(共31张PPT)
2．3.1 直线与平面垂直的判定
1．掌握直线与平面垂直的定义．
2．掌握直线与平面垂直的判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线和平面垂直．
3．知道直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．
1．我们经常说“立竿见影”．在阳光下观察直立于地面的竿及它在地面的影子．如果某一时刻，你发现竿与影所成的角不是直角，是否可以断定竿发生了倾斜？
2．工人师傅通常把角尺的一边放在工作台面上，再看角尺的另一边与钻头是否密合，然后把角尺换一个方向(不是原来的反方向)，照样再检查一次．如果两次检查中，钻头与角尺的边都能密合，那么就可断定钻头与工作台面是垂直的．相互讨论，这是为什么？
1．如果直线l与平面α内的 ，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作： ，直线l叫做 平面α叫做 ．它们的惟一公共点P叫做 ．
图形表示(如右图)
任意一条直线都垂直
l⊥α
平面α的垂线
直线l的垂面
垂足
2．直线与平面垂直的判定定理：一条直线与平面内的 ，则该直线与此平面垂直．
3．线面垂直的判定定理的推论：若a∥b，a⊥α，则 .
两条相交直线都垂直
b⊥α
4．平面的斜线：一条直线和一个平面 ，但不和这个平面 ，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做 ，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的 ．
相交
垂直
斜足
射影
5．直线和平面所成的角
(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 ，叫做这条直线和这个平面所成的角．
(2)一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 ；一条直线和平面 ，或在 内，我们说它们所成的角是0°.
锐角
直角
平行
平面
探究1：一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，为什么这条直线不一定垂直于这个平面？
提示：如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，在棱AB上任取一点E，过点E作EF∥AD交CD于点F，则这样的直线能够作无数条．很明显直线AB垂直于平面AC内的这无数条直线，而直线AB 平面AC；直线A1B1也垂直于平面AC内的这无数条直线，而直线A1B1∥平面AC.其原因是，虽然这两条直线都垂直于平面AC内的无数条直线，但是这无数条直线是互相平行的，没有两条相交的直线，所以不满足直线和平面垂直的判定定理的条件“两条相交直线”．
因此，一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，这条直线不一定垂直于这个平面．直线与平面垂直的判定定理有三个条件：①平面内两条直线；②这两条直线相交；③一条直线同时垂直于这两条直线．在应用判定定理时，这三个条件缺一不可．
探究2：直线和平面垂直的判定定理如何用符号语言描述？
提示：a⊥b，a⊥c，b α，c α，b∩c＝O，则a⊥α.
探究3：①过一点与一个平面垂直的直线有几条？②过一点与一条直线垂直的平面有几个？
提示：注意到一个事实：①过一点与一个平面垂直的直线有且只有一条；②过一点与一条直线垂直的平面有且只有一个.
典例 平面内有一个三角形ABC，平面外有一点P，自P向平面作斜线PA，PB，PC，且PA＝PB＝PC，若点O是△ABC的外心，求证：PO⊥平面ABC.
【错解】如图所示，连接AO，BO，CO.
因为O是△ABC的外心，
所以OA＝OB＝OC，
又因为PA＝PB＝PC，PO为公共边，
所以△AOP≌△BOP≌△COP，
所以∠AOP＝∠BOP＝∠COP＝90，
所以PO⊥OA，PO⊥OB，所以PO⊥平面ABC.
【错因分析】 错解仅从三个三角形全等，就认为必有∠AOP＝∠BOP＝∠COP＝90°，这是没有根据的，三个三角形全等只能保证∠AOP＝∠BOP＝∠COP，没有说这些角都是直角．因此，上述证明是错误的．
【正解】 如图所示，分别取AB，BC的中点D，E，连接PD，PE，OD，OE.
因为PA＝PB＝PC，
所以PD⊥AB，PE⊥BC，
因为O是△ABC的外心，
所以OD⊥AB，OE⊥BC，
又因为PD∩DO＝D，OE∩PE＝E，
所以AB⊥平面PDO，BC⊥平面PEO，
于是有AB⊥PO，BC⊥PO，AB∩BC＝B，
从而推得PO⊥平面ABC.
易错补练 如图，已知α∩β＝l，PA⊥α于A，PB⊥β于B，AQ⊥l于Q.求证：BQ⊥l.
证明：连接AB.∵α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，
∴PA⊥l，PB⊥l.又PA∩PB＝P，∴l⊥面PAB.∴l⊥AB.
又AQ⊥l，而AQ∩AB＝A，∴l⊥面AQB.∴l⊥BQ.
1．直线和平面垂直的定义
需注意的几点：(1)定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直．(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式．
(3)虽然这样的定义给线面垂直的判定带来困难，但在直线和平面垂直时，却可以得到直线和平面内的任何一条直线都垂直，给判定两条直线垂直带来方便，如若a⊥α，b α，则a⊥b.简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时，经常使用的一种方法．
2．直线和平面垂直的判定定理
关于这个定理的理解需注意的几点：(1)判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不能改为“平面内的两条直线”．(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的．
3．判定直线与平面垂直的方法：定义法和定理法．
4．斜线与平面所成的角(空间角)是用斜线和其射影所成的角(平面角)来定义的．直线与平面所成的角的范围是[0°，90°]
1．直线l⊥平面α，直线m α，则( )
A．l⊥m B．l∥m
C．l，m异面 D．l，m相交而不垂直
解析：根据线面垂直的定义知，l⊥m.
