(共24张PPT)
2．3.3 直线与平面垂直的性质
要点一证明直线与直线平行
性质定理可用来判定两直线是否平行，定理揭示了“平行”与“垂直”这两种特殊位置关系之间的转化．
例1 如右图所示，已知异面直线a、b与AB垂直相交于A、B，且a、b分别垂直于平面α、β，α∩β＝c，求证：AB∥c.
【分析】 由题目可获取以下主要信息：
①AB⊥a，AB⊥b，a、b异面；
②a⊥α，b⊥β.
解答本题可先利用线⊥面的性质得线⊥线，再证平行．
【证明】 过点B引直线a′∥a，a′与b确定的平面设为γ，因为AB⊥b，a′∥a，AB⊥a，所以AB⊥a′，
又a′∩b＝B，所以AB⊥γ.
因为b⊥β，c β，所以b⊥c①
因为a⊥α，c α，所以a⊥c，又a′∥a，所以a′⊥c②
由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，所以AB∥c.
【规律方法】 判断线线、线面的平行或垂直关系，一般依赖于判定定理和性质定理，有时候也可以放到特征几何体(如正方体，长方体，正棱柱等)中，判断它们的位置关系．
变式1 如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.
证明：如图所示，连接AB1、B1C、BD，
∵DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，
∴AC⊥平面BDD1，
又BD1 平面BDD1，∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C.
∴EF⊥B1C.
又AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，
∴EF∥BD1.
要点二证明直线与直线垂直
要证线线垂直，只需证线面垂直，只需考虑应用线面垂直的定义或判定进行证明，从而得出所需结论．即：
因此在解题时应充分体会线面位置关系的相互转化在解题过程中的灵活应用．
例2 空间四面体ABCD中，若AB⊥CD，AD⊥BC，求证：AC⊥BD.
【分析】 作AO⊥平面BCD，将线线垂直转化为线面垂直来证明．
【证明】 如图，作AO⊥平面BCD于O，O为垂足．
∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥CD.
又AB⊥CD且AB∩AO＝A，
∴CD⊥平面ABO，
∴BO⊥CD.同理得BC⊥DO.
∵BO⊥CD，DO⊥BC，∴O为△ABC的垂心，
∴CO⊥BD，又AO⊥平面BCD，
∴AO⊥BD.又AO∩CO＝O，
∴BD⊥平面ACO，∴BD⊥AC.
【规律方法】 欲证线线垂直，先证线面垂直，进而由线面垂直的性质得出线线垂直．
变式2 如右图，PA⊥平面ABC，△ABC是以角C为直角的三角形，现在过P点作平面PBC的垂线应如何作？
解：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
又∵BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.过A作AE⊥PC，则BC⊥AE，而PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.
在平面PAC中，过P作PQ∥AE，则PQ⊥平面PBC.
要点三线面垂直性质的综合应用
直线与平面垂直实质上取决于线与线的垂直，反过来，线面的垂直又得到线线的垂直，这是线面垂直的实质．
垂直于同一平面的两条直线平行，它与“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面”相互结合，在证明线面垂直的问题中发挥着重要作用．
例3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
求证：(1)MN∥AD1；
(2)M是AB的中点．
【分析】 要证明线线平行，
要先证线面垂直，
即证AD1⊥平面A1DC.
【证明】 (1)∵四边形ADD1A1为正方形，
∴AD1⊥A1D.
又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.
∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.
又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.
