23.1 图形的旋转培优训练-2021-2022学年人教版数学九年级上册（Word版 含答案）

人教版
九年级数学上册
23.1
图形的旋转
培优训练
一、选择题
1.
在平面直角坐标系中，点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是(　　)
A．(－2，3)
B．(－3，2)
C．(2，－3)
D．(3，－2)
2.
观察图，其中可以看成是由“基本图案”通过旋转形成的共有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3.
如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为(　　)
A．4
B．2
C．6
D．2
4.
如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论一定正确的是(　　)
A．AC＝AD
B．AB⊥EB
C．BC＝DE
D．∠A＝∠EBC
5.
2018·桂林
如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点M在边CD上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为(　　)
A．3
B．2
C.
D.
6.
如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为(　　)
A．90°－α　　
B．α　　
C．180°－α　　
D．2α
7.
2019·河南
如图，在△OAB中，顶点O(0，0)，A(－3，4)，B(3，4)，将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为(　　)
A．(10，3)
B．(－3，10)
C．(10，－3)
D．(3，－10)
8.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM.若BC＝2，∠A＝30°，则线段PM的最大值是(　　)
A．4
B．3
C．2
D．1
二、填空题
9.
如图，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形(图中的阴影部分)绕中心点O至少经过______次旋转而得到，每一次旋转______度．
10.
如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是由△OCD经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程：________________________________________________________________________________________________________________________________________________.
11.
如图，△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2
.将△BDE绕点B逆时针旋转后得△BD′E′，当点E′恰好落在线段AD′上时，CE′＝________．
12.
如图所示，△ABC的顶点都在网格线的交点(格点)上，如果将△ABC绕点C逆时针旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是________．
13.
如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α(0＜α＜180°)得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α＝________°.
14.
一副三角尺如图放置，将三角尺ADE绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，使得三角尺ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为________．
15.
分类讨论如图，点A的坐标为(－1，5)，点B的坐标为(3，3)，点C的坐标为(5，3)，点D的坐标为(3，－1)．小明发现线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是_________．
教师详解详析
16.
2018·陕西
如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E，F是AB边上的点，且EF＝AB；G，H是BC边上的点，且GH＝BC.若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是＝________．
三、解答题
17.
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(点D与点A，B不重合)，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE.
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数．
18.
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E是BC边上的点，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACD′.
(1)求∠DAD′的度数；
(2)当∠DAE＝45°时，求证：DE＝D′E.
19.
请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：
(1)探究1：如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD.求证：△BCD的面积为a2.(提示：过点D作BC边上的高DE，可证△ABC≌△BDE)
(2)探究2：如图②，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由．
(3)探究3：如图③，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程．
20.
将一副三角尺按图①摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC＝2
.
(1)求GC的长；
(2)如图②，将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过点H，C作AB的垂线，垂足分别为M，N.通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想；
(3)在(2)的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′，当D′E′恰好经过(1)中的点G时，请直接写出DD′的长度．
人教版
九年级数学上册
23.1
图形的旋转
培优训练-答案
一、选择题
1.
【答案】A　[解析]
点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1(3，2)，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2(－2，3)．故选A.
2.
【答案】D　
3.
【答案】D　[解析]
由旋转可得，S正方形ABCD＝S四边形AECF＝20，即AD2＝20，∴AD＝2
.
∵DE＝2，∴在Rt△ADE中，AE＝＝2
.故选D.
4.
【答案】D　[解析]
由旋转的性质可知，AC＝CD，但∠A不一定是60°，所以不能证明AC＝AD，所以选项A错误；因为旋转角度不定，所以选项B不能确定；因为不确定AB和BC的数量关系，所以BC和DE的数量关系不能确定，所以选项C不能确定；由旋转的性质可知∠ACD＝∠BCE，AC＝DC，BC＝EC，所以2∠A＝180°－∠ACD，2∠EBC＝180°－∠BCE，从而可证选项D是正确的．
5.
【答案】C　[解析]
如图，连接BM.
∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，
∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE.
∵△ADM绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABF，
∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD，
∴∠FAB＝∠MAE，
∴∠FAB＋∠BAE＝∠BAE＋∠MAE，
即∠FAE＝∠MAB，
∴△FAE≌△MAB(SAS)，
∴EF＝BM.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝3.
∵DM＝1，
∴CM＝2.
∵在Rt△BCM中，BM＝＝，
∴EF＝.
6.
【答案】C　[解析]
由题意可得∠CBD＝α，∠C＝∠EDB.
∵∠EDB＋∠ADB＝180°，
∴∠C＋∠ADB＝180°.
由四边形的内角和定理，得∠CAD＋∠CBD＝180°.
∴∠CAD＝180°－∠CBD＝180°－α.故选C.
7.
【答案】D
8.
【答案】B　[解析]
连接PC.
在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝4.
根据旋转的性质可知，∠A′CB′＝90°，A′B′＝AB＝4.
∵P是A′B′的中点，∴PC＝A′B′＝2.
∵M是BC的中点，∴CM＝BC＝1.
又∵PM≤PC＋CM，
即PM≤3，
∴PM的最大值为3(此时点P，C，M共线)．
故选B.
二、填空题
9.
【答案】4　72　
10.
【答案】将△OCD绕点C顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度即可得到△AOB(答案不唯一)　
[解析]
观察图形可知，将△OCD绕点C顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度可得到△AOB(答案不唯一)，注意是顺时针旋转还是逆时针旋转．
11.
