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21.1
一元一次方程
【基础训练】
一、单选题
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程是（ ）
A．(x+1)2＝2(x+1)
B．
C．ax2+bx+c＝0
D．x2+2x+c＝x2﹣1
2．下列方程中，是一元二次方程的是（
）
A．=0
B．+c=0
C．
D．
3．若是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．
B．
C．
D．且
4．下列方程是一元二次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．方程化成一般形式后，它的一次项系数是（
）
A．-1
B．-2
C．2
D．1
6．根据下列表格的对应值：
x
0.59
0.60
0.61
0.62
0.63
x2+x－1
－0.0619
－0.04
－0.0179
0.0044
0.0269
判断方程x2+x－1＝0一个解的取值范围是（
）
A．0.59＜x＜0.60
B．0.60C．0.61＜x＜0.62
D．0.62＜x＜0.63
7．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．一元二次方程3x2－x＝2的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（
）
A．3，－1，－2
B．3，－1，2
C．－3，1，－2
D．－3，－l，2
9．将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（
）
A．3，-6
B．3，6
C．3，1
D．
10．一元二次方程的一次项系数是(
)
A．-2
B．2
C．-3
D．3
11．下列方程中是一元二次方程的是（
）
A．-5x+2=1
B．2x2-y+1=0
C．x2+2x=0
D．+x=2
12．若关于x的方程（a+2）x2﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0
B．a≠﹣2
C．a＞﹣2
D．a＜2
13．下列方程为一元二次方程的是（
）
A．x2－2＝0
B．ax2－2x－3=0
C．x2+y=1
D．x2－－1＝0
14．若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是（
）
A．
B．
C．
D．
15．下列各式是一元二次方程的是（ ）
A．3x2﹣＝0
B．2x＋3y＝5
C．2x2＋3＝1＋2（x2＋3x）
D．y2﹣3y＝0
16．已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（
）
A．4
B．1
C．0
D．-1
17．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣y＝2
B．2x2﹣x＝x
C．ax2﹣3x+3＝0
D．3x2﹣2x＝3x2
18．用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式，当中的a、b、c依次为（
）
A．3，，1
B．3，，
C．3，3，
D．3，3，1
19．用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式当中的、、依次为（
）
A．2，，
B．2，3，1
C．2，，1
D．2，3，
20．利用求根公式求的根时，其中，则、的值分别是（
）
A．1、3
B．3、1
C．，1
D．、
21．若关于的方程是一元二次方程，则
A．
B．
C．
D．
22．若关于的一元二次方程的一个根为，则代数式的值为（
）
A．9
B．
C．0
D．3
23．下列方程中，是一元二次方程的是(
)
A．
B．
C．
D．
24．根据表格估计一元二次方程x2+2x-4=0的一个解的范围在（
）
x
-1
0
1
2
3
-5
-4
-1
4
11
A．-1＜x＜0
B．0＜x＜1
C．1＜x＜2
D．2＜x＜3
25．方程3x2﹣1＝0的常数项是（ ）
A．﹣1
B．0
C．3
D．1
26．已知x=0是关于x的一元二次方程(m-1)x +mx+4m -4=0的一个根，那么直线y=mx经过的象限是（
）
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第一、二象限
D．第三、四象限
27．一元二次方程化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是（ ）
A．，8x，2
B．，，
C．，，
D．，，2
28．已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x+a2﹣4=0有一个根为0，则a的值为（ ）
A．0
B．±2
C．2
D．﹣2
29．在下列方程中，一元二次方程的个数是（
）．
①②③④
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
30．已知一元二次方程x2+k﹣3=0有一个根为-1，则k的值为（ ）
A．﹣2
B．2
C．﹣4
D．4
二、填空题
31．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________．
32．把方程x22x3化为一元二次方程的一般形式是_______．
33．方程的解为__________．
34．已知一元二次方程有一个根为．则______．
35．关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是______．
三、解答题
36．对于二次三项式x2－10x+36，小聪同学作出如下结论：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11．你是否同意他的说法？说明你的理由．
38．已知：关于x的方程
（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；
（2）若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|=2，求k的值．
39．若方程是关于x的一元二次方程，求m的值．
40．关于x的一元二次方程(n+1)x2+x+n2=1的一个根是0，求n的值．
41．k取何值时，关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k+1）x+3（k﹣1）=0
（1）是一元一次方程？
（2）是一元二次方程？
42．按下列条件写出关于
x
的一元二次方程
ax
2
+
bx
+
c
＝0．
（1）二次项系数1，一次项系数为2，常数项3；
（2）二次项系数－1，一次项系数0，常数
．
43．定义：如果一元二次方程ax2+bx
( http: / / www.21cnjy.com )+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“至和”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“至美”方程，如果一个一元二次方程既是“至和”方程又是“至美”方程我们称之为“和美方程”．请你写出一个具体的“和美方程”并解这个方程．
44．已知关于x的方程（m－n）x2+mx+n=0，你认为：
（1）当m和n满足什么关系时，该方程是一元二次方程？
（2）当m和n满足什么关系时，该方程是一元一次方程？
45．学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：
①它的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）
②它的二次项系数为5
③常数项是二次项系数的倒数的相反数
你能写出一个符合条件的方程吗？
46．已知：m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，求代数式5m2﹣5m+2008的值．
47．试比较下列两个方程的异同，
+2x-3=0，
+2x+3=0．
48．已知：3是方程x2-2x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值.
