(共29张PPT)
2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.4平面与平面之间的位置关系
1.了解直线与平面之间的三种位置关系.
2.了解平面与平面之间的两种位置关系.
3.会用符号语言和图形语言表示直线和平面、平面和平面的位置关系.
观察图中的吊桥,说出立柱和桥面、水面的位置关系,铁轨和桥面、水面的位置关系,两根立柱确定的平面和水面的位置关系.
1.空间中直线与平面的位置关系
直线与平面
的位置关系 公共点个数 图形语言 符号语言
直线在
平面内
直线与平
面相交
直线与平
面平行
有无数个公共点
有且只有一个公共点
a α
a∩α=A
没有公共点
a∥α
2.平面与平面的位置关系
位置关系 图示 符号语言 公共直线条数
两平面平行
两平面相交
有 公共直线
α∥β
无
α∩β=a
一条
探究1:“直线在平面外”是指直线与平面平行吗?
提示:直线与平面的位置关系也可认为分成两种:直线在平面内和直线在平面外,直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交.
探究2:若有两平面α,β且α∥β,直线a α,直线b β,是否一定有a∥b呢?
提示:不一定,a与b可能平行,也可能异面.
探究3:直线a与平面α平行,直线b α,则a与b有怎样的位置关系?
提示:直线a与平面α平行,则直线a和平面α内的任何一条直线都不相交,故a与b可能平行,也可能异面.
典例 下列命题:①直线l与平面α内的无数条直线平行,则l∥α;②若直线a在平面α外,则a∥α;③若直线a∥b,直线b α,则a∥α;④若直线a∥b,b α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.其中真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【错解】 C
【错因分析】 思维不严密、对线线、线面平行概念掌握不准确导致错误.
【正解】 对于①,直线l虽与平面α内的无数条直线平行,但l有可能在平面α内,
∴l不一定平行于α,∴①是假命题.
对于②,∵直线a在平面α外,包括两种情况:a∥α和a与α相交,
∴a和α不一定平行,∴②是假命题.
对于③,∵直线a∥b,b α,则只能说明a和b无公共点,但a可能在平面α内,
∴a不一定平行于α,∴③是假命题.
对于④,∵a∥b,b a,那么a α或a∥α,
∴a与平面α内的无数条直线平行,
∴④是真命题.综上,真命题的个数为1.答案为A.
易错补练 α、β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是( )
A.α、β都平行于直线l、m
B.α内有三个不共线的点到β的距离相等
C.l、m是α内的两条直线,且l∥β、m∥β
D.l、m是两条异面直线,且l∥α、m∥α、l∥β、m∥β
解析:当A中直线l∥m时,α、β可能相交;B中α、β可能平行,可能相交;当C中直线l∥m时,α、β可能相交;故D正确.
答案:D
1.直线和平面的位置关系
(1)在直线和平面的位置关系中,直线和平面平行,直线和平面相交,统称直线在平面外,我们统一用记号a α来表示a∥α、a∩α=A这两种情形.
(2)直线与平面位置关系的图形语言表述:一般地,直线a在平面α内,应把直线a画在表示平面α的平行四边形内;直线a与平面α平行时,表示直线的线段应画成与表示平面的平行四边形的一条边平行.
(3)直线与平面位置关系的符号语言表述:直线a在平面α内,记作a α;直线a与平面α相交于A,记作a∩α=A;直线a与平面α平行,记作a∥α.
2.两个平面的位置关系
(1)两个平面的位置关系:两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系相类似,可以从有无公共点来区分.如果两个平面有一个公共点,那么由公理3可知:这两个平面相交于过这个点的一条直线;如果两个平面没有公共点,那么就说这两个平面相互平行.
(2)两个平行平面的画法:
两个平行平面的画法:画两个平行平面时,要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行,如图①,而图②的画法是不恰当的.
1.过平面外一点,可作这个平面的平行线条数为( )
A.1条 B.2条
C.无数条 D.不确定
解析:过平面外一点,可作这个平面的平行平面,该平面内过该点的所有直线都与这个平面平行.
答案:C
2.若a∩α=A,则直线a与平面α内的直线的可能关系是( )
A.相交 B.相交或异面
C.异面与平行 D.相交或平行
解析:a与α内的直线相交或异面.
答案:B
3.如果直线a∥b,且a∥平面α,则b与α的位置关系是( )
A.相交 B.b∥α
C.b α D.b∥α或b α
解析:b在α内或b与α平行.
答案:D
4.下列四个命题:
①两条直线和同一平面平行,则这两条直线平行;
②两条直线没有公共点,则这两条直线平行;
③两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行.
④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行.
其中正确命题的个数是( )
A.3个 B.2个
C.1个 D.0个
解析:两直线平行于同一个平面,可以平行、相交或异面,①错;两条直线没有公共点,可以平行,或者异面,②错;两条直线都和第三条直线垂直,可以平行,也可以相交,还可能异面,③错;一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,这条直线可以在这个平面内,可以和这个平面相交,也可以和此平面平行,④错.故选D.
