(共29张PPT)
2．2.4 平面与平面平行的性质
1．理解平面与平面平行的性质定理的含义．
2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确地描述平面与平面平行的性质定理，并知道其地位和作用．
3．能运用平面与平面平行的性质定理，证明一些空间面面平行关系的简单命题．
1．平行于地面的电线与在地面的投影具有怎样的位置关系？这种现象蕴含着怎样的数学原理？
2．用刀切割有两个平行平面(如图所示)的蛋糕时，切割面边缘有两条平行线出现，你知道其中的数学原理吗？
1．平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线 ．
用符号语言表示为：
平行
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b.
2．两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必
另一个平面．
用符号语言表述为：α∥β，a β .
平行于
a∥α
探究1：若平面α∥平面β，a α，点B∈β，则在β内过B的所有直线中有没有与a平行的直线？说明理由．
提示：有一条，∵α∥β，a α，B∈β，∴B a，∴B与a能确定一个平面γ，设γ∩β＝l，有B∈l，且l∥a，过B在β内其它直线均与a是异面直线．
探究2：线线平行，线面平行，面面平行是紧密联系的，理解并运用它们之间的联系对我们今后做题是很有帮助的，你能简单明了地表示出以上三者间的联系吗？
提示：
典例 如图所示，已知E、F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1棱AA1、CC1上的点，且AE＝C1F.
求证：四边形EBFD1是平行四边形．
【错解】 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ADD1∥平面B1BCC1，由两平行平面与第三平面相交得交线平行，故D1E∥FB，同理可证D1F∥EB，故四边形EBFD1为平行四边形．
【错因分析】 错证主要错在不能确定四边形是不是平面四边形，正确的思路应分为两步：(1)将立体几何问题化归为平面几何问题，即先证四边形EBFD1为平面图形；(2)再证四边形EBFD1为平行四边形．
【正解】 证法一：在平面A1ADD1中，作EG∥AD交D1D于G点，连结GC，易证EG綊AD綊BC，
∴GEBC为平行四边形，∴EB綊GC.
又AE＝C1F，∴D1G綊FC，
∴四边形D1GCF为平行四边形，
∴D1F綊GC，∴EB綊D1F，
∴四边形EBFD1是平行四边形．
证法二：在平面A1ADD1中，过A作AH∥ED1交DD1于H，连结HF，得AHD1E为平行四边形．
于是D1H綊AE綊C1F，∴D1HFC1为平行四边形，
∴D1C1綊HF，
又D1C1綊AB，∴HF綊AB，∴HABF为平行四边形，
∴AH綊BF.又已证得AH綊ED1，∴BF綊ED1，
∴EBFD1为平行四边形．
易错补练 如图所示，AB，CD是夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB与CD是异面直线，AC α，BD β，M，N分别是线段AB，CD的中点．求证：直线MN∥平面β.
证明：如图所示，过AC，CD作平面γ，则γ∩α＝AC，设γ∩β＝DE，由α∥β知AC∥DE.
在直线DE上可取点E，使DE＝AC，
连结AE，BE，取AE中点P，连接MP，NP.
又M，N分别是AB，CD中点，
∴NP∥DE，MP∥BE.
又∵NP β，DE β，MP β，BE β，
∴NP∥β，MP∥β.
又∵NP∩MP＝P，∴平面MNP∥β.
∵MN 平面MNP，∴MN∥β.
1．平面与平面平行的性质定理实质上是直线与直线平行的判定方法．
证明线线平行的主要方法有：
(1)定义法：在同一平面内，没有公共点的两直线平行．
(2)平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行．
(3)线面平行的性质定理：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线和交线平行．
(4)面面平行的性质．
(5)反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而证明两条直线是平行的．
2．通过学习平面平行的判定和性质，学会将空间问题转化为平面问题来研究，即证明直线与平面、平面与平面平行(空间问题)转化为证明线线平行(平面问题)，平行关系的判定和性质是高考必考内容之一，要下功夫掌握这种转化与化归的解题策略．
3．有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：
空间之中两直线，平行相交和异面．
线线平行同方向，等角定理进空间．
判断线和面平行，面中找条平行线．
已知线和面平行，过线作面找交线．
要证面和面平行，面中找出两交线．
线面平行若成立，面面平行不用看．
已知面与面平行，线面平行是必然．
若与三面都相交，则得两条平行线．
1．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a、b、c…，则这些交线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或都交于同一点
解析：若直线l∥平面α，则过l作与平面α相交所得交线a，b，c…都平行，若l∩α＝P，则a，b，c…都交于同一点P.
答案：D
2．若两个平面与第三个平面相交有两条交线且两条交线互相平行，则这两个平面( )
A．有公共点 B．没有公共点
C．平行 D．平行或相交
答案：D
3．若α∥β，a α，下列四个命题中正确的是( )
①a与β内所有直线平行；
②a与β内的无数条直线平行；
③a与β内的任何一条直线都不垂直；
④a与β无公共点．
A．①② B．②④
C．②③ D．①③④
解析：对于①，a与β内的直线平行或异面；对于③，a与β内的直线可能异面垂直．
答案：B
4．如图，ABCD－A1B1C1D1是正方体，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC的关系是________．
解析：因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，则由面面平行的性质可知l∥AC.
