH＝BO＝3，
故D(m，m＋3)．
同理可得C(m＋3，3)．
∵二次函数的图像与正方形ABCD的边CD有公共点，
∴当x＝m时，y≤m＋3，
化简得m3－4m2≤18.
∴m＝1，2，3，4都是上述不等式的解，
当m≥5时，(m－2)2－4≥5，
∴符合条件的正整数m的值为1，2，3，4；
当x＝m＋3时，y≥3，
∵m＞0，
显然m＝1不是上述不等式的解，
当m≥2时，(m＋1)2＋2≥11，
∴此时(m＋1)2＋2＞
.
∴符合条件的正整数m的值为2，3，4.
【答案】2，3，4
8．【2019·河北保定模拟】如图，在平面直角坐标系的第一象限中，有一点A(1，2)，AB∥x轴且AB＝6，点C在线段AB的垂直平分线上，且AC＝5，将抛物线y＝ax2(a＞0)的对称轴右侧的部分记作G.
(1)若G经过C点，求抛物线的表达式．
解：过点C作CH⊥AB于点H.
∵点C在线段AB的垂直平分线上，
∴CA＝CB＝5，AH＝HB＝3.
在Rt△ACH中，CH＝
∴C的坐标是(4，6)．
∵抛物线y＝ax2(a＞0)经过C点，
∴6＝16a，∴a＝
，
∴抛物线的表达式为
(2)若G与△ABC有交点．
①求a的取值范围；
解：由题意可知B(7，2)．
当抛物线经过点A时，有2＝a·12，即a＝2.
当抛物线经过点B时，有2＝49a，
即
∵G与△ABC有交点，∴
≤a≤2.
②当0＜y≤8时，反比例函数y＝
的图像经过G上一点，求k的最大值．
解：由题意知，当a＝
时，y＝
x2.
当y＝8时，8＝
x2.
又∵x＞0，∴x＝14，
∴当反比例函数y＝
的图像经过点(14，8)时，k的值最大，此时k＝112，
即k的最大值为112.(共30张PPT)
30.2
二次函数的图像和性质
第5课时
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
第三十章 二次函数
冀教版
九年级下
1
2
3
4
6
7
8
9
C
B
A
C
C
C
B
提示：点击
进入习题
答案显示
5
C
10
D
11
12
13
14
见习题
C
A
a≥1
提示：点击
进入习题
答案显示
15
见习题
16
见习题
1．【2020·河北石家庄高邑县期末】老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线y＝2x2＋4x－4的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是( )
A．只有丁
B．乙和丁
C．乙和丙
D．甲和丁
D
2．【2019·河北保定模拟】将二次函数y＝x2－6x＋5用配方法化成y＝(x－h)2＋k的形式，下列结果中正确的是( )
A．y＝(x－6)2＋5
B．y＝(x－3)2＋5
C．y＝(x－3)2－4
D．y＝(x＋3)2－9
C
3．【2020·广西百色】将抛物线y＝(x＋1)2＋1平移，使平移后得到抛物线y＝x2＋6x＋6，则需将原抛物线( )
A．先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度
B．先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
C．先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度
D．先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度
B
4．【2021·河北模拟】对二次函数y＝
x2＋2x＋3的描述正确的是( )
A．该函数图像的对称轴在y轴左侧
B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．函数图像开口向下
D．该函数图像与y轴的交点位于y轴负半轴
A
5．【教材改编题】已知二次函数y＝mx2＋x＋m(m－2)的图像经过原点，则m的值为( )
A．0或2
B．0
C．2
D．无法确定
C
6．【2020·河北保定阜平县期中】二次函数y＝m2x2－4x＋1有最小值－3，则m等于( )
A．1
B．－1
C．±1
D．±
C
7．【2019·四川遂宁】二次函数y＝x2－ax＋b的图像如图所示，对称轴为直线x＝2，则下列结论不正确的是( )
A．a＝4
B．当b＝－4时，顶点坐标为(2，－8)
C．当x＝－1时，b＞－5
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
C
8．【2020·河北】如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下：甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1.下列判断正确的是( )
A．乙错，丙对
B．甲和乙都错
C．乙对，丙错
D．甲错，丙对
C
9．【2020·浙江温州】已知(－3，y1)，(－2,
y2)，(1，y3)是抛物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则( )
A．y3＜y2＜y1
B．y3＜y1＜y2
C．y2＜y3＜y1
D．y1＜y3＜y2
B
10．【易错：审题不清漏解而致错】抛物线y＝x2－(b－2)x＋b的顶点在坐标轴上，则b的值为___________．
【点拨】坐标轴包括x轴和y轴．
11．已知二次函数y＝ax2＋4x＋2的图像经过点A(3，－4)．
(1)求a的值；
解：由题意得－4＝9a＋12＋2，
解得a＝－2.
(2)求此抛物线的开口方向，顶点坐标和对称轴；
解：∵y＝－2x2＋4x＋2＝－2(x－1)2＋4，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为(1，4)，对称轴为直线x＝1.
(3)直接写出y随x的增大而减小的自变量的取值范围．
解：取值范围为x＞1.
12．【2020·江苏镇江】点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2＋ax＋4的图像上，则m－n的最大值等于( )
C
13．【2021·四川眉山】在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－4x＋5与y轴交于点C，则抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为( )
A．y＝－x2－4x＋5
B．y＝x2＋4x＋5
C．y＝－x2＋4x－5
D．y＝－x2－4x－5
A
14．【易错：考虑问题不全面漏解而致错】已知函数y＝x2－2x－3，当－1≤x≤a时，函数值y的最小值是－4，则实数a的取值范围是____________．
【点拨】本题容易忽略a＝1这种情况．
a≥1
15．【2019·河北邯郸模拟】已知点A(－2，n)在抛物线y＝x2＋bx＋c上．
(1)若b＝1，c＝3，求n的值；
解：∵b＝1，c＝3，点A(－2，n)在抛物线y＝x2＋bx＋c上，
∴n＝(－2)2＋(－2)×1＋3＝5.
(2)若此抛物线经过点B(4，n)，且二次函数y＝x2＋bx＋c的最小值是－4，请画出点P(x－1，x2＋bx＋c)的纵坐标随横坐标变化的图像．
解：∵抛物线经过点A(－2，n)，B(4，n)，
∴抛物线的对称轴为直线
∵二次函数y＝x2＋bx＋c的最小值是－4，
∴抛物线的表达式为y＝(x－1)2－4.
