角平分线的性质与判定学案
文档属性
| 名称 | 角平分线的性质与判定学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 176.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-07-22 07:51:08 | ||
图片预览
文档简介
§11．３ 角平分线的性质 两课时 学案
教学目标
1、能够证明角平分线的性质定理、判定定理
2、能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题
教学重点和难点
重点：角平分线的性质定理、判定定理
难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题
教学过程设计
探究：
下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．
思考：
１．用 可以截相等的线段
２．在以上基础上，已知一角如何画出该角的平分线
一、尺规作图
1、已知：∠AOB， 2、练习，画出下列角的平分线
求作：∠AOB的平分线OC
3、练习，教材P19
３．已知 ∠AOB，OC平分线∠AOB，你会利用此图构造全等三角形吗
二、角平分线的性质
（1）点到直线的距离：从直线外一点向直线引垂线，这点到垂足间线段的长叫做这点到直线的距离。
探究： 课本２０页
如图：OP平分∠AOB ，PE⊥OA，PD⊥OB，显然PD的长度是 ， PE的长度是
PE，PD有何关系？ 请加以证明
证明：
角平分线性质定理（ 即已知角的平分线，能推出什么样的结论）
数学语言：
用符号语言来翻译这句话．请填下表：
（老师在此补充命题证明的步骤）
符号语言
∵ 或
∴
思考：那么在角的内部，到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？
根据下表中的图形写出已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并加以证明：
证明:
由此得角平分线的判定
三、角平分线的判定定理
定理：
符号语言
∵
∴ 或
思考：角平分线的判定和性质之间有什么联系？
四、应用：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？
1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质和判定有关吗？用哪一个解决这个问题？
2．比例尺为1：20000是什么意思？
结论：1．应该用 ．集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．
2．在纸上画图时，常用厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题．1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中 表示实际距离 的意思．作图如下：
第一步：
第二步：
总结：应用角平分线的性质和判定，可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，可以直接利用性质解决问题．
五、练习
1、如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
思考：点P在∠A的平分线上吗？为什么？
２、如图，△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外角的平分组CE相交于P,
求证点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等。
思考：到三角形三边所在直线距离相等的点有几个？
讲解例题
如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且∠1 =∠2。
求证：OB = OC。
如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且OB = OC。
求证：∠1 =∠2。
例３．在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。
课堂练习：
１.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？⑵哪条线段与DE相等？为什么？⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长
２．如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；求证：CF=EB
3.△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，求证EB＝FC
4.如图，在△ABC中，AC = BC，∠C = 90°，AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，垂足为E。 求证：AB = AC + CD。 （选做）
课后练习：
１．如图，E是线段AC上的一点，AB⊥EB于B，AD⊥ED于D，且∠1 =∠2，CB = CD。求证：∠3 =∠4。
如图，在△ABC中，BE⊥AC，AD⊥BC，AD、BE相交于点P，AE = BD。求证：P在∠ACB的角平分线上。
如图，E为AB边上的一点，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∠1 =∠C，DE = EC。求证：DA + CB = AB。
如图，AB = AC，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E。
求证：BE + EC = AB。
（若已补充线段的垂直平分线的性质此题可做）
C
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
PAGE
1
教学目标
1、能够证明角平分线的性质定理、判定定理
2、能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题
教学重点和难点
重点：角平分线的性质定理、判定定理
难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题
教学过程设计
探究：
下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．
思考：
１．用 可以截相等的线段
２．在以上基础上，已知一角如何画出该角的平分线
一、尺规作图
1、已知：∠AOB， 2、练习，画出下列角的平分线
求作：∠AOB的平分线OC
3、练习，教材P19
３．已知 ∠AOB，OC平分线∠AOB，你会利用此图构造全等三角形吗
二、角平分线的性质
（1）点到直线的距离：从直线外一点向直线引垂线，这点到垂足间线段的长叫做这点到直线的距离。
探究： 课本２０页
如图：OP平分∠AOB ，PE⊥OA，PD⊥OB，显然PD的长度是 ， PE的长度是
PE，PD有何关系？ 请加以证明
证明：
角平分线性质定理（ 即已知角的平分线，能推出什么样的结论）
数学语言：
用符号语言来翻译这句话．请填下表：
（老师在此补充命题证明的步骤）
符号语言
∵ 或
∴
思考：那么在角的内部，到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？
根据下表中的图形写出已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并加以证明：
证明:
由此得角平分线的判定
三、角平分线的判定定理
定理：
符号语言
∵
∴ 或
思考：角平分线的判定和性质之间有什么联系？
四、应用：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？
1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质和判定有关吗？用哪一个解决这个问题？
2．比例尺为1：20000是什么意思？
结论：1．应该用 ．集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．
2．在纸上画图时，常用厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题．1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中 表示实际距离 的意思．作图如下：
第一步：
第二步：
总结：应用角平分线的性质和判定，可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，可以直接利用性质解决问题．
五、练习
1、如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
思考：点P在∠A的平分线上吗？为什么？
２、如图，△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外角的平分组CE相交于P,
求证点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等。
思考：到三角形三边所在直线距离相等的点有几个？
讲解例题
如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且∠1 =∠2。
求证：OB = OC。
如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且OB = OC。
求证：∠1 =∠2。
例３．在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。
课堂练习：
１.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？⑵哪条线段与DE相等？为什么？⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长
２．如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；求证：CF=EB
3.△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，求证EB＝FC
4.如图，在△ABC中，AC = BC，∠C = 90°，AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，垂足为E。 求证：AB = AC + CD。 （选做）
课后练习：
１．如图，E是线段AC上的一点，AB⊥EB于B，AD⊥ED于D，且∠1 =∠2，CB = CD。求证：∠3 =∠4。
如图，在△ABC中，BE⊥AC，AD⊥BC，AD、BE相交于点P，AE = BD。求证：P在∠ACB的角平分线上。
如图，E为AB边上的一点，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∠1 =∠C，DE = EC。求证：DA + CB = AB。
如图，AB = AC，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E。
求证：BE + EC = AB。
（若已补充线段的垂直平分线的性质此题可做）
C
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
PAGE
1