49．已知关于
x
的一元二次方程
x2 (k+3)x+2k+1=0.
(1)求证方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根为
x=4，求
k
值，并求出此时方程的另一根.
50．（1）计算：tan60°+|2﹣|
（2）解方程：（x﹣2）2=3x﹣6．
51．已知3是一元二次方程x2-2x+a=0的一个根，求a的值和方程的另一个根.
52．已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
求实数的取值范围；
若方程的两实数根，满足，求的值．
53．已知关于的方程．
为何值时，此方程是一元一次方程？
为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
54．已知x是一元二次方程x2－2x＋1＝0的根，求代数式的值．
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精品试卷·第
2
页
（共
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21.1
一元一次方程
【基础训练】
一、单选题
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程是（ ）
A．(x+1)2＝2(x+1)
B．
C．ax2+bx+c＝0
D．x2+2x+c＝x2﹣1
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】
解：A、(x+1)2＝2(x+1)是一元二次方程，故A符合；
B、是分式方程，故B不符合；
C、ax2+bx+c＝0，a=0时是元一次方程，故C不符合；
D、x2+2x+c＝x2-1是一元一次方程，故D不符合；
故选：A．
【点睛】
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个
( http: / / www.21cnjy.com )未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（
）
A．=0
B．+c=0
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【详解】
解：A、不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、当a=0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌
( http: / / www.21cnjy.com )握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
3．若是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．
B．
C．
D．且
【答案】A
【分析】
本题根据一元二次方程的定义解
( http: / / www.21cnjy.com )答．一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．
【详解】
解答：
由题意得：a 1≠0，
解得a≠1.
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，特别要注意a 1≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
4．下列方程是一元二次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
本题根据一元二次方程的定义求解即可．
【详解】
解：A、该方程为二元一次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程属于分式方程，故本选项不符合题意.
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意.
