24.3 正多边形和圆同步练习2021-2022学年九年级数学人教版上册（Word版 含答案）

24.2.3
正多边形和圆同步练习
一、选择题
1．已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．6
2．已知正三角形的边长为12，则这个正三角形外接圆的半径是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（　　）
A．
B．2
C．3
D．2
4．正三角形ABC内接于半径为2cm的圆，则AB所对弧的长为（　　）
A．
B．
C．
D．或
5．如图，P为正三角形ABC外接圆上一点，则∠APB＝（　　）
A．150°
B．135°
C．115°
D．120°
6．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（　　）
A．3
B．9
C．18
D．36
7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
8．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝59°，则∠P的度数为（　　）
A．59°
B．62°
C．118°
D．124°
9．已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（　　）
A．1：2：
B．2：3：4
C．1：：2
D．1：2：3
10．蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有（　　）
A．4个
B．6个
C．8个
D．10个
二、填空题
11．已知⊙O的内接正六边形的边心距为，则⊙O的周长为　
　．
12．如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P在劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是　
　度．
13．边长为6cm的等边三角形的外接圆半径是　
　．
14．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是　
　．
15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O的面积等于　
　．
16．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为　
　．
三、解答题
17．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．
18．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积．
19．如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．
（1）求∠AED的度数．
（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF＝1，AE＝4，求DE的长度．
24.2.3
正多边形和圆同步练习
1．已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】B
【解答】解：如图所示：
作AD⊥BC与D，连接OB，
则AD经过圆心O，∠ODB＝90°，OD＝1，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD＝CD，∠OBD＝∠ABC＝30°，
∴OA＝OB＝2OD＝2，
∴AD＝3，BD＝，
∴BC＝2，
∴△ABC的面积＝BC AD＝×2×3＝3；
故选：B．
2．已知正三角形的边长为12，则这个正三角形外接圆的半径是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：如图所示，连接OB，作OD⊥BC，
∵BC＝12，
∴BD＝BC＝6，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OBD＝30°，
∴OB＝＝＝4．
故选：C．
3．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（　　）
A．
B．2
C．3
D．2
【答案】B
【解答】解：∵正六边形的边心距为，
∴OB＝，AB＝OA，
∵OA2＝AB2+OB2，
∴OA2＝（OA）2+（）2，
解得OA＝2．
故选：B．
4．正三角形ABC内接于半径为2cm的圆，则AB所对弧的长为（　　）
A．
B．
C．
D．或
【答案】D
【解答】解：因为三角形ABC是正三角形，所以AB所对的弧的度数为120°或240°．
当弧的度数为120°时，弧长为：＝．
当弧的度数为240°时，弧长为：＝．
故选：D．
5．如图，P为正三角形ABC外接圆上一点，则∠APB＝（　　）
A．150°
B．135°
C．115°
D．120°
【答案】D
【解答】解：△ABC是正三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠APB+∠ACB＝180°，
∴∠APB＝120°．
故选：D．
6．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（　　）
A．3
B．9
C．18
D．36
【答案】C
【解答】解：连接OA、OB，作OG⊥AB于G，
∵等边三角形的边长是2，
∴高为3，
∴等边三角形的面积是3，
∴正六边形的面积是：18；
故选：C．
7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【答案】A
【解答】解：∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝＝120°，BC＝CD，
∴∠CBD＝（180°﹣120°）＝30°，
故选：A．
8．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝59°，则∠P的度数为（　　）
A．59°
B．62°
C．118°
D．124°
【答案】B
【解答】解：连接OA、OB，如图所示：
∵PA、PB是⊙O切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO＝360°，
