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21.2 解一元一次方程
【提升训练】
一、单选题
1．若关于x的一元二次方程的一个根大于1，另一个根小于1，则a的值可能为（ ）
A． B． C．2 D．4
2．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A．x1+x2＞0 B．x1．x2＞0 C．x1＜0，x2＜0 D．x1﹣x2≠0
3．定义运算：x*y＝x2y﹣2xy﹣1，例如4*2＝42×2﹣2×4×2﹣1＝15，则方程x*1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
4．关于的一元二次方程有实数根，则满足（ ）
A． B．且 C．且 D．
5．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
6．关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．无法确定 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
7．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
8．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
9．若关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值为（ ）
A． 2 B． 1 C．1 D．2
10．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
11．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
12．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
13．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．
14．下列关于一元二次方程，说法正确的是（ ）
A．方程配方变形为 B．方程的解为
C．关于的方程有实数根，则 D．方程的解为
15．下面是文明同学在考试中解答的填空题，其中答对的个数是（ ）
①方程的解是；②已知m为方程的一个根，则的值为2；③若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是；④若关于x的方程的两根的平方和等于6，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．下列说法不正确的是（ ）
A．打开电视剧，电视里播放《小猪佩奇》是偶然事件
B．了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查
C．一元二次方程只有一个根
D．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是，，甲的射击成绩稳定
17．一元二次方程 2x 1＝0，其解的情况正确的是（ ）
A．有两个相等的实数解 B．有两个不相等的实数解
C．没有实数解 D．不确定
18．已知a，b是一元二次方程的两个根，则的值等于（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
19．下列方程适合用因式分解法解的是（ ）
A． B．
C． D．
20．若关于x的方程没有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．一元二次方程的解为（ ）
A． B． C．， D．，
22．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2＋3x＋2＝0 B．﹣x2＋x＋2＝0 C．（x＋1）2＋2＝0 D．3（x﹣1）2﹣2＝0
23．若关于x的一元二次方程x2＋x－3m＋1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞ B．m＜ C．m≥ D．m≤
24．关于的一元二次方程有实数根，则满足（ ）．
A． B．且 C． D．且
25．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
26．x=－2是关于x的一元二次方程2x2+3ax－2a2=0的一个根，则a的值为（ ）
A．1或4 B．－1或－4 C．－1或4 D．1或－4
27．实数x满足，则的值为( )
A．3 B．0 C．3或0 D．
28．方程的解是（ ）
A．， B．， C． D．，
29．若x=0是关于x的一元二次方程（a+2）x2- x+a2+a-6=0的一个根，则a的值是（ ）
A．a ≠2 B．a=2 C．a=-3 D．a=-3或a=2
30．如图，在矩形ABCD中，AB= ( http: / / www.21cnjy.com )14，BC=7，M、N分别为AB、CD的中点，P、Q均为CD边上的动点（点Q在点P左侧），点G为MN上一点，且PQ=NG=5，则当MP+GQ=13时，满足条件的点P有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
31．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________．
32．若，且，，则（1）的值为______；（2）的值为_____．
33．已知关于x的一元二次方程﹣（2k+1）x++1＝0有两个不相等的实数根．若＝3，则k的值为_____．21cnjy.com
34．关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0的根的情况是_____．
35．若分式的值为零，则的值为_______．
三、解答题
36．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使得成立？如果存在，求出m的值：如果不存在，请说明理由．
37．解方程：
（1）
（2）
38．解下列方程：
（1）；
（2）．
39．若关于的方程有两个实数根，请求出实数的取值范围．
40．解方程．
（1）2x2﹣4x﹣3＝0；
（2）（x+1）（x+3）＝15．
41．解方程：
（1）x2-4x-3=0 （2）（x-3）+2x（x-3）=0
（3） （4）
42．（1）解方程：（2x﹣5）2＝9．
（2）解方程：（x﹣3）2＝2（x﹣3）．
43．用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）3x（x+2）=5（x+2）
（4）
44．已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根
45．解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)(x＋1)(x＋8)＝－12
46．用适当方法解下列方程
（1）144x2-1=0
（2）（3x-1）2=6．
（3）x2-5x+6=0
（4）
（5）3x（x-1）=2（x-1）
（6）x2-x-1=0
47．解方程：
（1）；
（2）．
48．解答题：（1）用适当方法解方程：．
（2）计算：
49．解答下列各题：
（1）计算
（2）解方程：
50．解下列方程．
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
51．阅读理解：
解方程时，我们经常将整体多次出现的部分打包进行换元处理，从而达到了降次、转整等目的，这一“神奇”的方法叫换元法．
例如：解方程
解：设
原方程化为：
∴
∴或 ∴，
当时，即
∴或
，
当时，即
∴或
∴，
∴原方程的解是：，，，
请你利用换元法解方程：
52．如果关于x的一元二次 ( http: / / www.21cnjy.com )方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，求c的值；
（2）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值；
（3）若点（p，q）在反比例函数y＝的图象上，请说明关于x的方程px2+3x+q＝0是“倍根方程”；
（4）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，请说明2b2＝9ac．
53．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程是“倍根方程”，则＝ ．
（2）若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则，，之间的关系为 ．
（3）若是“倍根方程”，求代数式的值．
54．若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”．
（1）一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为 ；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，则a＝ ；
（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4＝0的两根，求它们的“x牵手点”．
55．阅读理解：
解方程：．
解：方程左边分解因式，得
，
解得，，．
问题解决：
（1）解方程：．
（2）解方程：．
（3）方程的解为 ．
56．（换元思想）阅读材料：
材料1 若一元二次方程的两根为、，则，.
