(共33张PPT)
2．3.4 平面与平面垂直的性质
1．理解平面与平面垂直的性质定理．
2．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系．
3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．
在实际生活中，我们常遇到这样的问题：木匠师傅要在墙面上钉木条，怎样才能保证木条与地面垂直呢？我们知道墙与地面是垂直的，设交线为l，这时只需要将木条在墙面上与l垂直，就可以了．这是为什么？通过本节的学习，你将解开这一谜底.
面面垂直的性质定理
一个平面内
交线
a α
a⊥l
线面
垂直
探究1：由线面垂直的性质定理，知垂直于同一个平面的两条直线平行，试问垂直于同一个平面的两个平面平行吗？
提示：可能平行，也可能相交．如图．α与δ平行，α与β相交．
探究2：两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直吗？
提示：不一定．只有垂直于两平面的交线才能垂直于另一个平面.
典例 P是二面角α l β内的一点(P α，P β)，PA⊥α，PB⊥β，且∠APB＝30°，求此二面角的大小．
【错解】 如图，过点A在α内作AD⊥l交l于点D，连接BD，PD.
∵PA⊥α，∴PA⊥l.
又∵AD⊥l，∴l⊥平面PAD，
∴l⊥PD.
又∵PB⊥β，∴PB⊥l，
∴l⊥平面PBD，∴l⊥BD，
∴∠ADB即为二面角α l β的平面角，
∴∠ADB＝180°－∠APB＝150°，即二面角α l β的大小为150°.
【错因分析】 错解中并没有证明P、A、D、B四点共面，故不能得出∠ADB＝180°－∠APB，其原因在于作图方法不好，凭直觉处理问题．
【正解】 设相交直线PA、PB所确定的平面为γ，γ∩l＝D，连接AD，BD.∵PA⊥α，PB⊥β，l α，l β，
∴l⊥PA，l⊥PB.∴l⊥γ.
又AD α，BD β，且γ∩l＝D，AD γ，BD γ，
∴l⊥AD，l⊥BD.
∴∠ADB为二面角α l β的平面角．由平面几何知识得P、A、D、B四点共圆．
∵∠APB＝30°，∴∠ADB＝150°，即二面角α l β的大小为150°.
易错补练 已知：α、β、γ是三个不同平面，α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l.
求证：l⊥γ.
证明：
证法一：设α∩γ＝a，β∩γ＝b，
在γ内任取一点P，过P在γ内作直线m⊥a，n⊥b，如图．
∵α⊥γ，β⊥γ，
∴m⊥α，n⊥β，又∵α∩β＝l，
∴m⊥l，n⊥l，∴l⊥γ.
证法二：如图，α∩γ＝a，β∩γ＝b，
在α内作m⊥a，在β内作n⊥b.
∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ，
∴m∥n.又∵n β，m β
∴m∥β，又α∩β＝l，m α，
∴m∥l，∴l⊥γ.
证法三：在l上任取一点P，α∩γ＝a，
β∩γ＝b，在α内作PQ⊥a于Q，在β内作PM⊥b于M.
∵α⊥γ，β⊥γ，
∴PQ⊥γ，PM⊥γ，由过一点有且只有一条直线与平面垂直，
∴PQ与PM重合．又PQ α，PM β，
∴PQ、PM就是直线l.∴l⊥γ.
1．直线与直线垂直的判断方法
(1)用定义：如果两条直线所成的角是直角，那么这两条直线垂直．
(2)用平行的性质：两条平行线中的一条垂直于第三条直线，那么另一条也垂直于这条直线．
(3)用线面垂直的性质：一条直线垂直于一个平面．那么这条直线垂直于这个平面内的任意直线．
(4)用平面几何的知识：等腰三角形底边上的中线或顶角平分线垂直于底边；矩形的邻边垂直；菱形的对角线垂直等等．
2．直线与平面垂直的判断方法
(1)用线面垂直定义：如果一条直线垂直于一个平面内任一直线，这条直线垂直于该平面．
(2)用线面垂直判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与平面垂直．
(3)用线面垂直性质：如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也必垂直于这个平面．
(4)用面面垂直性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．
(5)用面面平行性质：如果一条直线垂直于两个平行平面的一个平面，那么这条直线必垂直于另一个平面．
(6)用面面垂直性质：如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么这两个相交平面的交线必垂直于第三个平面．
这六种判定线面垂直的方法的实质是转化与化归数学思想的体现，它们是线线、线面、面面垂直的相互转化．
3．平面与平面垂直的判断方法
(1)用定义：证明这两个平面所成的二面角是直二面角．
(2)用判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
(3)用面面平行的性质：两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面，则另一个平面也垂直于第三个平面．
1．平面α⊥平面β，直线l α，直线m β，则直线l，m的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．以上都有可能
解析：根据题意，l，m可能相交、平行或异面．
答案：D
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥β D．AC⊥β
解析：如图所示：
AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l AC⊥m；
AB∥l AB∥β.
