(共13张PPT)
第二章
函数
2.1
函数的概念
第2节
函数
李善兰：中国清代数学家，他在其译著《代数学》中，称函数为“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，这就是“函数”这一名称的得来。
《说文解字》中的“函”字，原意匣、盒子。
思考讨论：
上一节课我们复习了初中对“函数的定义”，按照这个定义，是不是函数呢？
提示：是函数!符合“所有的实数”“都有唯一的”和它对应，注意这里面函数值并不是变量，所以高中对“函数”的概念给出新定义。
函数的定义：
给定实数集中的两个非空数集和，如果存在一个对应关系，使对于中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就把对应关系叫作定义在上的一个函数。
记作，
其中集合叫作函数的定义域，叫作自变量，与值对应的值叫作函数值，集合叫作函数的值域.
注意：
①函数是两个非空数集之间的一种对应关系，要求是“定义域内每个的值”“都有唯一确定的值”与它对应。函数式“”的含义是“在对应法则下所对应的值是”或“自变量取时计算出的函数值是”；
如：，
则
注意：
②函数的三个要素：集合(定义域)、集合和对应法则，两个函数如果集合(定义域)与对应法则相同，那么它们是相同的函数；
如：函数与函数是不同的函数.
因为定义域不同.
注意：
③如果没有特别说明，函数的定义域是使函数解析式有意义或符合实际意义的自变量的取值范围，函数的值域是集合或其子集.
试一试
例1.
下列各组中的两个函数是否为同一个函数？
(1)，；(2)，；
(3)，；(4)，.
解：(1)的定义域为，的定义域为，两个函数定义域不同，所以不是同一个函数；
(2)两个函数的解析式（对应法则）不同，所以不是同一个函数；
(3)函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，所以不是同一个函数；
(4)
两个函数虽然表示自变量的字母不同，但是解析式和定义域均相同，所以是同一个函数.
试一试
例2.
求下列函数的定义域：
(1)；
(2)；
(3)
.
解：(1)要使函数有意义，则，所以函数的定义域为；
(2)要使函数有意义，则且，所以函数的定义域为
；
(3)要使函数有意义，则且，
解得所以函数的定义域为.
思考讨论(综合练习)：
(1)已知函数的定义域为，求实数的取值范围；
(2)已知函数的定义域为，求函数的定义域.
提示：根据题意，时，,
当时，函数为，定义域为，符合条件.
当时，对任意实数，，则，
解得，
所以实数的取值范围为.
(1)已知函数的定义域为，求实数的取值范围；
(2)已知函数的定义域为，求函数的定义域.
提示：函数的定义域为，即，得
则，解得1，即函数的自变量的取值范围是1
所以函数的定义域为.
方法点拨：
函数三要素是定义域、值域和对应法则；一个函数如果没有特别说明，函数的定义域是使函数解析式有意义或符合实际意义的自变量的取值范围，比如“”表示的是关于“”的函数，其定义域仍然是自变量的取值范围。(共16张PPT)
第二章
函数
2.2
函数的表示法
第2节
函数
提到“函数”，同学们立刻想到的是什么？
初中学过的形如“”，这些正比例函数、一次函数、二次函数等等。这些都是解析式形式的函数。
长江三峡工程1994年开始修建，2009年全部竣工，是当今世界上最大水利枢纽工程。
思考讨论：
如图，是我国最大的水库——三峡水库上游某个地区年降雨量的统计图，图中表示了年号与降雨量之间的对应关系，那么它们是不是函数关系呢？
能不能用精确的解析式表示呢？
提示：是函数关系，但没有精确的函数解析式。
函数的三种表示法：
解析法、列表法、图象法
将变量的函数关系用代数式表示，是函数表示方法的解析法；用表格给出变量之间的函数对应关系，是函数表示方法的列表法；用图形给出变量之间的函数对应关系，是函数表示方法的图象法。
列表法
表示的列车时刻表
图象法
表示的某同学成绩变化图
注意：
①函数的三种表示法各有优势.