答案：A
2．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：
①三角形的两条边；②梯形的两条边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．
不能保证该直线与平面垂直的是( )
A．①③ B．②
C．②④ D．①②④
解析：梯形和正六边形中均有互相平行的两条边．
答案：C
3．正方体AC1中，直线A1B1与平面AC所成的角等于( )
A．0° B．30°
C．45° D．60°
解析：∵A1B1∥AB，∴A1B1∥平面AC，
∴所成的角为0°.
答案：A
4．已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD一定是________．
解析：如图，∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD.∵PC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，∴AC⊥BD.
答案：菱形(共28张PPT)
2．3.1 直线与平面垂直的判定
要点一直线与平面垂直的有关概念
直线与平面垂直的定义具有两重性，既是判定又是性质．是判定，指它是判定直线和平面垂直的方法；是性质，指：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于平面内的任何一条直线．即“l⊥α，a α l⊥a”．这是证明线线垂直的一种方法．
例1 能够证明直线l与平面α垂直的条件是( )
①l与α内两条平行直线垂直；
②l与α内两条相交直线垂直；
③l与α内无数条直线垂直；
④l与α内任意两条直线垂直；
⑤l∥m，m⊥α；
⑥直线m，n确定平面α，l⊥m，l⊥n.
A．①②④ B．①③⑥
C．②④⑤ D．③④⑥
【分析】 本题是考查直线与平面垂直的概念、判定定理的理解，主要需要领会定义中直线的任意性，判定定理中平面内两条直线必须是相交的．
【解析】 前面的四个命题是直接利用线面垂直的定义与判定定理，显然②④正确；命题⑤说明：如果一个平面与两条平行线中的一条垂直必与另一条直线也垂直；命题⑥中直线m，n确定平面α时直线m，n有相交与平行两种情况，当相交时得l⊥α，当平行时不一定得到l⊥α.∴应选C.
【答案】 C
【规律方法】 直线与平面垂直的定义是一个描述性定义，对直线的任意性要注意把握；根据直线与平面垂直的定义可知：垂直于平面的直线与平面内任意直线都垂直．在直线与平面垂直的判定定理中，一定要注意平面内的两条直线一定是相交的．
变式1 判断题：正确的在括号内打“√”号，不正确的打“×”号．
(1)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．( )
(2)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．( )
(3)过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．( )
(4)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．( )
解析：(1)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．若为平行，则该命题应打“×”号；若为相交，则该命题应打“√”，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内这无数条线的位置关系，则该命题应打“×”号．
(2)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，∴该命题应打“√”．
(3)下面我们将证明两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A垂直于直线a的平面惟一，因此，过点A且与直线a垂直的直线都在过点A且与直线a垂直的平面内．∴该命题应打“√”号．
(4)三条共点直线两两垂直，设为a，b，c且a，b，c共点于O.
∵a⊥b，a⊥c，b∩c＝O，且b，c确定一平面，设为α，则a⊥α，同理可知b垂直于由a，c确定的平面，c垂直于由a，b确定的平面．∴该命题应打“√”号．
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
要点二直线与平面垂直判定定理的应用
1.要判定一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的．
2．判定定理在应用时，切实要抓住“相交”二字，它把线面垂直转化为线线垂直．即“l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝A l⊥α.”
例2 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，M是圆周上异于A、B的一点，AN⊥PM，垂足为N.
求证：AN⊥平面PBM.
【分析】 要证线面垂直根据线面垂直的判定定理需证线线垂直，已知AN⊥PM，只需在平面PBM中再找一条直线与AN垂直，如BM或PB垂直即可．
【证明】 设圆O所在平面为α，
则已知PA⊥α，且BM α，∴PA⊥BM.
又∵AB为⊙O的半径，点M为圆周上一点．
∴AM⊥BM，由于直线PA∩AM＝A，
∴BM⊥平面PAM，而AN 平面PAM.∴BM⊥AN.
这样，AN与PM、BM两条相交直线互相垂直．
故AN⊥平面PBM.
【规律方法】 (1)线面垂直的判定定理是判定线面垂直的最常用思路．
(2)线面垂直的定义，既是线面垂直的性质又是判定方法，但作为直线与平面垂直的判定并不实用．
变式2 如下图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：A1C⊥平面BC1D.
证明：连接AC，∵正方体ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴AA1⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，
∴AA1⊥BD，BD⊥AC.
∵AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面AA1C，
∴A1C⊥BD.同理可证A1C⊥BC1.
∵BC1∩BD＝B，
∴A1C⊥平面BC1D.
要点三求直线与平面所成的角
斜线与平面所成的角(空间角)是用斜线和其射影所成的角(平面角)来定义的，因此，其求解策略也是将空间问题转化为平面问题．要注意，斜线与平面所成的角的大小不受选择的点的位置限制；作出斜线的射影是求直线和平面所成角的关键．
例3 如图所示，Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值．
【分析】 由题目可获取以下主要信息：①BC⊥MC；②BM在面ABC上的射影为AB，MA⊥平面CAB.解答本题需先找到所要求的线面角，关键是找到面CAB的垂线．
【解】 由题意知，A是M在平面ABC内的射影，
∴MA⊥平面ABC，
∴MC在平面CAB内的射影为AC.
∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角．
又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，
【规律方法】 求斜线与平面所成角的步骤：
(1)寻找过直线上一点与平面垂直的直线；
(2)连接垂足和斜足得出射影，确定出所求角；
(3)把该角放入三角形中计算．
变式3 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角．
解：连接BC1交B1C于O，连接A1O，在正方体ABCD A1B1C1D1中，各个平面为正方形，设其棱长a