材料2 已知实数、满足，，且，求的值.
解：由题知、是方程的两个不相等的实数根，根据材料1，得，.
∴.
根据上述材料解决下面的问题：
（1）一元二次方程的两根为，，则，___________；
（2）已知实数，满足，，且，求的值；
（3）已知实数，满足，，且，求的值.
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21.2 解一元一次方程
【提升训练】
一、单选题
1．若关于x的一元二次方程的一个根大于1，另一个根小于1，则a的值可能为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】
设的两根分别为 可得 由关于x的一元二次方程的一个根大于1，另一个根小于1，可得＜ 再列不等式：＜ 解不等式可得答案．
【详解】
解：设的两根分别为
关于x的一元二次方程的一个根大于1，另一个根小于1，
＜
＜
＜
＜
符合题意，所以不符合题意，符合题意，
故选：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，一元一次不等式的解法，掌握以上知识是解题的关键．
2．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A．x1+x2＞0 B．x1．x2＞0 C．x1＜0，x2＜0 D．x1﹣x2≠0
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系 ( http: / / www.21cnjy.com )，求出x1x2，x1+x2的值，分析后即可判断A项，B项，C项是否符合题意，结合判别式公式，求该方程的判别式，根据正确情况即可判断D项是否符合题意，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意得：
x1x2＝﹣2＜0，
即x1和x2异号，
即选项B和选项C不合题意，
x1+x2＝a，
∵a的值可能为正，可能为负，也可能为0，
∴A项不合题意，
∵△＝a2+8＞0，
∴方程的两根不相等，
即x1﹣x2≠0，
即D项符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系，根的判别式公式是解题的关键．
3．定义运算：x*y＝x2y﹣2xy﹣1，例如4*2＝42×2﹣2×4×2﹣1＝15，则方程x*1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【分析】
先转换成一元二次方程，再用根的判别式判断即可．
【详解】
解：根据题意，方程x*1＝0为：，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根；
故选：A．
【点睛】
本题考查了新定义运算和一元二次方程的根的判别式，解题关键是理解题意，把方程转化为一元二次方程，再用根的判别式判断．
4．关于的一元二次方程有实数根，则满足（ ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】B
【分析】
根据根的判别式计算即可．
【详解】
解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，，
∴，，
解得：，；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键．
5．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】
确定a、b、c计算根的判别式，利用根的判别式直接得出结论；
【详解】
∵ ，
∴ △=1-0=1＞0，
∴ 原方程有两个不相等的实数根；
故选：D．
【点睛】
本题考查了根的判别式、一元二次方程实数根的情况取决于根的判别式△，正确掌握△的值与根的个数的关系是解题的关键．
6．关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．无法确定 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
【答案】B
【分析】
判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程的二次项系数a=1，一次项系数b=2m-2，常数项c=-2m，
∴△=（2m-2）2-4（-2m）=4m2+1＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根；
故选：B．
【点睛】
本题考查了根的判别式，解题的 ( http: / / www.21cnjy.com )关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．
7．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程根的判别式判断即可．
【详解】
解：A.x2+6x+9=0，则△=62-4×9=36-36=0，即该方程有两个相等实数根，故本选项不合题意；
B.，则△=(-2)2-4×3=4-12=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题意；
C.，则△=(-1)2-4×(-2)=1+8=9>0，即该方程有两个不相等实数根，故本选项合题意；
D.，则△=(-４)2-4×3×2=16-24=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题意．
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次 ( http: / / www.21cnjy.com )方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
8．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，求解即可．
【详解】
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】
此题考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的三种情况是解题的关键．
9．若关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值为（ ）
A． 2 B． 1 C．1 D．2
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出a的范围，确定出所求即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴△＝1 8（a 2）≥0，且a 2≠0，
解得：a≤且a≠2，
则整数a的最大值为1．
故选C．