解析法：变量之间的关系明确，便于精确计算，但不够
直观，某些函数无法用解析式表示；
列表法：变量之间的对应关系直观、明了，不需计算，
但数据量有限；
图象法：直观地显示出变量的关系、变化规律和函数的
性质，使抽象的函数具体化，但无法进行精确运
算，如求函数定义域、求精确的函数值等。
注意：
②灵活运用函数的三种表示法，可以清楚、全面的了解函数的性质.
“描点法”作函数图象的一般步骤：解析式（得到函数定义域等），列表（算出一些对应值），描点连线（光滑曲线连接）。
③并非所有函数都有解析式，也并非所有函数都能画出图象，如狄利克雷函数：
.
试一试
例3.画出函数的图象.
解：函数的定义域为，由绝对值的定义，
，画出图象，
其图象为第一、二象限的角平分线。
试一试
例4.设是任一实数，表示不超过的最大整数，如、、、等等，我们把函数叫作取整函数（高斯函数）。试画出取整函数的局部图象.
解：根据题意，函数的定义域
为，值域为.
.
思考讨论（综合练习）：
(1)根据条件，求函数解析式.
①；
②；
③；
④
已知是一元二次函数，且满足；
.
(2)若函数的定义域为，值域为，求实数的取值范围.
(1)根据条件，求函数解析式.
①；
②；
提示：(1)
①设，则，
得
所以；
②设，则，得，
则
所以；
这两道题的方法叫换元法
（注意定义域）
③；
解：由均值不等式，，
，
所以；
这道题的方法叫拼凑法
④
已知是一元二次函数，且满足；.
解：设，由，则，即
又，即
得
则，解得
所以.
这道题的方法叫待定系数法
(2)若函数的定义域为，值域为，求实数的取值范围.
解：作出一元二次函数的图象.
抛物线对称轴，函数的最小值，如图
所以实数的取值范围.
方法点拨：
函数的图象法表示，是函数表示中非常重要的一种表示方法，它直观、具体地反映了函数的性质，弥补了数、式的枯燥与抽象，是“数形结合”思想方法的主要内容之一，不仅在研究函数中经常使用，在日常生活中用途也非常广泛。(共32张PPT)
第二章
函数
第3节
函数的单调性（1）
初中学习了一次函数的图象和性质
当时，直线向右上，即函数值随的增大而
当时，直线向右下，即函数值随的增大而
增大
减小
思考讨论：
(1)如图，是某位同学从高一到高三上学期的考试成绩的统计图，从图中，你可以得出该同学成绩是怎样变化的呢？
提示：高一时成绩在下降，高一下期期末降到最低名次32名，以后各次考试成绩逐步提高，到高三上期时已经进入前五名
思考讨论：
如图，是函数的图象，说出在各个区间函数值随的值的变化情况.
在区间上，函数值都是随的值的增大而增大；
在区间上，函数值都是随的值的增大而减小.
一般地，在函数定义域内的一个区间上.
如果对于任意的，当时,都有，那么就称函数在区间上是增函数或递增的；
如果对于任意的，当时,都有，那么就称函数在区间上是减函数或递减的。
注意：
①函数在区间上是增函数（减函数），那么就称函数在区间上是单调函数，或称在区间上具有单调性，区间称为函数的单调区间。
如：一元二次函数在区间上是单调增函数（单调递增），区间是函数的单调增区间
注意：
②增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的；
③“函数在区间上单增”与“函数的单增区间是”两种叙述含义是不同的.
如：函数的单调递增区间为,则对称轴；
函数在区间上单调递增,则对称轴.
注意：
④函数的定义域为，由函数图象可知，在两个区间上函数都是单调递减的，但不能说成“函数在定义域内递减”或“函数的单调递减区间是”，而只能说“函数在区间和区间上都是递减的”
试一试
例1.
