(共30张PPT)
专题六
投影与视图
冀教版
九年级下
期末复习专题练
1
2
3
4
6
7
8
9
C
C
C
A
A
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5
10
D
A
C
B
C
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11
12
13
④③①②
见习题
14
15
16
见习题
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17
见习题
18
见习题
19
见习题
L、K
7.5
1.8
1．下面属于物体在太阳光下形成的影子的是( )
A
2．【2020?河北石家庄新华区模拟】下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是( )
C
3．【2020?河北邢台二模】如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是( )
C
4．【2019?湖南张家界】下列四个立体图形中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
C
·
·
5．由5个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是( )
B
A．主视图的面积最小
B．左视图的面积最小
C．俯视图的面积最小
D．三个视图的面积相等
6．如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE＝1.8
m，窗户下沿到地面的距离BC＝1
m，EC＝1.2
m，那么窗户的高AB为( )
A．1.5
m
B．1.6
m
C．1.86
m
D．2.16
m
A
7．用若干个大小相同的小正方体组合成的几何体的主视图和俯视图如图所示，下面所给的四个选项中，不可能是这个几何体的左视图的是( )
C
·
·
·
8．如图所示的立体图形的主视图是( )
A
9．如图，礼盒上下底面为全等的正六边形，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形各边长已在图中标出，左视图中包含两个全等的矩形，如果用彩色胶带按如图的方式包扎礼盒，则所需胶带长度至少为( )
A．320
cm
B．396.24
cm
C．431.77
cm
D．480
cm
C
10．如图，郴郴同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后自己影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20
m到达点Q时，发现此时他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知郴郴同学的身高是1.5
m，两个路灯的高度都是9
m，则两个路灯之间的距离是( )
A．24
m
B．25
m
C．28
m
D．30
m
D
二、填空题(每题3分，共12分)
11．如图，这是小红在某天四个时刻看到一个圆柱及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是_________
(填序号)．
④③①②
12．如图所示的是三个直立在地面上的艺术字母的投影(阴影部分)效果，在艺术字母“L，K，C”的投影中，属于同一种投影的是________．
L、K
13．如图，一根直立于水平地面的木杆AB在路灯EF的灯光下形成影子AC(AC＞AB)，当木杆绕点A按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知AE＝5
m，在旋转过程中，影长的最大值为5
m，最小值为3
m，且影长最大时，木杆与光线垂直，
则路灯EF的高度为________m.
7.5
14．如图，灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝1.5
m，CD＝4.5
m，灯P到CD的距离为2.7
m，则AB与CD间的距离是_______m.
1.8
三、解答题(共58分)
15．(10分)(1)图①是一个组合体，图②是它的两种视图，请在横线上写出两种视图的名称；
解：主视图；俯视图
(2)根据两种视图中的尺寸(单位：cm)，计算这个组合体的表面积(π取3.14)．
解：S表面积＝2×(11×7＋11×2＋7×2)＋4×π×6≈301.36(cm2)．
16．(10分)图①是由一些棱长都为1的小正方体组合而成的几何体．
(1)该几何体的表面积(含下底面)为________；
28
(2)请在图②中画出这个几何体的三视图；
解：如图所示．
(3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变，那么最多可以再添加________个小正方体．
2
·
·
17．(10分)【2020·河北张家口怀安县期末】如图，这是一个长方体纸盒的平面展开图，已知纸盒中相对两个面上的数互为相反数．
(1)a＝________，b＝________，c＝________；
1
－2
－3
(2)先化简，再求值：5a2b－[2a2b－3(2abc－a2b)＋4abc]．
解：原式＝5a2b－[2a2b－6abc＋3a2b＋4abc]
＝5a2b－2a2b＋6abc－3a2b－4abc
＝5a2b－2a2b－3a2b＋6abc－4abc
＝2abc.
当a＝1，b＝－2，c＝－3时，
原式＝2×1×(－2)×(－3)＝12.
18．(14分)如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆DE的高度，身高1.6
m的小明落在地面上的影长BC＝2.4
m.
(1)请你在图中画出旗杆DE在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子EG；
解：画图略．
(2)若测得此刻旗杆落在地面上的影长EG＝16
m，请求出旗杆DE的高度．
解：由题意得
解得
答：旗杆DE的高度为
19．(14分)如图，公路旁有两个高度相等的路灯AB，CD.杨柳上午去学校时发现路灯AB在太阳光下的影子的顶部恰好落到公路里程碑E处，她自己的影子顶部恰好落在路灯CD的底部C处．晚上回家时，站在与上午相同的地方，她发现在路灯CD的灯光下自己的影子顶部恰好落在公路里
程碑E处．
(1)在图中画出杨柳(用线段FG表示)的位置，并画出光线，标明太阳光、灯光；
解：如图所示．
(2)若杨柳上午去学校时高1
m的木棒在太阳光下的影长为2
m，杨柳的身高为1.5
m，她与公路里程碑E的距离恰为5
m，求路灯的高．
解：∵杨柳上午去学校时高1
m的木棒在太阳光下的影长为2
m，杨柳的身高为1.5
m，
∴杨柳的影长CF为3
m.
∵GF⊥AC，DC⊥AC，
∴GF∥CD.
∴△EGF∽△EDC.
解得CD＝2.4
m.
