(共33张PPT)
2．3.2 平面与平面垂直的判定
要点一定义法判定平面与平面垂直
利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是：(1)找出两个相交平面的平面角；(2)证明这个平面角是直角；(3)根据定义，这两个平面互相垂直．
【证明】∵AB＝AD＝CB＝CD＝a，
∴△ABD与△BCD是等腰三角形，
∴取BD的中点E，连结AE、CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.
∴∠AEC为二面角A－BD－C的平面角．
AC＝a，
∴AC2＝AE2＋CE2，
∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°，
即二面角A－BD－C的平面角为90°.
∴平面ABD⊥平面BCD.
【规律方法】 利用定义证两平面垂直的基本思路是作出二面角的平面角，计算二面角的平面角为90°.此法较适合由等腰或等边三角形构成的几何体．
变式1 如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段SA，SB，SC，且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°.
求证：平面ABC⊥平面BSC.
证明：取BC的中点D，由SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，
可得AB＝AC＝SA；连接SD，AD，
则AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS是二面角A－BC－S的平面角，
要点二面面垂直的判定定理的应用
利用面面垂直的判定定理．具体作法是在其中一个平面内寻找与另一个平面垂直的直线．
例2 如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：
(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA；
(3)平面DEA⊥平面ECA.
【分析】 由题目可获取以下主要信息：
①EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC；
②△ABC是等边三角形，CE＝CA＝2BD，ME＝MA.
解答本题(1)，只要证明三角形全等，(2)注意M为EA的中点，可取CA的中点N，证明平面ECA的垂线在BDM内，(3)与(2)类似．
【证明】 (1)如图所示，取EC的中点F，连接DF.
【规律方法】 证明平面与平面垂直的方法有两个：
(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角；
(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．
变式2 (2010年高考课标全国卷)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．
解：(1)证明：因为PH是四棱锥P－ABCD的高，所以AC⊥PH.
又AC⊥BD，PH、BD都在平面PBD内，且PH∩BD＝H，
所以AC⊥平面PBD.
又AC 平面PAC，故平面PAC⊥平面PBD.
要点三简单的二面角的求法
求二面角的大小关键是作出二面角，作二面角的平面角的方法．
法一：(定义法)在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．
如图①，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．
法二：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．
如图②，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．
法三：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．
如图③，∠ABO为二面角α－l－β的平面角．
(2)证明：由(1)知，PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，
∴AC⊥平面PDB.
同时，AC 平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD.
(3)由(1)知PD⊥BC，
又BC⊥DC，∴BC⊥平面PDC，
∴BC⊥PC.∴∠PCD为二面角P－BC－D的平面角．
在直角△PCD中，PD＝CD＝a，
∴∠PCD＝45°.
∴二面角P－BC－D的平面角为45°.
【规律方法】 立体几何的计算并非单纯的数字计算，而是与作图和证明相结合的．立体几何计算题的主要步骤可以归纳为画—证—算三步．“画”是画图，添加必要的辅助线，或画出所要求的几何量，或进行必要的转化；“证”是证明，用三段论的方法证明你所画的几何量即为所求，然后进行最后一步计算．
解：(1)证明：∠SAB＝∠SAC＝90°，∴SA⊥AC，SA⊥AB.
又AB∩AC＝A，∴SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.
又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.
又SA∩AC＝A，∴BC⊥平面SAC，∴SC⊥BC.(共32张PPT)
2．3.2 平面与平面垂直的判定
1．平面与平面垂直的定义．
2．平面与平面垂直的判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线和平面垂直、平面和平面垂直．
3．掌握二面角、二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．
1．当开启房门时，为什么房门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？
2．当我们在使用笔记本电脑时，为了便于操作，需要将显示屏打开一定的角度．
这样我们就会得到两个平面，如何来刻画两个平面之间的这种张角呢？当显示屏打开后角度又会怎样变化呢？
1．平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做
半平面．
2．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 ．这条直线叫做二面角的棱，如图(1)中的AB，(2)中的l；这两个半平面叫做二面角的 ，如图中的α、β.
