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21.3 实际问题与一元一次方程
【基础训练】
一、单选题
1．随着互联网技术的发展，我国快递业务量 ( http: / / www.21cnjy.com )逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，业务量由507亿件增加到833.6亿件，2020年快递业务量为833.6亿件，逐年分析即可列出方程．
【详解】
设从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x，
2018年我国快递业务量为：507亿件，
2019年我国快递业务量为：=亿件，
2020年我国快递业务量为：+，
根据题意，得：
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．
2．某药品原价每盒25元，两次降价后，每盒降为16元，则平均每次降价的百分率是（ ）
A．10% B．20% C．25% D．40%
【答案】B
【分析】
设该药品平均每次降价的百分率为x，
【详解】
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，
故25（1﹣x）2=16，
解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去），
故该药品平均每次降价的百分率为20%．
故选：B．
3．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
【答案】D
【分析】
设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛110场，可列出方程．
【详解】
解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝110．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，找准等量关系列一元二次方程是解题的关键．
4．有位同学调查发现，2017年某月 ( http: / / www.21cnjy.com )麦积区城区的房价均价为7500/m2，2019年同期将达到8500/m2，假设这两年麦积区房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据设这两年兰州市房价的平均 ( http: / / www.21cnjy.com )增长率为x，2017年某月麦积区城区的房价均价为7500/m2，2019年同期将达到8500/m2，则根据一元二次方程增长率的问题直接列出方程即可．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：设这两年麦积区房价的平均增长率为x．
2017年某月麦积区城区的房价均价为7500/m2，2019年同期将达到8500/m2
．
故选C．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是根据题意结合一元二次方程的增长率问题列出方程即可．
5．为了迎接春节，某厂10月份生产春联万幅，计划在12月份生产春联万幅，设11、12月份平均每月增长率为根据题意，可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据“当月的生产量上月的生产量（1增长率）”即可得．
【详解】
由题意得：11月份的生产量为万幅
12月份的生产量为万幅
则
故选：C．
【点睛】
本题考查了列一元二次方程，读懂题意，正确求出12月份的生产量是解题关键．
6．如今网上购物已经成为一种时尚，某网店“双十一”全天交易额逐年增长，2015年交易额为40万元，2017年交易额为48.4万元，设2015年至2017年“双十一”交易额的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由2015年至2017年“双十一”交易额的年 ( http: / / www.21cnjy.com )平均增长率为x，根据2015年及2017年该网店“双十一”全天交易额，即可得出关于x的一元二次方程，从而得出结论．
【详解】
解：由2015年至2017年“双十一”交易额的年平均增长率为x，
根据题意得：．
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列一元二次方程是解题的关键．
7．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．
【详解】
解：如图，设小道的宽为，
则种植部分的长为，宽为
由题意得：．
故选C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键．
8．某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三 ( http: / / www.21cnjy.com )保障”的住房保障工作，去年已投入5亿元资金，并计划投入资金逐年增长，明年将投入7.2亿元资金用于保障性住房建设，则这两年投入资金的年平均增长率为（ ）
A．5% B．10% C．15% D．20%
【答案】D
【分析】
一般用增长后的量=增长前的量×（ ( http: / / www.21cnjy.com )1+增长率），今年年要投入资金是3（1+x）万元，在今年的基础上再增长x，就是明年的资金投入5（1+x）（1+x），由此可列出方程5（1+x）2=7.2，求解即可．
【详解】
解：设这两年中投入资金的平 ( http: / / www.21cnjy.com )均年增长率是x，由题意得：
5（1+x）2=7.2，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意舍去）．
答：这两年中投入资金的平均年增长率约是20%．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．
9．某校九年级毕业时，每一个同学都将自 ( http: / / www.21cnjy.com )己的相片向全班其他同学各送一张表示留念．全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意列出方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝2550 B．x（x+1）＝2550 C．2x（x+1）＝2550 D．＝2550
【答案】A
【分析】
设全班有x名同学，则每人送出（x﹣1）张相片，共送出x（x﹣1）张相片，进而可列出方程．
【详解】
解：设全班有x名学生，则每人送出（x﹣1）张相片，
根据题意得x（x﹣1）＝2550，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用问题，熟知“互送东西”的等量关系式，是解题的关键．
10．某果园2018年砂糖橘产量为80吨，2020年要达到100吨，设砂糖橘产量的年平均增长率为x，则依据题意所列方程为（ ）
A．80(1＋x)2＝100 B．80(1＋x)3＝100
C．80(1＋2x)＝100 D．100(1－x)2＝80
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程的实际应用的平均增长率的公式列式即可．
【详解】
由题知：80(1＋x)2＝100
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用问题的平均增长率问题，熟知其应用是解题的关键．