令x－1＝x′，
∴点P(x－1，x2＋bx＋c)的纵坐标随横坐标变化的关系式为y＝x′2－4，其图像如图所示．
16．【中考·吉林长春】已知函数y＝
(1)当n＝5时，
①点P(4，b)在此函数图像上，求b的值；
②求此函数的最大值．
解：当n＝5时，
①将点P(4，b)的坐标代入
②x≥5时，y在x＝5处取得最大值，最大值为－52＋5×5＋5＝5；x＜5时，y在x＝
处取得最大值，最大值为
∴此函数的最大值为
(2)已知线段AB的两个端点坐标分别为A(2，2)，B(4，2)，当此函数的图像与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围．
(3)当此函数图像上有4个点到x轴的距离等于4时，求n的取值范围．
解：当此函数图像上有4个点到x轴的距离等于4时，此函数图像与直线y＝4，y＝－4恰有4个交点．设x＜n时图像为β，x≥n时图像为α.
①当n很小时，函数图像与直线y＝4，y＝－4始终有4个
交点，不断增大n，直到如图①所示的情况，
此时β刚要经过直线y＝－4，则有
则n＝－8，故当n≤－8时恒成立．
②在图①之后的一段时间内，不断增大n，
函数图像与直线y＝4，y＝－4共有5个交点，
直到如图②所示的情况，
α的顶点落在直线y＝4上，即
解得n＝
③在图②之后的一段时间内，不断增大n，直到如图③所示的情况．对于α，当x＝n时，
－n2＋n2＋n＝4，解得n＝4.而此时β的
顶点坐标恰好为(2，4)，∴此时函数图
像上到x轴的距离等于4的点恰好有4个．
④在图③之后的一段时间内，不断增大n，函数图像与直线y＝4，y＝－4共有5个交点，直到如图④所示的情况．此时函数图像与直线y＝4，y＝－4恰有4个交点，
解
得n＝8.
随着n的不断增大，函数图像与直线y＝4，
y＝－4始终有4个交点，故n≥8时恒成立．
综上所述，n的取值范围是n≤－8或n＝－2
－2或n＝4或n≥8.(共30张PPT)
30.2
二次函数的图像和性质
第1课时
二次函数y＝ax2的图像和性质
第三十章 二次函数
冀教版
九年级下
1
2
3
4
6
7
8
9
C
C
C
D
D
4
见习题
提示：点击
进入习题
答案显示
5
见习题
10
C
C
11
12
13
14
A
A
0≤y≤9
见习题
提示：点击
进入习题
答案显示
15
见习题
16
见习题
1．若二次函数
的图像开口向上，则a的值为( )
A．3
B．－3
C.
D．－
C
2．【2019·河北石家庄长安区模拟】已知原点是抛物线y＝(m＋1)x2的最低点，则m的取值范围是( )
A．m＜－1
B．m＜1
C．m＞－1
D．m＞－2
C
3．【2020·河北石家庄新华区月考】二次函数y＝2x2不具有的性质是( )
A．图像的对称轴是y轴
B．图像开口向上
C．当x＜0时，y随x增大而增大
D．函数有最小值
C
4．【中考·江苏连云港】已知抛物线y＝ax2(a＞0)过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是( )
A．y1＞0＞y2
B．y2＞0＞y1
C．y1＞y2＞0
D．y2＞y1＞0
C
5．抛物线y＝－5x2
的开口向________，顶点坐标为________，当x＝________时，y有最________值为________．
下
(0，0)
0
大
0
6．在同一平面直角坐标系中画出y1＝2x2，y2＝－2x2，y3＝x2的图像，正确的是( )
【点拨】当x＝1时，y1＝2x2，y2＝－2x2，y3＝
x2图像上的对应点分别是(1，2)，(1，－2)，
，可知其中有两点在第一象限，一点在第四象限，排除B，C；在第一象限内，y1的对应点(1，2)在上，y3的对应点
在下，排除A.故选D.
【答案】D
7．【中考·内蒙古呼和浩特】二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是( )
D
8．二次函数y＝ax2的图像经过点A(－1，4)，则a＝________．
4
9．【教材改编题】二次函数y＝ax2的图像经过点A(－
，1)．
(1)求这个二次函数的表达式；
解：因为二次函数y＝ax2的图像经过点(－
，1)，
则1＝3a，解得a＝
，所以二次函数的表达式为
y＝
x2.
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图像，并指出它的开口方向、顶点坐标和对称轴；
解：如图，图像开口向上，对称轴为
y轴，顶点坐标为(0，0)．
(3)判断点B(3，2)是否在该抛物线上；
解：将x＝3代入二次函数表达式，得
y＝
×32＝3≠2，所以点B(3，2)不在该抛物线上．
(4)观察所画函数的图像，当－1＜x＜3时，y的取值范围是________．
0≤y＜3
10．【2019·河北唐山路南区模拟】若点A(－1，m)，B(1，m)，C(2，m＋1)在同一个函数图像上，则这个函数图像可能是( )
【点拨】由点A(－1，m)，B(1，m)，关于y轴对称，知选项A，B错误；由B(1，m)，C(2，m＋1)，m【答案】C
11．【创新考法】
“利用描点法画函数图像，进而探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着研究函数y＝
，其图像经过( )
A．第一、二象限
B．第三、四象限
C．第一、三象限
D．第二、四象限
A
12．【2020·四川南充】如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)．若抛物线y＝ax2的图像与正方形有公共点，则实数a的取值范围是( )
A
13．【易错：忽略顶点处的取值而致错】已知二次函数y＝x2，当－1＜x≤3时，y的取值范围为__________．
【点拨】因为a＝1＞0，所以图像的开口向上，且当x＝0时，y有最小值，为0，当x＞0时，y随x的增大而增大，所以当x＝3时，y有最大值，为9.
0≤y≤9
14．【易错：忽略点位置的不确定性而漏解】如图，已知二次函数的图像顶点在原点，且点(2，1)在二次函数的图像上，过点F(0，1)作x轴的平行线交二次函数的图像于M，N两点．
(1)求二次函数的表达式；
解：∵二次函数的图像顶点在原点，∴可设
二次函数表达式为y＝ax2，将(2，1)代入上式得1＝4a，解得a＝
，故二次函数的表达式为y＝
x2.