答案：D
3．已知平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝l，点M∈α，过M作直线m⊥β，则直线m满足________即可．
解析：根据线面垂直的判定定理可知m满足m⊥l.
答案：m⊥l
4．下列命题：
①α⊥β，l⊥α，m β，则l∥m；
②α⊥β，l α，则l⊥β；
③α⊥β，l∥α，则l与β相交或l∥β或l β.
其中正确的是________．
解析：对于①，l与m可能相交、平行或异面；对于②，只有当l与α，β的交线垂直时，才有α⊥β成立；对于③，通过画图可知正确．
答案：③
∴PC⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，
∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.
又EO 平面EDB，
故有平面EDB⊥平面ABCD.(共30张PPT)
2．3.4 平面与平面垂直的性质
要点一平面与平面垂直的性质的应用
在运用面面垂直性质定理时必须注意：(1)线在面内；(2)线垂直于两面的交线，由此才可以得出线面垂直．在应用线面平行、垂直的判定和性质定理证明有关问题时，在善于运用转化思想的同时，还应注意寻找线面平行、垂直所需的条件．
例1 如下图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
【分析】 ①ABCD是边长为a的菱形；
②面PAD⊥面ABCD.
解答本题可先由面⊥面得线⊥面，再进一步得出线⊥线．
【证明】 (1)连接PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.
所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB.
【规律方法】 证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．
变式1 如图所示，α⊥β，CD β，CD⊥AB，CE、EF α，∠FEC＝90°，求证：面EFD⊥面DCE.
证明：∵α⊥β，CD β，CD⊥AB，α∩β＝AB，∴CD⊥α.
又∵EF α，∴CD⊥EF.
又∠FEC＝90°，∴EF⊥EC.
又EC∩CD＝C，∴EF⊥面DCE.
又EF 面EFD，∴面EFD⊥面DCE.
例2 已知：如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．
(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．
【分析】 由面面垂直向线面垂直转化，一般要作一条垂直于交线的直线，才能应用性质定理．
【证明】 (1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F，
∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，
∴DF⊥平面PAC.
又∵PA 平面PAC，∴DF⊥PA.
作DG⊥AB于G，同理可证DG⊥PA.
∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.
(2)连接BE并延长交PC于H.
∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH，又AE⊥平面PBC，
故AE⊥PC，且AE∩BE＝E，
∴PC⊥平面ABE.∴PC⊥AB.
又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，且PA∩PC＝P，
∴AB⊥平面PAC，
∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
【规律方法】 已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得到结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．证明(2)题的关键是要灵活利用(1)题的结论．
变式2 如图，已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b.求证：α∥β.
证明：如图，在平面α内作直线PQ⊥a，在平面β内作直线MN⊥b，垂足分别为Q、N.
∵α⊥γ，α∩γ＝a，∴PQ⊥γ.
同理MN⊥γ.∴PQ∥MN.
∵PQ β，MN β，
∴PQ∥β.
同理a∥β.∵PQ α，a α，PQ∩a＝Q，
∴α∥β.
要点二线线、线面、面面垂直的综合应用
在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．求证：
(1)EN∥平面PDC；
(2)BC⊥平面PEB；
(3)平面PBC⊥平面ADMN.
【分析】 (1)利用线面平行的判定定理证明，证EN∥DM.
(2)先证AD⊥平面PEB，再由AD∥BC证明．
(3)转化为证明PB⊥平面ADMN.
【证明】 (1)∵AD∥BC，BC 平面PBC，AD 平面PBC，
∴AD∥平面PBC.
又平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.
又∵BC∥AD，∴MN∥BC.
又N是PB的中点，∴点M为PC的中点．
(2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，
∴BE⊥AD.
又∵侧面PAD是正三角形，且E为中点，
∴PE⊥AD，
∴AD⊥平面PBE.又∵AD∥BC，
∴BC⊥平面PEB.
(3)由(2)知AD⊥平面PBE.
又PB 平面PBE，∴AD⊥PB.
又∵PA＝AB，N为PB的中点，∴AN⊥PB.
且AN∩AD＝A，∴PB⊥平面ADMN.
又∵PB 平面PBC.∴平面PBC⊥平面ADMN.
【规律方法】 运用平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．
变式3 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边的中点，能否在棱上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．
证明：(1)设G为AD的中点，连接PG，
∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD.
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
G为AD的中点，∴BG⊥AD.
又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.
∵PB 平面PGB，∴AD⊥PB.
(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.
取PC的中点F，连接DE、EF、DF，
在△PBC中，FE∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，
而FE 平面DEF，DE 平面DEF，EF∩DE＝E.
∴平面DEF∥平面PGB.
由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG 平面PGB，
∴平面PGB⊥平面ABCD，
∴平面DEF⊥平面ABCD.