11．如图，把一块长为40cm，宽为30 ( http: / / www.21cnjy.com )cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600 B．（30﹣x）（40﹣x）＝600
C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600 D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600
【答案】D
【分析】
设剪去小正方形的边长是xcm ( http: / / www.21cnjy.com )，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，
根据题意得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
12．某服装店一月份营业额为万元，一季度的营业额共万元，若平均每月营业额的增长率为，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（ ( http: / / www.21cnjy.com )1+增长率），由此可以求出第二个月和第三个月的营业额，而第一季度的总营业额已经知道，所以可以列出方程．
【详解】
解：设平均每月营业额的增长率为x，
则第二个月的营业额为：，
第三个月的营业额为：
则由题意列方程为：
故选D．
【点睛】
本题主要考查增长率问题，然后根据增长率和已知条件抽象出一元二次方程．
13．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x） =182 B．50+50（1+x）+50（1+x） =182
C．50(1+2x)=182 D．50+50(1+x)+550（1+x） =182
【答案】B
【分析】
先根据平均每月的增长率求出该厂五．六月份生产的零件数量，再根据“第二季度共生产零件182万个”列出方程即可．
【详解】
由题意得：该厂五、六月份生产的零件数量分别为万个、万个
则
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意，正确求出该厂五、六月份生产的零件数量是解题关键．
14．某学校开展植树活动，连续三年植树共棵．已知第一年植树棵，若该校第二年植树和第三年植树的平均增长率均为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
第一年植树棵，则第二年植树棵，第三年植树棵，从而可得答案．
【详解】
解：由第一年植树棵，则第二年植树棵，第三年植树棵，
，
故选D．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，掌握列一元二次方程解决实际问题是解题的关键．
15．某市2018年平均房价为每 ( http: / / www.21cnjy.com )平方米5000元．连续两年增长后，2020年平均房价达到每平方米6500元，设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．6500（1+x）2=5000 B．6500（1﹣x）2=5000
C．5000（1﹣x）2=6500 D．5000（1+x）2=6500
【答案】D
【分析】
首先根据题意可得2019年的房价=2 ( http: / / www.21cnjy.com )018年的房价×（1+增长率），2020年的房价=2019年的房价×（1+增长率），由此可得方程5000（1+x）2=6500．
【详解】
解：设这两年平均房价年平均增长率为x，
根据题意得：5000（1+x）2=6500．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：若变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为
16．今年元旦期间，某种女服装连续两次降价处理，由每件200元调至72元，设平均每次的降价百分率为，则得方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
设调价百分率为x，根据售价从原来每件200元经两次调价后调至每件72元，可列方程．
【详解】
解：设调价百分率为x，
则：
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，关键设出两次降价的百分率，根据调价前后的价格列方程求解．
17．城市书房是扬州市从 ( http: / / www.21cnjy.com )2015起打造的新生事物，至2019年底已建成36家城市书房．据调查：目前平均每月有10万人次走进城市书房阅读，扬州市民的综合阅读率位列全省第三．已知2017年底扬州城区共有18家城市书房，若2018、2019这两年城市书房数量平均每年增长的百分率相同，设平均每年增长的百分率为x，则根据题意列出方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据增长率公式即可得出答案．
【详解】
解：根据题意可得，18(1+x)2=36，
故答案选择B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程——增长率问题在实际生活中的应用，难度不大，认真审题理清题目意思是解决本题的关键．
18．用长为4米的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为25平方米，若设它的一边长为米，根据题意列出关于的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据周长求出矩形窗框的另一边长，再根据矩形的面积公式即可得．
【详解】
由题意得：矩形窗框的另一边长为
由矩形的面积公式得：
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意，正确求出矩形窗框的另一边长是解题关键．
19．商场购进一批衬衣，进 ( http: / / www.21cnjy.com )货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（ ）
A．50元 B．60元 C．70元 D．50元或70元
【答案】A
【分析】
根据等量关系：（40-30+涨价的价格）×（原来卖出的数量-10×涨价的价格）=8000，把相关数值代入求合适的解即可．
【详解】
）解：设售价定为元时，每天赚取利润8000元，
由已知得：，
整理得：，
解得：或
∵尽量减少库存，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，能理解题意，正确列出方程是解题的关键．
20．某工厂为了降低生产成本进行技术革新，已知2019年的生产成本为万元，以后每年的生产成本的平均降低率为，则预计2021年的生产成本为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据每年的生产成本的平均降低率为，可得2020年、2021年的生产成本．
【详解】
解：每年的生产成本的平均降低率为x，
∴2020年的生产成本为a（1-x）
2021年生产成本为a（1-x）（1-x）=a（1-x）2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了列代数式，解题的关键是找准数量关系，正确列出代数式．
21．2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（ ）21·世纪*教育网
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，根据两轮传播后，共有931人参与列出方程即可.