(2)P为平面直角坐标系内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标．
解：将y＝1代入y＝
x2得x＝±2，故点M，N的坐标分别为(－2，1)、(2，1)，则MN＝4.∵△PMN是等边三角形，∴点P在y轴上且PM＝4，∴易得PF＝2
.
∵点F(0，1)，
∴点P的坐标为(0，1＋2
)或(0，1－2
)．
15．【2021·浙江衢州改编】如图是一座抛物线形拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24
m，在距离D点6
m的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5
m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的表达式；
解：根据题意可知点F的坐标为(6，－1.5)，可设抛物线的表达式为y＝ax2.
将F(6，－1.5)的坐标代入y＝ax2，
得－1.5＝36a，解得a＝－
，
∴抛物线的表达式为y＝－
x2.
(2)求桥拱顶部O离水面的距离．
解：易知OD＝12
m，当x＝12时，
∴BD＝6
m，
即桥拱顶部O离水面的距离为6
m.
16．如图①，这是某段河床横断面的示意图．
查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：
x/m
5
10
20
30
40
50
y/m
0.125
0.5
2
4.5
8
12.5
(1)请你以表中的各对数据(x，y)作为点的坐标，尝试在如图②所示的坐标系中画出y关于x的函数图像．
解：如图所示．
(2)①填写下表：
200
200
200
200
200
200
②根据表中所填数据呈现的规律，猜想出y关于x的二次函数表达式：________________．
(3)当水面宽度为36
m时，一艘吃水深度(船底部到水面的距离)为1.8
m的货船能否安全通过该河段？为什么？
解：不能．理由如下：
当水面宽度为36
m时，相应的x为18，此时y＝
×182＝1.62.
因为货船吃水深度为1.8
m，而1.62<1.8，
所以当水面宽度为36
m时，这艘货船不能安全通过该
河段．(共28张PPT)
30.4
二次函数的应用
第1课时 用二次函数解决实际问题
第三十章 二次函数
冀教版
九年级下
1
2
3
4
6
7
8
9
见习题
4
B
见习题
见习题
提示：点击
进入习题
答案显示
5
见习题
C
1．有一桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16
m，跨度为40
m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，如图所示，则抛物线的表达式为( )
C
2．【2019·河北石家庄42中模拟】某超市有一种果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4
cm，底面是个直径为6
cm的圆，轴截面可以近似地看成一条抛物线(如图)，为了节省成本，
包装盒应尽可能小，这个包装盒
的长AD(不计重合部分，两个果
冻之间没有挤压)至少为________
cm.
【点拨】设左侧抛物线的表达式为y＝ax2.易知点A的坐标为(－3，4)，将(－3，4)代入y＝ax2，得4＝9a，解得a＝
，故抛物线的表达式为y＝
x2.由题意易知，点N的纵坐标为2，将y＝2代入y＝
x2，得2＝
x2，解得x＝(负值舍去)，则AD＝2AH＋2MN＝(6＋3
)cm.
【答案】
3．如图，某灌溉设备的喷头B高出地面1.25
m，喷出的抛物线形水流在与喷头底部A的水平距离为1
m处达到距离地面的最大高度2.25
m，试建立适当的平面直角坐标系并求出与该抛物线形水流对应的函数表达式．
(1)以抛物线形水流顶点为坐标原点建立平
面直角坐标系的函数表达式为
__________________________；
y＝－x2
(2)从抛物线形水流顶点向地面作垂线，得到垂足，以该垂足为坐标原点建立平面直角坐标系的函数表达式为________________；
(3)以点A为坐标原点建立平面直角坐标系的函数表达式为__________________．
y＝－x2＋2.25
y＝－(x－1)2＋2.25
4．【2019·湖北襄阳】如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有的关系式为h＝20t－5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为________s.
4
5．【2020·河北邯郸魏县期中】九年级的一场篮球比赛中，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高
m，与篮圈中心的水平距离为7
m，当球出手后，与手的水平距离为4
m时到达最大高度4
m，篮圈距地面3
m，设篮球运行的轨迹为抛物线．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，
求抛物线的表达式并判断此球能
否准确投中；
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式并判断此球能否准确投中；
解：由题意可知，抛物线经过点
，顶点坐标是(4，4)，篮圈中心的坐标是(7，3)．∴可设抛物线的表达式是y＝a(x－4)2＋4，
∴
＝16a＋4，解得a＝－
，
∴抛物线的表达式为y＝－
(x－4)2＋4.
当x＝7时，y＝－
×(7－4)2＋4＝3，
∴篮圈中心在抛物线上，
∴能准确投中．
(2)此时，若对方队员乙在甲前面1
m处跳起盖帽拦截，且乙的最大摸高为3.1
m，则他能否盖帽拦截成功？
解：∵当x＝1时，y＝－
×(1－4)2＋4＝3＜3.1，∴他能盖帽拦截成功．
6．运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：
t/s
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h/m
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20
m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝
；③足球被踢出9.5
s时落地；④足球被踢出7.5
s时，距离地面的高度是11.25
m．其中不正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【点拨】设该抛物线的表达式为h＝at2＋bt＋c，由题意得，
∴当t＝
时，h取得最大值，此时h＝
，故①错误；该抛物线的对称轴是直线t＝
，故②正确；当h＝0时，t＝0或t＝9，故③错误；当t＝7.5时，h＝11.25，故④正确．故选B.
【答案】B
7．【2021·浙江台州】以初速度v(单位：m/s)从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式
是h＝vt－4.9t2.现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1(如图①)；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2(如图②)．若h1＝2h2，则t1∶t2的值为________．
8．【2019·河北石家庄模拟】在一次高尔夫球联赛中，高欣在距球洞10
m处击球，其飞行路线满足抛物线y＝－
x2＋
x，其中y(m)是球的飞行高度，x(m)是球飞行的水平距离，结果球落地时离球洞的水平距离还有2
m，如图所示．
(1)求b的值；
解：由题意得，点(8，0)在抛物线y＝－
x2＋
x上，
∴0＝－
×82＋
×8，∴b＝8.
(2)若高欣再一次从此处击球，要想让球的飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线？求出抛物线的表达式；
解：由题意得，抛物线需过点(0，0)，(10，0)．
∵球飞行的最大高度不变，则最高点的纵坐标为
∴抛物线的顶点坐标为(5，3.2)．
设抛物线的表达式为y＝a(x－5)2＋3.2，把(0，0)代入，得25a＋3.2＝0，
解得a＝－0.128，
∴抛物线表达式为y＝－0.128(x－5)2＋3.2.