答：路灯的高为2.4
m.(共49张PPT)
专题四
二次函数（提升）
冀教版
九年级下
期末复习专题练
1
2
3
4
6
7
8
9
D
A
B
C
C
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5
10
B
B
B
B
B
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11
12
13
y＝x2－4x－5
见习题
14
15
16
见习题
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17
见习题
18
见习题
19
见习题
3.75
1．【2020·河北唐山路南区期末】若点P(m，1)在抛物线y＝x2＋x－1上，则m的值为( )
A．2
B．－2或1
C．2或－1
D．－1
B
2．一次函数y＝－x与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图像如图所示，则函数y＝ax2＋(b＋1)x＋c的图像可能是( )
D
3．已知抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)的对称轴为x＝1，且经过点A(－1，0)，则下列函数的图像可以由抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)平移得到的是( )
A．y＝x2＋x－3
B．y＝2(x－1)2－3
C．y＝
(x－1)(x＋1)
D．y＝3x2－3
A
4．如图①，游乐园里的原子滑车是很多人喜欢的项目，惊险刺激，原子滑车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，原子滑车运行的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系式
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图②记录了原子滑车在该路段运行的x与y的三组数据A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，由此可推断出，此原子滑车运行到最低点时，所对应的水平距离x满足( )
A．x＜x1
B．x1＜x＜x2
C．x＝x2
D．x2＜x＜x3
B
5．若二次函数y＝|a|x2＋bx＋c的图像过不同的五点A(m，n)，B(3－m，n)，C(0，y1)，D(，y2)，E(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＜y3
B．y2＜y3＜y1
C．y3＜y2＜y1
D．y1＜y3＜y2
B
6．【2020·湖南娄底】二次函数y＝(x－a)(x－b)－2(a＜b)与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是( )
A．m＜a＜n＜b
B．a＜m＜b＜n
C．m＜a＜b＜n
D．a＜m＜n＜b
C
7．如图，某校在操场用围挡围成一个临时休息区，休息区一面靠长为5
m的墙，休息区分成两个区域，中间用围挡隔开．已知整个休息区的围挡总长为12
m，如果休息区出入口的大小不计，并且休息区靠墙的面不能超过墙长，小明认为：休息区的最
大面积为12
m2；小亮认为：休息区
的面积可能为9
m2.则( )
A．小明正确，小亮错误
B．小明错误，小亮正确
C．两人均正确
D．两人均错误
【答案】B
8．若点M(m，n)是抛物线y＝－2x2＋2x－3上的点，则m－n的最小值是( )
C
9．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数y＝x2－mx－5(m为实数)的零点的个数是( )
A．1
B．2
C．0
D．不能确定
B
10．【2019·河北石家庄长安区二模】如图，若双曲线L：y＝(x＜0)与抛物线G：y＝－
x(x＋4)所围成的区域(不含边界)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数是3，则k的取值范围是( )
A．－3≤k≤－2
B．－3＜k≤－2
C．－2≤k＜－1
D．－4＜k≤－2
【点拨】抛物线G：y＝－
x(x＋4)与x轴所围成的区域(不含边界)内整点的个数是6个，
坐标分别为(－1，1)，(－1，2)，(－2，1)，(－2，2)，(－3，1)，(－3，2)，要满足双曲线L：y＝
(x＜0)与抛物线G：y＝－
x(x＋4)所围成的区域(不含边界)内整点的个数是3，
易得，当双曲线L恰好经过点(－3，1)时，k＝－3.
当双曲线L恰好经过点(－2，1)时，k＝－2，
结合图像可得，双曲线L：y＝
(x＜0)与抛物线G：y＝－
x(x＋4)所围成的区域(不含边界)内整点的个数是3时，k的范围为－3＜k≤－2，故选B.
【答案】B
二、填空题(每题3分，共12分)
11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x＝2，那么这个二次函数的表达式是______________．
y＝x2－4x－5
12．【2020·江苏连云港】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x(单位：min)满足函数表达式y＝－0.2x2＋1.5x－2，则最佳加工时间为________min.
3.75
13．【2020·四川巴中】现有一“祥云”零件剖面图，如图，它由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成，且关于y轴对称．其中半圆交y轴于点E，直径AB＝2，OE＝2；两支抛物线的顶点分别为点A、点B.与x轴分别交于点C、点D；直线BC的表达式
为y＝kx＋
.则零件中BD这段曲
线的表达式为________________________．
14．【2020·广东广州】对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果(单位：mm)9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当a＝________mm时，(a－9.9)2＋(a－10.1)2＋(a－10.0)2最小．对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果(单位：mm)x1，x2，…，xn，若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝________mm时，(x－x1)2＋(x－x2)2＋…＋(x－xn)2最小．
【点拨】设y＝(a－9.9)2＋(a－10.1)2＋(a－10.0)2＝3a2－60.0a＋300.02，
∵3＞0，
∴当a＝－
＝10.0时，y有最小值，
设w＝(x－x1)2＋(x－x2)2＋…＋(x－xn)2＝nx2－2(x1＋x2＋…＋xn)x＋(x12＋x22＋…＋xn2)，
∵n＞0，
【答案】
三、解答题(共58分)
15．(10分)如图，已知二次函数y＝ax2＋2x＋c的图像经过点A
(1，4)和点C
(0，3)．
(1)求该二次函数的表达式；
解：将点A和点C的坐标代入函数表达式，得
∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)结合函数图像，直接回答下列问题：
①当－1＜x＜2时，函数y的取值范围是________．
②当y≥3时，x的取值范围是______________．
0＜y≤4
0≤x≤2
16．(10分)已知抛物线y＝ax2＋(1－2a)x＋c(a，c是常数，且a≠0)过点(0，2)．
(1)求c的值，并通过计算说明点(2，4)是否也在该抛物线上；
解：将点(0，2)的坐标代入抛物线的表达式，得c＝2，
∴y＝ax2＋(1－2a)x＋2，
当x＝2时，y＝4a＋2(1－2a)＋2＝4a＋2－4a＋2＝4，
即点(2，4)在该抛物线上．
(2)若该抛物线与直线y＝5只有一个交点，求a的值；
解：∵抛物线y＝ax2＋(1－2a)x＋2与直线y＝5只有一个交点，
解得
即a的值是
(3)若当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围．
解：∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴当a＜0时，有
当a＞0时，有
即a的取值范围是
17．(10分)【2020·河北唐山玉田县期末】某工厂上班高峰期员工到达单位的累计人数y(人)随时间x(分钟)的变化情况如图所示，已知前10分钟，y可看作是x的二次函数，并在10分钟时，累计人
数达到最大值500人，10分钟之后
员工全部到岗，累计人数不变．
回答下列问题：
(1)求0～10分钟时，y与x之间的函数关系式；
解：设y与x之间的函数关系式为y＝a(x－10)2＋500，
把O(0，0)的坐标代入上式，得0＝a(0－10)2＋500，
解得a＝－5，
故y与x之间的函数关系式为y＝－5(x－10)2＋500(0≤x≤10)，
即y＝－5x2＋100x.