【详解】
由题意，设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，
根据两轮传播后，共有931人参与列出方程，
得n2+n+1=931，
故选： C.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为931人建立方程是关键．
22．2020年12月17日凌晨，探月工程嫦娥五号返回器在内蒙古四子王旗预定区域成功着陆，标志着中国首次月球采样返回任务圆满成功！为庆祝这一历史性事件，某社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边，已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的，若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
设白边的宽为x米，则整幅宣传版面 ( http: / / www.21cnjy.com )的长为（2＋2x）米、宽为（1＋2x）米，根据矩形的面积公式结合图案面积占整幅宣传版面面积的90%，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：设白边的宽为x米，则整幅宣传版面的长为（2＋2x）米、宽为（1＋2x）米，
根据题意得：，
故选：B．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．国家实施“精准扶贫”政策以来，贫困地区逐渐走向了致富的道路．某地区年底有贫困人口万人，通过社会各界的努力，年底贫困人口减少至万人．设年底至年底该地区贫困人口的年平均下降率为，根据题意所列方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设年平均下降率为，根据题中2年时间贫困人口从7万人减少至1万人列出方程即可．
【详解】
设年底至年底该地区贫困人口的年平均下降率为，根据题意得
，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查列一元二次方程，读懂题意是关键．
24．新型冠状病毒 (COVID-19)是一种传染性极高的病毒，它可以通过飞沫、接触，甚至是有病毒株的污染源传播．在M市人群密集区因缺乏必要的预防措施，某新冠肺炎零号病人一天能传染人，如果统计得到在两天共有225人因此患病，求平均每天一人传染了人．列出方程因为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
平均一人传染了x人，则第一天共有（x+1）人患病，第二天共有[x+1+（x+1）x]人，即225人患病，据此列方程即可．
【详解】
解：平均一人传染了x人，则第一天共有（x+1）人患病，第二天共有[x+1+（x+1）x]人，
由题意得：x+1+（x+1）x=225，
整理得：，
故选：A．
【点睛】
本题考查实际问题与一元二次方程，解题的关键是弄清题意正确列出方程．
25．某品牌电视机今年三月份的单价为6000元，四、五月每月的平均增长率是，则五月份的单价为（ ）
A．6600元 B．7200元 C．7260元 D．4860元
【答案】C
【分析】
首先用三月份的价格乘以（1+10%）求得四月份的电视价格，然后同样的方法求得五月份的电视价格即可．
【详解】
解：根据题意得：四月份的电视机的价格为：6000（1+10%）＝6600元，
五月份的电视机的价格为：6600（1+10%）＝7260元．
故选：C．
【点睛】
本题考查了增长率问题，解题的关键是知道如何用三月份的电视价格和平均增长率求得电视机五月份的价格．
26．某小区9月底的房价为3.2万元/，同年11月底的房价为3万元/．设平均每月降价的百分率为x，可列方程．（ ）www.21-cn-jy.com
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据：原售价×（1降价的百分率）2=降低后的售价，然后即可列出方程．
【详解】
解：设平均每月降价的百分率为x，依题意得：
3.2（1x）2=3，
故选：B．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求 ( http: / / www.21cnjy.com )平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
27．某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成 ( http: / / www.21cnjy.com )本为12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到1680元，设每份盒饭涨价x元，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据总利润=每盒的利润×销售 ( http: / / www.21cnjy.com )量，而每盒的利润=售价-进价，再结合“每份盒饭的成本为12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份”即可得出答案．
【详解】
解：每份盒饭涨价x元后，利润为(16+x-12)元，
销售量为(360-40x)盒，
∴可得方程为，
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用．正确理解题意，根据题意找到等量关系是解题的关键．