(3)若离球洞4
m处有一横放的1.2
m高的球网，球的飞行路线仍满足抛物线y＝－
x2＋
x，要使球越过球网，又不越过球洞(最好进洞)，求b的取值范围．
解：把(6，1.2)代入y＝－
x2＋
x，得b＝7，把(10，0)代入y＝－
x2＋
x，得b＝10，
∴b的取值范围是7＜b≤10.
9．【2019·河北唐山古冶区模拟】如图，已知排球场的长度OD为18
m，位于球场中线处的球网AB的高度为2.24
m，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方2
m的C点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球飞行至离
点O的水平距离OE为6
m
时，到达最高点G，以O
为原点建立平面直角坐标系．
(1)若排球飞行的最大高度为2.8
m，求排球距地面的高度p(m)与距O点的水平距离x(m)之间的函数表达式(不要求写自变量x的取值范围)．
解：由题意得，顶点G的坐标为(6，2.8)，∴可设抛物线的表达式为p＝a(x－6)2＋2.8.
∵点C的坐标为(0，2)，点C在抛物线上，
∴2＝a(0－6)2＋2.8，解得a＝－
，∴排球距地面的高度p与距O点的水平距离x之间的函数表达式为p＝－
(x－6)2＋2.8.
(2)在(1)的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由．
解：这次所发的球能够过网且不会出界．理由如下：当x＝9时，p＝－
×(9－6)2＋2.8＝2.6＞2.24；
当x＝18时，p＝－
×(18－6)2＋2.8＝－0.4＜0.
故这次所发的球能够过网且不会出界．
(3)若该队员发球要想过网，又使排球不会出界(排球压线属于没出界)，求二次函数中二次项系数的最大值．
解：设抛物线的表达式为p＝n(x－6)2＋h，将(0，2)代入，得36n＋h＝2，即h＝2－36n，
∴此时抛物线的表达式为p＝n(x－6)2＋2－36n.
要使排球不出界，则n(18－6)2＋2－36n≤0，解得n≤－
.
要使排球过网，则n(9－6)2＋2－36n>2.24，解得n<－
.
故二次函数中二次项系数的最大值为－
.(共34张PPT)
30.2
二次函数的图像和性质
第2课时
二次函数y＝ax2＋k的图像和性质
第三十章 二次函数
冀教版
九年级下
1
2
3
4
6
7
8
9
C
B
C
B
A
y＝x2＋3(答案不唯一)
D
提示：点击
进入习题
答案显示
5
D
10
y＝x2＋3
A
11
12
13
14
见习题
见习题
B
见习题
提示：点击
进入习题
答案显示
15
见习题
16
见习题
1．在抛物线y＝－x2＋1上的一个点是( )
A．(1，0)
B．(0，0)
C．(0，－1)
D．(1，1)
A
2．二次函数y＝x2＋1的图像大致是( )
C
3．与抛物线y＝－5x2－1的顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线的表达式是( )
A．y＝－5x2－1
B．y＝5x2－1
C．y＝－5x2＋1
D．y＝5x2＋1
B
4．二次函数：①y＝3x2
;
②y＝
x2＋1；③y＝－
x2－3，它们的图像开口由大到小用序号表示为( )
A．①②③
B．①③②
C．②③①
D．②①③
C
·
·
·
·
5．【中考·四川成都】二次函数y＝2x2－3的图像是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是( )
A．抛物线开口向下
B．抛物线经过点(2，3)
C．抛物线的对称轴是直线x＝1
D．抛物线与x轴有两个交点
D
6．【易错：忽略二次函数增减性的范围而致错】关于二次函数y＝－2x2＋3，下列说法正确的是( )
A．它的图像的开口方向是向上的
B．当x＜－1时，y随x的增大而增大
C．它的图像的顶点坐标是(－2，－5)
D．当x＝0时，y有最小值3
【点拨】易误认为二次函数增减性的范围只能以对称轴为临界点而认为B选项是错误的．
【答案】B
7．【2019·河北承德期中】已知点(－1，y1)，(2，y2)，(－3，y3)都在函数y＝x2＋1的图像上，则( )
A．y1＜y2＜y3
B．y1＜y3＜y2
C．y2＜y3＜y1
D．y2＜y1＜y3
A
8．【2020·江苏无锡】请写出一个函数表达式，使其图像的对称轴为y轴：____________________．
y＝x2＋3(答案不唯一)
9．对于抛物线y＝－
x2与y＝－
x2＋1，下列说法错误的是( )
A．开口方向相同
B．对称轴相同
C．抛物线y＝－
x2＋1是由抛物线y＝－
x2向上平移1个单位长度得到的
D．顶点的坐标相同
D
·
·
10．【2020·上海】如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，那么所得新抛物线的表达式是__________．
y＝x2＋3
11．抛物线y＝ax2＋k的顶点坐标是(0，2)，且形状及开口方向与抛物线y＝－
x2相同．
(1)确定a，k的值；
解：由题意易知a＝－
，把点(0，2)的坐标代入y＝－
x2＋k，得k＝2.
(2)画出抛物线y＝ax2＋k.
略．
12．【易错：忽略二次项系数a的符号而致错】已知二次函数y＝ax2与y＝－2x2＋c.
(1)随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图像的变与不变；
【点拨】抛物线形状相同时a的绝对值相等，而不是a的值相等，易忽略a的符号而致错．
解：二次函数y＝ax2的图像随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝－2x2＋c的图像随着c的变化，开囗大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是顶点坐标会发生改变．
(2)若这两个函数图像的形状相同，则a＝________，若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝－2x2＋c的图像完全重合，则c＝________；
±2
－2
(3)二次函数y＝－2x2＋c中x，y的几组对应值如下表：
x
－2
1
5
y
m
n
p
表中m，n，p的大小关系为____________(用“＜”连接)．
p＜m＜n
13．【2020·河北张家口怀安县期末】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝ax2＋c的大致图像可能为( )
B
14．如图，抛物线y＝－
x2＋3与x轴交于A，B两点，与直线y＝－
x＋b交于B，C两点．
(1)求直线BC的表达式和点C的坐标；
解：由－
x2＋3＝0，
得x＝2或x＝－2，∴B的坐标为(2，0)．
将B(2，0)的坐标代入y＝－
x＋b，得b＝
.