(2)员工在进入单位大门时都应该配合检测体温．如果第一位员工到达工厂大门就开始接受体温测量，工厂大门口有体温检测岗位2个，每个岗位的工作人员每分钟检测10人．
①设第x分钟时的排队人数为w人，求w与x的函数关系式；
解：由题意可得：
当0＜x≤10时，w＝y－20x
＝－5x2＋100x－20x
＝－5x2＋80x.
当x＞10时，w＝500－20x，
综上所述，
②求工厂门口等待接受体温测量的队伍第几分钟最多？最多时有多少人？
解：∵w＝－5x2＋80x＝－5(x－8)2＋320，
∴当x＝8时，w取得最大值，最大值为320，
∴第8分钟等待人数最多，最多时有320人．
18．(14分)【2020·河北石家庄长安区二模】某公司计划生产甲、乙两种产品，公司市场部根据调查后得出：甲种产品所获年利润y1(万元)与投入资金n(万元)成正比例；乙种产品所获年利润y2(万元)与投入资金n(万元)的平方成正比例，并得到表格中的数据．设公司计划共投入资金m(万元)(m为常数且m＞0)生产甲、乙两种产品，其中投入乙种产品资金为x(万元)(0≤x≤m)，所获全年总利润W(万元)为y1与y2之和．
n(万元)
2
y1(万元)
1
y2(万元)
0.1
(1)分别求y1和y2关于n的函数关系式；
解：设y1＝k1n，y2＝k2n2，
将(2，1)、(2，0.1)分别代入上述两式得
故y1和y2关于n的函数关系式分别为
(2)求W关于x的函数关系式(用含m的式子表示)；
解：设投入乙种产品资金为x万元，则投入甲产品的资金为(m－x)万元，
由题意得
(3)当m＝50时，
①公司市场部预判公司全年总利润W的最高值与最低值相差恰好是40万元，请你通过计算说明该预判是否正确；
解：当m＝50时，
对于
函数图像的对称轴为
当x＝10时，W最低＝22.5，
当x＝50时，W有最大值，
此时
W最高－W最低＝62.5－22.5＝40(万元)，
故公司全年总利润W的最高值与最低值相差恰好是40万元，该预判是正确的．
②公司从全年总利润W中扣除投入乙种产品资金的k倍(0＜k≤3)用于其他产品的生产后，得到剩余利润W剩余(万元)，若W剩余随x的增大而减小，求k的取值范围．
解：由题意得，
函数图像的对称轴为x＝
故当x＜10＋20k时，
W剩余随x的增大而减小，
则50≤10＋20k，解得k≥2，
故k的取值范围为2≤k≤3.
19．(14分)【2020·湖南永州】在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图①所示．
(1)求抛物线的表达式；
解：设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
在等腰直角三角形ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，
∴OA＝OB＝OC＝2，
∴A(－2，0)，B(2，0)，C(0，－2)，
∴抛物线的表达式为
(2)过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图②所示．
①求△CMN面积的最小值；
解：设直线l的表达式为y＝kx，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴x1＋x2＝2k，x1·x2＝－4，
∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4k2＋16，
∴△CMN面积的最小值为4.
②已知Q
是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称？若存在，求出点P的坐标及直线l的表达式；若不存在，请说明理由．
解：假设抛物线上存在点P(m，
m2－2)，使得点P与点Q关于直线l对称，
∴OP＝OQ，
解得m1＝
，m2＝－
，m3＝1，
m4＝－1，
∵m3＝1，m4＝－1不合题意，舍去，
∴
k＝－1，
∴k＝1－
，
∴直线l的表达式为y＝(1－
)x.
当m2＝－
时，点P
，
线段PQ的中点坐标为
，
∴
k＝－1，
∴k＝1＋
，
∴直线l的表达式为y＝(1＋
)x.
综上，存在点P
，此时直线l的表达式为y＝(1－
)x或点P
，此时直线l的表达式为y＝(1＋
)x.(共41张PPT)
专题一
直线与圆的位置关系（基础）
冀教版
九年级下
期末复习专题练
1
2
3
4
6
7
8
9
A
D
A
B
B
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5
10
D
D
C
B
C
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11
12
13
50°
4
见习题
14
15
见习题
16
见习题
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17
见习题
18
见习题
19
见习题
一、选择题(每题3分，共30分)
1．已知圆的直径为13
cm，如果某直线和圆心的距离为7.5
cm，那么该直线和圆的公共点的个数为( )
A．1
B．3
C．2
D．0
D
2．在平面直角坐标系中，以点(2，3)为圆心，2为半径的圆必定( )
A．与x轴相离，与y轴相切
B．与x轴、y轴都相离
C．与x轴相切，与y轴相离
D．与x轴、y轴都相切
A
3．用反证法证明“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离d大于r，则点P在⊙O的外部”时，首先应假设( )
A．d≤r
B．点P在⊙O内部
C．点P在⊙O上
D．点P在⊙O上或点P在⊙O内部
D
4．一元硬币的直径为25
mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过( )
A
5．【2020·黑龙江哈尔滨】如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA，若∠ADC＝35°，则∠ABO的度数为( )
A．25°
B．20°
C．30°
D．35°
B
6．【2019·河北秦皇岛青龙县期末】下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．如图，已知AB与⊙O相切于点A，点C，D在⊙O上．
求证：∠CAB＝∠D.
证明：如图，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接EC.
∵AB与⊙O相切于点A，∴∠EAB＝90°，
∴∠EAC＋∠CAB＝90°.
∵@是⊙O的直径，
∴∠ECA＝90°(直径所对的圆周角是90°)，
∴∠E＋∠EAC＝90°，∴∠E＝◎．
∴▲＝∠D(同弧所对的※相等)，
∴∠CAB＝∠D.
下列选项中，回答正确的是( )
A．@代表AD
B．◎代表∠CAB
C．▲代表∠DAC
D．※代表圆心角
B
7．【创新考法】以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图所示方式摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是( )
A．55°
B．45°
C．35°
D．25°
C
8．在△ABC中，I是内心，∠BIC＝115°，则∠A的度数为( )
A．40°
B．50°
C．60°
D．65°
B
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝56°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是⊙O上一点，且
，连接OE，过点E作EF⊥OE，EF交AC的延长线于点F，则∠F的度数为( )
A．92°
B．108°
C．112°
D．124°
C
10．【2020·河北模拟】如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为2
cm的⊙P的圆心在直线AB上，且与点O的距离为6
cm，如果P以1
cm/s的速度沿直线AB由A向B的方向移动，那么⊙P与直线CD相切时⊙P运动的时间是( )
A．3
s或10
s
B．3
s或8
s
C．2
s或8
s
D．2
s或10
s
D
11．如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C在⊙O上，∠BCA＝65°，则∠P＝________.
