(共14张PPT)
第三章
指数运算与指数函数
3.2.1
指数幂的运算性质
第2节
指数幂的运算性质
初中，学习了指数幂的运算性质
复习：分数指数幂
.
与初中学习的指数运算性质一样，实数指数幂的运算性质如下：
为正实数，为实数
.
试一试
例1.
计算：
（1）；（2）；（3）.
解：(1)
；
(2)
；
(3)
.
试一试
例2
计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解：(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
.
试一试
例3.
化简（式中的字母均为正实数）：
（1）；（2）；
（3）；（4）.
解：(1)
；
(2)
；
试一试
例3.
化简（式中的字母均为正实数）：
（1）；（2）；
（3）；（4）.
解：
(3)
；
(4)
.
试一试
例4.
已知，
求
解：；
；
；
.
试一试
例5.
已知实数，且，求证：.
证明：根据指数幂的定义和运算性质，
.
思考讨论（综合练习）：
(1)计算下列各式（式中的字母为正数）：
①；
②.
(2)若，求的值.
①；
提示：(1)
①
.
提示：(1)
②
.
.
．
②
(2)若，求的值.
解析：
(2)
由两边平方，得，
再平方，
又
所以.
方法点拨：
在指数幂的运算中，一般都将根式化成分数指数进行运算，这样便于利用指数运算性质进行运算，另外在运算过程中注意运算顺序。(共19张PPT)
第三章
指数运算与指数函数
3.3.1
指数函数的概念
3.3.2
指数函数的图象和性质（1）
第3节
指数函数
曾经有人断言，一张A4纸，不可能将其对折超过8次，是不是这样呢？
让我们来计算一下，一张标准A4纸，规格为长29.7cm，宽21cm，厚度大约0.01cm，折叠8次，纸的长度变为29.7×cm，厚度变为0.01×cm，这时纸的长度已经小于厚度了，无法再折叠了。
思考讨论：
假设一张厚度0.01cm的A4纸可以无限折叠下去，那么折叠30次的高度大约是多少？折叠50次呢？
思考讨论：
提示：折叠30次，厚度为0.01×cmkm，大约是12个珠穆朗玛峰的高度了；
折叠50次，厚度为0.01×cmkm，约为1.13亿km。
地球与太阳的距离约1.5亿km，已接近地球与太阳的距离了
1、形如（且）的函数称为指数函数.
其中是自变量，且.
例如：；等等
注意：
指数函数（）
①指数函数的定义域为，值域为；
②当时，，即指数函数的图象过定点；
③若，指数函数即为，图象为经过点与轴平行的直线.
2、指数函数的图象和性质
1）作出指数函数的图象.
…
…
…
…
函数定义域
列表
描点
同理作出指数函数的图象.
！一般的，指数函数，当时
①定义域为，值域为，图象过定点；
②函数在上是增函数，当时，
当时；
③对于指数函数和（），
当时，
当时，
当时.
试一试
例1
比较下列各题中两个数的大小：
（1）；
（2）；
解：由指数函数，当时，函数在上单增
(1)，∴
(2)，∴
试一试
例2
（1）求使不等式成立的实数的集合；
（2）已知方程，求实数的值；
解：（1）不等式，即，
由函数在上单增，得，
所以实数的集合为；
（2）方程，即，
得，所以.
2、指数函数的图象和性质
2）作出指数函数的图象.
…
…
…
…
函数定义域
列表
描点
连线
同理作出指数函数的图象.
！一般的，指数函数，当时
①定义域为，值域为，图象过定点；
②函数在上是减函数，当时
当时；
③对于指数函数和（），
当时，
当时，
当时.
试一试
例3.
比较下列各题中两个数的大小：
（1）
（2）
解：由指数函数，当时，函数在上单调递减
(1)，∴
(2)，∴
思考讨论（综合练习）：
(1)解不等式；
(2)已知函数（为常数，且）
的图象经过点.
①求函数的解析式；
②若函数，求的值域.
思考讨论（综合练习）：
(1)解不等式；
提示：(1)
不等式，即
∵函数为增函数，
∴，解得
不等式的解集为．
(2)已知函数（为常数，且）
的图象经过点.
①求函数的解析式；
②若函数，求的值域.
提示：
(2)
①图象经过点，
得，解得函数的解析式为
(2)已知函数（为常数，且）
的图象经过点.
①求函数的解析式；
②若函数，求的值域.
提示：②
，，∴
所以.
方法点拨：
利用函数的性质解决方程、不等式等问题，是函数思想的重要应用，指数函数的图象有别与初中学习的函数图象，熟练掌握指数函数两种情况的图象和性质，是解决复合函数问题的基础。(共16张PPT)
第三章
指数运算与指数函数
3.1.1
指数幂的扩充
第1节
指数幂的扩充
初中，学习了整数指数幂的运算及性质
,
,
思考讨论：
薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积(单位hm2)与年数（年）的关系式为
.
其中为侵害面积的初始值
如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算，这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？
指数是分数.
思考讨论：
(2)对于分数指数幂，该如何运算呢？如？.
提示：，
又，
可见.
1、给定正数和正整数(且互素)，若存在唯一的正数，使得，则称为的次幂.
记作，这就是正分数指数幂.
例如：，则；，则
注意：
①当是正整数时，分数指数幂满足：
②与类似，
当底数时，，其中读作“次根号下”，也叫根式运算.
例如：，；
注意：
③根据分数指数幂的定义，
分数指数幂的条件是：底数.
虽然，
但不能写成.
分数指数幂的底数必须是正数哦！
试一试
例1
把下列各式中的正数写成正分数指数幂的形式：
（1）；
（2）；
（3）；（4）.
解：(1)；
(2)；
(3)；
(4)
2、类似负整数指数幂的定义，给定，正整数(且互素)，定义
.
至此，指数运算的指数已经扩充到有理数了.
那么，指数是无理数的情况呢？
以为例说明如下
因为，所以
上式左边的数称为的不足近似值，右边的数称为的过剩近似值
借助计算器，可算出越来越趋近于同一个数，即
一般的，给定正数，对任意无理数，都是一个确定的实数.
同理
这样，指数运算的指数已经扩充到全体实数了.
注意：
①给定一个正数，对任意实数，指数幂都大于0；
②0的任意正实数幂都等于0；
③0的0指数幂和负实数指数幂都没有意义。
试一试
例2.
计算：
（1）；
（2）；
（3）.
解：(1)；
(2)；
(3)
思考讨论（综合练习）：
(1)计算下列各式：
①；
②.
(2)用分数指数幂表示下列各式（字母均表示正实数）.
①
②
(1)计算下列各式：
①；
②.
提示：(1)
①
.
②
．
(2)用分数指数幂表示下列各式（字母均表示正实数）.
①
②
提示：
(2)
①
.
②
方法点拨：
（1）负数的分数指数幂，在某些情况下是没有意义的，如，但却是有意义的，避免情况过于复杂，所以对分数指数幂的底数统一要求为正数，这也是后面指数函数底数要求为正数的原因。
（2）为了便于指数幂的运算，一般都将根式化成分数指数进行运算，这样便于利用指数运算律进行指数幂的运算。
