(共43张PPT)
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
本章共分三大节：第一大节是介绍空间点、直线、平面之间的位置关系；第二大节是研究直线与平面、平面与平面平行的判定与性质；第三大节是研究直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质．学会准确地使用空间几何的数学语言表述几何对象的位置关系，体会公理化思想，培养逻辑思维能力，解决简单的推
理论证及应用问题．本章重点是平面的基本性质，空间两直线、直线与平面、平面与平面间的平行与垂直关系．本章难点是直线、平面之间的平行与垂直关系的互相转化，空间想象能力的提高，异面直线所成的角及二面角的平面角的计算方法.
2.1
空间点、直线、平面之间的位置关系
2．1.1 平 面
1．知道平面是不加定义的概念(原始概念)，初步体会平面的基本属性，会用图形与字母表示平面．
2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．
3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．
在生活中你是否思考过以下问题：
1．最少用几枚钉子可以将一段木棍固定在墙上？
2．为什么停放自行车时需要将车撑放下才能将自行车停稳？
3．飞机至少需要几个轮子？
这些问题如何用数学的方法进行解决呢？带着以上问题，我们进入本节的学习.
1．平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是 的．
无限延展
2．平面的画法
(1)水平放置的平面通常画成一个 ，它的锐角通常画成 ，且横边长等于其邻边长的 如图①.
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的 ，把被遮挡部分用 画出来．如图②.
平行四边形
45°
2倍．
立体感
虚线
3．平面的表示法
图①的平面可表示为 ， ， 或
.
平面α
平面ABCD
平面AC
平面BD
4．点、线、面之间的关系
(1)直线在平面内的概念
如果直线l上的 在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说 .
(2)一些文字语言、数学符号与图形的对应关系
所有点都
平面α经过直线l
A∈l
A l
A∈α
A α
数学符号表示 文字语言表达 图形语言表达
直线l在平面α内
___________
直线l在平面α外
________________
直线l，m相交
于点A
___________
平面α、β相交
于直线l
___________
l α
l α
l∩m＝A
α∩β＝l
5.平面的基本性质
公理 内容 图形 符号
公理1 如果一条直线上的 在一个平面内，那么
A∈l，B∈l且A∈α，B∈α
两点
这条直线在此平面内
l α
公理 内容 图形 符号
公理2 过
，
一个平面
_________ A，B，C三点不共线 存在惟一的平面α使A，B，C∈α
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有
不在一条直线上
的三点
有且只有
一条过该点的公共直线
P∈α且P∈β α∩β＝l且P∈l
6.下面三条性质可以作为公理2的三个推论．写出它们的符号形式及图形形式．
推论1：经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面，如图(1)．
有且只有一个平面α且A∈α，l α.
A l
推论2：经过两相交直线有且只有一个平面，如图(2)．
两直线 有且只有一个平面α且a α，b α.
推论3：经过两平行直线有且只有一个平面，如图(3)．
a∩b＝A
有且只有一个平面α且a α，b α.
a∥b
探究1：一个平面把空间分成几部分？两个平面把空间分成几部分？
提示：一个平面把空间分成两部分；两个平面相交时，把空间分成四部分，平行时，把空间分成三部分．
探究2：下列不能确定一个平面的是．
①空间上任意三点；②两条平行直线；③两条相交直线；④一直线和直线外一点．
提示：①
典例1 已知：A、B、C、D、E五点，A、B、C、D共面，B、C、D、E共面，则A、B、C、D、E五点一定共面吗？
【错解】 ∵点A、B、C、D共面，
∴点A在点B、C、D所确定的平面内．
∵点B、C、D、E四点共面，
∴点E也在点B、C、D所确定的平面内，
∴点A、E都在点B、C、D所确定的平面内，
即点A、B、C、D、E一定共面．
【错因分析】 共面问题的证明，常分两步：(1)确定平面；(2)证明元素在确定的平面内．必须注意的是平面是确定的，上述错解中，由于没有注意到B、C、D三点不一定确定一个平面，即默认了B、C、D三点一定不共线，因而出错．
【正解】 A、B、C、D、E五点不一定共面．
(1)当B、C、D三点不共线时，由公理3可知B、C、D三点确定一个平面α，由题设知A∈α，E∈α，故A、B、C、D、E五点共面于α.