50°
12．已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2
cm为半径作⊙M.当OM＝________cm时，⊙M与OA相切．
4
13．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为4，则这个正六边形的边心距OM和
的长分别为____________．
14．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C是⊙M上的三个点，A(0，4)，B(4，4)，C(6，2)．则点D(4，－3)与⊙M的位置关系为________________．
点D在⊙M内
三、解答题(共58分)
15．(9分)【2020·河北石家庄新华区月考】如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与BC边交于点E，⊙O过AB上一点D，且DE∥AO，CE是⊙O的直径．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
证明：如图，连接OD.
∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE.
∵DE∥OA，
∴∠ODE＝∠AOD，
∠DEO＝∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC.
∵AC是切线，
∴∠ACB＝90°.
在△AOD和△AOC中，
∴△AOD≌△AOC，
∴∠ADO＝∠ACB＝90°.
又∵OD是半径，∴AB是⊙O的切线．
(2)若BD＝4，OC＝OE＝3，求BE和AC的长．
解：∵AB是⊙O的切线，
∴∠BDO＝90°，
∴BD2＋OD2＝OB2，
∴42＋32＝(3＋BE)2，
∴BE＝2，∴BC＝BE＋OE＋OC＝8.
∵AD，AC是⊙O的切线，∴AD＝AC.
设AD＝AC＝x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，
∴(4＋x)2＝x2＋82，解得x＝6，
∴AC＝6.
16．(11分)【2019·贵州铜仁】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G.
(1)求证：FG是⊙O的切线；
证明：如图，连接OF.
∵在正六边形ABCDEF中，
AB＝AF＝EF，
∴∠EBF＝∠ABF＝∠AFB＝30°.
∵OB＝OF，∴∠BFO＝∠OBF＝30°.
∴∠ABF＝∠OFB.∴AB∥OF.
∵FG⊥BA，
∴OF⊥FG.又∵OF是⊙O的半径，
∴FG是⊙O的切线．
(2)已知FG＝2
，求图中阴影部分的面积．
解：如图，连接AO.
∴∠AOF＝60°，∠AFB＝∠FBE.
又∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形．
∴∠AFO＝60°.
∵∠GFO＝90°，∴∠AFG＝30°.
又∵FG＝2
，∴AF＝4.∴AO＝4.
∵∠AFB＝∠FBE，
∴AF∥BE.
∴S△ABF＝S△AOF.
∴S阴影＝S扇形AOF＝
17．(10分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB，BC均相切．求⊙O的半径．
解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连接OB.
∵AB，BC都是⊙O的切线，
∴点E，F是切点．
∴OE，OF是⊙O的半径，
∴OE＝OF.
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴由勾股定理，得BC＝4.
∵D是BC边的中点，
∴BD＝CD＝2.
∵S△ABO＋S△BOD＝S△ABD，
∴5×OE＋2×OE＝2×3，
解得OE＝
∴⊙O的半径是
18.(14分)【2020·山东烟台】如图，在?ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB.
(1)求证：EC是⊙O的切线；
证明：如图，连接OB，OM.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝60°.
∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝30°.
∵EB＝AB，
∴∠E＝∠BAE.
∵∠ABC＝∠E＋∠BAE＝60°，
∴∠E＝∠BAE＝30°.
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠OAB＝30°，
∴∠OBC＝30°＋60°＝90°，
∴OB⊥CE.
又∵OB是⊙O的半径，
∴EC是⊙O的切线．
(2)若AD＝2
，求
的长(结果保留π)．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝2
.
如图，过O作OH⊥AM于H，
则四边形OBCH是矩形．
∴OH＝BC＝2
.
由(1)易知∠OAH＝60°，
易知∠AOM＝2∠AOH＝60°，
19．(14分)如图①，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP.
(1)求△OPC的最大面积；
解：∵△OPC中OC的长是定值，
∴当OP⊥OC时，OC边上的高最大，此时△OPC的面积最大．
∵AB＝4，BC＝2，
∴OP＝OB＝2，OC＝OB＋BC＝4.
∴S△OPC＝
OC·OP＝
×4×2＝4，即△OPC的最大面积是4.
(2)如图②，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线．
证明：连接AP，BP.
∵∠AOP＝∠DOB，
∴AP＝DB.
∵CP＝DB，
∴AP＝PC.
∴∠A＝∠C.
又∵∠A＝∠D，∴∠C＝∠D.
由题易得OC＝PD＝4，
又∵PC＝DB，
∴△OPC≌△PBD.
∴∠OPC＝∠PBD.
∵PD是⊙O的直径，
∴∠PBD＝90°.
∴∠OPC＝90°.∴OP⊥PC.
