高中数学人教A版选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试题（含解析答案）

高中数学人教A版选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试题（含解析答案）
一、选择题
1．已知向量＝(3，－2,1)，=(－2,4,0)，则4＋2等于 （ ）
A．(16,0,4) B．(8，－16,4) C．(8,16,4) D．(8,0,4)
　 D提示：4＋2＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8，4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．
2．在三棱柱ABC A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝ （ ）
A．a＋b－c B．a－b＋c C．－a＋b＋c D．－a＋b－c
　D提示：　＝＋＝－c＋(b－a)＝－a＋b－c.
3．在棱长都是1的三棱锥A BCD中，下列各数量积的值为的是 （ ）
A. B. C. D.
　 D提示：向量的夹角是两个向量始点放在一起时所成的角，经检验只有＝.
4．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是 （ ）
A.＝2－－ B.＝＋＋
C.＋＋＝0 D.＋＋＋＝0
C提示：＋＋＝0，即＝－(＋)，所以M与A、B、C共面．
5．若向量{}是空间的一个基底，向量，那么可以与m、n 构成空间另一个基底的向量是(　　)
A．a B．b C．c D．2a
解析　C　∵a＋b，a－b分别与a、b、2a共面，∴它们分别与a＋b，a－b均不 能构成一组基底．
6．在正方体ABCD A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(－)－；②(＋ )－； ③(－)－2；④(＋)＋.
其中能够化简为向量的是 （ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
　A提示：①(－)－＝－＝1；②(＋)－＝－＝
；③(－)－2＝－2≠；④(＋)＋＝＋
＝≠，故选A.
7．已知向量a＝(1，－1,1)，b＝(－1,2,1)，且ka－b与a－3b互相垂直，则k的值是
A．1 B． C． D．－
　D提示：∵ka－b＝(k＋1，－k－2，k－1)，a－3b＝(4，－7，－2)，(ka－b)⊥(a－3b)，
∴4(k＋1)－7(－k－2)－2(k－1)＝0，∴k＝－.
8．若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，a·(b＋c)的值为 （ ）
A．4 B．15 C．7 D．3
　 解析　D　∵b＋c＝(2,2,5)，∴a·(b＋c)＝(2，－3,1)·(2,2,5)＝3.
9．已知四边形ABCD满足：·>0，·>0，·>0，·>0，则该四边形 为 （ ）
A．平行四边形 B．梯形 C．长方形 D．空间四边形
　解析　D　由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边 形的外角和是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．
10．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若
＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　)
A. B. C. D.
　解析　A　＝＋＝＋×(＋)＝＋[(－)＋(－)] ＝(＋＋)，由OG＝3GG1知，＝＝(＋＋)，
∴(x，y，z)＝.
11. 如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，
＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A．－a＋b＋c B．a＋b＋c
C．－a－b＋c D．a－b＋c
A解析　由图形知：＝＋＝＋(－)＝－a＋b＋c.
12.给出命题：①若a与b共线，则a与b所在的直线平行；②若a与b共线，则存在 唯一的实数λ，使b＝λa；③若A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，＝ ＋＋OC，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC的内部．上述命题中的真命 题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
B解析　①中a与b所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②中当a＝0，b≠0
时，找不到实数λ，使b＝λa，故②是假命题；可以证明③中A，B，C，M四点共
面，因为＋＋＝，等式两边同时加上，则(＋)＋(＋
)＋(＋)＝0，即＋＋＝0，＝－－，则与， 共面，又M是三个有向线段的公共点，故A，B，C，M四点共面，所以M是△ABC 的重心，所以点M在平面ABC上，且在△ABC的内部，故③是真命题．
二、填空题
13．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填“共面”或“不共面”)．
解析　＝(3,4,5)，＝(1,2,2)，＝(9,14,16)，设＝x＋y.即(9,14,16)
＝(3x＋y,4x＋2y,5x＋2y)，∴从而A、B、C、D四点共面．
14．已知向量a＝(－1,2,3)，b＝(1,1,1)，则向量a在b方向上的投影为________．
解析　向量a在b方向上的投影为：|a|·cos?a，b?＝×＝.
15．已知G是△ABC的重心，O是空间与G不重合的任一点，若＋＋＝λ， 则λ＝________.
　3 解析　因为＋＝，＋＝，＋＝，且＋＋＝0， 所以＋＋＝3.
16．如果三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b＋2)共线，那么a－b＝________.
1 解析:＝(1，－1,3)，＝(a－2，－1，b＋1)，若使A、B、C三点共线，须满 足＝λ，即(a－2，－1，b＋1)＝λ(1，－1,3)，所以
解得a＝3，b＝2，所以a－b＝1.
三、解答题
17. 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、F分别是
AB、AD的中点，计算：
(1)·； (2)·； (3)·.
解析　(1)·＝·
＝||||cos〈，〉＝cos 60°＝.
(2)·＝·＝cos 0°＝.
(3)·＝·＝||||cos〈，〉＝cos 120°＝－.
18．如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝ 45°，∠OAB＝60°，求OA与BC夹角的余弦值．
解析　∵＝－，
∴·＝·－·
＝||·||·cos〈，〉－||·||·cos 〈，〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16.
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴OA与BC夹角的余弦值为.
19．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；
(2)若向量a分别与向量，垂直，且|a|＝，求向量a的坐标．
解析　(1)∵＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，
∴cos ∠BAC＝＝＝，
∴∠BAC＝60°∴S＝||||sin 60°＝7.
(2)设a＝(x，y，z)，则a⊥ －2x－y＋3z＝0，
a⊥ x－3y＋2z＝0，|a|＝ x2＋y2＋z2＝3，
解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，
∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．
20．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、 CD的中点．求MN的长．
　解析　由于该空间四边形的每条边和对角线的长都相等，因
此每一个面都是正三角形，以同一个顶点出发的三条
棱作为基底，将有关向量分解即可．
如图所示，设＝p，＝q，＝r.由题意可知
|p|＝|q|＝|r|＝a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°，
∵＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)，
∴||2＝2＝(q＋r－p)2＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－q·p－r·p)]
＝＝×2a2＝，
∴||＝a，即MN的长为a.
21. 已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)，设a＝，b＝.
(1)求a与b的夹角θ的余弦值；
(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
解析　∵A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，a＝，b＝，
∴a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)．
(1) cos θ＝＝＝－，
∴a与b的夹角θ的余弦值为－.
(2) ∵ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，
ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且(ka＋b)⊥(ka－2b)，
∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝2k2＋k－10＝0，
则k＝－或k＝2.
22.如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，点E在侧棱AA1 上，点F在侧棱BB1上，且AE＝2，BF＝.
(1)求证：CF⊥C1E；
(2)求二面角E CF C1的大小．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2，3)，E(0，0，2)，F(，1，)．
(1) ＝(0，－2，－)，＝(，－1，)，
·＝0＋2－2＝0， 所以CF⊥C1E.
(2)＝(0，－2,2)，设平面CEF的一个法向量为m＝(x，y，z)，
由m⊥，m⊥，得
即可取m＝(0，，1)．
设侧面BC1的一个法向量为n，由n⊥，n⊥，及＝(，－1,0)，＝(0,0,3)， 可取n＝(1，，0)．
设二面角E CF C1的大小为θ，于是由θ为锐角可得
cos θ＝＝＝，所以θ＝45°，
即所求二面角E CF C1的大小为45°.