∴直线BC的表达式为
根据题意联立方程组，
(2)点P为抛物线上异于点C的一点，若S△PAB＝S△ABC，求点P的坐标．
解：由题意可知点P的纵坐标为
或－
.
令－
x2＋3＝
，
解得x＝1或x＝－1，
得
令－
x2＋3＝－
，
解得x＝
或x＝－
，
得P2
，P3
.
综上，点P的坐标为
15．【2019·安徽】一次函数y＝kx＋4与二次函数y＝ax2＋c的图像的一个交点坐标为(1，2)，另一个交点是该二次函数图像的顶点．
(1)求k，a，c的值；
解：由题意得k＋4＝2，
解得k＝－2.
∴一次函数的表达式为y＝－2x＋4.
∵另一交点是二次函数图像的顶点，而y＝ax2＋c的图像
的顶点坐标为(0，c)，将(0，c)代入y＝－2x＋4，解得c＝4.
把(1，2)代入y＝ax2＋4，得a＋4＝2，解得a＝－2.
(2)过点A(0，m)(0＜m＜4)且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2＋c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2＋BC2，求W关于m的函数表达式，并求W的最小值．
解：由(1)得二次函数的表达式为y＝－2x2＋4，令y＝m，得2x2＋m－4＝0，
设B，C两点的坐标分别为(x1，m)，(x2，m)，则BC＝|x1|＋|x2|＝
∴W＝OA2＋BC2＝m2＋4·
＝m2－2m＋8＝(m－1)2＋7(0＜m＜4)．
∴当m＝1时，W取得最小值，最小值为7.
16．某公园有一座抛物线形状的观景拱桥ACB，其横断面如图所示，在图中建立平面直角坐标系，抛物线的表达式为y＝－
x2＋c，其顶点为C(0，5)．(长度单位：m)
(1)直接写出c的值．
解：c＝5.
(2)现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5
m的地毯，地毯的价格为20元/m2，购买地毯至少需要多少元？
解：令y＝0，即－x2＋5＝0，
解得x1＝10，x2＝－10.
∴地毯的总长度至少为AB＋2OC＝20＋2×5＝30(m)．
∴购买地毯至少需要20×(30×1.5)＝900(元)．
(3)在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH(H，G分别在桥拱的左、右两侧上)，并铺设斜面EG.已知矩形EFGH的周长为27.5
m，求斜面EG的长度．
解：可设点G的坐标为
，其中0m，GF＝
m．由已知得2(EF＋GF)＝27.5
m，其中0m，
由已知得2(EF＋GF)＝27.5
m，即
解得m1＝5，m2＝35(不合题意，舍去)．
∴点G的坐标为(5，3.75)．
∴EF＝10
m，GF＝3.75
m.
在Rt△EFG中，EG2＝EF2＋GF2，(共37张PPT)
30.5
二次函数与一元二次方程的关系
第三十章 二次函数
冀教版
九年级下
1
2
3
4
6
7
8
9
B
D
B
B
B
2
－4；6；4
提示：点击
进入习题
答案显示
5
D
10
B
见习题
11
D
提示：点击
进入习题
答案显示
12
C
13
D
14
见习题
15
见习题
16
见习题
1．【2020·辽宁大连】抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，对称轴是直线x＝1，其部分图像如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是( )
B
2．若二次函数y＝ax2－2ax－1的图像和x轴两交点间的距离为4，则a的值为( )
B
3．【2019·河北保定模拟】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x
…
－1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
－1
0
3
…
有以下结论：①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线x＝－1；③方程ax2＋bx＋c＝0的根为0和2；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2.
其中正确的是( )
A．①④
B．②④
C．②③
D．③④
【点拨】将(－1，3)，(0，0)，(3，3)分别代入y＝ax2＋bx＋c中，得
∴抛物线的表达式为y＝x2－2x＝(x－1)2－1.
由a＝1＞0知抛物线的开口向上，故①错误．
抛物线的对称轴为直线x＝1，故②错误．
根据表中数据，可知抛物线与x轴的交点坐标为(0，0)，(2，0)，
∴方程ax2＋bx＋c＝0的根为0和2，故③正确．
当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2，故④正确．故选D.
【答案】D
4．已知关于x的二次函数y＝2x2＋(m＋2)x＋m的图像与x轴交于A，B两点，且满足AB＝4，则m的值为( )
A．－3或6
B．10或－6
C．－6或6
D．－6
B
5．【教材改编题】下列抛物线中，与x轴有两个交点的是( )
A．y＝3x2－5x＋3
B．y＝4x2－12x＋9
C．y＝x2－2x＋3
D．y＝2x2＋3x－4
D
6．【2020·河北唐山路南区期末】小明在解关于二次函数y＝ax2＋bx＋c的题目时，只抄对了a＝1，b＝4，求得图像过点(－1，0)．他核对时发现，所抄的c值比原来的c值大2，则抛物线与x轴交点的情况是( )
A．只有一个交点
B．有两个交点
C．没有交点
D．不确定
B
7．【2020·浙江杭州】在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2＋ax＋1，y2＝x2＋bx＋2，y3＝x2＋cx＋4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac.设函数y1，y2，y3的图像与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，下列说法正确的是( )
A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0
B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0
C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0
D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0
【点拨】A.由M1＝2，M2＝2，
可得a2－4＞0，b2－8＞0.
取a＝3，b2＝12，则c＝＝4，
此时c2－16＝0.故A错误．
B．∵M1＝1，M2＝0，∴a2－4＝0，
b2－8＜0.∵a，b，c是正实数，∴a＝2.
∵b2＝ac，∴c＝
b2.
对于y3＝x2＋cx＋4，
则有c2－16＝
b4－16＝
(b4－64)＝
(b2＋8)(b2－8)＜0，
∴M3＝0，∴B正确．
C．由M1＝0，M2＝2，可得a2－4＜0，
b2－8＞0.取a＝1，b2＝18，
则c＝
＝18，此时c2－16＞0.
故C错误．
D．由M1＝0，M2＝0，可得a2－4＜0，b2－8＜0.取a＝1，b2＝4，则c＝
＝4，此时c2－16＝0.故D错误．故选B.