D、该方程属于一元一次方程，故本选项不符合题意．
故答案为C．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0．
5．方程化成一般形式后，它的一次项系数是（
）
A．-1
B．-2
C．2
D．1
【答案】B
【分析】
方程整理为一般形式，确定出一次项系数即可．
【详解】
解：方程整理得：，
则方程的一次项系数是．
故选：．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的一般形式和系数，其一般形式为，熟悉相关性质是解题的关键．
6．根据下列表格的对应值：
x
0.59
0.60
0.61
0.62
0.63
x2+x－1
－0.0619
－0.04
－0.0179
0.0044
0.0269
判断方程x2+x－1＝0一个解的取值范围是（
）
A．0.59＜x＜0.60
B．0.60C．0.61＜x＜0.62
D．0.62＜x＜0.63
【答案】C
【分析】
由于x＝0.61时，x2＋x 1＝ 0
( http: / / www.21cnjy.com ).0179；x＝0.62时，x2＋x 1＝0.0044，则在0.61和0.62之间有一个值能使x2＋x 1的值为0，于是可判断方程x2＋x 1＝0一个解x的范围为0.61＜x＜0.62．
【详解】
解：∵x＝0.61时，x2＋x 1＝ 0.0179；x＝0.62时，x2＋x 1＝0.0044，
∴方程x2＋x 1＝0一个解x的范围为0.61＜x＜0.62．
故选：C．
【点睛】
本题考查了估算一元二次方程的近似解：用
( http: / / www.21cnjy.com )列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
7．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．
由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】
A、a=0，故本选项错误；
B、有两个未知数，故本选项错误；
C、本选项正确；
D、含有分式，不是整式方程，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方
( http: / / www.21cnjy.com )程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
8．一元二次方程3x2－x＝2的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（
）
A．3，－1，－2
B．3，－1，2
C．－3，1，－2
D．－3，－l，2
【答案】A
【分析】
先把化为一般形式为：
再判断各项系数即可得到答案．
【详解】
解：把化为一般形式为：
所以：二次项系数、一次项系数和常数项分别是
故选：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的一般形式，以及各项系数，掌握以上知识是解题的关键．
9．将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（
）
A．3，-6
B．3，6
C．3，1
D．
【答案】A
【分析】
首先把方程化成一般形式，然后再一般形式判断即可．
【详解】
解：一元二次方程化为一般形式为，
二次项系数和一次项系数分别为3，，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式，熟悉相关性质是解题的关键．
10．一元二次方程的一次项系数是(
)
A．-2
B．2
C．-3
D．3
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程的定义即可得．
【详解】
一元二次方程的一次项系数是，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键．
11．下列方程中是一元二次方程的是（
）
A．-5x+2=1
B．2x2-y+1=0
C．x2+2x=0
D．+x=2
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】
解：A、-5x+2=1是一元一次方程
B、2x2-y+1=0是二元二次方程
C、x2+2x=0是一元二次方程
D、+x=2分母有字母，是分式方程
故选C
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义，理解定义是关键．
12．若关于x的方程（a+2）x2﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0
B．a≠﹣2
C．a＞﹣2
D．a＜2
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】
解：∵关于x的方程（a+2）x2﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，
∴a+2≠0，
∴a≠﹣2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，熟悉相关性质是解题的关键．
13．下列方程为一元二次方程的是（
）
A．x2－2＝0
B．ax2－2x－3=0
C．x2+y=1
D．x2－－1＝0
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程定义直接判断即可．
【详解】
解：A．符合一元二次方程定义，正确；
B．若a=0，则方程为一元一次方程，错误；
C．含有两个未知数，错误；
D．不满足整式方程，错误．
故选：A
【点睛】
主要考查一元二次方程定义，掌握一元二次方程定义所满足的条件是解题关键．
14．若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的概念可直接得出答案．
【详解】
∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的概念是解题的关键．
15．下列各式是一元二次方程的是（ ）
A．3x2﹣＝0
B．2x＋3y＝5
C．2x2＋3＝1＋2（x2＋3x）
D．y2﹣3y＝0
【答案】D
【分析】
本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【来源：21cnj
y.co
m】
【详解】
A、不是整式方程，故错误；
B、方
( http: / / www.21cnjy.com )程含有两个未知数，故错误；
C、整理后，方程未知数为1次，故错误；
D、符合一元二次方程的定义，故正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个
( http: / / www.21cnjy.com )方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