二面角
面
3．以二面角棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作 的两条射线，则这两条射线所成的角，叫做 ．
4．二面角的大小，可以用 来度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度．
垂直于棱
二面角的平面角
它的平面角
5．直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角．
6．一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面 ．
7．两个互相垂直的平面通常画成下图的样子，此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的 垂直．平面α与β垂直，记作 .
互相垂直
横边
α⊥β
8．定理：一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直．这个定理说明，可以由 证明平面与平面垂直．
垂线
直线与平面垂直
探究1：刀刃可近似地看作二面角，要使刀锋利，则二面角的平面角应满足怎样的条件？
提示：其平面角应尽量小．
探究2：如图，检查工件的相邻两个平面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工作的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，这是为什么？
提示：当它们十分密合之时，就说明这两个平面所成的二面角的平面角为90°，所以这两个平面互相垂直.
【错解】 ∵平面PAD⊥平面ABCD，且BD 平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.
又∵BD 平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD.
【错因分析】 上述解法的错误在于误用两个平面垂直的性质定理为：两个平面互相垂直，则一个平面内的直线垂直于另一个平面．没有抓住面面垂直的性质定理的一个关键条件——直线必须与交线垂直．
易错补练 如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1为长方体，且底面ABCD为正方形，试问：截面ACB1与对角面BD1垂直吗？
解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵BB1⊥底面ABCD，∴AC⊥B1B.
又∵BD∩BB1＝B，故AC⊥对角面BD1.
已知AC在截面ACB1内，∴截面ACB1⊥对角面BD1.
1．平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为：线面垂直，则面面垂直．因此处理面面垂直问题(即空间问题)转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题(即平面问题)来解决．
2．判定平面与平面垂直的方法：定义法和定理法．
3．两个平面垂直需要用“二面角”的概念，学习二面角要注意：(1)二面角的大小是用平面角来度量的；(2)二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置惟一确定的，与选择棱上的点的位置无关；(3)平面角的两边分别在二面角的两个面内，且两边都与二面角的棱垂直，这个角所确定的平面与棱垂直．
4．异面直线所成的角、斜线与平面所成的角、二面角统称为空间角，其求解方法相同，步骤是：第一步，作出它们的平面角；第二步，证明所作的角满足定义；第三步，将作出的角放在三角形中，计算出平面角的大小，又简称为“一作二证三计算”．
1．自二面角α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有条件( )
A．AO⊥BO，AO α，BO β
B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO α，BO β
D．AO⊥l，BO⊥l且AO α，BO β
解析：由二面角的平面角的定义可知选D.
答案：D
2．Rt△ABC在平面α内的射影是△A1B1C1，设直角边AB∥α，则△A1B1C的形状为( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．以上三种情况都有可能
解析：设∠B为直角，由条件知AB∥α，由线面平行的性质知AB∥A1B1，又BC∠AB，
∴BC⊥A1B1.
又知BB1⊥α，∴BB1⊥A1B1.
∴A1B1⊥面BB1C.∴A1B1⊥B1C.
∴△A1B1C为直角三角形．
答案：A
3．如图，过矩形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，图中互相垂直的平面有( )
A．2对 B．3对
C．4对 D．5对
解析：∵PA⊥平面ABCD，PA 平面PAB，PA 平面PAD，∴平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD.
又DA⊥AB，DA⊥PA，∴DA⊥平面PAB.
又DA 平面PAD，∴平面PAB⊥平面PAD.
又∵BC⊥AB，BC⊥PA，∴BC⊥平面PAB.
又∵BC 平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.
同理，平面PDC⊥平面PAD.
∴共有2＋1＋1＋1＝5对．
答案：D
4．将锐角A为60°，边长为a的菱形沿BD折成60°的二面角，则点A与点C之间的距离为________．
5．如图所示，将矩形ABCD沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上．
求证：平面A1BC⊥平面A1BD.
证明：连接A1O.如图，
∵A1在平面BCD上的射影O在CD上，
∴A1O⊥平面BCD.又BC 平面BCD，
∴BC⊥A1O.又BC⊥CD，A1O∩CD＝O.
∴BC⊥平面A1CD.∴BC⊥A1D.
又A1D⊥A1B，A1B∩BC＝B，
∴A1D⊥平面A1BC.
∵A1D 平面A1BD，
∴平面A1BC⊥平面A1BD.