设，画出函数的图象，并通过图象直观判断它的单调性
解：函数，其图象是函数的图象向左平移3个单位得到，
如图，该函数在区间上单调递减。
试一试
例2.根据函数图象直观判断的单调性
解：函数，画出该函数的图象，
如图，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数.
试一试
例3.判断函数的单调性，并给出证明.
解：画出函数的图象，如图，可以看出函数在上是减函数.
下面用定义证明这一单调性.
任取，且，则
，即
所以函数在上是减函数.
思考讨论（综合练习）：
(1)
二次函数在区间上单调，则实数的取值范围；
(2)
设函数，证明：当时，函数在区间上是减函数；
(3)
已知，函数是区间上的单调函数，求实数的取值范围；
(4)
设实数,函数在区间上的最小值是，求并画出的图象.
(1)
二次函数在区间上单调，则实数的取值范围；
提示：二次函数，图象抛物线开口向上，对称轴
函数在区间上单调，则或，所以的取值范围为或.
(2)
设函数，证明：当时，函数在区间上是减函数；
提示：
设，且
.
因为，所以，，，
，所以.
.
即，函数在区间上是减函数
(3)
已知，函数是区间上的单调函数，求实数的取值范围；
提示：任取，且
.
，得
根据题意，的符号恒正或恒负，故
所以实数的取值范围是.
(4)
设实数,函数在区间上的最小值是，求并画出的图象.
提示：
画出函数的图象，如图，抛物线对称轴为
当时（），函数在区间上单调递减，；
当时（），函数在区间上的最小值为；
当时，函数在区间上单调递增，.
综上，，
，画出函数图象如图：
方法点拨：
函数的单调性是函数的重要性质之一，它反映了函数的变化趋势，通过函数图象，可以直观、定性地进行初步判断，要精确地判断函数的单调性，还是要根据定义证明，今后还要学习其他方法（导数等）判断函数的单调性。
在函数的很多问题中（求值域、求极值等）都要用到函数的单调性。
第二章
函数
第3节
函数的单调性（2）
思考讨论：
(1)增函数和减函数的定义是什么？
(2)
如果有两个函数和，在同一个区间上都是单增（单减）函数，那么函数的具有怎样的单调性？能不能判断函数的单调性呢？
在函数定义域内的一个区间上，如果对于任意的，当时,都有，就称函数在区间上是增函数；如果都有，就称函数在区间上是减函数。
函数也是单增（单减）函数，
函数的单调性不确定。
试一试
例4.
判断函数的单调性，并给出证明.
解：画出函数的图象，可以看出，函数在定义域内是增函数.
下面给出证明：
设，且,则
，
∵，∴
即，
所以函数在定义域上
是增函数.
试一试
例5.
试用定义证明：函数在区间上是减函数，在区间上是增函数.
解：设，且,则
，
∵，∴，，又
，即函数在区间上是减函数.
同理可证，函数在区间上是增函数.
注意：
①函数在区间上是减函数，在区间上是增函数.
时，由函数的单调性或由均值不等式，
可得当时，函数取得最小值，
同理也可以得到时函数的单调性。
画出该函数的图象，
如图，该函数又叫双曲函数.
注意：
形如的函数，
在区间上也具有类似的性质，根据均值不等式，
可得当时，函数取得最小值，
函数在区间上是减函数，在区间上是增函数；
注意：
②
设是的函数，是的函数，其中函数的值域是函数的定义域或子集，则函数称为函数与函数的复合函数。
如：函数，令，则
注意：
复合函数单调性常采用分层分析的方法：
如：函数，令，则
当时，，
所以函数在时单减，
当时，，
所以函数在时单增，
（其中“”代表增大，“”代表减小）.
注意：
③有些函数问题中（如求值域、求最值等），如果要用到函数的单调性，而又不需证明，可以通过分析的方法，得到函数的单调性.
如：求函数在区间上的最值.