(2)当B、C、D三点共线时，设共线于l，若A∈l，E∈l，则A、B、C、D、E五点共面；若A、E有且只有一点在l上，则A、B、C、D、E五点共面；若A、E都不在l上，则A、B、C、D、E五点可能不共面．
综上所述，在题设条件下，A、B、C、D、E五点不一定共面．
易错补练1 空间不全共线的四个点可以确定几个平面？
解：若空间四个点恰在一个平面内，则只确定1个平面；若空间四个点不共面，则其中任意三个点必不共线(否则这四个点必共面)，过这四个点中任意三个均可确定唯一的一个平面，一共确定4个．
典例2 已知三个互不重合的平面把空间分成了六个部分，则它们的交线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．1条或2条
【错解】 选A，如图(1)．
图(1) 图(2)
【错因分析】 上述解答只考虑了交于一条交线的情况，而忘记了交线不重合的情况．
【正解】 若交线重合，如图(1)，此时只有一条交线；若交线不重合，如图(2)，此时有两条交线．答案为D.
易错补练2 西瓜人人都喜欢吃，给你一个西瓜，只许切三刀，最多能切几块？请说出你的切法．
解：最多能切八块，具体切法是：竖着交叉切两刀，再横切一刀，即可得到八块．
1．应用公理2时，往往忽视条件“三个不共线的点”，从而导致错误结论．
2．在证明几何问题时“有且只有”的证明往往只考虑“有”这一个方面，而对“只有”却未加考虑．
3．在立体几何中，符号“∈”与“ ”各自如何应用易混淆．
4．三个公理的作用：
公理1——判定直线在平面内的依据，同时也是判断一个面是否为平面的依据．
公理2——判定点共面、线共面的依据．
公理3——判定点共线、线共点的依据，判定两个平面相交，作两平面的交线．
1．在下列各种面中，不能认为是平面一部分的应该为( )
A．黑板面 B．乒乓球桌面
C．篮球的表面 D．平静的水面
解析：“平面”的各部分都是“平”的，不能作为平面的部分只能是“曲”的，所以黑板面、乒乓球桌面、平静的水面均可作为平面的一部分．而篮球的表面是一个曲面，不能作为平面的一部分，故选C.
答案：C
2．如图所示，用符号语言可表示为( )
A．α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n α，A m，A n
D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
解析：直线在平面内，用“ ”表示；点在直线上，用“∈”表示，故A正确．
答案：A
3．下列命题中正确的是( )
A．一点和一条直线确定一个平面
B．两两相交的三条直线确定一个平面
C．三点确定一个平面
D．圆上三点确定一个平面
解析：A中当点在直线上时，有无数个平面，所以A错；B中的三条直线不共面时，确定三个平面，所以B错；C中当这三点共线时，有无数个平面，所以C错；D中圆上任意三点不共线，所以D正确．
答案：D
4．空间四点，可以确定平面的个数是( )
A．0 B．1
C．1或4 D．1或4或无数个
解析：当这四点共面时，若这四点共线，确定无数个平面，若这四点中仅有三点或任三点均不共线但共面时，确定1个平面；当这四点不共面时，确定4个平面．
答案：D
5．用符号语言表示下列各语句，并作出相应的图形．
(1)点A在平面α内，不在直线l上，且直线l在平面α内；
(2)直线l经过平面α外的一点P，且与平面α相交于点Q；
(3)平面α与平面β交于直线a，P点是β内的一点，但P点不在直线a上．
解：将点视为元素，直线、面视为集合表示其关系：(1)A∈α，A l，且l α.如图甲所示．
(2)P∈l，P α，且l∩α＝Q.如图乙所示．
(3)α∩β＝a，P∈β，但P α.如图丙所示．(共34张PPT)
2．1.1 平 面
要点一 平面概念的理解
1.平面是一个不加定义，只须理解的最基本的原始概念．常见的桌面、黑板面、平静的水面等，都给我们以平面的形象．
2．立体几何里所说的平面就是从生活中的平面抽象出来的，生活中的平面是比较平、且有限的，而立体几何中的平面是理想的、绝对的“平”并无限延展的．
3．立体几何体中的平面与平面几何中的平面图形是有区别的：平面图形如三角形，正方形，梯形等它们有大小之分；而平面是无大小、无厚薄之分的，它可以无限延伸，它是不可度量的．
例1 判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)平行四边形是一个平面．
(2)任何一个平面图形都是一个平面．
(3)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线．
【分析】 解答本题可先考虑平面的性质及其画法，然后依次解决。
【解】 (1)不正确．平行四边形它仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延展的．
(2)不正确．平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可能无限延展的．
(3)不正确．在空间图形中，我们一般是把能够看得见的线画成实线，把被平面遮住看不见的线画成虚线(无论是题中原有的，还是后引的辅助线)．
【规律方法】 (1)在立体几何中，我们通常用平行四边形表示平面，但绝不是说平行四边形就是平面．
(2)要严格区分“平面图形”和“平面”这两个概念．
(3)在平面几何中，凡是后引的辅助线都画成虚线，在立体几何中却不然．
有的同学在学习立体几何时，对此点没有认识，必将影响空间立体感的形成，削弱或阻断空间想象能力的培养．
变式1 在下列命题中，正确命题的个数为( )
①书桌面是平面
②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚
③有一个平面的长是50 m，宽是20 m
④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：平面具有无限延展性，且无薄厚之分．
答案：A
要点二 共面问题
某些点或线在同一个平面内，称之为这些点、线共面．
证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，及其推论，常用方法有：
1．先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；
2．先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；
3．假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．
例2 求证：两两平行的三条直线如果都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．
已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：直线a、b、c和l共面．
【分析】
【证明】 ∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α，
∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a，B∈b，则A∈a，B∈α.
