2.2基本不等式同步练习-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

2.2基本不等式
1．如果实数满足，则的最小值是（
）
A．4
B．6
C．8
D．10
2．已知m，n∈R，m2+n2=100，则mn的最大值是（
）
A．25
B．50
C．20
D．
3．若，，，则的最大值为（
）
A．
B．
C．1
D．
4.若正实数满足，则
A．有最大值4
B．有最小值
C．有最大值
D．有最小值
5．已知函数，则函数的最小值等于（
）
A．
B．
C．5
D．9
6．已知实数a＞0，b＞0，且满足ab﹣a﹣2b﹣2＝0，则（a+1）（b+2）的最小值为（
）
A．24
B．313
C．913
D．25
7．已知x≥，则y＝有（
）
A．最大值
B．最小值
C．最大值1
D．最小值1
8.已知，都为正实数，，则的最大值是
A．
B．
C．
D．
9.（多选题）已知，，且，则可能取的值有（
）
A．9
B．10
C．11
D．12
10（多选题）下列命题中正确的是（
）
A．当时，的最小值为
B．当时，
C．当时，的最小值为
D．当时，.若正实数满足，则
A．有最大值4
B．有最小值
C．有最大值
D．有最小值
11.设、，，则的最小值是______；
12.若正数满足，则的取值范围是______.
13．已知对任意，且，恒成立，则的取值范围_______________
14．若，，则的最小值为______
15．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)在5016.设，，，则的最小值为__________.
17.已知，，且，则最小值为__________
18.已知，.
（1）求证：；
（2）若，求ab的最小值.
19.（1）若正数，满足，求的最小值；
（2）若正数，满足，求的取值范围.
20.党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价是多少元？
答案与解析
1．如果实数满足，则的最小值是（
）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】D
【分析】
根据重要不等式结合已知进行求解即可.
【详解】
因为（当且仅当时取等号），
所以，即，
故选：D
2．已知m，n∈R，m2+n2=100，则mn的最大值是（
）
A．25
B．50
C．20
D．
【答案】B
【分析】
利用不等式m2+n2≥2mn，可求得结果.
【详解】
由m2+n2≥2mn，得
mn≤=50，
当且仅当m=n=±时等号成立.
所以mn的最大值是.
故选：B
3．若，，，则的最大值为（
）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【分析】
直接根据基本不等式求最值．
【详解】
解：∵，，
∴，，
∴，
当且仅当时，取“=”，
故选：D．
4.若正实数满足，则
A．有最大值4
B．有最小值
C．有最大值
D．有最小值
【答案】C
【详解】
试题分析：因为正实数，满足，所以，故有最小值4，故A不正确；由基本不等式可得，故有最大值，故B不正确；由于，故由最大值为，故C正确；，故由最小值，故D不正确．
5．已知函数，则函数的最小值等于（
）
A．
B．
C．5
D．9
【答案】C
【解析】因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C.
6．已知实数a＞0，b＞0，且满足ab﹣a﹣2b﹣2＝0，则（a+1）（b+2）的最小值为（
）
A．24
B．313
C．913
D．25
【答案】D
【解析】因为ab﹣a﹣2b﹣2＝0，
所以b，又a＞0，b＞0，
所以0，解得a＞2，
又b1，
所以（a+1）（b+2）＝ab+2a+b+2
＝a+2b+2+2a+b+2＝3a+3b+4
＝3a7＝3（a﹣2）13
，
当且仅当3（a﹣2）即a＝4时等号成立，
即（a+1）（b+2）的最小值为25．
故选：D．
7．已知x≥，则y＝有（
）
A．最大值
B．最小值
C．最大值1
D．最小值1
【答案】D
【解析】y＝＝＝，
因为x≥，所以x－2＞0，
所以
当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．
故y的最小值为1，没有最大值.
故选：D
8.已知，都为正实数，，则的最大值是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由基本不等式，结合题中条件，直接求解，即可得出结果.
【详解】
因为，都为正实数，，
所以，
当且仅当，即时，取最大值.
故选B
【点睛】
本题主要考查由基本不等式求最值的问题，熟记基本不等式即可，属于常考题型.
9.（多选题）已知，，且，则可能取的值有（
）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】BCD
【分析】
由题意可知，化简后利用基本不等式可求得其最小值，从而可得答案
【详解】
解：因为，，且，
所以
，当且仅当，即取等号，
故选：BCD
10.（多选题）（2020·涟水县一中高一月考）下列命题中正确的是（
）
A．当时，的最小值为
B．当时，
C．当时，的最小值为
D．当时，
【答案】BD
【解析】对于A，当时，，当且仅当时，等号成立，
所以当时，，故A错误；
对于B，当时，，
当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，当时，，当且仅当时，等号成立，
所以当时，，故C错误；
对于D，当时，，当且仅当时，等号成立，
故D正确.故选BD.
11.设、，，则的最小值是______；
【答案】
【解析】由已知可得.
当且仅当时，等号成立.
因此，的最小值为.
12.若正数满足，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】，化为，
解得（舍）或，即.当且仅当时取等号.
∴的取值范围是.
13．已知对任意，且，恒成立，则的取值范围_______________
【答案】
【解析】因为，，则，
，
当且仅当，即时，等号成立；
因此为使恒成立，只需，
故答案为：
14．若，，则的最小值为______
【答案】
【解析】因为，，所以，，
所以
，
当且仅当
即时等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：.
15．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)在50【答案】60
【解析】解析设销售价格定为每件x(50y＝(x－50)·P＝，
设x－50＝t，则0所以y＝＝＝≤＝2500，
当且仅当t＝10，即x＝60时，ymax＝2500．
故答案为：60．
16.设，，，则的最小值为__________.
【答案】.
【分析】
把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．
【详解】
由，得，得
，
等号当且仅当，即时成立．
故所求的最小值为．
【点睛】
使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
17.已知，，且，则最小值为__________．
【答案】
【分析】
首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.
【详解】
，
结合可知原式，
且
，
当且仅当时等号成立.
即最小值为.
18.已知，.
（1）求证：；
（2）若，求ab的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）1.
【解析】证明：（1）∵，
∴.
（2）∵，，∴，即，
∴，∴.
当且仅当时取等号，此时ab取最小值1.
19.（1）若正数，满足，求的最小值；
（2）若正数，满足，求的取值范围.
【答案】（1）18；（2）.
【分析】
（1）化简得，再利用基本不等式求最值；
（2）由题得，再解一元二次不等式得解.
【详解】
（1）原式.
(当且仅当时取等号.)
所以最小值为18.
（2），
所以，
所以，
所以，
所以.（当且仅当取等号）
所以的取值范围为.
20.党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价是多少元？
【解析】设沼气池的底面长为米，沼气池的总造价为元，
因为沼气池的深为2米，容积为32立方米，所以底面积为16平方米.
因为底面长为米，所以底面的宽为，
依题意有.
因为，由基本不等式和不等式的性质可得，
即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当沼气池的底面是边长为4米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元．