又∵OP是⊙O的半径，
∴CP是⊙O的切线．(共39张PPT)
专题五
随机事件的概率
冀教版
九年级下
期末复习专题练
1
2
3
4
6
7
8
9
D
D
A
A
C
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答案显示
5
10
B
A
A
C
C
答案显示
11
12
13
随机
见习题
14
15
16
见习题
提示：点击
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17
见习题
18
见习题
19
见习题
不公平；公平
1．将除颜色外其他均相同的4个红球、3个白球、2个黑球放入一个不透明的袋子里，从中任意摸出8个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这个事件是( )
A．必然事件
B．不可能事件
C．随机事件
D．不能确定
A
2．一个布袋里有3个红球、2个白球，每个球除颜色外其他均相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球是红球的概率是( )
D
3．【2019·河北唐山路南区模拟】下列说法正确的是( )
A．调查某班学生的身高情况，适宜采用抽样调查
B．事件“若m，n互为相反数，则mn＝0”是必然事件
C．小南抛掷两次硬币都是正面向上，说明抛掷硬币正面向上的概率是1
D．事件“1，3，2，1的中位数一定是2”是不可能事件
D
4．下列说法中，正确的是( )
A．不可能事件发生的概率为0
B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生
D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次
A
5．某校七年级(1)班的50名学生中有20名团员，他们都积极报名参加学校开展的“文明劝导活动”．根据要求，该班需从团员中随机抽取1名学生参加，则该班团员京京被抽到的概率是( )
C
6．【2020·河北衡水期中】在一次比赛前，教练预言说：“这场比赛我们队有60%的机会获胜”，则下列说法中与“有60%的机会获胜”的意思接近的是( )
A．他这个队赢的可能性较大
B．若这两个队打10场，他这个队会赢6场
C．若这两个队打100场，他这个队会赢60场
D．他这个队必赢
A
7．【2020?广西南宁】一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是( )
C
8．【2020?河北邯郸永年区期末】小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表：
抛掷次数
100
200
300
400
500
正面朝上
的频数
53
98
156
202
244
若抛掷硬币的次数为1
000，则“正面朝上”的频数最有可能接近( )
A．20
B．300
C．500
D．800
C
9．三张外观相同的卡片上分别标有数字1，2，3，从中随机一次性抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是( )
A
10．如图，这是一幅2018年俄罗斯世界杯的长方形宣传画，长为4
m，宽为2
m．为测量画上世界杯会徽图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子(假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现骰
子落在世界杯会徽图案中的频率稳定在常数
0.4.由此可估计宣传画上世界杯会徽图案
的面积为( )
A．2.4
m2
B．3.2
m2
C．4.8
m2
D．7.2
m2
【点拨】点拨：∵骰子落在世界杯会徽图案中的频率稳定在常数0.4，
∴估计骰子落在世界杯会徽图案中的概率为0.4，
∴可估计宣传画上世界杯会徽图案的面积为0.4×(4×2)＝3.2(m2)．
故选B.
【答案】B
二、填空题(每题3分，共12分)
11．小明连续3次经过同一个十字路口都碰上了红灯，这是________事件．
随机
12．小刚设计了一个游戏：任意掷出一个瓶盖，若盖面朝上则甲胜，若盖面朝下则乙胜，你认为这个游戏________；如果以质地均匀的硬币代替瓶盖，同样做上述游戏，你认为这个游戏________．(填“公平”或“不公平”)
不公平
公平
13．如图，这是两个可自由转动的转盘A，B，指针位置固定，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘A，B，当转盘停止转动时，若转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数是90°，则事件“指针都指向标有数字1的扇形区域内”的概率是________．
【点拨】∵转盘A的指针指向1，2的可能性相同，转盘B可看成指针指向1，2，2，2四种等可能情况．画树形图如图．
共有8种等可能的结果，指针都指向标有数字1的扇形区域内只有1种结果，
∴所求概率为
【答案】
14．【2019·湖南益阳】小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是________．
【点拨】画树形图如图所示．
共有6种等可能的结果，从上
到下的顺序恰好为“上册、中
册、下册”的结果有1种，
∴从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是
.
【答案】
三、解答题(共58分)
15．(9分)任意抛出一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，请根据下列事件发生的概率将与其对应的序号标在图中的大致位置上：(1)朝上的数字大于3；
(2)朝上的数字大于6；(3)朝上的数字大于2；
(4)朝上的数字不大于7；(5)朝上的数字为5.
解：如图所示．
16．(10分)【2020?湖北宜昌】宜昌景色宜人，其中三峡大坝、清江画廊、三峡人家景点的景色更是美不胜收．某民营单位为兼顾生产和业余生活，决定在下设的A，B，C三个部门利用转盘游戏确定参观的景点．两转盘各部分圆心角大小以及选派部门、旅游景点等信息如图．
(1)若规定老同志相对偏多的部门选中的可能性大，试判断这个部门是哪个部门？请说明理由；
解：C部门，理由：
由题意得P(A部门)＝
，
P(B部门)＝
，
P(C部门)＝
，
∴选择C部门的可能性大．即这个部门是C部门．
(2)设选中C部门游三峡大坝的概率为P1，选中B部门游清江画廊或者三峡人家的概率为P2，请判断P1，P2的大小关系，并说明理由．
解：P1＝P2.将部门转盘分成4等份，C部门占2份，不妨用C1，C2表示．根据题意，列表如下：
?
A
B
C1
C2
三峡大坝(D)
AD
BD
C1D
C2D
清江画廊(E)
AE
BE
C1E
C2E
三峡人家(F)
AF
BF
C1F
C2F
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中“C部门游三峡大坝”的有2种，“B部门游清江画廊或者三峡人家”的也有2种，
17．(11分)一个不透明的袋中装有质地、大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是1，4，7，8.现规定从袋中任取一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数，然后将小球放回袋中并搅拌均匀，再任取一个小球，对应的数字作为这个两位数的十位数．
(1)写出按上述规定得到的所有可能的两位数；
解：所有可能的两位数：11，41，71，81，14，44，74，84，17，47，77，87，18，48，78，88.
