(共35张PPT)
2. 2.1 直线与平面平行的判定
2．2.2平面与平面平行的判定
1．理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义．
2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．
3．能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．
这是一对明清时期的红木柜子，做工相当精细，展示了当时我国高超的家具制作水平．专家在评价这种柜子的做工时，通常会考察两个方面：上下两底面是否平行；在拉开柜子门的过程中，柜子门的边框和柜子的表面是否平行．那么，你是否考虑过，在数学上线面平行与面面平行是如何判断的．本节，我们就一起研究一下.
1．直线与平面平行的判定
类型 文字语言 图形语言 符号语言
直线与平
面平行 一条直线与
的一条直线平行，则该直线与平面平行
__________
如果平面外的
这个平面内
若l α，a α，l∥a，则l∥α
2．平面与平面平行的判定
类型 文字语言 图形语言 符号语言
平面与
平面平行 一个平面内的两条
与另一个平面平行，则这两个平面平行
___________
相交直线
中
a α，b α，a∩b＝P，a∥β，b∥β，则α∥β
探究1：命题“a∥b，a∥α，则b∥α”是真命题吗？
提示：假命题，有可能b α.
探究2：过平面外一点作直线与已知平面平行，这样的直线能作几条？能做多少个平面与已知平面平行呢？
提示：过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行，而过平面外一点只能做一个平面与已知平面平行.
典例 求证：经过平面外一点A，有且只有一个平面与已知平面平行．
【错解】 过A点引两条直线a，b使a∥α，b∥α，
∵a∩b＝A，∴a，b两条直线确定一个平面β.
且β∥α，∴过A点存在平面β使β∥α.
【错因分析】 “有且只有”要理解准确，首先要证明平面是存在的，其次要证是惟一的，缺一不可，上面解法只证明了存在性，没证明惟一．
【正解】 过点A引两直线a、b使a∥α，b∥α，
∵a∩b＝A，∴a、b两直线确定一个平面β且β∥α，
即过点A存在平面β∥α.
假设过点A还存在一平面γ使得γ∥α.
则由平行平面的传递性可推得γ∥β，
这与A∈γ，且A∈β相矛盾，
故这样的平面惟一存在．
易错补练 已知a、b是两条异面直线，求证：过b有且只有一个平面与a平行．
证明：存在性：在直线b上任取一点A，过A作直线a′∥a，则a′与b相交，它们确定一个平面，记为α.
∵a∥a′，a′ α，a α(若a α，则与a、b异面相矛盾)，
∴a∥α.因此过b存在一个平面α与a平行．
惟一性：如果平面β也是过b且与a平行的平面，
过a和A点作一平面γ，
设γ∩β＝a′′.则a′′过A且平行于a，
∵a′也是过A且平行于a，∴a′′与a′重合．
即平面β也是由b和a′所确定的平面．∴β与α重合．
综上所述，过b有且只有一个平面与直线a平行．
1．用判定定理判断直线a和平面α平行时，必须具备三个条件：①直线a在平面α外，即a α；②直线b在平面α内，即b α；③两直线a，b平行，即a∥b.
这三个条件缺一不可，如缺条件③，直线a就不一定和平面α平行，它们的位置关系分两种：直线a平行平面α，直线a和平面a相交．
2．直线与平面的判定定理
该定理的作用：证明线面平行转化为证明线线平行．
应用时，只需在平面内找到一条直线与已知直线平行即可．
3．平面与平面平行的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面平行来证明平面与平面平行．通常我们将其记为：线面平行，则面面平行．因此处理面面平行(即空间问题)转化为处理线面平行，进一步转化为处理线线问题(即平面问题)来解决，以后证明平面与平面平行，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面平行即可．
4．一个平面内有两条(或无数条)直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，其原因是这两条直线还可能不相交，不满足平面与平面平行的判定定理的条件之一必须是一个平面内的两条相交直线．
5．判定两个平面平行的方法有：
(1)根据定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，而判断这两个平面没有公共点，通常用反证法．
(2)利用判定定理．
(3)平行于同一个平面的两个平面互相平行．
两平面平行问题通常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，所以要注意转化思想的应用．
1．下列说法中正确的是( )
①若直线a∥b，b 平面α ，则a∥α
②若a∥α，b α，则a∥b
③若直线a∥b，a∥平面α，则b∥α
④若直线a∥α，b∥α，则a∥b
A．①④ B．①③
C．② D．无一正确
解析：对于①，a可能在α内；对于②，a与b平行或异面；对于③，b α或b∥α；对于④，a与b可能平行，可能相交，也可能异面．
答案：D
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面四条直线中与平面AB1C平行的直线是( )
A．DD1 B．A1D1
C．C1D1 D．A1C1
解析：由于A1C1∥AC，根据直线与平面平行的判定定理知，A1C1∥平面AB1C.
答案：D
3．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )
A．1个或2个 B．0个或1个
C．1个 D．0个
解析：当两点的连线与α相交时，满足条件的平面不存在；当两点的连线与α平行时，满足条件的平面有且只有一个．
答案：B
4．已知空间四边形ABCD，P，Q分别是△ABC和△BCD的重心．
求证：PQ∥平面ACD.