，
当时，随着，，所以函数，即函数单增.
所以，.
此题的变形方法叫分离常数法
解决分式型函数的常用方法
思考讨论（综合练习）：
(1)
如果函数，对任意实数都有，试比较、、的大小；
(2)
函数在上单调递增，求实数的取值范围
(3)
求函数的单调区间；
(4)
已知定义在区间上的函数，满足：i)对任意，都有；ii）当时，.
①判断并证明单调性；
②解关于的不等式.
如果函数，对任意实数都有，试比较、、的大小；
(2)
函数在上单调递增，求实数的取值范围；
提示：(1)根据题意，对任意实数都有，则二次函数图象的对称轴为，抛物线开口向上，所以离对称轴距离越远的自变量，对应的函数值越大
所以.
(2)函数在上单调递增，则在时单增，且在分界点处，右侧函数值不小于左侧函数值，即且，得，所以实数的取值范围为.
(3)
求函数的单调区间；
提示：函数有意义，则，得，
所以函数定义域为
设，函数对称轴为，
当时，，函数单调递增区间为；
当时，，函数单调递减区间为
所以，函数单调递增区间为；单调递减区间为.
(4)
已知定义在区间上的函数，满足：i)对任意，都有；ii）当时，.
①判断并证明单调性；
②解关于的不等式.
提示：
①：设，且
.
因，故，得，函数在区间上单减.
②不等式即
由函数的定义域和单调递减，得
，解得.
方法点拨：
函数的单调性是函数的一个重要性质，有关函数的很多问题中，均以函数的单调性为基础，比如求函数的值域、求函数的极值等等，大家在掌握定义法证明函数单调性同时，也要掌握分析函数单调性的方法。(共18张PPT)
第二章
函
数
2.4.2 简单幂函数的图像和性质
课题引入
我们已经熟悉，y=x是正比例函数，
是反比例函数,
y=x2是一元二次函数，
还有,y=x3，它们都是简单的幂函数.
一般地,形如
y=xa(a为常数)的函数，即底数是自变量，指数是常数
的函数称为幂函数。
这里的
和
在今后的学习中可以分别写成y=x-1和y=x-2
幂函数的概念概述：
重
点
强
调
具体特点:①底数是自变量
②指数是常量
③xa的系数是1
1.将y=x;
;
；y=x2；y=x3这五个函数的图象画在同一平面直角坐标系中，并填写表2-3.
动手实践
2
在图2-16中，只画出了函数在y轴某一侧的图象，请你画出函数在y轴另一侧的图
象,并说出画法的依据.
1、常见幂函数图像
【知识扩充】
2、总结幂函数性质
⑴所有的幂函数在都有定义
，并且图象都过点
(1
,
1)（原因：1x=1）；
⑵a>0时，幂函数的图象都通过原点，且在
上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.
⑶a<0时，幂函数的图象在区间
上是减函数.
在第一象限内，当x向原点靠近时，图象在y轴的右方无限逼近x轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.