28．为防止疫情扩散，佩戴口罩成 ( http: / / www.21cnjy.com )为疫情期间有效防范措施之一，某工厂为了能给市场提供充足的口罩，第一个月至第三个月生产口罩由67500袋增加到90000袋，设该工厂第一个月至第三个月生产口罩平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A．67500（1+2x）=90000 B．67500(1+x) =90000
C．67500+67500（1+x）+67500（1+x）2=90000 D．67500×2(1+x)=90000
【答案】B
【分析】
根据该工厂第一个月及第三个月生产口罩的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：依题意得67500（1＋x）2＝90000，
故选：B．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
29．某小区2019年屋顶绿化面积为200 ( http: / / www.21cnjy.com )0平方米，计划2021年屋顶绿化面积要达到2880平方米．若设屋顶绿化面积的年平均增长率为ⅹ，则依题意所列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
设每年屋顶绿化面积的增长率为x，根据该小区2019年及2021年屋顶绿化面积，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】
解：设每年屋顶绿化面积的增长率为x，
依题意，得：2000（1+x）2=2880．
故选：C．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
30．某年爆发世界金融危机，某商品原价为200元，连续两次降价％后，售价为148元，则下面所列方程正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
本题可先用a表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，然后根据已知条件得到关于a的方程．
【详解】
当商品第一次降价a%时，其售价为200-200a%=200（1-a%），
当商品第二次降价a%后，其售价为200（1-a%）-200（1-a%）a%=200(1-a%)2，
所以200（1-a%）2=148．
故答案为B．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于148即可．
二、填空题
31．江老师建立的一个家长QQ群 ( http: / / www.21cnjy.com )里有若干个成员，元旦期间，每个成员都分别给群里的其他成员发送一条祝福消息，这样共有2450条消息，则这个QQ群里有_________个成员．
【答案】50
【分析】
设有x个成员，每人发（x-1）条消息，根据共有2450条消息，列出方程，再解方程即可．
【详解】
解：设有x个成员，
依题意得：x（x-1）=2450，
整理，得x2-x-2450=0，
（x-50）（x+49）=0，
解得：x1=50，x2=-49（舍去），
则QQ群里共有50个成员，
故答案为：50．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，依据题意，正确建立方程是解题关键．
32．现准备开展教职工排球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），若安排21场比赛，设x个球队参赛，根据题意，可列方程为___
【答案】x（x-1）=21
【分析】
根据题目中的比赛规则，可得 x个球队比赛总场数＝x（x-1），即可列出方程．
【详解】
解：设有x个球队参赛，每个队都要赛（x 1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x-1）=21．
故答案为：x（x-1）=21．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．
33．一个QQ群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息1980条，则可列方程为_______．21·cn·jy·com
【答案】x（x-1）=1980
【分析】
每个好友都有一次发给QQ群其 ( http: / / www.21cnjy.com )他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；设有x个好友，每人发x-1条消息，则发消息共有x（x-1）条．
【详解】
解：设有x个好友，依题意，
x（x-1）=1980，
故答案为：x（x-1）=1980．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，类似于几名同学互赠明信片，每两名同学之间会产生两张明信片．
34．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀参加比赛的球队有个，则可以列方程为___________（化为一般形式）．
【答案】
【分析】
设邀请个队参加比赛，则每个队比赛场，可得方程： 从而可得答案．
【详解】
解：设邀请个队参加比赛，则每个队比赛场，
所以：
整理得：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，掌握利用一元二次方程解决比赛场次问题是解题的关键．
35．由于新能源汽车越来越多，为了解决充电难的问题，现对一面积为的矩形停车场进行改造．将该矩形停车场的长减少20m，减少的这部分区域用于修建电动汽车充电桩，原停车场的剩余部分就变成了正方形，则原停车场的长是________．
【答案】120m
【分析】
设原停车场长为xm，由题意知该矩形停车场的长比宽多20m，面积为，据此列方程问题可解．
