5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课时必刷练习——2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

第5.5.1课时
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、单选题（本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．若且则（
）
A．
B．1
C．
D．
2．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．函数y＝的最小正周期是（
）
A．
B．
C．π
D．2π
4．的值是（
）
A．
B．
C．
D．
5．若α∈（，π），则2cos2α＝sin（α），则sin2α的值为（
）
A．
B．
C．1
D．
6．已知α，β为任意角，则下列等式：
①sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β；
②cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β；
③cos＝－sin
α；
④tan(α－β)＝.
其中恒成立的等式有（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．1个
7．已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是（
）
A．
B．
C．－
D．－
8．已知cos
α＝－，α∈，sin
β＝－，β是第四象限角，则cos(β－α)的值是（
）
A．－
B．
C．－
D．－
二、多选题（本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意）
9．已知，，，，，则下列说法正确的是
A．
B．
C．
D．
10．下列各式中，值为的是（
）
A．2sin15°cos15°
B．
C．1﹣2sin215°
D．
11．下列各式的值为的是（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知，若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
三、填空题（本大题共4小题）
13．若cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝0，则α－β的值为________.
14．已知锐角α，β满足sin
α＝，cos
β＝，则α＋β＝_____.
15．求值：__．
16．函数的最小正周期为，则___________.
四、解答题（本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程）
17．如图，在直角坐标系中，角、以为始边，其终边分别交单位圆于点、.
（1）已知角以为始边，终边交单位圆于点，试在图中作出点（写明作法），并写出点的坐标；
（2）根据图示，推导两角差的余弦公式：；
（3）由两角差的余弦公式推导两角和的正弦公式：.
18．已知，且，，求：
（1）的值；
（2）的值.
19．已知函数f(x)=sin
2x－cos
2x－.
（1）求f(x)的最小正周期和最大值；
（2）讨论f(x)在上的单调性.
20．曾在北京召开的国际数学家大会会标如图，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形.已知大正方形的面积是1，小正方形的面积是.记直角三角形中的一个锐角为.
（1）根据本题题意写出与之间的等量关系，并求的值；
（2）解关于的不等式.
21．已知cosα，sin（α﹣β），且α、β∈（0，）．求：
（Ⅰ）cos（2α﹣β）的值；
（Ⅱ）β的值．
22．已知，且，.
求：（1）的值；
（2）的值.
参考答案
1．C
【解析】，
故选：C
2．D
【解析】，
.
故选：D．
3．B
【解析】y＝＝＝cos22x－sin22x＝cos
4x，所以最小正周期.
故选：B
4．B
【解析】原式
，
故选：B.
5．B
【解析】∵α∈（，π），且2cos2α＝sin（α），
∴，
∴，
∴，
∵，∴，
∴cosα+sinα，∴，∴
1+sin2α，∴sin2α；
故选：B．
6．B
【解析】①②分别为正余弦和公式，适用于任意角，故①②正确；
③运用余弦和公式可求得，正确；
④若两角之差为，正切值无意义，故错
故①②③恒成立.
故选：B
7．A
【解析】设底角为θ，则θ∈，顶角为180°－2θ.
∵sin
θ＝，∴cos
θ＝＝，∴sin(180°－2θ)＝sin
2θ＝2sin
θcos
θ＝2×.
故选：A
8．C
【解析】因为cos
α＝－，α∈，所以，
因为sin
β＝－，β是第四象限角，所以.
则cos(β－α)＝cos
βcos
α＋sin
αsin
β＝×(－)＋(－)×＝－.
故选：C
9．AC
【解析】由已知，得，.
两式分别平方相加，得，
，，A正确，B错误.
，，，，，
，C正确，D错误.
故选：AC.
10．BCD
【解析】解：对于选项A，2sin15°cos15°＝sin30；
对于选项B，；
对于选项C，1﹣2sin215°＝cos30；
对于选项D，.
∴值为的是BCD.
故选：BCD.
11．ACD
【解析】A符合，原式；
B不符合，原式；
C符合，原式；
D符合，原式.
故选：ACD.
12．CD
【解析】解：，
，，
，
.
故选：
13．
【解析】解：由cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝0，得，
所以，
故答案为：
14．
【解析】因为锐角α，β满足sin
α＝，cos
β＝，
，，
，
为锐角，，.
故答案为：.
15．
【解析】
．
故答案为：．
16．1或
【解析】函数的最小正周期为，
解得；
当时，；
当时，
综上，或.
故答案为：1或.
17．（1）答案见解析，；（2）答案见解析；（3）答案见解析.
【解析】（1）以为始边顺时针作角，其终边交单位圆于点，如图所示，
则，由三角函数的定义，可得.
（2）设单位圆与轴正半轴交于点，
因为，所以，
又因为，，，
所以，
，
则
整理得.
（3）因为，
又因为，
所以.
18．（1）；（2）.
【解析】（1）因为，可得.
（2）由，且，，
可得，，
则，
所以.
19．（1），最大值为；（2）f(x)在上单调递增；在
上单调递减.
【解析】(1)f(x)=sin
2x－cos
2x－＝
，
因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.
(2)当x∈时，，
从而当，即时，f(x)单调递增，
当，即时，f(x)单调递减.
综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减.
20．（1）；或；（2）或.
【解析】解：（1）由已知设，易得，，且，，
∴，，即，所以，所以
∴，
∴，解得或，较大锐角的正切值为，且较小锐角的正切值为.
（2）①当时，，∴，∴或；
②当时，，所以，解得或.
21．（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）∵，∴α﹣β∈（，），
∵，，
∴sinα，cos（α﹣β），
∴cos（2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]＝cos（α﹣β）cosα﹣sin（α﹣β）sinα
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosα
cos（α﹣β）+
sinα
sin（α﹣β）
，
又∵，∴β．
22．（1）；（2）
【解析】解：（1）由得，,
∴
，
（2）
由得，
，
.