2021-2022学年九年级数学上册同步（人教版）22.3实际问题与二次函数-同步练习（word版含答案）

22.3实际问题与二次函数（1）-同步练习-2021-2022学年九年级数学上册同步（人教版）
时间：60分钟
一、单选题
1．某童装专卖店销售一批某品牌童装，已知销售这种童装每天获得的利润y（元）与童装的销售价x（元/件）之间的函数解析式为y＝﹣x2+160x﹣4800．若想每天获得的利润最大，则销售价应定为（　　）
A．110元/件
B．100元/件
C．90元/件
D．80元/件
2．某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为xcm.当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为（
）
A．6cm
B．12cm
C．24cm
D．36cm
3．下表所列为某商店薄利多销的情况，某商品原价为元，随着不同幅度的降价，日销量（单位为件）发生相应的变化．如果售价为元时，日销量为（
）件．
降价（元）
日销量（件）
A．1200
B．750
C．1110
D．1140
4．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　）
A．4米
B．5米
C．2米
D．7米
5．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（　　）
A．1
B．1.5
C．2
D．3
6．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（　）秒，四边形APQC的面积最小．
A．1
B．2
C．3
D．4
7．如图，抛物线m：y＝ax2+b（a0，b0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（　　）
A．ab＝﹣2
B．ab＝﹣3
C．ab＝﹣4
D．ab＝﹣5
8．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，若动点N从点B出发沿边BC方向向终点C运动，连结BM，CM，AN，DN，则在整个运动过程中，阴影部分面积和的大小变化情况是（　　）
A．不变
B．一直变大
C．先减小后增大
D．先增大后减小
二、填空题
9．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件.
根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为_______元.
10．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（，且x为整数）出售，可卖出件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_______元．
11．如果周长为20的长方形一边为，那么它的面积关于的函数解析式是__________
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是_______
13．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以2的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4的速度移动（不与点重合）.如果、分别从、同时出发，那么经过______秒，四边形的面积最小.
14．如图，有一个横截面边缘为抛物线的隧道入口，隧道入口处的底面宽度为，两侧距底面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个隧道入口的最大高度为_________．
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B的坐标分别为(0，2)、(1，0)，顶点C在函数y＝x2＋bx－1的图象上，将正方形ABCD沿x轴正方向平移后得到正方形A′B′C′D′，点D的对应点D′落在抛物线上，则点D与其对应点D′之间的距离为
______．
16．如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m时，拱高为2m，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超过
______m.
三、解答题
17．抛物线形桥拱的跨度为米，拱高为米，求桥拱的函数关系式．
18．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以2速度移动.动点从点开始沿边向点以4的速度移动，如果、分别从点、同时出发，那么的面积随出发时间如何变化？（写出函数解析式及的取值范围）
19．我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓。某市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种空气净化器，其进价时元/台。经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是元/台时，可售出台，且售价每降低元，就可多售出台。若供货商规定这种空气净化器售价不能低于元/台，代理销售商每月要完成不低于台的销售任务。
（1）求出月销售量（单位：台）与售价（单位：元/台）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）当售价定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润（单位：元）最大？最大利润是多少？
20．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8m．
（1）建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式；
（2）一大型货车装载设备后高为7m，宽为4m．如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？
21．某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．
（1）P的坐标　
　，C的坐标　
　；
（2）直线1上是否存在点Q，使△PBQ的面积等于△PAC面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