∴∠P＝180°﹣∠AOB，
∵∠ACB＝59°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝118°，
∴∠P＝180°﹣118°＝62°，
故选：B．
9．已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（　　）
A．1：2：
B．2：3：4
C．1：：2
D．1：2：3
【答案】D
【解答】解：图中内切圆半径是OD，外接圆的半径是OC，高是AD，
因而AD＝OC+OD；
在直角△OCD中，∠DOC＝60°，
则OD：OC＝1：2，
因而OD：OC：AD＝1：2：3，
所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是1：2：3．故选：D．
10．蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有（　　）
A．4个
B．6个
C．8个
D．10个
【答案】D
【解答】解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，
即，有6个直角三角形，
AB是斜边时，点C共有4个位置，
即有4个直角三角形，
综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+4＝10个．
故选：D
已知⊙O的内接正六边形的边心距为，则⊙O的周长为　
　．
【答案】4Π
【解答】解：如图所示，连接OA、OB，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠OAM＝60°，
∴OM＝OA sin∠OAM，
∴OA＝＝＝2，
∴⊙O的周长为4π，
故答案为：4π．
12．如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P在劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是　
　度．
【答案】45
【解答】解：连接OB，OC，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC＝90°，
∴∠P＝∠BOC＝45°．
故答案为：45．
13.边长为6cm的等边三角形的外接圆半径是　
　．
【答案】2
【解答】解：连接中心和顶点，作出边心距．
那么得到直角三角形在中心的度数为：360÷3÷2＝60°，那么外接圆半径是6÷2÷sin60°＝2；
故答案为：2．
14．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是　
　．
【答案】2cm．
【解答】解：过正六边形的中心作边的垂线，连接OA．
则∠O＝30°，AB＝1
∴OB＝＝cm．
∴a＝2OB＝2cm．
故答案是：2cm．
15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O的面积等于　
　．
【答案】2Π
【解答】解：正方形的边长AB＝2，
则半径是2×＝，
则面积是（）2π＝2π．
故答案是：2π．
16．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为　
　．
【答案】（，﹣）
【解答】解：连接OE，由正六边形是轴对称图形知：
在Rt△OEG中，∠GOE＝30°，OE＝1．
∴GE＝，OG＝．
∴A（﹣1，0），B（﹣，﹣），C（，﹣）D（1，0），E（，），F（﹣，）．
故答案为：（，﹣）
17．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．
【答案】（1）略
（2）等边△ABC的边心距为1
（3）
【解答】（1）证明：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，
则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，
∵OB＝2，
∴OD＝1，
∴等边△ABC的边心距为1．
18．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积．
【答案】（1）略
（2）S△DEF＝+
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴＝，
∵E是的中点，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝DE．
（2）解：连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC，
∵∠EDF＝90°，
∴∠F＝90°﹣45°＝45°，
∴DE＝DF，
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴S△ADE＝S△CDF，
∴S四边形AECD＝S△DEF，
∵EF＝DE＝EC+DE，EC＝1，
∴1+DE＝DE，
∴DE＝+1，
∴S△DEF＝DE2＝+．
19．如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．
（1）求∠AED的度数．
（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF＝1，AE＝4，求DE的长度．
【答案】（1）∠AED＝45°
（2）DE＝
【解答】解：（1）如图1中，连接OA、OD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOD＝90°，
∴∠AED＝∠AOD＝45°．
（2）如图2中，连接CF，CE，CA，BD，作DH⊥AE于H．
∵BF∥DE，AB∥CD，
∴∠BDE＝∠DBF，∠BDC＝∠ABD，
∴∠ABF＝∠CDE，
∵∠CFA＝∠AEC＝90°，
∴∠DEC＝∠AFB＝135°，
∵CD＝AB，
∴△CDE≌△ABF，
∴AF＝CE＝1，
∴AC＝＝，
∴AD＝AC＝，
∵∠DHE＝90°，
∴∠HDE＝∠HED＝45°，
∴DH＝HE，设DH＝EH＝x，
在Rt△ADH中，∵AD2＝AH2+DH2，
∴＝（4﹣x）2+x2，
解得x＝或（舍弃），
∴DE＝DH＝