2021-2022学年北师大版九年级数学上册2.5一元二次方程根与系数的关系课件（第一课时,共17张PPT）

(共17张PPT)
2.5:一元二次方程
根与系数的关系
1.一元二次方程的解法
2.求根公式
复习提问
数
学
活
动
一
一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)
的求根公式：
X=
(b2-4ac≥
0)
2
2
)
2
5
(
)
4
)(
1
(
x
x
-
=
-
（2）
(x+3)(x－1)=5
3
)
1
3
(
2
)
2
3
(
3
3
).
3
(
2
-
=
-
-
+
x
x
x
x
x
解下列方程
1.????
填表，观察、猜想
数学活动二
方程
x1,,
x2
x1,+
x2
x1.
x2
x2-2x+1=0
x2+3x-10=0
x2+5x
+4=0
问题：你发现什么规律？
①用语言叙述你发现的规律；
②
x2+px+q=0的两根x1,,
x2用式子表示你发现的规律。
根与系数关系
如果关于x的方程
的两根是
,
,则:
如果方程二次项系数不为1呢?
数
学
活
动
三
方
程
x1,,
x2
x1,+
x2
x1.
x2
2x2-3x-2=0
3x2-4x+1=0
问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；
①用语言叙述发现的规律；
②
ax2+bx+c=0的两根x1,,
x2用式子表示你发现的规
律：
一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1
,
X2
,
那么X1+x2=
,
X1x2=
-
（韦达定理）
注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0
韦达（1540－1603）
韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。
他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。
韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。
一元二次方程根与系数关系的证明：
X1+x2=
+
=
=
-
X1x2=
●
=
=
=
1、
x2
-
2x
-
1=0
2、
2x2
+
=3x
3、
2x2
-
6x
=0
4、
3x2
=
4
x1+x2=2
x1x2=-1
x1+x2=
x1+x2=3
x1+x2=0
x1x2=
x1x2=0
x1x2=
-
求下列方程的两根之和与两根之积
注：要求方程的两根之和与两根之积，方程必须要化成一般形式
例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2
,求它的另一个根及k的值。
例2、已知3x2+2x-9=0的两根是x1
,
x2
。
求：
(1)
(2)
x12+x22
变式
练习：
设x1，x2是方程2x2+4x-
3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。
（2）
（1）
（３）（x1-
x2）2
1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
3、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
4、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。
归纳小结：
通过本节课的学习你学到了那些知识？
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：
两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项于二次项系数的比。
作业：
课本P51
习题2.8