【答案】B
8．【2020·山东青岛】抛物线y＝2x2＋2(k－1)x－k(k为常数)与x轴交点的个数是________．
2
9．【2021·河北模拟】在平面直角坐标系中，已知A(－1，m)和B(5，m)是抛物线y＝x2＋bx＋1上的两点，则b＝________，m＝________；将抛物线y＝x2＋bx＋1向上平移n(n是正整数)个单位，使平移后的抛物线与x轴没有交点，则n的最小值为________．
－4
6
4
10．【易错：考虑问题不全面导致漏解】已知函数y＝ax2－2x－3(a是常数)．
(1)当a＝1时，该函数图像与直线y＝x－1有几个公共点？
【点拨】本题容易默认为该函数是二次函数，而忽视该函数是一次函数的情况，导致漏解．
解：当a＝1时，y＝x2－2x－3.
令x2－2x－3＝x－1，∴x2－3x－2＝0，
∵(－3)2－4×1×(－2)＝17＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴该函数图像与直线y＝x－1有两个公共点．
(2)若函数图像与x轴只有一个公共点，求a的值．
解：①当a＝0时，函数y＝－2x－3的图像与x轴只有一个交点(－
，0)；
②当a≠0时，∵函数y＝ax2－2x－3的图像与x轴只有一个公共点，则方程ax2－2x－3＝0有两个相等的实数根，
所以(－2)2－4a·(－3)＝0，解得a＝－
.
综上，a的值为0或－
.
11．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，该图像上有两点分别为A(2.18，－0.61)，B(2.68，0.44)，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个近似解为( )
A．2.18
B．2.68
C．－0.51
D．2.55
D
12．【中考·甘肃兰州】下表是二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的部分对应值：
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
－1
－0.49
0.04
0.59
1.16
那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是( )
A．1
B．1.1
C．1.2
D．1.3
C
13．【2020·广西梧州】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝kx＋h交于A，B两点，下列关于x的不等式或方程，结论正确的是( )
A．ax2＋(b－k)x＋c＞h的解集是2＜x＜4
B．ax2＋(b－k)x＋c＞h的解集是x＞4
C．ax2＋(b－k)x＋c＞h的解集是x＜2
D．ax2＋(b－k)x＋c＝h的解是x1＝2，x2＝4
【答案】D
14．【2019·河北邯郸大名县期中】已知二次函数y＝－x2＋4x＋m.
(1)如果二次函数的图像与x轴有两个交点，求m的取值范围；
解：∵二次函数的图像与x轴有两个交点，∴42－4×(－1)×m＞0，
解得m＞－4.
(2)如图，若二次函数的图像过点A(6，0)，与y轴交于点B，点P是二次函数图像的对称轴上的一个动点，则当PB＋PA的值最小时，求点P的坐标．
解：连接AB，AB与二次函数图像的对称轴交于点P，此时PB＋PA的值最小．
把(6，0)代入y＝－x2＋4x＋m，
得－62＋4×6＋m＝0，解得m＝12.
故二次函数的表达式是y＝－x2＋4x＋12.
当x＝0时，y＝12，则B(0，12)．
设直线AB的表达式为y＝px＋q，
将A(6，0)，B(0，12)代入可得，
∴直线AB的表达式为y＝－2x＋12.
∵y＝－x2＋4x＋12＝－(x－2)2＋16，
∴二次函数图像的对称轴是直线x＝2.
把x＝2代入y＝－2x＋12，得y＝－4＋12＝8，∴点P的坐标为(2，8)．
15．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图像的顶点在一次函数y＝kx＋t(k≠0)的图像上，则称y＝ax2＋bx＋c(a≠0)为y＝kx＋t(k≠0)的伴随函数，如：y＝x2＋1是y＝x＋1的伴随函数．
(1)若y＝x2－4是y＝－x＋p的伴随函数，求直线y＝－x＋p与两坐标轴围成的三角形的面积；
解：∵y＝x2－4图像的顶点坐标为(0，－4)，y＝x2－4是y＝－x＋p的伴随函数，
∴点(0，－4)在一次函数y＝－x＋p的图像上．
∴－4＝0＋p，即p＝－4.
∴一次函数表达式为y＝－x－4.
∴直线y＝－x－4与坐标轴的交点分别为(0，－4)，(－4，0)，
∴直线y＝－x－4与两坐标轴围成的三角形的面积为
×4×4＝8.
(2)若函数y＝mx－3(m≠0)的伴随函数y＝x2＋2x＋n的图像与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．
解：设函数y＝x2＋2x＋n的图像与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝－2，x1x2＝n，∴|x1－x2|＝
由题意得
解得n＝－3.
∴二次函数表达式为y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，
∴其图像的顶点坐标为(－1，－4)．
∵y＝x2＋2x－3是y＝mx－3(m≠0)的伴随函数，
∴－4＝－m－3，解得m＝1.
16．【2021·湖北荆州】小爱同学学习二次函数后，对函数y＝－(|x|－1)2进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图所示的函数图像．请根据函数图像，回答下列问题：
(1)观察探究：
①写出该函数的一条性质：________
________________________________；
函数图像关于y轴对称(答案不唯一)
②方程－(|x|－1)2＝－1的解为______________________；
③若方程－(|x|－1)2＝a有四个实数根，则a的取值范围是___________．
x＝－2或x＝0或x＝2
－1＜a＜0
(2)延伸思考：
函数y＝－(|x|－1)2的图像经过怎样的平移可得到函数y1＝－(|x－2|－1)2＋3的图像？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围．
解：将函数y＝－(|x|－1)2的图像向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数y1＝－(|x－2|－1)2＋3的图像．
当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围是0＜x＜4且x≠2.(共28张PPT)
提分专项（五）
二次函数的实际问题的常见类型
冀教版
九年级下
第三十章 二次函数
1
2
3
4
见习题
见习题
见习题
提示：点击
进入习题
答案显示
见习题
1．【2019·湖北咸宁】某工厂用50天的时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购．在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y(元/件)与x(天)之间的关系如
图所示．第x天该产品的生产量z(件)与x(天)
满足关系式z＝－2x＋120.
(1)第40天，该厂生产该产品的利润是________元．
1
600
(2)设第x天该厂生产该产品的利润为w元．
①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少元？
解：设直线AB的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，把(0，70)，(30，40)代入，得
∴直线AB的表达式为y＝－x＋70.
当0＜x≤30时，w＝[80－(－x＋70)](－2x＋120)＝－2x2＋100x＋1
200＝－2(x－25)2＋2
450，
∴当x＝25时，w最大＝2
450；
当30＜x≤50时，w＝(80－40)×(－2x＋120)＝－80x＋4
800，
∵w随x的增大而减小，
∴当x＝31时，w最大＝2
320.