【详解】
解：设原矩形停车场的长为xm，则宽为(x-20)m，由题意得
解得，（舍去）
则原停车场的长是120m．
故答案为：120m．
【点睛】
此题考查一元二次方程解决实际问题．其关键是理解题意，找出长比宽多20m这一等量关系，再据长方形面积公式列出方程．
三、解答题
36．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，其中一边留一道宽的门．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）设图中（与墙垂直的边）的长为，请用含的式子表示的长并直接写出的取值范围；
（2）若整个菜园的总面积为，求的长．
【答案】（1）米，；（2）6米
【分析】
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由（1）及题意易得，然后进行求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得：
米，，
（2）由题意知：
整理得：
∵
∴
∴
答：的长是6米．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
37．如图，某教室矩形地面的长为，宽为，现准备在地面正中间铺设一块面积为的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求地毯长和宽分别是多少米？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】长为6米，宽为4米．
【分析】
利用一元二次方程先求出四周未铺地毯区域的宽度即可．
【详解】
设四周未铺地毯区域的宽度为m，
依题意，得：（8-2x)(6-2x)=24，
解得：x1=1，x2=6（舍去）；
地毯的长为8-2=6m，宽为6-2=4m．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键．
38．在长方形钢片剪去一个小长方形，制成一个四周宽相等的长方形框（如图），已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm，要使制成的长方形框的面积为．求这个长方形框的框边宽．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】这个长方形框的框边宽为5cm
【分析】
由题意，可设框宽为xcm，长方形框的面积=钢片的面积－空白的面积．据相等关系，列方程求解即可．
【详解】
解：设这个长方形的框边宽为xcm，由题意得：
整理可得：
解得：或
又∵2x=，所以x=20舍去，即方程只有一个根
∴这个长方形框的框边宽为5cm
【点睛】
本题考查一元二次方程的面积问题，找到题目的相等关系，再设、列、解、答．注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
39．“早黑宝”葡萄品种是我省农 ( http: / / www.21cnjy.com )科院研制的优质新品种在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“早黑宝”的种植面积达到196亩
（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；
（2）市场查发现，当“早黑宝”的售价为 ( http: / / www.21cnjy.com )20元千克时，每天售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广直传，基地决定降价促销，同时减存已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”天获利1750元，则售价应降低多少元？
【答案】（1）40%（2）3元
【分析】
（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据题意得关于x的一元二次方程，解方程，然后根据问题的实际意义作出取舍即可；
（2）设售价应降低y元，根据每千克的利润乘以销售量，等于1750，列方程并求解，再结合问题的实际意义作出取舍即可．
【详解】
（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据题意得
100（1＋x）2＝196
解得x1＝0.4＝40%，x2＝ 2.4（不合题意，舍去）
答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%．
（2）设售价应降低y元，则每天可售出（200＋50y）千克
根据题意，得（20 12 y）（200＋50y）＝1750
整理得，y2 4y＋3＝0，
解得y1＝1，y2＝3
∵要减少库存
∴y1＝1不合题意，舍去，
∴y＝3
答：售价应降低3元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程在增长率问题和销售问题中的应用，根据题目正确列出方程，是解题的关键．
40．已知甲种苹果每箱价格比乙种苹果每箱价格贵10元，每天平均销售甲种苹果70箱，乙种苹果60箱，销售总额为5900元．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求甲、乙两种苹果每箱的价格；
（2）在销售中发现，每箱苹果价格每下调1元，这两种苹果每天均可多销售5箱，为了促销，村里决定把两种苹果单价都下调元，在不考虑其他因素的情况下，求为多少时，每天的销售额为7460元．
【答案】（1）甲、乙两种苹果每箱的价格分别为50元、40元；（2）为6时，每天的销售额为7460元
【分析】