而A∈l，B∈l，∴由公理1可知：l α.
∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β，
同理可知l β.
∴平面α和平面β都包含直线b与l，
且l∩b＝B，
又∵经过两条相交直线，有且只有一个平面，
∴平面α与平面β重合，∴直线a，b，c和l共面．
【规律方法】 在证明多线共面时，常用“纳入法”或“同一法”(如本例)来证明．
变式2 已知直线l与两平行直线a和b分别相交于A，B两点．求证：三条直线a，b，l共面．
证明：证法一：(纳入法)如下图所示．
∵a∥b，∴直线a，b确定一个平面α.
又∵a∩l＝A，b∩l＝B，
∴A∈a，B∈α，∴l α.
因此直线a，b，l都在平面α内，即三线共面．
证法二：(同一法)∵a∩l＝A，
∴直线a与l确定一平面α.
又∵a∥b，∴直线a和b确定一平面β.
∵b∩l＝B，∴B∈β且B a.
又∵a α，a β，
∴α和β有公共的一条直线a.
又∵B∈α，B∈β，B a，
∴由推论可知，α和β重合．
∴直线a，b，l共面.
要点三 共线问题
利用公理3证明三点共线：两个平面的公共点在交线上．
如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O.
求证：B、D、O三点共线．
【分析】 解答本题只要证明点O在平面ABD与平面CBD的交线BD上即可。
【证明】 ∵E∈AB，H∈AD，
∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH 平面ABD.
∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.
同理O∈平面BCD，即O∈平面ABD∩平面BCD，
∴O∈BD，即B、D、O三点共线．
【规律方法】 证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．
变式3 如图，已知△ABC在平面α外，它的三边所在直线分别交α于P，Q，R，求证：P，Q，R三点共线．
证明：∵A，B，C为α外的三点，
∴△ABC所在的平面β与平面α不重合．
∵P＝AB∩α，∴P为平面α与β的公共点，
同理可证：R，Q也是平面α与β的公共点，由公理3知，P，Q，R三点共线.
要点四 共点问题
利用公理3证明多线共点：任意两条直线的交点是两个平面的公共点，两个平面的公共点在两个平面的交线上．
例4 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE、D1F、DA三线交于一点．
【分析】 因为CE 平面ABCD，D1F 平面ADD1A1，且平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD.所以可证明D1F与CE的交点在直线DA上．
又D1F 平面A1D1DA，CE 平面ABCD.
∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．
又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
根据公理3，可得P∈DA，即CE、D1F、DA相交于一点．
【规律方法】 证明三线共点的基本方法是：(1)先说明两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在两个平面内，于是该点在这两个平面的交线上，从而得到三线共点．(2)也可以先说明a，b相交于一点A，b与c相交于一点B，再说明A、B是同一点，从而得到a、b、c三线共点．
变式4 如图三个平面α、β、γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行．
求证：a、b、c三条直线必过同一点．
证明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a γ，b γ.
由于直线a和b不平行，∴a、b必相交．
设a∩b＝P，则P∈a，P∈b.
∵a β，b α，∴P∈β，P∈α.
又α∩β＝c，∴P∈c 即交线c经过点P.
∴a、b、c三条直线相交于同一点．
