(共32张PPT)
2．2.3
直线与平面平行的性质
1．理解直线与平面平行的性质定理的含义．
2．能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理．
3．会证明直线与平面平行的性质定理．
4．能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．
事实上，由正方体性质知，EF∥平面AC，
而AC是平面AC与平面EFA的交线，所以EF∥AC，连接AE、CF，则沿着EACF锯开，就完成了工作．
这就是直线与平面平行的性质定理的应用．
直线与平面平行的性质定理
平行．
探究1：若直线a∥平面α，b α，问直线a与b的位置关系怎样？
提示：∵a∥α，∴a与α没有公共点，∴a与b也没有公共点，故a∥b或a与b异面．
探究2：由扣在桌面上的书的实例思考：当一条直线与一个平面平行时，过该直线可作多少个平面与已知平面相交，相交的交线与这条直线又有怎样的位置关系？
提示：当一条直线与一个平面平行时，过该直线可作出无数个平面与已知平面相交，这无数条相交直线与这条直线都平行，当然，这无数条交线也互相平行.
典例 已知直线a∥直线b，b∥平面α，a α，求证：直线a∥平面α.
【错解】 在α内任取一点A，在α内过A点作直线c，使c∥b.由a∥b(已知)可得a∥c(公理4)．
【正解】 在平面α内任取一点P，∵b∥α，∴P b
∴直线b与点P确定平面β，
∵β与α有公共点P，∴β与α必相交，
设β∩α＝c，则b∥c
∵a∥b，∴a∥c，又a α，c α ∴a∥α
易错补练 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM.又AP 平面BMD，
OM 平面BMD，∴AP∥平面BMD.
又∵AP 平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH.
∴AP∥GH.
1．定理的理解
直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b.这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：①直线a和平面α平行，
即a∥α；②平面α和β相交，即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即α β.以上三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线”的错误．
2．直线与平面平行的性质定理的应用
直线与平面平行的性质定理是由线面的平行证明线线的平行，利用该定理可解决直线间的平行问题．
3．转化思想
直线与平面平行的判定定理是由直线与直线的平行得到直线与平面的平行；直线与平面平行的性质定理是由直线与平面的平行得到直线与直线的平行，这种直线与平面位置关系的转化是立体几何中的一种重要的数学思想．
1．如果l∥平面α，则l平行于α内( )
A．全部直线 B．惟一确定的直线
C．任一直线 D．过l的平面与α的交线
解析：根据直线与平面平行的性质定理知D正确．
答案：D
2．下列结论正确的是( )
(1)若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ
(2)过平面外一条直线有且只有一个平面与已知平面平行
(3)平面外的两条平行线中，如果有一条和平面平行，那么另一条也和这个平面平行
(4)如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个必相交
A．(1)(2)(3) B．(2)(3)(4)
C．(1)(3)(4) D．(1)(2)(3)(4)
解析：由平行平面的传递性知(1)正确；假设过一条直线有两个平面与已知平面平行，由平行平面的传递性知此两平面必平行，这与两平面相交矛盾，当直线与平面相交时，过平面外一条直线与已知平面平行的平面不存在．从而(2)正确；(3)、(4)同样易证．
答案：D
3．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )
A．α内的所有直线都与直线a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内的直线都与a相交
D．直线a与平面α有公共点
解析：直线a不平行于平面α包括a α和a与α相交，所以有公共点．
答案：D
4．(2010年高考福建卷)如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是( )
A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形
C．Ω是棱柱 D．Ω是棱台
解析：∵EH∥A1D1，∴EH∥B1C1，
∴EH∥平面BB1C1C.由线面平行性质，EH∥FG.
同理EF∥GH.且B1C1⊥面EB1F.
由直棱柱定义知几何体B1EF－C1HG为直三棱柱，
∴四边形EFGH为矩形，Ω为五棱柱．故选D.
答案：D
5．如下图所示，已知P是 ABCD所在平面外一点，平面PAD∩平面PBC＝l.
