4.4 对数函数 课时必刷练习——2021-2022学年高一数学上学期人教A版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

第4.4课时
对数函数
一、单选题（本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．“道高一尺，魔高一丈”出于《西游记》第五十回“道高一尺魔高丈，性乱情昏错认家，可恨法身无坐位，当时行动念头差，”用来比喻取得一定成就后遇到的障碍会更大或正义终将战胜邪恶，若用下列函数中的一个来表示这句话的含义，则最合适的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
2．若函数为对数函数，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．函数的单调递增区间是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知，且，则函数与的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知，则下列关系正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．定义在R上的偶函数，设，则（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．若函数（且）在上既是奇函数，又是增函数，则的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意）
9．函数的图象过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
10．对于函数，说法正确的有（
）
A．对，都有
B．函数有两个零点，且互为倒数
C．，使得
D．对，，都有
11．关于函数，下列描述正确的有（
）
A．函数f(x)在区间(1，2)上单调递增
B．函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称
C．若x1≠x2，但f(x1)=f(x2)，则x1+x2=4
D．函数f(x)=0有且仅有两个根
12．已知函数且，则下列为真命题的是（
）
A．当时，值域为
B．存在，使得为奇函数或偶函数
C．当时，的定义域不可能为
D．存在，使得在区间上为减函数
三、填空题（本大题共4小题）
13．设实数满足，则________．
14．已知f(x)＝在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．
15．函数的图像恒过一定点______．
16．已知函数，则与的大小关系是__________．
四、解答题（本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程）
17．设函数为常数，且
（1）求的值；
（2）设，求不等式的解集．
18．已知函数．
（1）画出函数的草图，并根据草图求出满足的x的集合；
（2）若，且，求证：．
19．设（，），且.
（1）求实数a的值及函数的定义域；
（2）证明的奇偶性，并求函数在区间上的最小值.
20．设函数，且．
（1）求的值；
（2）若令，求实数t的取值范围；
（3）将表示成以为自变量的函数，并由此求函数的最大值与最小值及与之对应的x的值．
21．已知函数，在区间上有最大值16，最小值.设．
（1）求的解析式；
（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围；
22．已知，函数．
（1）当时，解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差都不超过1，求实数a的取值范围．
参考答案
1．A
【解析】因为一丈等于十尺，
所以“道高一尺魔高一丈”更适合用，来表示；
故选：A.
2．B
【解析】由题可知：函数为对数函数
所以或，又且
所以
故选：B
3．C
【解析】由不等式，解得
，可得函数的定义域为，
又由，所以函数在区间上递增，在上递减，
因为在定义域上为单调递增函数，
根据复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间为.
故选：C.
4．C
【解析】若，函数的图象下降，即为减函数，且过，
的图象下降，即为减函数，且
以上图象C符合；
若，函数的图象上升，即为增函数，且过，
的图象上升，即为增函数，
以上图象都不符合.
故选：C
5．A
【解析】解：由，可知，
又，作出图象如图所示，
结合图象易知，∴.
故选A.
6．C
【解析】是偶函数，则，即，，解得，，所以在上单调递减．又，所以．
故选：C．
7．B
【解析】解：∵函数的值域为，
令，
当时，，不合题意；
当时，，此时，满足题意；
当时，要使函数的值域为，
则函数的值域
包含，
，解得，
综上，实数的取值范围是.
故选：B
8．B
【解析】∵函数(a>0,a≠1)在R上是奇函数，
∴f(0)=0，∴k=2，
经检验k=2满足题意，
又函数为增函数，
所以，
所以g(x)=loga(x+2)
定义域为x>?2，且单调递增，
故选：B.
9．BCD
【解析】的图象相当于是把的图象向左平移2个单位，
作出函数的大致图象如图所示，则函数的图象过第二?三?四象限.
故选：BCD.