题型一：判断下列那些是幂函数
题型归类
（3），（6）
答案
题型二：幂函数图像问题
2.如图所示，曲线是幂函数y=xa在第一象限内的图象，已知a分别取
四个值，则相应图象依次为：
答案：
C4，C2，C3，C1
题型三：根据幂函数性质，求解参数值
3．幂函数
在（0，+∞）时是减函
数，则实数m的值为（ ）
A．2或﹣1
B．﹣1
C．2
D．﹣2或1
答案：
解：由于幂函数
在（0，+∞）时
是减函数，故有
，
解得
m＝﹣1，
故选：B．
题型四：比较大小
4．
，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．c＜a＜b
D．b＜c＜a
5．已知a＝0.24，b＝0.32，c＝0.43，则（ ）
A．b＜a＜c
B．a＜c＜b
C．c＜a＜b
D．a＜b＜c
答案：
(4)解：∵
，很明显，a、b、c都是正实数，
∵b6﹣a6＝9﹣8＝1＞0，∴b6＞a6，∴b＞a．
∵a10﹣c10＝32﹣25＞0，a10＞c10，∴a＞c．
综上可得：b＞a＞c，
故选：C．
（5）
解：∵a＝0.24＝0.042＝0.0016，b＝0.32＝0.09，c＝0.43＝0.064，∴b＞c＞a，故选：B．
本节小结(共15张PPT)
第二章
函数
第1节
生活中的变量关系
一、复习引入：
初中学习了哪些函数呢？
提示：正比例函数：；反比例函数：；
一次函数：；
一元二次函数：。
它们都表示了自变量与函数值之间的一种对应关系，
是解析式表示的函数。
思考讨论：
一个人的体重（千克）与身高（厘米）都有着一定的关系，民间有一个粗略的公式，根据身高算出正常的体重：
男性标准体重（千克）＝身长（厘米）－100
女性标准体重（千克）＝身长（厘米）－102
如果各人算出来的数据差距较大，就说明你太胖或者太瘦了！
请算算你体重正常吗？
一个圆柱体储油罐
例1．
如图，是某高速公路加油站的图片，加油站在地下常用圆柱体储油罐储存汽油等燃料.储油罐的长度、截面半径是常量，油面高度、油面宽度、储油量是变量。
说明：储油量与油面高度存在着依赖关系，也与油面宽度存在着依赖关系.
对于油面高度的每一个取值，都有唯一的储油量和它对应.
但是，每一个油面宽度的值，却对应着两个储油量
例2．自2008年京津城际列车开通运营以来，高速铁路在中国大陆迅猛发展.截至2017年年底，中国高铁运营里程突破25000km.图中表示的是中国高铁年运营里程的变化.
说明：从图中可看出：
（1）随着时间的变化，高铁运营里程在变化，它与年份存在着依赖关系；
（2）从2008年到2017年，高铁年运营里程是不断增加的，与前一年相比，2014年增长得最多.
在初中数学中，函数的定义：
如果在一个变化过程中，有两个变量，对于变量的每一个值，变量都有唯一确定的值和它对应，那么就是的函数，其中是自变量，是因变量.
表示两个变量关系的函数的代数式，叫函数解析式.
注意：关键词语“每一个值”“都有唯一确定的值”
如在例1中，储油量是油面高度的函数，但不是油面宽度的函数.
例3.
弹簧的伸长量与弹力满足函数关系：，其中为劲度系数.
说明：对于变量“伸长量”的每一个值，变量“弹力”都有唯一确定的值和它对应，弹力是伸长量的函数.
例4.
如表，记录了几个不同气压下水的沸点:
说明：对于变量“气压”的每一个值，变量“沸点”都有唯一确定的值和它对应，沸点是气压的函数.
例5.
绿化可以改变小环境气候.某市有甲、乙两个气温观测点，观测点甲的绿化优于观测点乙，图中是这两个观测点某一天的气温曲线图.
说明：图中反映的都是对于“时间”的每一个值，都有唯一确定的“气温”值和它对应，所以每一条曲线都表示了一个函数关系.
试一试
例6.
国内某快递公司邮寄普通货物限重30
kg，从A城市到B城市的快递资费标准是:质量1
kg及以下收费12元，以后质量每增加1
kg收费增加8元，质量不足1
kg按1
kg计算.
请写出邮件的质量kg与邮资元的函数解析式，并画出局部图象.
解：依题意知邮件的质量kg与邮资元的函数解析式为
该函数的局部图象如图：
注意：形如上述的函数，
称为分段函数。
方法点拨：
函数的实质就是变量之间的一种特殊的对应关系，它要求“变量的每一个值，变量都有唯一确定的值和它对应”。函数解析式是函数的一种表示形式，下一节课还要学习函数的其他表示方法。(共17张PPT)
第二章
函数
2.4.1
函数的奇偶性
第4节
函数的奇偶性与简单的幂函数
在日常生活中，我们经常会看到一些具有对称性的图片，如美丽的蝴蝶、精彩的剪纸等等
上列各图，分别是怎样的对称图形？
第1、2图为轴对称图形，
第3、4图为中心对称图形.
