(共34张PPT)
2．1.2
空间中直线与直线的位置关系
2．两直线位置关系的判定，除运用定义进行外，还要注意通过感觉和空间想象来进行．画出图形可以使抽象的问题具体化，这在解决立体几何的问题中，是经常用到的一种方法，在构图时，要注意想到各种可能．
例1 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
④直线AB与直线B1C的位置关系是________．
【分析】 首先看两直线是否有交点，判断是否是相交，然后在没有交点的两直线中判断这两直线是否在一个平面内，如果不在，则两直线异面．
【解析】 根据探究知道直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”．所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”．同理，直线AB与直线B1C“异面”．所以②④都应该填“异面”．
【答案】 ①平行 ②异面 ③相交 ④异面
【规律方法】 判断直线平行、相交可用平面几何中的定义和方法来处理，判定异面直线的方法有反证法和定义法，只是用定义法不好判断，往往根据过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线来判断．
变式1 判断下列命题是否正确．若正确，请简述理由；若不正确，请在给出的下图(1)到(5)中找出反例(可以不止一个，反例即满足命题的全部条件，但不能得到命题的结论)
①没有公共点的两条直线是异面直线．
②互不平行的两条直线是异面直线．
③分别在两个平面内的两条直线一定异面．
④一个平面内的直线与这个平面外的直线一定异面．
⑤分别与两条相交直线都相交的两条直线共面．
⑥分别与两条异面直线都相交的两条直线异面．
解：①错，如图(2)(5)；
②错，如图(3)；
③错，如图(4)中的AC、BC；
④错，如图(1)中的AD与AB，AD与AC；
⑤错，如图(4)中的AB与l异面；
⑥错，如图(1)中的AB与AC共面.
要点二 异面直线所成的角
求两条异面直线所成角的步骤：(1)作角：在空间任选一点，这个点通常选在其中一条异面直线上，一般为线段的中点或者端点，用平移的方法，把空间角转化成两条相交直线所成的角．(2)证明：证明这个角或其补角即为所求的角．(3)计算：把这个角归结在某个三角形中，通过解三角形求出这个角．
例2 如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点．求EF和AB所成的角．
【分析】 根据定义，找到两异面直线所成的角是关键．由于E、F是中点，则想到三角形的中位线，取BD的中点后组成三角形得两异面直线EF和AB所成的角．
【解】 如图所示，取BD的中点G，连接EG、FG.
【规律方法】 (1)平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角，要注意识别这种情况．
(2)三角形的中位线是立体几何中常用到的线段，是解决立体几何问题最重要的辅助线，三角形中位线的性质是求两异面直线所成角的基础，要通过适当的练习，逐步体会其重要性和应用的技巧．
变式2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，求异面直线B1D1和C1A所成的角．
解法二：(割补法)在原正方体ABCD－A1B1C1D1的旁边，补上一个与原正方体棱长相等的一个正方体，如上图所示，取新正方体与A1D1在同一直线上的顶点为E，连结C1E，AE，由正方体性质可知，C1E綊B1D1，所以∠EC1A为所求两异面直线B1D1与C1A所成的角或其补角．
要点三 平行公理与等角定理的应用
1.证明空间两条直线平行的常用方法
方法一：(利用定义)用定义证明两条直线平行，需证两方面：一是两直线在同一平面内；二是两直线没有公共点．
方法二：(利用公理4)用公理4证明两条直线平行，只需找到直线c，使得a∥c，同时b∥c，由公理4得到a∥b.
2．要注意等角定理中，角的两边分别对应平行，从而两角相等或互补，只有加上方向“相同”的条件时，两个角才相等．
3．“等角定理”为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与惟一性，即过空间任一点，作两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)都是相等的，而与所取点的位置无关．
例3 已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．
(1)求证：四边形MNA1C1是梯形；
(2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1.
【规律方法】 (1)注意在证明线线平行时，利用平面几何知识(如三角形、梯形中位线、平行四边形性质、平行线分线、段成比例定理等)或公理4证明．(共36张PPT)
2．1.2
空间中直线与直线的位置关系
1．会判断空间两直线的位置关系．
2．理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成角．
3．能用公理4解决一些简单的相关问题．
鲁迅先生说过：世间本无路，走的人多了便成了路．一开始只有一条路，车多了，速度快了，就修两条平行的路；为了解决交叉路口的速度与安全问题，人们又修了立交桥．如果将路想象成直线，那么这里面有什么数学思想呢？本节，我们一起研究一下——空间直线与直线之间的位置关系.
1．异面直线
我们把不同在 平面内的两条直线叫做异面直线．
2．空间两条直线的位置关系
任何一个
位置关系 共面情况 公共点个数 图示
相交直线
平行直线
异面直线
不共面
共面
共面
0
1
0
3.异面直线的画法
为了表示异面直线a、b不共面的特点，作图时，通常
4．公理4：平行公理
平行于同一条直线的两条直线 ，这个性质也叫做空间平行线的
用一个或两个平面衬托．
互相平行
传递性．
5．等角定理
如下图，几何体ABC－A1B1C1是三棱柱，则∠C1A1B1与∠CAB的关系是 ，∠D1A1B1与∠CAB的关系是 ，此性质也可表述为
，那么这两个角相等或互补．
相等
互补
空间中如果两个角的
两边分别对应平行
6．异面直线所成的角
a，b是两条异面直线，过空间中 点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
7．异面垂直
如果两条异面直线a、b所成的角是 ，那么我们就说这两条直线互相垂直，记作 .