（1）设甲种苹果每箱的价格为元，乙种苹果每箱的价格为元，由题意列出方程组，解方程组即可；
（2）由题意列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）设甲种苹果每箱的价格为元，乙种苹果每箱的价格为元
根据题意，得
解方程组，得
答：甲、乙两种苹果每箱的价格分别为50元、40元．
（2）根据题意，得．
整理，得．
解，得，．
∵，∴．
答：为6时，每天的销售额为7460元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用、二元一次方程组的应用；熟练掌握一元二次方程和二元一次方程组的解法，根据题意列出方程和方程组是解题的关键．
41．“绿水青山就是金山银山”，为加快城 ( http: / / www.21cnjy.com )乡绿化建设，某市2018年绿化面积约1000万平方米，预计2020年绿化面积约为1210万平方米．假设每年绿化面积的平均增长率相同．
（1）求每年绿化面积的平均增长率；
（2）若2021年的绿化面积继续保持相同的增长率，那么2021年的绿化面积是多少？
【答案】（1）10%；（2）1331万平方米．
【分析】
（1）先设每年小区绿化面积的增长率为x，根据2018年的绿化面积×（1+增长率）2＝2020年的绿化面积，列出方程求解即可；
（2）根据（1）得出的增长率列出算式，进行计算即可．
【详解】
解：（1）设每年绿化面积的平均增长率为x．可列方程：
1000（1+x）2＝1210．
解方程，得x1＝0.1 x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
所以每年绿化面积的平均增长率为10%．
（2）1210×（1+10%）＝1331（万平方米）．
答：2021年的绿化面积是1331万平方米．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，增长率问题，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
42．如图所示，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点Q从点开始沿着边向点以的速度移动．
（1）如果分别从同时出发，那么几秒后，的面积等于？
（2）小明在解答上述问题时，求得？请你判断一下，他做得对吗？并说明理由 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）1s；（2）不对，理由见解析
【分析】
（1）设经t秒钟，PB=（5-t）cm，BQ=2tcm，利用△PQB的面积等于4cm2列方程解答即可．
（2）设t秒后，的面积等于8cm2，利用△PQB的面积等于8cm2列出方程，再根据判别式得出方程根的情况即可得出结论
【详解】
解：（1）设t秒后，的面积等于
t1=1，t2=4(不合题意，舍去）
答：1秒后，的面积等于
（2）不对
设t秒后，的面积等于8cm2
整理得：t2-5t+8=0
∵ b2-4ac=25-32=-7<0
∴此方程无解
∴ 的面积不能等于8cm2
【点睛】
此题主要考查了利用三角形的面积解决一元二次方程的应用问题．利用判别式判断方程根的情况是解题的关键
43．有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有121人患了新冠肺炎．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）若不采取措施，按原速继续传染，再经过几轮传染，患者将超过1万人？
【答案】（1）10人；（2）两轮
【分析】
（1）设每轮一人传染了x人，根 ( http: / / www.21cnjy.com )据题意可得：第一轮患病的人数为1+x；第一轮患病人数将成为第二轮的传染源，第二轮患病的人数为第一轮患病的人数×传播的人数，等量关系为：第一轮患病的人数+第二轮患病的人数=121；
（2）根据平均一个人传染人数，继续进行计算即可得到结果．
【详解】
解：（1）设每轮平均一人传染人
解得，
∴每轮平均一人传染人
（2）再经过一轮时，，
经过两轮时，
∴再经过两轮患者超过1万人
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的应用，得到两轮患病人数的等量关系是解决本题的关键．
44．网购已经成为了一种新的购 ( http: / / www.21cnjy.com )物方式，越来越多的人熟悉和喜欢网购．某网站一店铺购进一批甲、乙两款羊毛衫共140件，其中每件甲款羊毛衫的进价为300元，每件乙款羊毛衫的进价为320元，共花费了43200元，两款羊毛衫深受顾客的喜爱，很快全部售完，共获利12400元．
（1）求购进甲、乙两款羊毛衫各多少件？
（2）在“双十一”购物狂欢节到来之际，该店铺又以同样的进价购进第二批甲、乙两款羊毛衫，并进行促销活动．在活动期间，每件甲款羊毛衫在进价的基础上提高销售，每件乙款羊毛衫在进价的基础上增加元销售，结果在促销活动中，甲款羊毛衫的销售量比第一批甲款羊毛杉的销售量上升了，乙款羊毛衫的销售量比第一批乙款羊毛衫的销售量下阵了，结果本次促销活动比第一批多获利2900元，求a的值．
【答案】（1）进甲款羊毛衫80件，乙款羊毛衫60件；（2）30．
【分析】
（1）设购进甲款羊毛衫件，乙款羊毛衫件，根据共花费了43200元，列一元一次方程，解方程即可；
（2）根据题意，分别解出第二批甲款羊毛衫的单件利润，销售量，第二批甲款羊毛衫的单件利润，销售量，进而解得第二批的总利润，再根据结果本次促销活动比第一批多获利2900元，列方程，解方程即可．
【详解】
（1）设购进甲款羊毛衫件，乙款羊毛衫件，根据题意可得：
乙款羊毛衫：（件）
答：购进甲款羊毛衫80件，乙款羊毛衫60件.