答案:D
5.在如图正方体中,与平面AA1C1C平行的棱有________,与棱BB1平行的面有________.
答案:BB1和DD1 面AD1和面DC1(共29张PPT)
2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.4平面与平面之间的位置关系
直
线
和
平
面
直
线
和
平
面
例1 下列命题中,正确的个数是( )
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个平面相交;②一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面都平行;③经过两条异面直线中的一条直线,有一个平面与另一条直线平行;④两条相交直线,其中一条与一个平面平行,则另一条一定与这个平面平行.
A.0 B.1
C.2 D.3
【分析】 本题主要考查直线与平面的位置关系,解答本题要牢牢地抓住直线和平面三种位置关系的特征,结合相关图形,依据位置关系的定义作出判断.
【解析】①正确,②错误.如图1所示
l1∥m,l1∥β,
而l2∥m,l2 β.
③正确.如图2所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
直线A1C1与直线BD异面,
A1C1 平面A1B1C1D1,且BD∥平面A1B1C1D1,
故③正确.
④错误,直线还可能与平面相交,由此可知,①③正确,故选C.
【答案】 C
【规律方法】 解答此类问题,首先要正确理解直线与平面的三种位置关系的定义:(1)在直线和平面的三种位置关系中,否定其中一种,其反面是另外两种位置关系;(2)直线和平面相交的定义中,“有且只有”包含两层含义:一是“有”表示存在;二是“只有”表示惟一.
变式1 (2010年四川模拟)对于不重合的两个平面α与β,给定下列条件:
①存在平面γ,使得α、β都平行于平面γ;
②α内有不共线的三点到平面β的距离相等;
③存在异面直线l、m,使得l∥α,l∥β,m∥α,m∥β.
其中可以判断两个平面α与β平行的条件有________.
解析:若α与β相交,如图,可在α内找到A、B、C三个点到平面β的距离相等,所以排除②.容易证明①③都是正确的.
答案:①③
要点二 平面与平面的位置关系
空间中的两个平面有且只有两种位置关系:两平面平行和两平面相交.
1.画两个平行平面时,要注意把表示平面的平等四边形画成对应边平行,如图.
2.画两个相交平面时,要注意画出交线,被遮挡住的部分用虚线或者不画.
例2 α、β是两个不重合的平面,下面说法中正确的是( )
A.平面α内有两条直线a、b都与平面β平行,那么α∥β
B.平面α内有无数条直线平行于平面β,那么α∥β
C.若直线a与平面α和平面β都成相等的角,那么α∥β
D.平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β
【分析】 解答本题要牢牢抓住平面平行的概念,即分析两平面是否可能有公共点,借助于图形更可事半功倍.
【解析】 根据两平面相交和平行的定义,结合图形判断如下图所示.A、B都不能保证α、β无公共点,如图1;C中当a∥α,a∥β且α与β相交时,a与α、β也成等角,但α与β不平行,如图2;所在只有D说明α、β一定无公共点.
【答案】 D
【规律方法】 判断两平面的位置关系,通常是结合条件,综合考虑各种因素并借助图形,同时要区别无数与任意的不同.
变式2 已知平面α∥平面β,l α,则( )
A.l β B.l∥β
C.l,β相交 D.以上均有可能
解析:如图所示.
由于平面α∥平面β,所以平面α,β无公共点,又l α,所以l,β无公共点.所以l∥β.
答案:B
要点三 线线、线面、面面位置关系综合研究
要判断线线、线面、面面位置关系时,除清楚定义外,还要利用好身边的模型,尤其是“长方形”这个模型。
例3 已知a、b、c为三条不重合的直线,α、β为两个不重合的平面.
①a∥c,b∥c a∥b;②a∥β,b∥β a∥b;
③a∥c,c∥α a∥α;④a∥β,a∥α α∥β;
⑤a α,b α,a∥b a∥α.
其中正确的命题是( )
A.①⑤ B.①②
C.②④ D.③⑤
【分析】 本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.解答本题要考虑线线、线面、面面位置关系的特征与定义,结合空间想象能力作出判断.
【解析】 由公理4知①正确;由直线与平面平行的位置关系知⑤正确.从而选A.其中②是错误的,因为平行于同一平面的两条直线可能平行、可能相交,也可能异面.③是错误的,因为当a∥c,c∥α时,可能a∥α,也可能a α.对于④,α,β可能平行,也可能相交.
【答案】 A
【规律方法】 判断线线、线面、面面的位置关系,要牢牢地抓住其特征与定义,要有画图的意识,结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题,作出判断.
变式3 给出下列几个命题:
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行;
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行;
④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行.
其中正确命题的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:①当点在已知直线上时,不存在过该点的直线与该直线平行,故①错;
②由于垂直包括相交垂直和异面垂直,因而过一点与一条已知直线垂直的直线有无数条,故②错;
③过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条,故③错;
④过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个,故④对.
答案:B