【点睛】
此题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的定义，掌握一元二次方程根与判别式的关系是解本题的关键．
10．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【分析】
根据新定义运算法则以及利用△＞0可判断方程根的情况．
【详解】
解：由题意可知：1☆x=x2-x-1=0，
∴△=1-4×1×（-1）=5＞0，
∴有两个不相等的实数根
故选：A．
【点睛】
本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．
11．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
分别计算判别式△=b2-4ac，再根据计算结果判断根的情况即可找到没有实数根的方程．
【详解】
解：（1）∵a=1，b=-1，c=-2，
∴△=b2-4ac=（-1）2-4×1×（-2）=9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
所以A选项不符合题意．
（2）∵a=1，b=-1，c=1，
∴△=b2-4ac=（-1）2-4×1×1=-3＜0，
∴方程没有实数根．
所以B选项符合题意．
（3）∵a=1，b=-2，c=1，
∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1×1=0，
∴方程有两个相等的实数根；
所以C选项不符合题意．
（4）∵x2=4，
∴可直接得到方程的解为2或-2，
所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 ( http: / / www.21cnjy.com )（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
12．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△=36+36m≥0且m≠0，求出m的取值范围即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程mx2+6x-9=0有两个实数根，
∴△≥0且m≠0，
∴36+36m≥0且m≠0，
∴m≥-1且m≠0，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c= ( http: / / www.21cnjy.com )0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
13．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．
【答案】B
【分析】
根据方程有实数根得到．
【详解】
由题意得：，即，且，
解得且，
故选：B．
【点睛】
此题考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的三种情况是解题的关键．
14．下列关于一元二次方程，说法正确的是（ ）
A．方程配方变形为 B．方程的解为
C．关于的方程有实数根，则 D．方程的解为
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的解法及一元二次方程根的判别式来判断即可
【详解】
解：A.用配方法解方程，
，
，
∴，故A不正确；
B.用因式分解法解方程，
，
，
∴，故B不正确；
C.∵ 关于的方程有实数根，
∴当a=0，时，，方程有实根，
当时， ，解得，
综上所述，若方程有实根时，则，故C正确；
D.解方程，
，
，
，
，故D不正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程及一元二次方程根的判别式，正确理解一元二次方程的解法是解本题的关键，解题时运用了分类讨论思想．
15．下面是文明同学在考试中解答的填空题，其中答对的个数是（ ）
①方程的解是；②已知m为方程的一个根，则的值为2；③若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是；④若关于x的方程的两根的平方和等于6，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
①解方程即可判断；
②根据方程的解求得m的值，代入原式求值即可判断；
③利用根的判别式即可求得k的取值范围；
④利用根与系数的关系即可求得的值即可判断．
【详解】
①，
因式分解得：，
解得：，，故①错误；
②∵m为方程的一个根，
∴，则，
∴，故②正确；
③由题得：当，即时，方程仅有一根，
当时，
∵，，，
∴，
∴，
综上：k的取值范围为且，故③错误；
④∵，，，
∴，
∴，
由根与系数的关系得：，，
∴，
∴，
∴，故④正确，
则正确的有②④，
故选：B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的根，根的判别式以及根与系数的关系．灵活运用所学知识是解答本题的关键．
16．下列说法不正确的是（ ）
A．打开电视剧，电视里播放《小猪佩奇》是偶然事件
B．了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查
C．一元二次方程只有一个根
D．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是，，甲的射击成绩稳定
【答案】C
【分析】
根据必然事件和偶然事件，抽样调查和普查，一元二次方程跟的判别式和方差依次判断即可．
【详解】
解：A. 打开电视剧，电视里播放《小猪佩奇》是偶然事件，正确，不符合题意；
B. 了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查，正确，不符合题意；
C. 一元二次方程中，，有两个相等的实数根，故原说法错误，符合题意；
D. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是，，甲的射击成绩稳定，正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查必然事件和偶然事件，抽样调查和普查，一元二次方程跟的判别式和方差，注意当时，一元二次方程有两个相等的实数根．
17．一元二次方程 2x 1＝0，其解的情况正确的是（ ）
A．有两个相等的实数解 B．有两个不相等的实数解
C．没有实数解 D．不确定
【答案】B
【分析】
利用一元二次方程根的判别式， ( http: / / www.21cnjy.com )得出△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根．确定住a，b，c的值，代入公式判断出△的符号．
【详解】