(2)从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于4且小于7的概率．
解：由(1)可知这些两位数共有16个，其中算术平方根大于4且小于7的有6个，
所以P(算术平方根大于4且小于7)＝
18.(14分)在一副扑克牌中，拿出红桃2、红桃3、红桃4、红桃5四张牌，背面向上洗匀后，小志从中随机摸出一张，记下牌面上的数字为x，然后放回并洗匀，再由小华随机摸出一张，记下牌面上的数字为y，组成一对数(x，y)．
(1)用列表法或画树形图法表示出(x，y)的所有可能的结果；
解：画树形图如图所示．
∴共有16种等可能的结果：(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)．
(2)求小志、小华各摸一次扑克牌所确定的一对数是方程x＋y＝6的解的概率；
解：由树形图可知满足x＋y＝6的结果共有3种，
(3)求小志、小华各摸一次扑克牌所确定的一对数是不等式x－y≥1的解的概率．
解：由树形图可知满足x－y≥1的结果共有6种，
19．(14分)【2021·河北衡水押题卷】防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，九年级三班的嘉嘉和琪琪两名同学将随机通过测温通道进入校园．
(1)嘉嘉从A测温通道通过的概率是________；
(2)利用画树形图或列表的方法，求嘉嘉和琪琪从同一个测温通道通过的概率；
解：列表如下：
嘉嘉
琪琪
A
B
C
A
A，A
B，A
C，A
B
A，B
B，B
C，B
C
A，C
B，C
C，C
由表可知，共有9种等可能的结果，其中嘉嘉和琪琪从同一个测温通道通过的有3种可能，所以嘉嘉和琪琪从同一个测温通道通过的概率为
(3)到校后，两人发现她们没有从同一通道进校，看到刚进入班级的张老师，两人猜测张老师通过的测温通道并打赌：若张老师和嘉嘉从同一通道进校，嘉嘉胜，若张老师和琪琪从同一通道进校，琪琪胜，谁获胜的可能性大？请说明理由．
解：两个人获胜的可能性一样大．理由：由题意易得张老师和嘉嘉从同一通道进校的概率为
，和琪琪从同一通道进校的概率也为
，所以两个人获胜的可能性一样大.(共37张PPT)
专题三
二次函数（基础）
冀教版
九年级下
期末复习专题练
1
2
3
4
6
7
8
9
C
C
C
C
C
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答案显示
5
10
A
C
A
B
A
答案显示
11
12
13
y＝3x2＋1
见习题
14
15
16
见习题
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17
见习题
18
见习题
19
见习题
y＝－(x－1)2－2
1．二次函数y＝a(x－1)2＋b(a≠0)的图像经过点(0，2)，则a＋b的值是( )
A．－3
B．－1
C．2
D．3
C
2．【2019·河北唐山丰南区期中】已知二次函数y＝(2－a)xa2－3，在该函数图像的对称轴左侧，y随x的增大而减小，则a的值为( )
C
3．已知二次函数y＝
(x－4)2－3的部分图像如图所示，图像再次与x轴相交时的坐标是( )
C
A．(5，0)
B．(6，0)
C．(7，0)
D．(8，0)
4．将抛物线y＝x2－4x＋3平移，使平移后图像的顶点为(－2，4)，则需将该抛物线( )
A．先向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度
B．先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度
C．先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度
D．先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度
C
5．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是( )
A．y＝x2＋a
B．y＝a(1＋x)2
C．y＝(1－x)2＋a
D．y＝a(1－x)2
B
6．已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图像与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两个实数根是( )
A．x1＝1，x2＝－1
B．x1＝1，x2＝0
C．x1＝1，x2＝2
D．x1＝1，x2＝3
C
7．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，点C在y轴的正半轴上，且OA＝OC，则( )
A
A．ac＋1＝b
B．ab＋1＝c
C．bc＋1＝a
D．以上都不对
8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋bx与y＝bx＋a的图像可能是( )
C
9．【2020·河北唐山乐亭县期末】若函数y＝x2－4x＋m的图像上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＜x2＜2，则( )
A．y1＞y2
B．y1＜y2
C．y1＝y2
D．y1，y2的大小不确定
A
10．【2020·山东济南】已知抛物线y＝x2＋(2m－6)x＋m2－3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x＞2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G(包含A、B两点)，M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若t≥－3，则m的取值范围是( )
A．m≥
B.
≤m≤3
C．m≥3
D．1≤m≤3
A
二、填空题(每题3分，共12分)
11．抛物线y＝ax2＋k与y＝3x2的形状相同，且其顶点坐标是(0，1)，则其表达式为__________________．
y＝3x2＋1
12．若二次函数y＝－x2＋3x＋m的图像全部在x轴的下方，则m的取值范围为__________．
13．将二次函数y＝(x－1)2＋2的图像以x轴为对称轴作对称后得到的图像的函数表达式为________________．
y＝－(x－1)2－2
14．【2020·吉林长春】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(4，2)．若抛物线y＝－
(x－h)2＋k(h、k为常数)与线段AB交于C、D两点，且CD＝
AB，则k的值为________．
三、解答题(共58分)
15．(9分)【2020·河北张家口涿鹿县期中】已知函数y＝(k－2)xk2－4k＋5是关于x的二次函数，求：
(1)满足条件的k的值；
解：由题意知k2－4k＋5＝2，且k－2≠0，
∴解得k1＝1，k2＝3.
(2)当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？
解：∵抛物线有最高点，
∴抛物线开口向下，即k－2＜0，
∴k＜2，
∴k＝1，
∴函数为y＝－x2，
∴最高点为(0，0)，
当x＜0时，y随x的增大而增大．
(3)当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小？
解：∵函数有最小值，
∴抛物线开口向上，即k－2＞0，
∴k＞2，∴k＝3，∴函数为y＝x2，
∴最小值为0，当x＜0时，y随x的增大而减小．
16．(10分)【2020·河北张家口怀安县期末】如图，二次函数的图像与x轴交于A(－3，0)和B(1，0)两点，交y轴于点C(0，3)，点C、D是二次函数图像上的一对对称点，一次函数的图像过点B、D.
(1)求二次函数的表达式；
解：设二次函数的表达式为y＝a(x＋3)
(x－1)，
把C(0，3)的坐标代入得a×3×(－1)＝3，解得a＝－1，
所以二次函数的表达式为y＝－(x＋3)(x－1)，即y＝－x2－2x＋3.
(2)根据图像直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
解：x＜－2或x＞1.
17．(11分)【2020·江苏南京】小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第x
min时，小丽、小明离B地的距离分别为y1
m、y2
m．y1与x之间的函数表达式是y1＝－180x＋2
250，y2与x之间的函数表达式是y2＝－10x2－100x＋2
000.
(1)小丽出发时，小明离A地的距离为________m.
250
(2)小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
解：设小丽出发第x
min时，两人相距s
m，则
s＝(－180x＋2
250)－(－10x2－100x＋2
000)＝10x2－80x＋250＝10(x－4)2＋90，
∴当x＝4时，s取得最小值，此时s＝90，
答：当小丽出发第4
min时，两人相距最近，最近距离是90
m.
18.(14分)【2021·河北唐山路南区二模】如图曲线是抛物线的一部分，我们建立如图所示的平面直角坐标系，OA＝1.5，抛物线最高点的坐标为(1，2)．
(1)①求图中曲线对应的函数关系式；
解：①设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋2，
把A(0，1.5)的坐标代入解得
∴所求函数关系式为y＝－
(x－1)2＋2.