16．已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（
）
A．4
B．1
C．0
D．-1
【答案】A
【分析】
利用一元二次方程的解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵m是方程的一个根．
∴，
即，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
17．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣y＝2
B．2x2﹣x＝x
C．ax2﹣3x+3＝0
D．3x2﹣2x＝3x2
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的定义进行判断．
【详解】
A．是二元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．当a≠0时是一元二次方程，当a=0时不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
考查了一元二次方程的概念，解题关键是再依
( http: / / www.21cnjy.com )据“一元二次方程必须满足四个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0；③是整式方程；④含有一个未知数”进行判断．www.21-cn-jy.com
18．用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式，当中的a、b、c依次为（
）
A．3，，1
B．3，，
C．3，3，
D．3，3，1
【答案】B
【分析】
先把方程化为一元二次方程的一般形式，再确定a、b、c．
【详解】
∵方程3x2－3x＝1化为一般形式为：3x2－3x 1＝0，
∴a＝3，b＝－3，c＝ 1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0．其中a、b分别是二次项和一次项系数，c为常数项．
19．用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式当中的、、依次为（
）
A．2，，
B．2，3，1
C．2，，1
D．2，3，
【答案】A
【分析】
先把方程化为一元二次方程的一般形式，再确定a，b，c．
【详解】
解：∵方程化为一般形式为：，
∴a=2，b=-3，c=-1，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为，其中a，b分别是二次项和一次项系数，c为常数项．
20．利用求根公式求的根时，其中，则、的值分别是（
）
A．1、3
B．3、1
C．，1
D．、
【答案】C
【分析】
先把一元二次方程化为一般式，利用系数与常数项定义即可确定b，c的值．
【详解】
解：化方程为一般式，
则、的值分别-3，1．
故选择：C．
【点睛】
本题考查元二次方程一般式，确定一次项系数与常数项，掌握一元二次方程的一般形式，会确定方程各项系数与常数项是解题关键．
21．若关于的方程是一元二次方程，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的定义即可判断．
【详解】
根据一元二次方程的定义：是一元二次方程的前提是
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，对于是一元二次方程的前提是．
22．若关于的一元二次方程的一个根为，则代数式的值为（
）
A．9
B．
C．0
D．3
【答案】B
【分析】
根据关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根为x=-2，可以求得2a-b的值，从而可以求得6a-3b+6的值．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程ax2+
( http: / / www.21cnjy.com )bx+6=0的一个根为x=-2，
∴a×（-2）2+b×（-2）+6=0，
化简，得2a-b+3=0，
∴2a-b=-3，
∴6a-3b+6=3（2a-b）+6=-9+6=-3，
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，灵活变化，建立所求式子与已知方程之间的关系．
23．下列方程中，是一元二次方程的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程的定义判断出正确选项．
【详解】
A选项是一元二次方程；
B选项不是，化简之后没有二次项；
C选项不是，含有分式；
D选项不是，含有两个未知数．
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．
24．根据表格估计一元二次方程x2+2x-4=0的一个解的范围在（
）
x
-1
0
1
2
3
-5
-4
-1
4
11
A．-1＜x＜0
B．0＜x＜1
C．1＜x＜2
D．2＜x＜3
【答案】C
【分析】
利用夹逼思想求一元二次方程的近似解．根据表格当时，，且最接近于0；当时，，且最接近于0．即可选出答案案．
【详解】
根据表内数据，可以发现：
当时，；
当时，.
∴一元二次方程的其中一个解x的范围是1＜x＜2.
故选C.
【点睛】
本题考查利用“夹逼”思想估算一元二次方程的解，观察表中数据找到方程最接近0时x的取值范围是解本题的方法．
25．方程3x2﹣1＝0的常数项是（ ）
A．﹣1
B．0
C．3
D．1
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程的一般式找出方程的常数项即可．
【详解】
解：方程3x2﹣1＝0的常数项是﹣1．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
26．已知x=0是关于x的一元二次方程(m-1)x +mx+4m -4=0的一个根，那么直线y=mx经过的象限是（
）
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第一、二象限
D．第三、四象限
【答案】B
【分析】
把x＝0代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．从而确定直线y＝mx所经过的象限．
【详解】
∵关于x的一元二次方程(m-1)x +mx+4m -4=0有一个根是0，
∴4m2 4＝0，
解得：m＝±1，
根据题意，得m 1≠0，
∴m≠1，
∴m＝ 1．
∴直线y＝mx经过的象限是第二、四象限．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义．能
( http: / / www.21cnjy.com )使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