∵△＝b2 4ac＝（ 2）2 4×（ 1）＝8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的应用在中考中是热点问题，特别注意运算的正确性．
18．已知a，b是一元二次方程的两个根，则的值等于（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】B
【分析】
根据根与系数的关系以及方程的解的定义即可求出答案．
【详解】
解：∵a，b是一元二次方程的两个根，
∴a2-2a=2020，
由根与系数的关系可知：a+b=2，
∴原式=a2-2a+2a+2b-3，
=2020+2（a+b）-3
=2020+2×2-3
=2021，
故选B．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
19．下列方程适合用因式分解法解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
本题可将选项先化简成，看是否可以配成两个相乘的因式，满足则方程适用因式分解．
【详解】
A、，适用公式法，不适合用因式分解法来解题；
B、，即，适用公式法，不适合用因式分解法来解题；
C、，即，则，故适合用因式分解法来解题；
D、，适用公式法，不适合用因式分解法来解题；
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
20．若关于x的方程没有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由关于x的方程mx2-2 ( http: / / www.21cnjy.com )x+1=0没有实数根，而一元一次方程一定有实数根，所以mx2-2x+1=0一定是一元二次方程．根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且△＜0，即（-2）2-4 m 1＜0，两个不等式的公共解即为m的取值范围．
【详解】
解：∵关于x的方程mx2 ( http: / / www.21cnjy.com )-2x+1=0没有实数根，
∴m≠0且△＜0，即（-2）2-4 m 1＜0，
解得m＞1，
∴m的取值范围为m＞1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 ( http: / / www.21cnjy.com )（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＜0，方程有两个相等的实数根；当△=0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．
21．一元二次方程的解为（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】C
【分析】
方程移项后，提取公因式（x+2），可得两个一元一次方程，解两个方程即可得答案．
【详解】
方程移项得：x(x+2)-(x+2)=0，
提取公因式得：(x+2)(x-1)=0，
x+2=0或x 1=0，
解得：x1=1，x2=-2，
故选：C．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：直接开平方法；分解因式法；公式法；配方法，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．21·cn·jy·com
22．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2＋3x＋2＝0 B．﹣x2＋x＋2＝0 C．（x＋1）2＋2＝0 D．3（x﹣1）2﹣2＝0
【答案】C
【分析】
分别用一元二次方程根的判别式逐个判断方程的根的情况即可解答．
【详解】
解：A．x2＋3x＋2＝0中，△＝32﹣4×1×2＝1＞0，有两个不相等实数根；
B．﹣x2＋x＋2＝0中，△＝12﹣4×（﹣1）×2＝9＞0，有两个不相等实数根；
C．（x＋1）2＋2＝0中，△＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，没有实数根；
D．3（x﹣1）2﹣2＝0中，△＝（﹣6）2﹣4×3×1＝24＞0，有两个不相等实数根．
故答案为C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，当 ( http: / / www.21cnjy.com )△＞0时，方程有两个不相等实数根；当△=0时，方程有两个相等实数根；当△小于0时，方程没有实数根．
23．若关于x的一元二次方程x2＋x－3m＋1＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞ B．m＜ C．m≥ D．m≤
【答案】C
【分析】
关于x的一元二次方程有两个实数根，即判别式△= ≥0，即可得到关于m的不等式，从而求得m的范围；
【详解】
∵ 关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴ ≥0，
解得：m≥ ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，正确掌握根与判别式的关系是解题的关键．
24．关于的一元二次方程有实数根，则满足（ ）．
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】
由方程有实数根可知根的判别式b2-4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】
解：由已知得：
，
解得：a≥1且a≠5．
故选：B．
【点睛】
本题考查了根的判别式，解题的关键 ( http: / / www.21cnjy.com )是得出关于a的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．
25．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠ ( http: / / www.21cnjy.com )0）的根的判别式△=b2-4ac的意义得到m-2≠0且△≥0，即（-2）2-4×（m-2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程（m-2）x2 ( http: / / www.21cnjy.com )-2x+1=0有实数根，
∴m-2≠0且△≥0，即（-2）2-4×（m-2）×1≥0，解得m≤3，
∴m的取值范围是 m≤3且m≠2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c ( http: / / www.21cnjy.com )=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