解：②令－
(x－1)2＋2＝0，解得x1＝3，x2＝－1，
∴0≤x≤3.
②求自变量x的取值范围；
(2)图中曲线与x轴交点的坐标为________．
(3，0)
(3)若抛物线形状不变，将其平移后仍过A点，且与x轴正半轴交于点B，OB＝5，求平移后抛物线的最大高度是多少？
解：根据题意，可设平移后抛物线的表达式为y＝
－
x2＋mx＋1.5，
把点B(5，0)的坐标代入，
19．(14分)【2020·山东青岛】某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4
m，宽AB＝3
m，抛物线的最高点E到BC的距离为4
m.
(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2＋m(k≠0)表示．求该抛物线的函数表达式；
解：由题意知OH＝AB＝3，
∴EO＝EH－OH＝4－3＝1，
∴E(0，1)，D(2，0)，
∴该抛物线的函数表达式为y＝kx2＋1，
把点D(2，0)的坐标代入，得k＝－
，
∴该抛物线的函数表达式为y＝－
x2＋1.
(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM＝2
m，求每个B型活动板房的成本是多少？(每个B型活
动板房的成本＝每个A型活动板
房的成本＋一扇窗户FGMN的成本)
解：∵GM＝2，∴OM＝OG＝1，
∴当x＝1时，y＝
，
∴N
，∴MN＝
，
∴S长方形MNFG＝MN·GM＝
×2＝
，
∴每个B型活动板房的成本是425＋
×50＝500(元)．
(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？
解：根据题意，得w＝(n－500)[100＋
]＝－2(n－600)2＋20
000.
∵每月最多能生产160个B型活动板房，
∴100＋
≤160，
解得n≥620，
∵－2＜0，∴当n≥620时，
w随n的增大而减小，
∴当n＝620时，
w有最大值为19
200元．
答：公司将销售单价n(元)定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大，最大利润是19
200元．(共51张PPT)
专题二
直线与圆的位置关系（提升）
冀教版
九年级下
期末复习专题练
1
2
3
4
6
7
8
9
C
C
B
D
C
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5
10
B
B
D
C
A
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11
12
13
12π
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一、选择题(每题3分，共30分)
1．【2020·河北邢台襄都区月考】已知⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4是四个半径为3的等圆，若这四个圆中某圆的圆心到直线l的距离为6，则这个圆可能是( )
A．⊙O1
B．⊙O2
C．⊙O3
D．⊙O4
B
2．【2020·河北保定阜平县期中】如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，若∠BAO＝25°，则∠P＝( )
A．30°
B．60°
C．50°
D．75°
C
3．【2020·湖南永州】如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M，连接AB.给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．
其中说法正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C
4．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是( )
A．点(0，3)
B．点(1，3)
C．点(6，0)
D．点(6，1)
B
5．如图，点M的坐标为(0，2)，点A的坐标为(2，0)，以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为( )
C
A．(0，1＋
)
B．(1，1＋
)
C．(2，2)
D．(2，4)
6．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为( )
A．4
B．3
C．2
D．1
D
7．【2020·辽宁丹东】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∠B＝60°，AD＝8
，分别以B和C为圆心，以大于
BC的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，直线PQ与BA的延长线交于点E，连接CE，则△BCE的内切圆半径是( )
A
8．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，E是边AB上一点，且AE＝
AB.已知⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G(∠GEB为锐角)，与边AB所在直线交于另一点F，且EG
∶EF＝
∶2，当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是( )
A．9
B．4
C．12或4
D．12或9
【点拨】当边BC所在的直线与⊙O相切时，设切点为K，连接OK，OE，
过点G作GN⊥AB，垂足为N，如图①所示，
则EN＝NF，GN＝AD＝8.
又∵EG
∶EF＝
∶2，
∴EG
∶EN＝
∶1.
设EN＝x，则GE＝
x，
在Rt△GEN中，根据勾股定理得，
解得x＝4(负值舍去)，
∴GE＝4
.设⊙O的半径为r，
由OE2＝EN2＋ON2，
得r2＝16＋(8－r)2，解得r＝5，
∴OK＝NB＝5，∴EB＝9.
又∵AE＝
AB，易得AB＝12.
当边AD所在的直线与⊙O相切时，设切点为H，连接OH，OE，过点G作GN⊥AB，垂足为N，如图②所示，
同理，EN＝4，OE＝OH＝AN＝5，
∴AE＝1.
【答案】C
9．如图，圆O的半径等于正三角形ABC的高，此圆沿底边AB滚动，切点为T，圆交AC，BC于M，N，则对于所有可能的圆的位置而言，
的度数( )
A．从30°到60°变动
B．从60°到90°变动
C．保持30°不变
D．保持60°不变
【点拨】如图，过点O作OH∥AC，
交AB与点H，交BC于点Z，
过点O作OE∥BC，
交AB的延长线于点E，连接OM，ON，
过点M作MG⊥OH于点G，
作NK⊥OE于点K.
∵△ACB是等边三角形，
∴∠A＝∠ACB＝∠ABC＝60°.
∵CA∥OH，∴∠ACB＝∠CZO＝60°.
∴∠HZB＝60°.
∵OE∥BC，∴∠EOH＝∠HZB＝60°.
∵OC∥AB，
∴四边形AHOC是平行四边形，
∴∠A＝∠COZ＝60°，
∴△OZC是等边三角形．
∵MG⊥OH，NK⊥OE，
∴MG，NK均为△OZC的高，∴MG＝NK.
在Rt△OMG与Rt△ONK中，
∴△OMG≌△ONK，
∴∠MOG＝∠KON，
∴∠MON＝∠EOH＝60°，
∴
的度数为60°.故选D.
【答案】D
10．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，半径为1的⊙O与AC，BC相切，当⊙O沿边CB平移至与AB相切时，则⊙O平移的距离为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
【点拨】∵Rt△ACB中，∠C＝90°，
AC＝6，BC＝8，∴AB＝10.
如图，设⊙O与AC相切于D，与BC相切于H，平移后的⊙O′与AB相切于F，与BC相切于E，
连接OH，O′D，则点O在O′D上，
连接O′F，连接EO′并延长交AB于G.