答案：平行
5．(2010年三明高三检测)已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EH∥FG.
求证：EH∥BD.
证明：∵EH 面BCD.FG 面BCD且EH∥FG.
∴EH∥平面BCD.
又∵EH 面ABD，面ABD∩面BCD＝BD，
∴EH∥BD.(共30张PPT)
2．2.4 平面与平面平行的性质
要点一平面与平面平行的性质的应用——证线线平行
平面与平面平行的性质定理是由面面平行得到的线线平行，实现面面平行与线线平行的转化．因此平面与平面平行的性质定理是用来证明线线平行的．
例1 如图，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在平行四边形A′B′C′D′所确定一个平面α外，且AA′、BB′、CC′、DD′互相平行．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】 可利用平面与平面平行的性质定理证明线线平行．
【证明】 在 A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′，
∵A′B′ 平面C′D′DC，C′D′ 平面C′D′DC，
∴A′B′∥平面C′D′DC.
同理A′A∥平面C′D′DC.
又A′A∩A′B′＝A′，
∴平面A′B′BA∥平面C′D′DC.
∵平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB，
平面ABCD∩平面C′D′DC＝CD，
∴AB∥CD.
同理AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
【规律方法】 本题证明过程体现线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化．
变式1 如图，已知α∥β，点P是平面α、β外的一点(不在α与β之间)，直线PB、PD分别与α、β相交于点A、B和C、D.
(1)求证：AC∥BD；
(2)已知PA＝4 cm，
AB＝5 cm，PC＝3 cm，
求PD的长．
要点二证明直线和平面平行
证明线面平行的方法主要有三种：
1．应用线面平行的定义；
2．应用线面平行的判定定理；
3．应用平面与平面平行的性质，应用平面与平面平行的性质证题的关键是找到过直线和已知平面平行的平面并给予证明，这时注意线线平行，线面平行和面面平行之间的相互转化．
例2 如右图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′中，点E在AB′上，点F在BD上，且B′E＝BF.
求证：EF∥平面BB′C′C.
【分析】 线线平行 线面平行 面面平行
【证明】 证法一：连结AF延长交BC于M，连结B′M.
∵AD∥BC，
∴EH∥平面BB′C′C，又EH∩FH＝H.
∴平面FHE∥平面BB′C′C，EF 平面FHE.
∴EF∥平面BB′C′C.
【规律方法】 本题证法一使用线面平行的判定定理；证法二利用面面平行的性质定理，关键就是找到过直线EF与平面BB′C′C平行的平面．
变式2 如下图，有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不共面，对角线AC和BF上各有点M和N，且AM＝FN.连接MN.求证：MN∥平面BCE.
证明：如下图，
∵四边形ABCD和ABEF是全等的两个矩形，
∴AC＝FB.
∵AM＝FN，∴MC＝NB.
过M作MQ∥CB，交AB于Q，连接QN，
要点三线与面、面与面平行的性质定理的综合运用
确定空间中的平行关系，就在于熟练进行线线平行、线面平行、面面平行的相互转化．一般地，线线关系或面面关系都转化为线面关系来分析解决．
例3 如图所示，平面α∥平面β，△ABC、△A′B′C′分别在α、β内，线段AA′、BB′、CC′共点于O，O在α、β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，OA?OA′＝3∶2.求△A′B′C′的面积．
【解】 相交直线AA′、BB′所在平面和两平行平面α、β分别相交于AB、A′B′.
由面面平行的性质定理可得AB∥A′B′.
同理相交直线BB′、CC′确定的平面和平行平面α、β分别相交于BC、B′C′，从而BC∥B′C′.
同理易证AC∥A′C′.
∴∠BAC与∠B′A′C′的两边对应平行且方向相反，
∴∠BAC＝∠B′A′C′.
同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′.
∴△ABC与△A′B′C′的三内角分别相等，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∵AB∥A′B′，AA′∩BB′＝O，
∴在平面ABA′B′中，△AOB∽△A′OB′.
【规律方法】 面面平行可得线面平行或线线平行，这样就把空间问题转化成了平面问题，此时应熟练掌握平面几何的有关知识，从而使问题得到解决．
在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：
变式3 如图所示，线段PQ分别交两个平行平面α、β于A、B两点，线段PD分别交α、β于C、D两点，线段QF分别交α、β于F、E两点，若PA＝9，AB＝12，BQ＝12，△ACF的面积为72，求△BDE的面积．
解：∵平面QAF∩α＝AF，平面QAF∩β＝BE，
又α∥β，∴AF∥BE.
同理可证AC∥BD，
∴∠FAC与∠EBD相等或互补，
即sin∠FAC＝sin∠EBD.
由FA∥BE，
