湘教版九年级上册数学4.3 解直角三角形 教案

第四章
锐角三角函数
4.3
解直角三角形
教学目标：
【知识与技能】
1．理解解直角三角形的概念及直角三角形中五个元素之间的关系．
2．会综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
【过程与方法】
1.通过探究解直角三角形的条件，发展学生提出问题和解决问题的能力.
2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
【情感态度】
渗透数形结合等数学思想，培养学生良好的学习习惯．
【教学重点】
用锐角三角函数的知识解直角三角形.
【教学难点】
根据已知元素和所要求的末知元素，选择恰当的方法求解.
教学过程：
一、问题导入，初步认知
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
引导思考：（1）如果添加∠A=30°，你能求出这个
直角三角形的其他未知量吗？
（2）再添加一个条件呢？
【教学说明】通过创设问题情景，启发学生思考，引入新课．
二、思考探究、获取新知
1.思考：如图，在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°
（1）其余五个元素之间有怎样的关系呢？
①三边之间的关系：a2＋b2＝c2
(勾股定理)
②锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°（两锐角互余）
③边角之间的关系：（锐角三角函数）
sinA＝
cosA＝
tanA＝
（2）除直角外有5个元素（3条边、2个锐角），只要知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？
在Rt△ABC中，除了已知∠C=90°，那么还需要哪些条件就能求出其他的边和角呢？（引导学生从条件少到多思考，也可画图试试看）
学生独立思考，再同桌间交流，请学生回答并简要说明理由。
【归纳结论】在直角三角形中，除直角以外的5个元素（3条边和2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），利用上述关系式，就可以求出其余的3个未知元素.
像这样，在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形．
【教学说明】我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．
2.例题分析
例1.如图，在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，∠A＝30°，a=5，求∠B，b，c.
（1）题目中已知哪些条件？还要求那些元素？
（2）学生独立思考，自己解决.
（3）请学生说解题思路.
（4）教师板书其中一种解题过程。
解：∠B＝90°-∠A=90°-30°=60°
又∵
tanB=
∴
b=a.tanB=5.tan60°=5
∵sinA=
∴c===10
【点评】像这样，在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形．
【教学说明】引导学生分析已知条件，再选择合适的关系来解直角三角形，学生各抒己见，充分发挥学生的主体性，并体会解直角三角形的灵活性。同时教师引导归纳一般解法，让解直角三角形有规律可循。教师板书解题过程起示范作用。
例2.如图，在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，cosA=，BC=5，试求AB的长.
学生独立思考，再请学生分析解题思路.多媒体显示解题过程.
解：∵∠C＝90°，cosA＝，
∴＝.
设AB＝x，则AC＝x.
又AB2＝AC2＋BC2，
∴x2＝(x)2＋52.
解得x1＝，x2＝－(舍去)．
∴AB的长为.
【点评】在直角三角形中，已知一边和另两边的关系，常用勾股定理、方程思想解决.而弄清楚直角三角形的五个元素之间的数量关系是解直角三角形的关键．
三、应用新知，深化理解
基础训练
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，c＝16cm，求a，b的长度.
2.在
Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，∠B＝45°，c＝cm，求a，b的长度.
3.在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，c=，b＝3，求a，∠A.
请学生上台板演，再师生共同点评。
【点评】先依据题意正确画出图形，再选择恰当的方法求解，渗透数形结合思想。
提升训练
如图，根据图中已知数据求BC的长.
【点评】一般三角形中有时要构造直角三角形求解，渗透数形结合和转化的数学思想。
四、师生互动，课堂小结
通过本节的学习你有什么收获？
1.什么叫解直角三角形？
2.解直角三角形的依据是什么？
3.解直角三角形有几种情况？
（1）已知两条边（一直角边和斜边；两直角边）
（2）已知一条边和一个锐角（一直角边一锐角；斜边和一锐角）
4.本节用了哪些数学思想
【教学说明】以问题的形式引导学生回顾本节所学，让学生学过后学会思考和概括，同时对照学习目标，查找学习中的不足，以便改进。
五、课后作业
教材“习题4.3”中第2、3题．
板书设计
1.解直角三角形：已知元素
＝＞
未知元素
（2个元素（至少有1个是边））
2.解直角三角形的依据：
①三边之间的关系：a2＋b2＝c2(勾股定理)
②锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°.
③边角之间的关系：sinA＝
cosA＝
tanA＝
A
B
C
b
C
a
A
B
C
b
C
a
A
B
C
b
C
a
C
B
A
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