23．用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为，所以就有最小值，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值．同样，因为，所以有最大值，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值．
（1）当　
　时，代数式有最　
　（填写大或小）值为　
　．
（2）当
　
　时，代数式有最　
　（填写大或小）值为　
　．
（3）矩形花园的一面靠墙，围成花园的栅栏总长度是，当花园与墙平行的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？（提示：可设与墙垂直的边长为，用含的代数式表示花园的面积）
24．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃(由两个小矩形花圃组成)．设花圃的一边AB为xm，面积为Sm2．
(1)求S与x之间的函数表达式(写出自变量的取值范围)．
(2)如果要围成面积为45m2的花圃，那么AB的长是多少米？
(3)能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
试卷第1页，共3页
参考答案
1．D
【解析】解：∵y＝﹣x2+160x﹣4800，
∴抛物线的开口向下，
∴当x＝﹣＝80时，y＝＝1600，
∴想每天获得的利润最大，则销售价应定为80元，
故选：D．
2．A
【解析】解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx2，由题意，得
18＝9k，
解得：k＝2，
∴y＝2x2，
当y＝72时，72＝2x2，
∴x＝6．
故选A．
3．C
【解析】解：由表中数据得，每降元，销售量增加件，
即每降元，销售量增加件，
降元时，销售量为（件）．
故答案为：．
4．B
【解析】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=，
设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+，
∵BC=10，
∴点B（﹣5，0），
∴0=a×（﹣5）2+，
∴a=-，
∴大孔所在抛物线解析式为y=-x2+，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m（x﹣b）2，
∵EF=14，
∴点E的横坐标为-7，
∴点E坐标为（-7，-），
∴-=m（x﹣b）2，
∴x1=+b，x2=-+b，
∴MN=4，
∴|+b-（-+b）|=4
∴m=-，
∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-（x﹣b）2，
∵大孔水面宽度为20米，
∴当x=-10时，y=-，
∴-=-（x﹣b）2，
∴x1=+b，x2=-+b，
∴单个小孔的水面宽度=|（+b）-（-+b）|=5（米），
故选：B．
5．D
【解析】如图建立坐标系：
抛物线的顶点坐标是（1，4），
设抛物线的解析式是y=a（x-1）2+4，
把（0，3）代入解析式得：a+4=3，
解得：a=-1，
则抛物线的解析式是：y=-（x-1）2+4，
当y=0时，-（x-1）2+4=0，
解得：x1=3，x2=-1（舍去），
则水池的最小半径是3米．
故选：D．
6．C
【解析】解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：
S=S△ABC-S△PBQ
=
×12×6-
（6-t）×2t
=t2-6t+36
=（t-3）2+27．
∴当t=3s时，S取得最小值．
故选C．
7．B
【解析】解：令x＝0，得：y＝b．
∴C（0，b）．
令y＝0，得：ax2+b＝0，
∵，
∴x＝±，
∴A（﹣，0），B（，0），
∴AB＝2，BC＝,
要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB＝BC，
∴,
∴，
∴ab＝﹣3,
∴a，b应满足关系式ab＝﹣3,
故选：B．
8．C
【解析】解：连接MN，
∵AD∥BC
∴S△ABM＝S△NMA，
∴△AEB与△NME的面积相等，同理△NMF与△CDF的面积相等，
∴S阴影＝S四边形ABCD﹣2S四边形MENF，
设AM＝MD＝a，BC＝b，BN＝x，S△AMN＝S△DMN＝k，k为常数
∴
所以S△AEM：S△AMN＝
∴S△AEM＝
同理S△DFM＝
令S＝S△AEM+S△DFM＝
＝,其分子为常数
令y＝（a+x）（a+b﹣x）=-x2+bx+a2+ab
它的对称轴为x＝,开口向下
当0＜x＜时，y随x的增大而增大，此时S随着x的增大而减小
所以S四边形MENF=随x的增大而增大
所以S空白=2S四边形MENF随x的增大而增大
所以S阴影随x的增大而减小
当＜x＜b时，y随x的增大而减小，此时S随着x的增大而增大
所以S阴影随x的增大而增大
综上所述：S阴影先减小后增大
故选：C．
9．5
【解析】设每件需降价的钱数为x元，每天获利y元，
则y=(135﹣x﹣100)(100+4x)，
即y=﹣4(x﹣5)2+3600，
∵﹣4＜0，
∴当x=5时，每天获利的y值最大.
故答案为5.
10．25
【解析】解：设利润为w元，
则w=（x-20）（30-x）=-（x-25）2+25，
∵20≤x≤30，
∴当x=25时，二次函数有最大值25，
故答案是：25．
11．y=x(10-x)
【解析】解：由周长为20的长方形一边为，
可知长方形另一边为10-x，
∴它的面积是x(10-x)
∴y=x(10-x)；
故答案为：y=x(10x)
．
12．4
【解析】∵，
∴平移后抛物线的顶点坐标为（2， 2），对称轴为直线x＝2，
当x＝2时，，
∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积，
×（2＋2）×2＝4，
故填：4．
13．3
【解析】解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：
S=S△ABC-S△PBQ=×12×6-（6-t）×2t
=t2-6t+36
=（t-3）2+27．
∴当t=3s时，S取得最小值．
故填：3．
14．
【解析】解：如图，建立平面直角坐标系，
设抛物线解析式为：，
设，，
将点A和点B代入解析式，得，解得，
∴，，
则最大高度是．
故答案是：．
15．2
【解析】如图，过C作GH⊥x轴，交x轴于G，过D作DH⊥GH于H，由正方形的性质和A、B点的坐标证得△AOB≌△BGC，然后根据全等三角形的性质求得C点（3，1），利用点C的坐标代入函数的解析式y＝x2＋bx－1，求得b=-，同理得到△AOB≌△BGC，得出D的坐标（2，3），根据平移的性质：D、D′纵坐标相同，则y=3，代入函数的解析式x2-x－1=3，解得x=4或x=-3（舍去），求出D′点的坐标为（4，3），即可得D与D′的距离为2.