证明：欲证线面平行，须证线线平行，即要证明PQ与平面ACD中的某条直线平行，根据条件，此直线为AD，如图所示．
取BC的中点E.
∵P是△ABC的重心，连结AE，∴AE∶PE＝3∶1.连结DE.
又∵Q为△BCD的重心，∴DE∶QE＝3∶1，
∴在△AED中，PQ∥AD.
又∵AD 平面ACD，PQ 平面ACD，∴PQ∥平面ACD.
5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、D1C1的中点．求证：平面MNP∥平面A1BD.
证明：如图，连接B1C.
∵CD綊A1B1，
∴四边形A1B1CD是平行四边形．
∴B1C∥A1D.
又M、N是C1C、B1C1的中点，∴MN∥B1C.
∴MN∥A1D1
∴MN∥平面A1BD.
同理，可证PM∥平面A1BD.
又MN 平面MNP，PM 平面MNP，MN∩PM＝M，
∴平面MNP∥平面A1BD.(共31张PPT)
2. 2.1 直线与平面平行的判定
2．2.2平面与平面平行的判定
要点一 直线与平面平行的判定
1.判断直线与平面平行的方法有：
(1)定义法：直线与平面没有公共点，往往借助于反证法．
(2)使用判定定理：a α，b α，a∥b a∥α，三个条件缺一不可．
2．利用判定定理判断或证明直线与平面平行的关键是在已知平面α内找一条直线b和已知直线a平行．即要证直线a与平面α平行，先证直线a与直线b平行．即由立体向平面转化．
例1 P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ.
【分析】 要证线面平行，寻找线线平行．
【证明】 如图所示，连结AC，交BD于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，连结OQ，则OQ在平面BDQ内，且OQ是△APC的中位线，
∴PC∥OQ.
∵PC在平面BDQ外，∴PC∥平面BDQ.
【规律方法】 利用中点构造三角形的中位线，再利用三角形中位线定理实现线线平行．
变式1 (2010年高考浙江卷)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC，∠ABC＝120°，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，F为线段A′C的中点．
求证：BF∥平面A′DE.
证明：如图所示，取A′D的中点G，连接GF，GE，
要点二 平面与平面平行的判定
应用判定定理证明面面平行的关键是在α内找到与β平行的两条直交直线a，b，要理解判定定理．
1．判定定理中一定是两条相交直线都平行于另一个平面．
2．判定两平面平行需同时满足5个条件：a α，b α，a∩b＝P，a∥β，b∥β.
例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．
求证：(1)E、F、B、D四点共面；
(2)平面MAN∥平面EFDB.
【分析】 解答本题第(1)问，只需证BD∥EF即可．第(2)问，只需证MN∥平面EFDB，AM∥平面EFDB即可．
【证明】 (1)连接B1D1，
∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点，
∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF，
∴E、F、B、D四点共面．
(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD，
又MN 平面EFDB，BD 平面EFDB.
∴MN∥平面EFDB.
连结MF可知，MF綊A1D1，A1D1綊AD
∴MF綊AD，∴四边形AMFD是平行四边形．
∴AM∥DF，AM 平面EFDB.
DF 平面EFDB
∴AM∥平面EFDB.
又∵MN∩AM＝M，
∴平面MAN∥平面EFDB.
【规律方法】 判定平面与平面平行的常用方法有：
(1)根据定义：证明两个平面没有公共点，通常要采用反证法．
(2)根据判定定理：要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面．
判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线，本例即是如此．
变式2 如图所示，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CB1D1.
证明：∵A1BCD1为矩形，∴A1B∥D1C.
又D1C 平面CB1D1，A1B 平面CB1D1，
∴A1B∥平面CB1D1，同理A1D∥平面CB1D1.
又A1B∩A1D＝A1，∴平面A1BD∥平面CB1D1.
例3 如图所示，B为△ACD所在平面外一点，点M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心．
(1)求证：平面MNG∥平面ACD；
(2)求S△MNG∶S△ACD.
【分析】 解答本题(1)可综合利用三角形重心和平行线分线段成比例定理证明．
(2)可证明△MNG∽△DCA，从而将两三角形的面积之比转化为求三角形对应边比的平方．
又PF 平面ACD，MN 平面ACD，∴MN∥平面ACD.
同理MG∥平面ACD，
又MG∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD.
【规律方法】 要证明面面平行，由面面平行的判定定理知需在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线．要证明线面平行，又需根据线面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线，这种面面平行、线面平行、线线平行的相互转化，是处理平行问题的基本思想方法．
变式3 (2010年高考湖南卷)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
证明：在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.证明如下：
如下图所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接B1F，EG，BG，CD1，FG.因为A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，因此D1C∥A1B.又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B.这说明A1，B，G，E四点共面，所以BG 平面A1BE.
因为四边形C1CDD1与B1BCC1都是正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B，因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1F∥BG.而B1F 平面A1BE，BG 平面A1BE，故B1F∥平面A1BE.