易得四边形CDOH是正方形，四边形OHEO′是矩形，
∴OD＝OH＝O′E＝O′F＝CD＝CH＝1，OO′＝HE，EG⊥BC.
∵∠C＝90°，
∴EG∥AC，∴∠FGE＝∠A.
又∵∠GFO′＝∠C＝90°，
∴△O′FG∽△BCA，
∵GE∥AC，
∴△BGE∽△BAC，
∴OO′＝HE＝BC－CH－BE＝8－1－3＝4，
∴⊙O平移的距离为4，故选B.
【答案】B
二、填空题(每题3分，共12分)
11．【2020·青海西宁】如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板的一直角边与量角器的零刻度线所在直线重合，斜边与半圆相切，
对应的圆心角(∠AOB)为120°，OC长为3，
则图中扇形AOB的面积是
________．
12π
12．【2020·山东滨州】如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E，F，G，H，ED与⊙O相交于点M，连接FM，FG，则sin∠MFG的值为______．
13．【2020·河北邯郸模拟】以坐标原点O为圆心，作半径为1的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O有交点，则b的取值范围是_____________．
14．【2020·湖北鄂州】如图，已知直线y＝－
x＋4与x，y轴交于A，B两点，⊙O的半径为1，P为AB上一动点，PQ切⊙O于Q点．当线段PQ长取最小值时，直线PQ交y轴于M点，a为过点M的一条
直线，则点P到直线a的距离的最大值
为________．
【点拨】如图．
∴∠OBA＝30°.
由PQ切⊙O于Q点可知OQ⊥PQ，
∴当OP最小时，PQ长取最小值，此时OP⊥AB，
∴∠OPQ＝30°.
若使点P到直线a的距离最大，则最大值为PM，
且M位于x轴下方，过点P作PE⊥y轴于点E，
∴OE＝4－3＝1.
∴∠OPE＝30°，
∴∠EPM＝30°＋30°＝60°，
∴∠EMP＝30°，
∴PM＝2EP＝2
.
【答案】
三、解答题(共58分)
15．(9分)如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点(PB＜OB)，点E是线段OP的中点．
(1)尺规作图：在直径AB上方的圆弧上作一点C，使得EC＝EP，连接EC，PC(保留作图痕迹，不要求写作法)，并证明PC是⊙O的切线；
解：如图，点C即为所求．
证明：如图，连接OC.
∵点E是线段OP的中点，
∴OE＝EP.
∵EC＝EP，∴OE＝EC＝EP，
∴∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P.
∵∠COE＋∠ECO＋∠ECP＋∠P＝180°，
∴∠ECO＋∠ECP＝90°，
∴OC⊥PC.又∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
(2)在(1)的条件下，若BP＝4，EB＝1，求PC的长．
解：∵BP＝4，EB＝1，
∴OE＝EP＝BP＋EB＝5，
∴OP＝2OE＝10，
OC＝OB＝OE＋EB＝6.
在Rt△OCP中，根据勾股定理，
16．(10分)如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．
(1)正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为________；
(2)连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．
解：BE是⊙O的内接正n边形的一边．
理由：如图，连接OA，OB，OE.
在正方形ABCD中，∠AOB＝90°，
在正六边形AEFCGH中，
∠AOE＝60°，∴∠BOE＝30°.
17．(11分)【2020·河北衡水武邑县校级月考】如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC＝BC，∠B＝30°.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
证明：如图，连接OA.
∵OC＝BC，OA＝OC，
∴∠OAB＝90°，即OA⊥AB.
又∵OA是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
(2)若∠ACD＝45°，OC＝2，求弦CD的长．
解：如图，作AE⊥CD于点E.
由(1)易知∠O＝60°，
∴∠D＝30°.AC＝OC＝2.
∵∠ACD＝45°，
∴在Rt△ACE中，CE＝AE＝
∵∠D＝30°，
18.(14分)【2020·河北保定定兴县一模】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，延长BC到点D，使BD＝BA.P是BC边上一点，点Q在射线BA上，连接PQ，PQ＝BP，以点P为圆心，PD长为半径作⊙P，交AC于点E，设PC＝x.
(1)AB＝________，CD＝________，当点Q在⊙P上时，求x的值；
5
1
解：当点Q在⊙P上时，如图①，
则PQ＝PD，又∵PQ＝BP，
∴BP＝PD，
即4－x＝x＋1.解得x＝.
(2)当x为何值时，⊙P与AB相切？
解：当⊙P与AB相切时，如图②，作PF⊥AB于点F，
则PF＝PD＝x＋1，
经检验，x＝
是分式方程的解，且符合题意，
∴当x＝
时，⊙P与AB相切．
(3)当PC＝CD时，求阴影部分的面积．
解：连接PE.
∵PC＝CD＝1，
PE＝PD＝1＋1＝2，
∴Rt△PEC中，∠EPC＝60°，EC＝
19．(14分)【2020·河北唐山遵化市三模】如图，半圆形D的直径AB＝6，线段OA＝10，O为原点，点B在数轴的正半轴上运动，点B在数轴上所表示的数为m.
(1)当半圆形D与数轴相切时，求m；
解：当半圆形D与数轴相切时，AB⊥OB，
由勾股定理得m＝
(2)若
与数轴有两个公共点，设另一个公共点为C，
①直接写出m的取值范围是________________；
②当半圆形D被数轴截得的弦长为3时，求半圆形D在△AOB内部的弧长；
m＝4或8＜m≤16
解：连接DC，如图①所示．
∵半圆形D的直径AB＝6，
∴CD＝BD＝3.又∵BC＝3，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠BDC＝60°，∴∠ADC＝120°，
∴半圆形D在△AOB内部的弧长＝
(3)当△AOB的内心、外心与某一个顶点在同一条直线上时，求cos∠AOB的值．
解①当OB＝AB时，△AOB的内心、外心与顶点B在同一条直线上．
过点A作AH⊥OB于点H，
如图②所示．
设BH＝x，由勾股定理得，
102－(6＋x)2＝62－x2，
②当OB＝OA时，△AOB的内心、外心与顶点O在同一条直线上．
过点A作AH⊥OB于点H，
如图③所示．
设BH＝x，由勾股定理得102－(10－x)2＝62－x2，解得