【规律方法】 若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．
变式3 如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上的动点，过动点C的直线VC垂直于圆O所在平面，E是VC的中点，D是VA上的点，若DE⊥平面VBC，试确定D点的位置．
解：∵VC⊥平面ABC，AC 平面ABC，
∴VC⊥AC，又∵AB是圆O的直径，
∴AC⊥BC，而BC∩VC＝C，∴AC⊥平面VBC，
若DE⊥平面VBC，则由线面垂直的性质定理可知，DE∥AC，
又∵点E是VC的中点，∴DE是△VAC的中位线，
∴D是VA的中点．(共24张PPT)
2．3.3 直线与平面垂直的性质
1．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．
2．能够灵活地应用线面垂直的性质定理证明相关问题．
3．理解并掌握“平行”与“垂直”之间的相互转化．
在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆．一排电线杆中的每根杆都与地面垂直，那么这些杆之间存在什么位置关系呢？带着这个问题，我们进入本节课的学习．
直线与平面垂直的性质定理
平行
a∥b
探究：直线a∥直线b，a⊥平面α，则b与α的位置关系如何？
提示：b⊥α.如图所示，已知a∩α＝A，b∩α＝B，过B作b′⊥α，则b′∥a，而过线外一点作线的平行线有且只有一条，故b与b′重合，∴b⊥α.
典例 已知点A、B和平面α的距离分别是40和70，P为AB上一点，且AP ： PB＝3?：7，求点P到平面α的距离．
【错解】 如图，作AA1⊥α于A1，BB1⊥α于B1，连接A1B1，则AA1∥BB1.
在A1B1上取点P1使A1P1:P1B1＝3∶7，
则由PA:PB＝3:7，
知AA1∥PP1.
又AA1⊥α，∴PP1⊥α，
即PP1的长就是P到平面α的距离．
在平面A1ABB1内作AB2∥A1B1，交PP1于P2，交BB1于B2，
则△APP2∽△ABB2.
又AA1＝40，BB1＝70，AP:PB＝3:7，
∴BB2＝30，AP:AB＝PP2:BB2＝3:10.
∴PP2＝9.∴PP1＝49.
即P到平面α的距离为49.
【错因分析】 上述的错解忽略了A、B分别位于平面α两侧的情况，造成了丢解．
【正解】 当A、B两点在平面α同侧时解法同错解．
当A、B两点在平面α两侧时(平面图如图)，
易错补练 平行四边形的一个顶点A在平面α内，其余三个顶点在α的同侧．已知其中有两个顶点到α的距离分别为1和2.那么剩下的一个顶点到α的距离可能是：
①1；②2；③3；④4.
以上结论正确的为________．(写出所有正确结论的编号)
若B、C到平面α的距离为1、2，D到平面α的距离为x，则x＋1＝2或x＋2＝1，即x＝1或x＝－1(舍去)，所以D到平面α的距离为1；
若C、D到平面α的距离为2、1，同理可得B到平面α的距离为1；所以选①③.
答案：①③
1．直线与平面垂直的性质：①定义：若a⊥α，b α，则a⊥b；②性质定理：a⊥α，b⊥α，则a∥b；③a⊥α，a⊥β，则α∥β.
2．直线与平面垂直的性质，结合其判定定理，其核心思想是转化思想，即实现了线面垂直、线线垂直的相互转化，而且沟通了平行和垂直的内在联系，实现了平行和垂直的相互转化．
1．已知直线l，平面α，β，l⊥α，l⊥β，则直线α，β的位置关系是( )
A．相交不垂直 B．垂直
C．平行 D．不确定
解析：垂直于同一直线的两平面平行．
答案：C
2．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．不确定
解析：l⊥α，m⊥α，则l∥m.
答案：C
3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1D1
解析：由题意可证，BD⊥平面A1ACC1，
而CE 平面A1ACC1，
∴BD⊥CE.
答案：B
4．(2010年高考山东卷)在空间，下列命题正确的是( )
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
解析：由于两条平行直线的平行投影可以平行也可以重合，因此A不对．平行于同一直线的两个平面可以平行也可以相交，故B不对．垂直于同一平面的两个平面可以相交也可以平行，故C不对．由于垂直于同一平面的两条直线平行，故D正确．
答案：D
5．线段AB的两个端点A、B到平面α的距离分别为3 cm,5 cm，则线段AB的中点到平面α的距离为________．
解析：分两种情况：(1)当A、B在α同侧时，AB中点到α的距离为4 cm；(2)当A、B在α异侧时，AB中点到α的距离为1 cm.
答案：1 cm或4 cm