综上，w＝
第25天的利润最大，最大利润为2
450元．
②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2
400元的共有多少天？
解：②当0＜x≤30时，令－2(x－25)2＋2
450＝2
400，解得x1＝20，x2＝30.
∵抛物线w＝－2(x－25)2＋2
450的开口向下，
∴当20≤x≤30时，w≥2
400.
此时，当天利润不低于2
400元的有30－20＋1＝11(天)．
当30＜x≤50时，由①可知当天利润均低于2
400元．
综上所述，当天利润不低于2
400元的共有11天．
2．某农业合作社决定对一种特色水果开展线上销售，考虑到实际情况，一共开展了30次线上销售，综合考虑各种因素，该种水果的成本价为每吨2万元，销售结束后，经过统计得到了如下信息：
信息1：第一次线上销售水果39吨，然后每一次总比前一次的销售量减少1吨；
信息2：该水果的销售价p(万元/吨)均由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1次线上销售至第15次线上销售的浮动价与销售场次x成正比，第16次线上销售至第30次线上销售的浮动价与销售场次x成反比；
x(次)
…
2
8
24
…
p(万元/吨)
…
2.2
2.8
3
…
请根据以上信息，解决下列问题．
(1)设第x次线上销售水果y(吨)，求y与x之间的函数表达式；
解：∵第一次线上销售水果39吨，然后每一次总比前一次的销售量减少1吨，
∴y与x之间的函数表达式为y＝40－x.
(2)若p＝3.2万元/吨，求x的值；
解：设1≤x≤15时，p与x的函数表达式为p＝ax＋b；16≤x≤30时，p与x的函数表达式为p＝
＋b，
依题意得
由题意得
解得m＝24，∴
当1≤x≤15时，
当16≤x≤30时，p＝
∴x的值是12或20.
(3)在这30次线上销售中，哪一次线上销售获得的利润最大？最大利润是多少？
解：设第x次线上销售获得的利润为W(万元)，则有
当1≤x≤15时，W＝(40－x)(
x＋2－2)＝－
x2＋4x＝－
(x－20)2＋40，
∴当x＝15时，W最大，最大为37.5万元；
当16≤x≤30时，W＝(40－x)(
＋2－2)＝
－24，
∴当x＝16时，W最大，最大为36万元．
∴在这30次线上销售中，第15次线上销售获得的利润最大，最大利润为37.5万元．
3．【2020·江苏无锡】有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉．如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决
定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉，在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉，在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/平方米、60元/平方米、40元/平方米，设三种花卉的种植总成本为y元．
(1)当x＝5时，求种植总成本；
解：当x＝5时，EF＝20－2×5＝10(米)，EH＝30－2×5＝20(米)，
∴y＝
×(20＋30)×5×2×20＋
×(10＋20)×5×2×60＋20×10×40＝22
000，
∴种植总成本为22
000元．
(2)求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
解：∵EF＝(20－2x)米，EH＝(30－2x)米，
∴y＝
(30＋30－2x)·x·2·20＋
(20＋20－2x)·x·2·60＋(30－2x)(20－2x)·40＝－400x＋24
000(0＜x＜10)．
(3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．
解：甲种花卉的种植面积＝
(30－2x＋30)×x×2＝－2x2＋60x，
乙种花卉的种植面积＝
(20＋20－2x)×x×2＝－2x2＋40x.
∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，
∴－2x2＋60x－(－2x2＋40x)≤120，
解得x≤6，又∵0＜x＜10，
∴0＜x≤6，
∵y＝－400x＋24
000，∴当x＝6时，y取最小值，为21
600，即三种花卉的最低种植总成本为21
600元．
4．【中考·河北】如图，这是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴18
m，与y轴交于点B，与滑道y＝(x≥1)交于点A，且AB＝1
m．运动员(看成点)在BA方向获得速度v(单位：m/s)后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气
阻力，实验表明：M，A的竖直距
离h(m)与飞出时间t(s)的平方成正
比，且t＝1
s时h＝5
m，M，A的水平距离是vt
m.
(1)求k，并用t表示h；
解：由题意知A的坐标是(1，18)，把点A(1，18)的坐标代入y＝
，得18＝
，解得k＝18.
设h＝at2，则5＝a·12，∴a＝5，
∴h＝5t2.
(2)若v＝5
m/s，用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的表达式(不写x的取值范围)，及y＝13时运动员与正下方滑道的竖直距离；
解：∵v＝5
m/s，AB＝1
m，
∴x＝5t＋1.
∵h＝5t2，OB＝18
m，
∴y＝－5t2＋18.
由x＝5t＋1，得t＝
(x－1)，
∴y＝－
(x－1)2＋18.
当y＝13时，13＝－
(x－1)2＋18，
解得x＝6或x＝－4.
又∵x≥1，∴x＝6.
把x＝6代入y＝
，得y＝3.
∴运动员与正下方滑道的竖直距离是13－3＝10(m)．
(3)若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5
m/s、v乙
m/s.当甲距x轴1.8
m，且乙位于甲右侧超过4.5
m的位置时，直接写出t的值及v乙的范围．
【点拨】把y＝1.8代入y＝－5t2＋18，得t2＝
，
解得t＝1.8或t＝－1.8(负值舍去)，
∴x＝5t＋1＝10.
∴甲的坐标为(10，1.8)．
此时，乙的坐标为(1＋1.8v乙，1.8)
由题意知1＋1.8v乙－10＞4.5，
∴v乙＞7.5.