27．一元二次方程化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是（ ）
A．，8x，2
B．，，
C．，，
D．，，2
【答案】C
【分析】
方程整理为一般形式，找出所求即可．
【详解】
解：方程整理得：，
则二次项、一次项、常数项分别为，，．
故选：．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为．
28．已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x+a2﹣4=0有一个根为0，则a的值为（ ）
A．0
B．±2
C．2
D．﹣2
【答案】D
【分析】
把代入原方程计算，检验即可求出a值．
【详解】
把x=0代入方程得：a2﹣4=0，
（a﹣2）（a+2）=0，
可得a﹣2=0或a+2=0，
解得：a=2或a=﹣2，
当a=2时，a﹣2=0，此时方程不是一元二次方程，舍去；
则k的值为﹣2．
故选：D．
【点睛】
此题考查的是一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的方法是解答本题的关键．
29．在下列方程中，一元二次方程的个数是（
）．
①②③④
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】
解：根据一元二次方程的定义，
①是一元二次方程，正确；
②的二次项系数可能为0，不一定是一元二次方程，故错误；
③整理后得到，是一元一次方程，故错误；
④是一元一次方程，故正确．
则是一元一次方程的是①④，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，熟悉相关性质是解题的关键．
30．已知一元二次方程x2+k﹣3=0有一个根为-1，则k的值为（ ）
A．﹣2
B．2
C．﹣4
D．4
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，把把x=-1代入方程得关于k的一次方程1﹣3+k=0，然后解一次方程即可．
【详解】
解：把x=1代入x2+k﹣3=0，得1+k﹣3=0，
解得k=2．
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二
( http: / / www.21cnjy.com )次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
二、填空题
31．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________．
【答案】2022
【分析】
根据一元二次方程解的意义可得a+b的值，然后代入所求的算式即可得到解答．
【详解】
解：由题意可得：
a+b+1=0，
∴a+b=-1，
∴2021-a-b=2021-(a+b)=2021+1=2022，
故答案为2022．
【点睛】
本题考查代数式的求值，根据一元二次方程解的意义求得a+b的值是解题关键．
32．把方程x22x3化为一元二次方程的一般形式是_______．
【答案】x22x30
【分析】
把3从右边移到左边即可
【详解】
解：∵x22x3，
∴x22x30．
故答案为：x22x30．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．21·cn·jy·com
33．方程的解为__________．
【答案】x=1
【分析】
根据二次根式与绝对值的非负性，列出关于x的方程组，进而即可求解．
【详解】
∵，
∴，解得：x=1，
故答案是：x=1．
【点睛】
本题主要考查二次根式与绝对值的非负性，掌握上述性质，是解题的关键．
34．已知一元二次方程有一个根为．则______．
【答案】8
【分析】
把代入求解即可．
【详解】
解：把代入，得
，
∴c=8．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键．
35．关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是______．
【答案】-3
【分析】
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得m的值．
【详解】
解：把x=0代入方程（m-3
( http: / / www.21cnjy.com )）x2+x+（m2-9）=0，
得m2-9=0，
解得：m=±3，
∵m-3≠0，
∴m=-3，
故答案是：-3．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的定义及其解，注意方程有意义，其二次项系数不能为0．
三、解答题
36．对于二次三项式x2－10x+36，小聪同学作出如下结论：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11．你是否同意他的说法？说明你的理由．
【答案】不同意
【解析】
试题分析：由题意得方程x2－10x+36=11，解出方程的解即可判断.
我不同意他的说法，理由是：
当x2－10x+36=11时，x2－10x+25=0，即（x－5）2=0，解得x1=x2=5.
考点：解一元二次方程
点评：解一元二次方程的能力是初中数学学习中一个极为重要的能力，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.
37．解方程：（x-1）2=4(直接开平方法)
【答案】x1=3，x2=-1
【解析】
试题分析：直接开平方可得x-1=±2，即可求得结果.
开平方，得x-1=±2，
即x-1=2或x-1=-2，
所以x1=3，x2=-1.
考点：解一元二次方程
点评：解一元二次方程的能力是初中数学学习中一个极为重要的能力，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.
38．已知：关于x的方程
（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；
（2）若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|=2，求k的值．
【答案】解：（1）证明：①当k=0时，方程是一元一次方程，有实数根。
②当k≠0时，方程是一元二次方程，
∵，
∴一元二次方程有两实数根。
综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根。
（2）∵此方程有两个实数根x1，x2，
∴。
∵|x1﹣x2|=2，∴（x1﹣x2）2=4，即（x1+x2）2﹣4x1x2=4。
∴，解得k=1或
【解析】
试题分析：（1）确定判别式的范围即可得出结论。
（2）根据根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，继而根据题意可得出方程，解出即可。
39．若方程是关于x的一元二次方程，求m的值．
【答案】m= 2.