26．x=－2是关于x的一元二次方程2x2+3ax－2a2=0的一个根，则a的值为（ ）
A．1或4 B．－1或－4 C．－1或4 D．1或－4
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的解的定义知，x=－2满足关于x的一元二次方程2x2+3ax－2a2=0，可得出关于a的方程，通过解方程即可求得a的值．
【详解】
解：将x=－2代入一元二次方程2x2+3ax－2a2=0，
得：，
化简得：，
解得：a=1或a=-4．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的所有解都满足该一元二次方程的关系式．
27．实数x满足，则的值为( )
A．3 B．0 C．3或0 D．
【答案】A
【分析】
由，去分母可得：利用分组分解法可得：从而可得：从而可得答案．
【详解】
解：，
经检验：符合题意．
故选：
【点睛】
本题考查的是解分式方程，利用因式分解的方法解高次方程，分式的求值，掌握分组分解法分解因式解方程是解题的关键．
28．方程的解是（ ）
A．， B．， C． D．，
【答案】B
【分析】
先移项、然后再运用因式分解法求解即可．
【详解】
解：
x（x-1）=0
则，．
故答案为B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，掌握运用因式分解法解一元二次方程成为解答本题的关键．
29．若x=0是关于x的一元二次方程（a+2）x2- x+a2+a-6=0的一个根，则a的值是（ ）
A．a ≠2 B．a=2 C．a=-3 D．a=-3或a=2
【答案】B
【分析】
将x=0代入方程中，可得关于a的一元二次方程方程，然后解方程即可，注意a≥2这一隐含条件．
【详解】
解：将x=0代入（a+2）x2- x+a2+a-6=0中，
得： a2+a-6=0，
解得：a1=﹣3，a2=2，
∵a+2≠0且a﹣2≥0，即a≥2，
∴a=2，
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程方程的解、解一元二次方 ( http: / / www.21cnjy.com )程、二次根式有意义的条件，理解方程的解的意义，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键，注意隐含条件a≥0．21*cnjy*com
30．如图，在矩形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )AB=14，BC=7，M、N分别为AB、CD的中点，P、Q均为CD边上的动点（点Q在点P左侧），点G为MN上一点，且PQ=NG=5，则当MP+GQ=13时，满足条件的点P有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【分析】
分三种情况讨论：当在的两侧时，设 则当在的右侧时，设 当都在的左侧时，设 再利用勾股定理与平方差公式求解，从而可得答案．
【详解】
解：如图，当在的两侧时，设 则
( http: / / www.21cnjy.com / )
矩形ABCD，M、N分别为AB、CD的中点，
四边形 四边形都是矩形，
由勾股定理得：
整理得：
如图，当在的右侧时，设
( http: / / www.21cnjy.com / )
同理可得：
解得： 不合题意舍去，
如图，当都在的左侧时，设
( http: / / www.21cnjy.com / )
同理可得：
解得： 不合题意舍去，
综上：满足条件的点只有个，
故选：
【点睛】
本题考查的是矩形的性质与判定，勾股定理的应用，平方差公式的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．【版权所有：21教育】
二、填空题
31．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________．
【答案】k2且k1
【分析】
当时，一元二次方程有实数根，结合二次项系数不为0，列出不等式求解即可．
【详解】
由题意得，
解得且．
故答案为：且．
【点睛】
本题考查根据一元二次方程根的情况求参数取值范围，熟记时，一元二次方程有实数根是解题的关键，注意一元二次方程的二次项系数不等于0．
32．若，且，，则（1）的值为______；（2）的值为_____．
【答案】4 1
【分析】
（1）根据题意，a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根，利用根与系数关系定理求解即可；
（2）变形，得，，化简后，利用（1）的结论计算即可．
【详解】
（1）∵，且，，
∴a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴a+b=4,
故答案为：4；
利用根与系数关系定理求解即可；
（2）∵，，
∴，，
∴=，
∵，且，，
∴a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴a+b=4,ab=1，
∴==1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数关系定理，熟练构造一元二次方程，灵活运用根与系数关系定理是解题的关键．
33．已知关于x的一元二次方程﹣（2k+1）x++1＝0有两个不相等的实数根．若＝3，则k的值为_____．
【答案】1
【分析】
利用判别式的意义得到△＝，然后解不等式即可；
根据根与系数的关系得到2k+1＝3，然后解k的方程即可．
【详解】
解：（1）根据题意得△＝，
解得k＞；
∵一元二次方程﹣（2k+1）x++1＝0有两个不相等的实数根且＝3，
∴=2k+1=3，
解得k＝1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系定理，熟练两个定理，准确将定理数学符号化是解题的关键．21世纪教育网版权所有
34．关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0的根的情况是_____．
【答案】有两个不相等的实数根
【分析】
先计算判别式，再进行配方得到△＝（k﹣1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）
＝k2﹣6k+9﹣4+4k
＝k2﹣2k+5
＝（k﹣1）2+4，
∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
【点睛】
本题考查根的判别式以及配方法，只 ( http: / / www.21cnjy.com )要涉及到一元二次方程根的情况，就要用到根的判别式，将根的判别式先写出来，如果含有参数，则可利用配方法将多项式配成完全平方的形式，再进行分析.