【答案】t＝1.8，v乙>7.5.(共31张PPT)
30.2
二次函数的图像和性质
第3课时
二次函数y＝a(x－h)2的图像和性质
第三十章 二次函数
冀教版
九年级下
1
2
3
4
6
7
8
9
A
B
C
D
见习题
C
B
提示：点击
进入习题
答案显示
5
C
10
D
D
11
12
13
14
D
B
B
h≥1
提示：点击
进入习题
答案显示
15
见习题
16
见习题
17
见习题
1．【2019·河北石家庄长安区模拟】在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图像可能是( )
D
2．对于抛物线y＝－
(x－5)2，下列说法正确的是( )
A．开口向下，顶点坐标为(5，0)
B．开口向上，顶点坐标为(－5，0)
C．开口向下，顶点坐标为(0，5)
D．开口向上，顶点坐标为(0，－5)
A
3．【2019·河北衡水武邑县期中】关于抛物线y＝2(x＋3)2，以下说法正确的是( )
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝－3
C．顶点坐标是(0，0)
D．当x＞－3时，y随x的增大而减小
B
4．二次函数y＝
(x－5)2的图像上有两点A(4，y1)，B(6，y2)，则y1与y2的大小关系是( )
A．y1＞y2
B．y1＜y2
C．y1＝y2
D．无法确定
C
5．【2020·河北保定雄县期中】已知某二次函数，当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小，则该二次函数的表达式可以是( )
A．y＝2(x＋1)2
B．y＝－2(x＋1)2
C．y＝2(x－1)2
D．y＝－2(x－1)2
C
6．关于抛物线y1＝(1＋x)2与y2＝(1－x)2，下列说法不正确的是( )
A．y1与y2的图像开口方向相同
B．y1与y2的图像关于y轴对称
C．图像y2向左平移2个单位长度可得到y1的图像
D．图像y1绕原点旋转180°可得到y2的图像
D
7．【教材改编题】已知抛物线y＝a(x－h)2的对称轴为直线x＝－2，且过点(1，－3)．
(1)求此抛物线对应的函数表达式．
解：由题意知h＝－2，
∴y＝a(x＋2)2.
∵此抛物线过点(1，－3)，
∴－3＝a·32，解得a＝－
.
∴此抛物线对应的函数表达式为y＝－
(x＋2)2.
(2)画出此抛物线．
略．
(3)从图像上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值(或最小值)?
解：当x＜－2时，y随x的增大而增大；当x＝－2时，函数有最大值．
8．【易错：混淆左右平移后表达式的特点而致错】将函数y＝x2
的图像向左平移2个单位长度后，得到的新图像的表达式是( )
A．y＝x2＋2
B．y＝x2－2
C．y＝(x＋2)2
D．y＝(x－2)2
C
9．【2020·浙江衢州改编】二次函数y＝x2的图像平移后经过点(2，0)，则下列平移方法正确的是( )
A．向左平移2个单位长度
B．向右平移2个单位长度
C．向上平移2个单位长度
D．向下平移2个单位长度
B
10．【中考·浙江丽水】将函数y＝x2的图像用下列方法平移后，所得的图像不经过点A(1，4)的方法是( )
A．向左平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度
C．向上平移3个单位长度
D．向下平移1个单位长度
·
·
·
D
11．已知二次函数y＝a(x－m)2(a＞0)的图像经过点A(－1，p)，B(3，q)，且p＜q，则m的值不可能是( )
A．－2
B．－
C．0
D.
D
12．如图，坐标平面上有一顶点为A的抛物线，此抛物线与直线y＝2交于B，C两点，△ABC为等边三角形．若A点坐标为(－3，0)，则此抛物线与y轴的交点坐标是( )
【点拨】过点A作AD⊥BC于点D.设B(－3－m，2)，C(－3＋m，2)(m＞0)，则BC＝2m.
∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝2m，∠DAC＝30°.
【答案】B
13．【易错：忽视对称轴的位置而致错】已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为( )
A．3或6
B．1或6
C．1或3
D．4或6
【点拨】二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)的图像开口向下，顶点为(h，0)，其函数值最大为0.∵当2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，∴h<2或h>5.当h＜2时，点(2，－1)在抛物线上，把(2，－1)代入y＝－(x－h)2，解得h＝1或h＝3(不合题意，舍去)；当h＞5时，点(5，－1)在抛物线上，把(5，－1)代入y＝－(x－h)2，解得h＝6或h＝4(不合题意，舍去)．综上可知，h的值为1或6.
【答案】B
14．【易错：把握不好端点值的取舍而致错】已知某二次函数y＝a(x－h)2，当x＜1时，y随x的增大而减小，则h的值满足____________．
h≥1
15．已知二次函数y1的图像经过点P(－2，2)，顶点为O(0，0)，将该图像左右平移，使它再次经过点P且不与原图像重合，求平移后的抛物线y2的表达式．
解：设原来的抛物线的表达式为y1＝ax2(a≠0)．
把P(－2，2)的坐标代入y1＝ax2，
得2＝4a，解得a＝
.
故原来的抛物线的表达式为y1＝
x2.
设平移后的抛物线的表达式为y2＝
(x－b)2.
把P(－2，2)的坐标代入y2＝
(x－b)2，得2＝
(－2－b)2，
解得b＝0(舍去)或b＝－4.
故平移后的抛物线的表达式为y2＝
(x＋4)2.
16．如图，抛物线y＝a(x＋1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝OA.
(1)求与抛物线对应的函数表达式；
解：由题意得点A的坐标为(－1，0)．
∵OB＝OA，∴点B的坐标为(0，－1)．
将B(0，－1)的坐标代入y＝a(x＋1)2中，得a＝－1，则与抛物线对应的函数表达式为y＝－(x＋1)2.
(2)若点C(－3，b)在该抛物线上，求S△ABC
.
解：过点C作CD⊥x轴于D.
将C(－3，b)的坐标代入y＝－(x＋1)2中，得b＝－4，即点C的坐标为(－3，－4)，∴S△ABC＝S梯形OBCD－S△ACD－S△AOB＝
×3×(1＋4)－
×4×(3－1)－
×1×1＝3.
17．已知抛物线y＝x2如图所示．
(1)将抛物线向右平移m(m＞0)个单位长度后，经过点A(0，3)，试求m的值；
解：由题意得，平移后得到的抛物线表
达式为y＝
(x－m)2.
把点A(0，3)的坐标
代入上式，得3＝
(0－m)2，解得m1＝3，m2＝－3.
∵m>0，∴m＝3.
(2)画出(1)中平移后的图像；
解：如图所示．
(3)设两条抛物线相交于点B，点A关于新抛物线对称轴的对称点为C，试在新抛物线的对称轴上找出一点P，使BP＋CP的值最小，并求出点P的坐标．
解：如图，连接BC，新抛物线的对称轴为直线x＝3，它与BC交于点P，此时BP＋CP的值最小．
由(1)可知平移后的抛物线表达式为
由题意易求出点B的坐标为
点C的坐标为(6，3)，设直线BC对应的函数表达式为y＝kx＋b，则
即直线BC对应的函数表达式为
当x＝3时，y＝
，
∴点P的坐标为∴点P的坐标为