【分析】
根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高指数是2的整式方程,且二次项系数不等于0,即可进行求解,
【详解】
由题意得:m2-2=2且m-2≠0,
解得:m=-2.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的定义,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义.
40．关于x的一元二次方程(n+1)x2+x+n2=1的一个根是0，求n的值．
【答案】n=1.
【分析】
根据一元二次方程解的定义,将0代入到一元二次方程可得:
n2=1,解得:,
根据一元二次方程二次项系数不等等于0可得:
n+1,解得:,因此.
【详解】
由题意得:n2=1且n+1≠0,
解得:n=1.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的定义和一元二次方程解的定义,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程解的定义.
41．k取何值时，关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k+1）x+3（k﹣1）=0
（1）是一元一次方程？
（2）是一元二次方程？
【答案】（1）k=1（2）k≠±1
【解析】
【分析】
（1）根据含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程是一元一次方程，可以确定k的取值；
（2）根据含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，可以确定k的取值；
【详解】
（1）∵要使方程是一元一次方程，则k2﹣1=0且2（k+1）≠0，
∴k=±1且k≠﹣1，
∴k=1；
（2）要使方程是一元二次方程，则k2﹣1≠0，
∴k≠±1.
【点睛】
本题考查的是一元一次方程和一元二次方程的定义，根据定义确定k的取值．
42．按下列条件写出关于
x
的一元二次方程
ax
2
+
bx
+
c
＝0．
（1）二次项系数1，一次项系数为2，常数项3；
（2）二次项系数－1，一次项系数0，常数
．
【答案】（1）x2
+2x+3＝0．（2）－x2
+－1＝0．
【解析】
分析：（1）根据二次项的系数、一次项的系数、常数项，可得一元二次方程的一般形式；
（2）根据二次项的系数、一次项的系数、常数项，可得一元二次方程的一般形式．
详解：（1）当a＝1，b＝2，c＝3时，一元二次方程是x2
+2x+3＝0；
（2）二次项系数为-1，一次项系数为0，常数项为，一元二次方程是－x2
+－1＝0．
点睛：本题考查了一元二次方程的一般形式，把二次项的系数、一次项的系数、常数项代入是解题关键．
43．定义：如果一元二次方
( http: / / www.21cnjy.com )程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“至和”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“至美”方程，如果一个一元二次方程既是“至和”方程又是“至美”方程我们称之为“和美方程”．请你写出一个具体的“和美方程”并解这个方程．
【答案】x2-1=0，两根为1，-1．
【解析】
试题分析：根据题目中所给的信息写出符合条件的方程，解方程即可.(答案不唯一)
试题解析：
例如：x2-1=0，
解得x=±1.
44．已知关于x的方程（m－n）x2+mx+n=0，你认为：
（1）当m和n满足什么关系时，该方程是一元二次方程？
（2）当m和n满足什么关系时，该方程是一元一次方程？
【答案】（1）当m≠n时，方程是一元二次方程；（2）当m=n且m≠0时，方程是一元一次方程
【详解】
试题分析：（1）一元二次方程要求最高项次数为2且二次项系数不为0，由题，只要
即可确定方程为一元二次方程.
（2）一元一次方程要求最高项次数为1且一次项系数不为0，所以当方程同时满足
时，即可确定方程为一元一次方程.
试题解析：（1）根据题意得：m－n≠0，解得：m≠n；
（2）根据题意得：，
解得：．
当
且
时，方程是一元一次方程．
点睛：本题考查一元二次方程与一元一次方程的
( http: / / www.21cnjy.com )辨析，解题的关键在于清楚一元二次方程的最高项次数为2且二次项系数不为0，而一元一次方程的最高项次数为1且一次项系数不为0.
45．学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：
①它的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）
②它的二次项系数为5
③常数项是二次项系数的倒数的相反数
你能写出一个符合条件的方程吗？
【答案】5x2－2x－=0（答案不唯一）
【分析】
本题主要考查一元二次方程的定义，由（2）（3）可确定
的值，任意给出
的值即可得到所求方程.