35．若分式的值为零，则的值为_______．
【答案】
【分析】
根据分式的值为零的条件是分子为零而分母不为零，然后进行计算即可．
【详解】
解：∵分式的值为零，
∴且，
解方程得，，；
解不等式得，，
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了分式的值为零的条件和分式没有意义的条件，属于基础知识的考查，比较简单．
三、解答题
36．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使得成立？如果存在，求出m的值：如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）m＜1；（2）m=-1
【分析】
（1）由方程有两个不相等的实数根，那么△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）根据根与系数的关系即可得出x1+x2=-2（m-1），x1 x2=m2-1，由条件可得出关于m的方程，解之即可得出m的值．
【详解】
解：（1）∵方程x2+2（m-1）x+m2-1=0有两个不相等的实数根x1，x2．
∴△=4（m-1）2-4（m2-1）=-8m+8＞0，
∴m<1；
（2）∵原方程的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2=-2（m-1），x1 x2=m2-1．
∵x12+x22=16+x1x2
∴(x1+x2)2＝16+3x1x2，
∴4（m-1）2=16+3（m2-1），
解得：m1=-1，m2=9，
∵m＜1，
∴m2=9舍去，
即m=-1．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题 ( http: / / www.21cnjy.com )的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出根与系数的关系；（2）根据根与系数的关系得出m的值，注意不能忽视判别式应满足的条件．
37．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）x1=2，x2=6；（2）x1=2，x2=
【分析】
（1）用因式分解法求解即可；
（2）移项后用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴(x-2)(x-6)=0，
∴x-2=0，x-6=0，
∴x1=2，x2=6；
（2）∵，
∴，
∴，
∴x-2=0，5x-2=0
∴x1=2，x2=．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
38．解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）x1=1，x2=．（2），．
【分析】
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【详解】
解：（1）∵5x（x-1）=3（x-1），
∴5x（x-1）-3（x-1）=0
∴（x-1）（5x-3）=0，
则x-1=0或5x-3=0，
解得x1=1，x2=．
（1）
∵a=2，b=-7，c=-3，
∴△=（-7）2-4×2×（-3）=73＞0，
则，
即，．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力， ( http: / / www.21cnjy.com )熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
39．若关于的方程有两个实数根，请求出实数的取值范围．
【答案】取值范围为且
【分析】
根据一元二次方程根的判别式计算即可；
【详解】
解：∵关于的方程有两个实数根，
∴且，
∴且．
∴取值范围为且．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键．
40．解方程．
（1）2x2﹣4x﹣3＝0；
（2）（x+1）（x+3）＝15．
【答案】（1）x1＝1+，x2＝1﹣；（2）x1＝2，x2＝﹣6
【分析】
（1）利用公式法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣3，
∴△＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣3）＝40＞0，
则x＝＝，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）整理得：x2+4x﹣12＝0，
∴（x﹣2）（x+6）＝0，
∴x﹣2＝0或x+6＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣6．
【点睛】
本题考查一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的各种解法并能灵活运用是解题关键 ．
41．解方程：
（1）x2-4x-3=0 （2）（x-3）+2x（x-3）=0
（3） （4）
【答案】；（2）；（3）；（4）．
【分析】
（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）提取公因式因式分解，进一步求解可得；
（3）套用求根公式计算可得；
（4）整理为一般式后，利用因式分解法求解可得．
【详解】
解：（1）
∵，
∴ ，即，
则，
∴，
∴；
（2）
∴，
则或 ，
解得：；
（3）
这里，
∴，
则，
∴；
（4）
整理得，，
则 ，
所以 ，
∴．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解 ( http: / / www.21cnjy.com )一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．2-1-c-n-j-y
42．（1）解方程：（2x﹣5）2＝9．
（2）解方程：（x﹣3）2＝2（x﹣3）．
【答案】（1）x1＝4，x2＝1；（2）x1＝3，x2＝5
【分析】
（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：（1）（2x﹣5）2＝9．
开方得：2x﹣5＝±3，
解得：x1＝4，x2＝1；
（2）（x﹣3）2＝2（x﹣3）
移项得：（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0，
x﹣3＝0，x﹣3﹣2＝0，
解得：x1＝3，x2＝5．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有：直接因式分解法，公式法，配方法等．
43．用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）3x（x+2）=5（x+2）
（4）
【答案】（1）；（2），；（3）；（4）
【分析】
（1）利用直接开平方法解一元二次方程，即可求出答案；
（2）利用公式法解一元二次方程，即可得到答案；
（3）先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可得到答案；
（4）先整理方程，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可得到答案．
【详解】
解：（1），
∴，
∴，
∴，
∴，；
（2），
∴，
∴，
∴，
∴，；
（3），
∴，
∴，
∴；
（4），
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握直接开平方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．
44．已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根
【答案】（1）证明见解析；（2）3
【分析】
（1）利用方程的判别式求解即可；
（2）将x=2代入方程求出m=2，得到方程为，求出方程的解，由此得到答案．
【详解】
解：（1）∵，
∴方程恒有两个不相等的实数根；
（2）将x=1代入方程，得，
∴，
解得m=2，
∴方程为，
解得，
∴方程的另一个根3．
【点睛】