【答案】＋　[解析]
如图，连接CE′，
∵△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2
，
∴AB＝BC＝2
，BD＝BE＝2.
∵将△BDE绕点B逆时针旋转后得△BD′E′，
∴D′B＝BE′＝BD＝2，∠D′BE′＝90°，
∠D′BD＝∠ABE′，
∴∠ABD′＝∠CBE′，
∴△ABD′≌△CBE′(SAS)，
∴∠D′＝∠CE′B＝45°.
过点B作BH⊥CE′于点H，
在Rt△BHE′中，BH＝E′H＝BE′＝，
在Rt△BCH中，CH＝＝，
∴CE′＝＋.故答案为＋.
12.
【答案】(1，0)
13.
【答案】90　[解析]
连接AA1，CC1，分别作AA1和CC1的垂直平分线，两直线相交于点D，则点D即为旋转中心，连接AD，A1D，则∠ADA1＝α＝90°.
14.
【答案】15°或60°　[解析]
分情况讨论：
①若DE⊥BC，设此时直线AD与BC交于点F，则∠BFA＝90°－45°＝45°，
∴∠BAD＝180°－60°－45°＝75°，∴α＝90°－∠BAD＝15°；
②若AD⊥BC，则∠BAD＝30°，∴α＝90°－∠BAD＝60°.
故答案为15°或60°.
15.
【答案】(4，4)或(1，1)
[解析]
(1)若点A和点D、点B和点C分别为对应点，如图①，分别作线段AD，BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点P1(4，4)即为旋转中心；
(2)若点A和点C、点B和点D分别为对应点，如图②，分别作线段AC，BD的垂直平分线，两条垂直平分线的交点P2(1，1)即为旋转中心．综上所述，旋转中心的坐标是(4，4)或(1，1)．
16.
【答案】　[解析]
∵＝＝，＝＝，
∴S1＝S△AOB，S2＝S△BOC.
∵点O是 ABCD的对称中心，
∴S△AOB＝S△BOC＝S平行四边形ABCD，∴＝.
三、解答题
17.
【答案】
解：(1)证明：由题意可知，CD＝CE，∠DCE＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE.
在△ACD与△BCE中，
∴△ACD≌△BCE(SAS)．
(2)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°.
∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，∠CBE＝∠A＝45°.
∵AD＝BF，∴BE＝BF，
∴∠BEF＝×(180°－45°)＝67.5°.
18.
【答案】
解：(1)∵将△ABD绕点A逆时针旋转，得到△ACD′，
∴∠DAD′＝∠BAC.
∵∠BAC＝90°，∴∠DAD′＝90°.
(2)证明：∵△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACD′，
∴AD＝AD′，∠DAD′＝∠BAC＝90°.
∵∠DAE＝45°，
∴∠D′AE＝∠DAD′－∠DAE＝90°－45°＝45°，
∴∠D′AE＝∠DAE.
在△AED与△AED′中，
∴△AED≌△AED′(SAS)，
∴DE＝D′E.
19.
【答案】
解：(1)证明：如图①，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E，
∴∠BED＝∠ACB＝90°.
由旋转知，AB＝BD，∠ABD＝90°，
∴∠ABC＋∠DBE＝90°.
又∵∠A＋∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠DBE.
在△ABC和△BDE中，
∴△ABC≌△BDE(AAS)，
∴BC＝DE＝a.
∵S△BCD＝BC·DE，
∴S△BCD＝a2.
(2)△BCD的面积为a2.
理由：如图②，过点D作CB的垂线，与CB的延长线交于点E，
∴∠BED＝∠ACB＝90°.
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，
∴AB＝BD，∠ABD＝90°，
∴∠ABC＋∠DBE＝90°.
又∵∠A＋∠ABC＝90°.
∴∠A＝∠DBE.
在△ABC和△BDE中，
∴△ABC≌△BDE(AAS)，
∴BC＝DE＝a.
∵S△BCD＝BC·DE，∴S△BCD＝a2.
(3)如图③，过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E，
∴∠AFB＝∠E＝90°，BF＝BC＝a，
∴∠FAB＋∠ABF＝90°.
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，
∴∠ABD＝90°，AB＝BD，
∴∠ABF＋∠DBE＝90°，
∴∠FAB＝∠DBE.
在△AFB和△BED中，
∴△AFB≌△BED(AAS)，
∴BF＝DE＝a，
∴S△BCD＝BC·DE＝·a·a＝a2.
20.
【答案】
解：(1)在Rt△ABC中，
∵∠B＝60°，BC＝2
，
∴AB＝4，AC＝6.
∵DF垂直平分AB，∴AD＝2
.
又∵∠DAG＝30°，
∴DG＝2，AG＝4，
∴GC＝AC－AG＝6－4＝2.
(2)MD＝ND.
证明：∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，
∴CD＝DB＝AD.
又∵∠B＝60°，∴△CDB是等边三角形，
∴∠CDB＝60°.
∵CN⊥DB，∴ND＝DB.
∵∠EDF＝90°，
∴∠EDA＝180°－∠EDF－∠CDB＝30°.
又∵∠A＝30°，
∴∠A＝∠EDA，∴HA＝HD.
∵HM⊥AD，∴MD＝AD.
又∵AD＝DB，∴MD＝ND.
(3)连接DG，则DG⊥AD′.
由(2)知∠A＝∠EDA，
由平移知∠E′D′A＝∠EDA，
∴∠A＝∠E′D′A.
∵D′E′恰好经过(1)中的点G(此时点D′与点B重合)，
∴D′G＝AG，
∴DD′＝AD＝2
.