求证：l∥BC.
证明：证法一：因为BC∥AD，BC 平面PAD，AD 平面PAD.所以BC∥平面PAD.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.
证法二：由AD∥BC，AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以AD∥平面PBC，
又因为平面PBC∩平面PAD＝l，
所以l∥AD∥BC. (共24张PPT)
2．2.3
直线与平面平行的性质
要点一 直线与平面平行性质定理的理解
1.定理中有三个条件：直线a∥平面α；α∩β＝b，a β.这三个条件缺一不可．
2．不能直接说在平面内作一条直线与已知直线平行，一定要通过作平面来得这条直线．
例1 如果直线a∥平面α，则( )
A．平面α内有且只有一条直线与a平行
B．平面α内有无数条直线与a平行
C．平面α内不存在与a垂直的直线
D．平面α内有且只有一条与a垂直的直线
【分析】 利用线面平行的性质定理并结合空间中直线与直线的位置关系判定．
【解析】 在平面内与已知直线平行的直线，有无数多条，故A不正确，B正确．平面内存在与a异面垂直的直线，有无数条，故C、D不正确．
【答案】 B
【规律方法】 此题由线面平行判断直线的位置关系，注意如果a∥α，平面α内有无数条直线与a平行，但不能说平面α内所有的直线都与a平行，因为有些是异面的；平面α内有无数条直线与a异面垂直．
变式1 直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线( )
A．至少有一条 B．至多有一条
C．有且只有一条 D．没有
解析：设这n条直线的交点为P，则点P不在直线a上，那么直线a和点P确定一个平面β，则点P既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交．设交线为直线b，则直线b过点P.又直线a∥平面α，则a∥b.很明显这样作出的直线b有且只有一条，那么直线b可能在这n条直线中，也可能不在，即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条．
答案：B
要点二 线面平行性质定理的简单应用
1.应用性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行，还可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面．
2．在应用该定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面就平行于这个平面内的一切直线”的错误认识．
例2 如图所示，过正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，
求证：BB1∥EE1.
【分析】 ①EE1是两平面的交线；
②BB1 平面BB1E1E，且要证明BB1∥EE1，解答本题可利用线面平行的性质定理．
【证明】 ∵BB1∥CC1，BB1 平面CDD1C1，
CC1 平面CDD1C1，
∴BB1∥平面CDD1C1，又BB1 平面BEE1B1，
且平面BEE1B1∩平面CDD1C1＝EE1，∴BB1∥EE1.
【规律方法】 利用线面平行的性质定理解题的步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行一个平面；(2)确定(或寻找)过这条直线的且与这个平行平面相交的平面；(3)确定交线；(4)由定理得出结论．
变式2 已知：四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.
求证：AP∥GH.
证明：如图所示，连结AC交BD于O，连结MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC中点，又M是PC的中点，
∴AP∥OM.∴PA∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴PA∥GH.
例3 如下图所示， EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的各边上，求证：BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.
【证明】 ∵四边形EFGH是平行四边形，
∴EH∥FG.
又∵FG 平面BDC，EH 平面BDC，
∴EH∥平面BDC.
又∵EH 平面ABD，平面ABD∩平面BDC＝BD，
∴EH∥BD.
又∵EH 平面EFGH，BD 平面EFGH，
∴BD∥平面EFGH.
同理，AC∥平面EFGH.
【规律方法】 要证明线面平行，只需证明线线平行，要证明线线平行，利用性质定理只需证明线面平行，因此，线线平行与线面平行间相互转化的灵活运用是解此类题的关键．
变式3 证明：若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线互相平行．
已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，
求证：a∥l.
证明：由a∥α，故过a作平面γ∩α＝b，由线面平行的性质定理可知a∥b.
又a∥β，∴过a作平面δ∩β＝c，由线面平行的性质定理可知a∥c.
由公理4得b∥c，又已知c β，∴b∥β(线面平行的判定定理)
又∵b α，α∩β＝l，∴b∥l.又由公理4，知a∥l.