此题考查一元二次方程根的判别式，方程的解，解一元二次方程，熟记一元二次方程根的判别式的三种情况、正确解一元二次方程是解题的关键．2·1·c·n·j·y
45．解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)(x＋1)(x＋8)＝－12
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】
（1）利用配方法解方程；
（2）去括号合并同类项，再利用因式分解法解方程；
（3）利用因式分解法解方程；
（4）利用因式分解法解方程．
【详解】
解：（1）
∴
∴；
（2）
∴；
（3）
∴，
∴；
（4）
∴．
【点睛】
此题考查解一元二次方程：配方法及因式分解法，根据方程的特点选择恰当的解法是解题的关键．
46．用适当方法解下列方程
（1）144x2-1=0
（2）（3x-1）2=6．
（3）x2-5x+6=0
（4）
（5）3x（x-1）=2（x-1）
（6）x2-x-1=0
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【分析】
（1）利用直接开平方法解方程；
（2）利用直接开平方法解方程；
（3）利用因式分解法解方程；
（4）利用因式分解法解方程；
（5）利用因式分解法解方程；
（6）利用公式法解方程．
【详解】
解：（1）144x2-1=0
∴；
（2）（3x-1）2=6
∴；
（3）x2-5x+6=0
（x-2）（x-3）=0
∴；
（4）
（x-1）（3x-2）=0
∴；
（5）3x（x-1）=2（x-1）
3x（x-1）-2（x-1）=0
（x-1）（3x-2）=0
∴；
（6）x2-x-1=0
∵a=1，b=-1，c=-1，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
此题考查解一元二次方程，根据每个方程的特点选择恰当的解法是解题的关键．
47．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；；（2），
【分析】
（1）移项，利用平方差公式解一元二次方程即可解答；
（2）直接利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】
解：（1）原方程可化为，
则，
即，
∴；；
（2）∵，
∴△==3＞0，
∴，
∴，．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，根据方程结构特点灵活选择简便解法是解答的关键．
48．解答题：（1）用适当方法解方程：．
（2）计算：
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）根据负整数指数幂，零指数幂和特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】
（1），
，，，
，
．
（2）原式=
．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程和实数的混合运算，掌握公式法，负整数指数幂，零指数幂和特殊角的三角函数值是解题的关键．
49．解答下列各题：
（1）计算
（2）解方程：
【答案】（1）；（2），．
【分析】
（1）先化简各二次根式、计算二次根式的乘法，再合并同类二根式即可求解；
（2）利用因式分解法求解方程即可．
【详解】
解：（1）
（2）将方程变形为：，
，
，．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算、因式分解法解一元 ( http: / / www.21cnjy.com )二次方程，熟练掌握二次根式的混合运算法则和运算顺序，根据方程特点灵活选用解一元二次方程的方法是解答的关键．
50．解下列方程．
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【答案】（1），；（2），；（3），；（4）．
【分析】
（1）用因式分解法解方程即可；
（2）用配方法解方程即可；
（3）用因式分解法解方程即可；
（4）先去分母，再解整式方程检验即可．
【详解】
解：（1），
，
，
或，
，．
（2），
，
，
，．
（
，
，
，，
，．
（4），
两边同乘，，
移动合并得，
解得，
检验：把代入，
∴是原分式方程的解．
【点睛】
本题考查了一元二次方程和分式方程的解法，解题关键是熟练运用恰当的方法解一元二次方程，按照正确的步骤解分式方程，注意：分式方程要检验．
51．阅读理解：
解方程时，我们经常将整体多次出现的部分打包进行换元处理，从而达到了降次、转整等目的，这一“神奇”的方法叫换元法．
例如：解方程
解：设
原方程化为：
∴
∴或 ∴，
当时，即
∴或
，
当时，即
∴或
∴，
∴原方程的解是：，，，
请你利用换元法解方程：
【答案】x=或x=或x=3或x=-3
【分析】
设，然后解关于y的方程；再根据y值解关于x的方程．
【详解】
解：，
设，则原方程化为，
∴，
∴解得：y=-1或y=2，
当y=-1时，即，
解得：x=或；
当y=2时，即，
解得：x=3或-3，
综上：原方程的解为x=或x=或x=3或x=-3．
【点睛】
本题考查了换元法解一元二次方程．换元法就是把一个复杂的不变整体用一个字母代替，这样就把复杂的问题转化为简单的问题．
52．如果关于x的一元二次方程ax2+b ( http: / / www.21cnjy.com )x+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，求c的值；
（2）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值；
（3）若点（p，q）在反比例函数y＝的图象上，请说明关于x的方程px2+3x+q＝0是“倍根方程”；
（4）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，请说明2b2＝9ac．
【答案】（1）c的值为2；（2）0；（3）详见解析；（4）详见解析．
【分析】
（1）设出其中一个根，表示另一个根，根据根与系数的关系，求出方程的两个根，进而求出c的值，
（2）方程有一个根为2，由“倍根方程”的意义 ( http: / / www.21cnjy.com )可知另一个根为1或4，当另一个根为1时代入方程可得m﹣n=0，当另一个根为4代入方程可得4m﹣n=0，而代数式4m2﹣5mn+n2可分解为（m﹣n）（4m﹣n），因此4m2﹣5mn+n2=（m﹣n）（4m﹣n）=0，
（3）点（p，q）在反比例函数y的图象上，可得pq=2，再根据求根公式求出方程的两个根为x1，x2，进而判断是“倍根方程”，
（4）设方程两根为x1，2x1，根据根与系数的关系得到：x1+2x1=，x1 2x1=，化简后可得结论．
【详解】
（1）设一元二次方程x2﹣3x+c=0的一个根为x1，则另一个根为2x1，
由根与系数的关系得：x1+2x1=3，∴x1=1，即一个根为1，而另一个根为2，∴c=1×2=2，
答：c的值为2．
（2）方程（x﹣2）（mx﹣n）=0的一个根为2，则另一个根为1或4，
当另一个根为1时，则﹣1×（m﹣n）=0，∴m﹣n=0，
当另一个根为4时，则2×（4m﹣n）=0，∴4m﹣n=0，∴4m2﹣5mn+n2=（m﹣n）（4m﹣n）=0，
答：代数式4m2﹣5mn+n2的值为0．
（3）∵点（p，q）在反比例函数y的图象上，∴pq=2，
关于x的方程px2+3x+q=0的根为x，
即：x1，x2，∴x1=2x2，
因此是“倍根方程”．
（4）设方程两根为x1，2x1，根据根与系数的关系得到：x1+2x1=，x1 2x1=，∴x1=，，∴，∴2b2=9ac．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及新定义“倍根方程”的意义，掌握一元二次方程根与系数的关系和“倍根方程”的意义是解决问题的关键．
53．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程是“倍根方程”，则＝ ．
（2）若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则，，之间的关系为 ．
（3）若是“倍根方程”，求代数式的值．
【答案】（1）；（2）；（3）0
【分析】
（1）根据“倍根方程”和根与系数之间的关系可直接求解.