10．BD
【解析】，，由对数运算法则知，选项A错误；
选项B中，，即或，互为倒数，故选项B正确；
由的图像特征知，当时，，则，同理可证当时，，当时，，故选项C错误；
如图，由于是上凸函数，故应为点对应纵坐标，应为点对应纵坐标，故，故选项D正确
故选:BD
11．ABD
【解析】函数的图像如图所示：
由图可得：函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，故A正确；
函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称，故B正确；
若x1≠x2，但f(x1)=f(x2)，则当x1，x2>2时，x1+x2>4，故C错误；
函数f(x)与x轴有且仅有两个交点，故D正确．
故选：ABD.
12．AC
【解析】当时，,当时可以取遍之间的一切实数值，从而可以取遍的一切值，即值域为,故A正确；
的定义域是不等式的解集，不论实数取何值，定义域都是无限集.
要使为偶函数，则,
于是，即对定义域内的实数恒成立，,
但此时对数的底数为零，无意义；
要使为奇函数，则,即，
于是，即对定义域内的任意实数恒成立，但此方程为四次方程，至多有四个不同的实数根，矛盾.
综上，B错误；
的解集为R，等价于,即,
所以当时，的定义域不可能为，故C正确；
要使在区间上为减函数，
必须是故,无解，故D错误.
综上可知，正确的只有AC,
故选:AC.
13．或2
【解析】由于，所以原式转化为，
即，解得或，所以或．
故答案为:
或2.
14．(－4，4]
【解析】解析二次函数y＝x2－ax＋3a的对称轴为x＝，由已知，应有≤2，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a>0，即解得－4故答案为：(－4，4]
15．
【解析】由函数图像的平移公式，我们可得：将函数的图像向右平移2个单位，再向上平移3个单位即可得到函数的图像．又函数的图象恒过点，由平移向量公式，易得函数的图像恒过点
故答案为：
16．
【解析】因为，定义域为，
令，为减函数，
，为减函数，所以，为增函数，
所以.
故答案为：.
17．（1）；（2）．
【解析】（1），；
（2）由（1）知：，；
①当时，，即，解得：；
②当时，，即，，
解得：，；
综上所述：的解集为.
18．（1）图见解析，(0，)∪(10，＋∞)；（2）证明见解析.
【解析】（1）画出函数的草图，如图所示：
令，则,即，可得或．
故满足的x的集合是(0，)∪(10，＋∞)；
（2）因为，且，
不妨设，则，
所以，
即，，
所以.
19．（1）；定义域是；（2）证明见解析；最小值为0.
【解析】（1）由题意，函数（，），
因为，可得，解得，
所以函数，则满足，解得，
所以函数的定义域是.
（2）由题意，函数的定义域为关于原点对称，
又由，即，所以为奇函数，
因为，，
设，可得函数在区间上单调递增，
根据复数函数的单调性，可得函数在区间上单调递增，
当时，在区间上取得最小值，是.
20．（1）6；（2）；（3），此时；，此时．
【解析】（1）；
（2），又，，，所以t的取值范围为；
（3）由，
令，，
当时，，即，解得，
所以
，此时；
当时，，即，
，此时．
21．（1）；（2）．
【解析】（1）∵()，即在上为减函数，在上为增函数．又在上有最大值16，最小值0，
∴，，解得，
∴；
（2）∵
∴，由，则，
∴，设，，
∴在上为减函数，当时，最小值为1，
∴，即.
22．（1）（2）．
【解析】（1）a＝﹣5时，f（x）＝log2（﹣5），
令f（x）＞0，得，得，
故不等式的解集是.
（2）因为函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，
所以，，
由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1对任意t∈[，1]恒成立，
即对任意t∈[，1]恒成立，
即，即对任意t∈[，1]恒成立，
设1﹣t＝r，因为，所以，
所以，
当r＝0时，，
当时，，
∵在上单调递减，所以当时，取得最小值，
此时取得最大值.
所以.