任一
锐角(或直角)
直角
a⊥b
探究1：若a α，b β，那么a与b一定是异面直线吗？
提示：不一定，两直线是异面直线，则不同在任何一个平面内．当a α，b β时，可能存在平面r，使a r且b r，即a与b共面．
探究2：我们已经学习了等角定理，当两角满足什么条件时，两角相等？满足什么条件时，两角互补？
提示：(1)当两个角的两边分别平行且方向相同，或两个角的两边分别平行且方向相反时，这两个角相等(如图(1)所示的两种情况)；
(2)当两个角的两边分别平行，且两组平行边中，其中一组边同向，另一组边反向时，这两个角互补(如图(2)所示的情况)．
探究3：在平面几何中，两直线相交就可以求它们的夹角，那么，如何求两异面直线所成的角？
提示：两条异面直线所成角的求法：
(1)在空间中任取一点O，过O分别作直线a′∥a，b′∥b，再通过解三角形，求出a′，b′所成的角，从而得出a，b所成的角；
(2)将两条异面直线所成的角转化为平面上相交直线的夹角.
典例 线段AB⊥BC，BC⊥CD，DE⊥AE，且AB＝BC＝CD，异面直线AB与CD成60°角，求异面直线AD与BC所成的角．
【错解】 作DE綊CB，连接AE、BE(如图(1))
图(1)
∵BC＝CD，BC⊥CD，
∴四边形BCDE为正方形．
∴BE＝BC＝AB.
∵AB⊥BC，AB＝BC，AB与CD成60°的角，∴∠ABE＝60°，
∴△ABE是正三角形，∴AE＝BE＝DE.
又∵DE⊥AE，∴△ADE是等腰直角三角形，
即∠ADE＝45°，AD与BC成45°角．
【错因分析】 错误的原因是漏掉了如图(2)所示的情况，补齐即可．
【正解】 (1)如图(1)(略)．
图(2)
易错补练 空间四边形ABCD中，AC＝BD＝2，若AC与BD所成的角是60°，E、F分别是AD、BC的中点，则EF的长是________．
解：如图，取AB的中点M，连接EM，FM，
1．异面直线概念的理解
(1)异面直线具有既不相交也不平行的特点．
(2)“不同在任何一个平面内的两条直线”与“分别在某两个平面内的两条直线”的含义是截然不同的，前者是说不可能找到一个同时包含这两条直线的平面，而后者“分别在某两个平面内的两条直线”的图形只是画在某两个平面内的直线，并不能确定这两条直线异面．它们可以是平行直线，如图甲所示，也可以是相交直线，如图乙所示．
(3)画异面直线时，为了突出它们不共面的特点，常常需要平面作衬托，明显地体现出异面直线既不相交也不平行的特点，如图甲、乙、丙所示．
2．平行公理
(1)公理4所表述的性质又叫做空间平行线的传递性，即已知直线a，b，c，且a∥b，b∥c，则a∥c.
(2)平行公理是论证平行问题的主要依据，也是研究空间两直线的位置关系、直线与平面的位置关系的基础．
(3)要注意空间中平行直线的定义的大前提是“在同一平面内”，即在同一平面内，没有公共点的两条直线a，b叫做平行直线，记作a∥b.因此反过来，若a∥b，则直线a与b必共面．
(4)平面几何中的性质“过直线外的一点，有且只有一条直线和这条直线平行”能推广到空间．
3．异面直线所成的角
(1)异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°.
(2)将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线的夹角，实现了空间问题向平面问题的转化，使平面几何与立体几何建立了联系，促进了数学学科间的知识的渗透．
(3)两条直线的垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直．
(4)我们规定：两条平行直线所成的角为0°角，两条相交直线所成的角为这两条相交直线所成的四个角中的锐角(或直角)，因此在空间中的两条直线所成的角的范围为[0°，90°]．
1．已知a与b是平行直线，b与c是相交直线，则( )
A．a与c是平行直线 B．a与c是相交直线
C．a与c是异面直线 D．a与c不是平行直线
解析：a与c相交或异面，故选D
答案：D
2．(2010年巢湖高二检测)下列结论：
(1)过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
(2)两条直线没有公共点，则这两条直线平行．
(3)两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行．
其中正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：只有(1)正确．
答案：B
3．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )
A．平行或异面 B．相交或异面
C．异面 D．相交
解析：用正方体验证．
答案：B
4．若平面α∩β＝l，a α，b β，则a，b的位置关系是________________．
答案：相交、平行或异面
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD1与BC所成的角是________．
答案：45°