【详解】
解：由（1）知这是一元二次方程，由（2）（3）可确定，而的值不唯一确定，可为任意数，熟悉一元二次方程的定义及特征是解答本题的关键．
这个方程是5x2－2x－=0
46．已知：m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，求代数式5m2﹣5m+2008的值．
【答案】2013．
【详解】
试题解析：
把代入方程.可得：
即
所以
47．试比较下列两个方程的异同，
+2x-3=0，
+2x+3=0．
【答案】答案见解析
【详解】
试题解析：
相同点：①都是一元二次方程；
②都化成了一元二次方程的一般形式；
③二次项系数均为1；
④一次项系数均为2；
⑤常数项的绝对值相等；
⑥都是整系数方程等．
不同点：
①常数项符号相反；
②前者方程左边可因式分解，后者实数范围内不能分解
48．已知：3是方程x2-2x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值.
【答案】方程的另一个根为-1，c的值为3．
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，把x=3代入方程x2-2x-c=0得出c，再根据两根之和即可得出另一个根．
【详解】
∵方程x2-2x-c=0的一个根是3，
∴9-6-c=0，
∴c=3，
设方程的另一个根为m，
∵3+m=2，
∴m=-1，
∴方程的另一个根为-1，c的值为3．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1 x2=．也考查了一元二次方程的解．www-2-1-cnjy-com
49．已知关于
x
的一元二次方程
x2 (k+3)x+2k+1=0.
(1)求证方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根为
x=4，求
k
值，并求出此时方程的另一根.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）表示出方程根的判别式，判断其值大于0即可得证；
（2）把x=4代入方程求出k的值，确定出方程，即可求出另一根．
【详解】
（1），
故方程有两个不相等的实数根；
（2）∵方程的一个根为，
∴，
即，
由韦达定理得，
则.
【点睛】
此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
50．（1）计算：tan60°+|2﹣|
（2）解方程：（x﹣2）2=3x﹣6．
【答案】（1）2；（2）x=2或x=5．
【解析】
【分析】
（1）根据特殊锐角的三角函数值和绝对值的性质计算可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【详解】
（1）原式=+2﹣=2；
（2）（x﹣2）2﹣3（x﹣2）=0，（x﹣2）（x﹣5）=0，则x﹣2=0或x﹣5=0，解得：x=2或x=5．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程和实数的运算，熟练掌
( http: / / www.21cnjy.com )握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
51．已知3是一元二次方程x2-2x+a=0的一个根，求a的值和方程的另一个根.
【答案】a=-3；另一个根为-1.
【分析】
根据一元二次方程的解的定义把x=3代入x2-
( http: / / www.21cnjy.com )2x+a=0可求出a的值，然后把a的值代入方程得到x2-2x-3=0，再利用因式分解法解方程即可得到方程的另一根．
【详解】
解：设方程的另一个根为m，则
解得：
∴方程的另一个根为
∴a=-13=-3.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解
( http: / / www.21cnjy.com )：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
52．已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
求实数的取值范围；
若方程的两实数根，满足，求的值．
【答案】；
．
【解析】
【分析】
用判别式法求解即可.
【详解】
，
整理得．
∵方程有两个实数根，．
∴，
解得；
由根与系数关系知：
，，
又，代入得，
，
∵，
∴，
∴可化简为：．
解得（不合题意，舍去）或，
∴．
【点睛】
利用判别式法和根与系数的关系是解决这一类题的通法.
53．已知关于的方程．
为何值时，此方程是一元一次方程？
为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
【答案】(1)时，此方程是一元一次方程；（2）．一元二次方程的二次项系数、一次项系数，常数项．;
【详解】
试题分析：（1）根据一元一次方程的定义可得=0，且m+1≠0，解得m的值；
（2）根据一元二次方程的定义可得≠0，可得m的取值范围，然后写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
试题解析：解：（1）
=0，且m+1≠0，
解得m=1，
答：当m=1时，此方程是一元一次方程；
（2）
≠0，解得m≠±1，
答：当m≠±1时，此方程是一元二次方程，其二次项系数为，一次项系数为-（m+1），常数项为m．
考点：一元一次方程的定义；一元二次方程的定义．
54．已知x是一元二次方程x2－2x＋1＝0的根，求代数式的值．
【答案】
【详解】
解：∵x2－2x＋1＝0，∴x1＝x2＝1，
原式＝．
∴当x＝1时，原式＝．
解一元二次方程，求出x的值，再将分式化简，将x的值代入分式即可求解．
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精品试卷·第
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