思考讨论：
在我们学习的函数中，有些函数的图象也具有对称性，请举出几个这样的函数；
例1.
画出函数的图象，
并观察它的对称性.
解：先列表
-2
-1
0
1
2
描点、连线，得函数图象
-8
-1
1
8
0
思考讨论：
上例函数的图象是关于原点中心对称的，
你能说出函数解析式是怎样体现这个性质的吗？
提示：对于定义域中任一个自变量的取值，都有函数值.
一般地，设函数定义域为.
如果当时,有，且，那么就称函数为奇函数；
如果当时,有，且，那么就称函数为偶函数。
如：函数、等等
注意：
①当函数是奇函数或偶函数时，称函数
具有奇偶性。
奇函数图象关于原点中心对称，反之亦然；
偶函数图象关于轴对称,
反之亦然。
②函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称；
注意：
③若奇函数是在处有定义，则有；
④如果已知了一个函数的奇偶性，那么在研究它的性质时，可以先研究其在非负区间上的性质，然后利用对称性可得在轴另一侧函数的性质.
试一试
例2.
根据定义，判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解：(1)函数定义域为，对任意，有
，
.
得，所以函数为奇函数.
(2)函数定义域为，对任意，有
，
得，
所以函数为偶函数.
试一试
例2.
根据定义，判断下列函数的奇偶性：
（3）；
（4）.
解：
(3)函数定义域为，
对任意，有，
得，
所以函数为偶函数.
(4)函数定义域为，定义域不关于原点对称，所以函数既不是奇函数也不是偶函数.
思考讨论（综合练习）：
(1)根据定义，判断下列函数的奇偶性：
①
②
③
④
(2)已知函数是定义在上的奇函数，且当时，
.
①求函数的解析式；
②若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
思考讨论（综合练习）：
(1)根据定义，判断下列函数的奇偶性：①
②
提示：(1)
①函数有意义，则，即定义域为，有，
此时既有，又有，所以函数既是奇函数又是偶函数.
②函数定义域为，
若，则，
有，，有
若，则，
有，，仍有
所以函数为奇函数．
思考讨论（综合练习）：
(1)根据定义，判断下列函数的奇偶性：③
④
提示：③函数有意义，则，即定义域为，
函数即为，易得
所以函数为奇函数．
④函数定义域为，对任意，有
.
即，所以函数为奇函数．
思考讨论（综合练习）：
(2)已知函数是定义在上的奇函数，且当时，
.
①求函数的解析式；
②若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
提示：
(2)
①函数是定义在上的奇函数，设，则
.
又函数为奇函数，，上式即为
得，所以函数
思考讨论（综合练习）：
(2)已知函数是定义在上的奇函数，且当时，
.
①求函数的解析式；
②若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
提示：
(2)
②函数在上单调递增，画出函数图象，如图
则，解得
所以实数的取值范围为.
注意：
①奇偶性的定义是判断函数奇偶性的基本方法，某些函数，如果不
易直接看出的关系，可以通过验证或来判断函数的奇偶性；
②奇函数如果在处有定义，必有；
③函数在定义域内，如果满足，则函数图象关于直线对称；如果满足，则函数图象关于直线对称.
方法点拨：
分析函数的性质，一般首先考察函数的定义域，然后考察函数的奇偶性等，如果可能，再画出函数的图象，这样函数的其他性质，比如单调性、值域、最值等等，就很容易得到了。所以奇偶性是函数最基本的性质之一，如果函数具备奇偶性，在考察其性质或图象时，就可以只考虑轴一侧的情况，从而事半而功倍。