故答案为2.
16．1.2
【解析】以水面所在水平线为x轴，过拱桥顶点作水平线的垂线，作为y轴，建立坐标系，
设水平面与拱桥的交点为A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
利用待定系数法设函数的解析式为y=a（x+2）（x-2）代入点C坐标，
求得a=-，
即抛物线的解析式为y=-（x+2）（x-2），
令x=1，解得y=1.5，
船顶与桥拱之间的间隔应不少于0.3，则木船的最高高度为1.5-0.3=1.2米.
故答案为：1.2.
17．（答案不唯一）．
【解析】解：以所在直线为轴，中点为原点建立直角坐标系，
∵AB=6
∴AO=3
∴点A的坐标为（-3,0）
可设所求解析式为，
由抛物线过和得：
解得：
∴抛物线解析式为（答案不唯一）．
18．.
【解析】
当P运动到点C或Q运动到点C停止，此时
所以t的取值范围为
19．（1）y=-10x+4200，；（2）310,121000
【解析】解：（1）根据题中条件销售价每降低5元，月销售量就可多售出50台，
当售价为x时，降了（400-x），所以月销售多了10（400-x）台，
则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；y=10（400-x）+200=-10x+4200
∵空气净化器售价不能低于元/台，代理销售商每月要完成不低于台
∴解得
（2）由题意有：w=
=
=
=
∴当售价定为310元时，w有最大值，为121000
20．（1）以AA1所在直线为x轴，以线段AA1的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，
；（2）货运卡车能通过．
【解析】解：（1）如图，以AA1所在直线为x轴，以线段AA1的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，
根据题意得A（﹣8，0），B（﹣8，6），C（0，8），
设抛物线的解析式为y＝ax2+8，把B（﹣8，6）代入，得：
64a+8＝6，
解得：a＝﹣．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+8．
（2）根据题意，把x＝±4代入解析式y＝﹣x2+8，
得y＝7.5m．
∵7.5m＞7m，
∴货运卡车能通过．
21．（1）20元；（2）每件衬衫应降价15元，商场盈利最多，共1250元．
【解析】解：设每天利润为w元，每件衬衫降价x元，
根据题意得
（1）当时，，
解之得．
根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元．
答：每件衬衫应降价20元．
（2）解：商场每天盈利w=．
∵-2＜0
∴抛物线开口向下
∴当x=15时，w有最大值，w的最大值为1250，
所以当每件衬衫应降价15元时，商场盈利最多，共1250元．
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．
22．（1）（3，4），（0，﹣5）；（2）存在，点Q的坐标为：（，﹣5）或（，﹣5）
【解析】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴顶点P（3，4），
令x＝0得到y＝﹣5，
∴C（0，﹣5）．
故答案为：（3，4），（0，﹣5）；
（2）令y＝0，x2﹣6x+5＝0，
解得：x＝1或x＝5，
∴A（1，0），B（5，0），
设直线PC的解析式为y＝kx+b，则有，
解得：，
∴直线PC的解析式为：y＝3x﹣5，
设直线交x轴于D，则D（，0），
设直线PQ交x轴于E，当BE＝2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，
∵AD＝，
∴BE＝，
∴E（，0）或E′（，0），
则直线PE的解析式为：y＝﹣6x+22，
∴Q（，﹣5），
直线PE′的解析式为y＝﹣x+，
∴Q′（，﹣5），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为：（，﹣5）或（，﹣5）；
23．（1）；小；；（2）；大；；（3）长为时，面积最大是．
【解析】解：（1）由代数式知：当－2时，代数式有最小值－3，
故填：，小，；
（2），
当时，代数式有最大值为，
故答案为：，大，；
（3）根据题意可得：当花园与墙相邻的宽为时，
，
当时，
S最大=，
长为时，面积最大是．
24．（1）S＝－3x2＋24x(≤x<8)；（2）AB的长为5m；（3）能围成面积比45m2更大的花圃，最大面积为m2，，此时AB＝m，BC＝10m．
【解析】解：(1)
∵0＜24 3x≤10，
∴≤x<8
∴S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x(≤x<8)．
(2)当S＝45时，有－3x2＋24x＝45．
解得x1＝3，x2＝5．
∵≤x<8，
∴x＝5，
即AB的长为5m．
(3)能围成面积比45m2更大的花圃．
∵S＝－3x2＋24x＝－3(x－4)2＋48，其函数图象开口向下，对称轴为直线x＝4，当x＞4时，y随x的增大而减小，
∴在≤x<8的范围内，当x＝时，S取得最大值，S最大值＝．
即最大面积为m2，
此时AB＝m，BC＝10m．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页