（2）根据题目信息和根与系数的关系找出m,n之间的关系，再对代数式求解.
（3）根据倍根方程的定义找出m，n之间的关系，进行分类讨论即可求解.
【详解】
（1）∵一元二次方程是“倍根方程”
∴令2x1=x2，有x1+ x2=3，x1x2=c
∴c=2
（2）设x=m，x=2m是方程的解
∴2m+m=-，2m2=
消去m解得2b2=9ac
所以，，之间的关系为
（3）∵是“倍根方程”
∴方程的两个根分别为x=2和x=，
∴=4或=1，即n=4m或n=m
当n=4m时，原式为（m-n）（4m-n）=0,
当n=m时，原式为（m-n）（4m-n）=0,
∴代数式=0
【点睛】
本题属于阅读题型，需要有一定的理解和运用能力，关键是要理清题目的条件，运用所学知识求解.
54．若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”．
（1）一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为 ；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，则a＝ ；
（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4＝0的两根，求它们的“x牵手点”．
【答案】（1）（1，0），a＝﹣2；（2）“x牵手点”为（，0）或（，0）.
【分析】
（1）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y ( http: / / www.21cnjy.com )=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；
（2）根据“x牵手函数”的 ( http: / / www.21cnjy.com )定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x2-4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种情况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x牵手点”．
【详解】
解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，
所以x＝1，即一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），
由于一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，
所以0＝a+2，
解得a＝﹣2；
（2）∵y＝ax+1与y＝bx﹣1为一对“x牵手函数”
∴，
∴a+b＝0．
∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0的两根
∴a+b＝k＝0，
∴x2﹣4＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣2．
①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1的“x牵手点”为；
②若a＝﹣2，b＝2则y＝﹣2x+1与y＝2x﹣1的“x牵手点”为（，0 ）
∴综上所述，“x牵手点”为或（，0）
【点睛】
本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．
55．阅读理解：
解方程：．
解：方程左边分解因式，得
，
解得，，．
问题解决：
（1）解方程：．
（2）解方程：．
（3）方程的解为 ．
【答案】（1），，；（2），，，；（3），．
【分析】
（1）先分解因式，即可得出一元一次方程和一元二次方程，求出方程的解即可；
（2）先分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可；
（3）整理后分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：（1），
∴，
∴，，
解得：，，；
（2），
∴，
∴，，
解得：，，，；
（3），
整理得：，
开方得：，
∴，，
解方程得：，；
方程中，此方程无解，
所以原方程的解为：，，
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了解高次方程，解一元二次方程，根的判别式等知识点，能把高次方向转化成低次方程是解此题的关键．
56．（换元思想）阅读材料：
材料1 若一元二次方程的两根为、，则，.
材料2 已知实数、满足，，且，求的值.
解：由题知、是方程的两个不相等的实数根，根据材料1，得，.
∴.
根据上述材料解决下面的问题：
（1）一元二次方程的两根为，，则，___________；
（2）已知实数，满足，，且，求的值；
（3）已知实数，满足，，且，求的值.
【答案】(1)-3;(2) ;(3)13.
【分析】
（1）直接运用根与系数的关系可求得答案；
（2）利用，满足，，，可看作方程的两实数根．∴，．然后用整体代入法的思想求解；
（3）设，代入化简为，则与（即）为方程的两实数根，然后用整体代入法的思想求解.
【详解】
解：（1）；
（2）∵，满足，，
∴，可看作方程的两实数根．∴，．
∴．
（3）设，代入化简为，
则与（即）为方程的两实数根，
∴，，
∴．
【点睛】
熟练掌握根与系数的关系并灵活应用是解题的关键.
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