（2）依题意，第二批甲款羊毛衫每件利润为：（元）
第二批甲款羊毛衫销售量为：（件）
第二批乙款羊毛衫每件利润为：（元）
第二批乙款羊毛衫销售量为：
+=2900+12400
解得
（舍去）
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，销售问题，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
45．从上饶到杭州的火车原来的平均速度是180千米/时，经过两次提速后平均速度为217.8千米/时，这两次提速的百分率相同．
（1）求该火车每次提速的百分率；
（2）填空：若上饶到杭州的铁路长396千米，则第一次提速后从上饶到杭州所用的时间比提速前少了_______小时．
【答案】（1）该火车每次提速的百分率为10%；（2）0.2
【分析】
（1）设该火车每次提速的百分率为x，根据提速前的速度及经两次提速后的速度，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用第一次提速后的速度＝提速前的速度× ( http: / / www.21cnjy.com )（1＋提速的百分率）可求出第一次提速后的速度，再利用少用的时间＝两地间铁路长÷提速前的速度 两地间铁路长÷第一次提速后的速度，即可求出结论．
【详解】
（1）设该火车每次提速的百分率为x，
根据题意，得：，解得：（舍去），
答：该火车每次提速的百分率为10%；
（2）第一次提速后的速度为（千米/时）
∴（小时），
故答案为：0.2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
46．成都放开地摊经济后，一夜增加近10万 ( http: / / www.21cnjy.com )就业．摊贩小王响应政府号召，摆地摊经销甲、乙两种商品．已知一件甲商品和一件乙商品进价之和为30元．每件甲商品的利润为4元，每件乙商品的售价比其进价的2倍少11元，顾客小张在该商店购买8件甲和6件乙共用262元．
（1）求甲、乙两种商品的进价各是多少元？
（2）小王统计发现平均每 ( http: / / www.21cnjy.com )天可售出甲40件和乙30件，如果将甲商品的售价每提高1元，则每天会少售出8件．于是小王决定将甲种商品的价格提高a元，乙种商品价格不变，不考虑其他因素，预期每天利润能达到234元，求a的值．
【答案】（1）16元；14元；（2）a=2
【分析】
（1）设甲种商品的进价是x元，乙种商品的 ( http: / / www.21cnjy.com )进价是y元，则甲种商品的售价为（x＋4）元，乙种商品的售价为（2y 11）元，根据“一件甲商品和一件乙商品进价之和为30元，小张在该商店购买8件甲和6件乙共用262元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：（1）设甲种商品的进价是x元，乙种商品的进价是y元，则甲种商品的售价为（x＋4）元，乙种商品的售价为（2y 11）元，
依题意，得：
解得：
答：甲种商品的进价是16元，乙种商品的进价是14元．
（2）根据题意，得：（4＋a）（40 8a）＋（2×14 11 14）×30＝234，
整理，得：a2 a 2＝0，
解得：a1＝2，a2＝ 1（不合题意，舍去）．
答：a的值为2．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程（组）．
47．万州物产丰富，新田水柿子香甜多汁回味无穷，深秋时节正是品尝新田水柿子的最佳时机．某水果摊 贩看准商机，购进并销售新田水柿子和外地柿饼，11 月中旬，新田水柿子和外地柿饼的销售单价分别为元 /千克、元/千克，水柿子比柿饼多售出千克，两种柿子的销售总金额为元．
（1）11月中旬新田水柿子和外地柿饼各销售了多少千克？
（2）11月下旬新田水柿子开始过季其他水果开始上市，该水果摊贩准备将外地柿饼的销售单价在11中旬 的基础上下调，新田水柿子的单价在 11 月中旬的基础上上调 ，价格的变动导致销售量的变化， 其中，预计外地柿饼的销售量将在 11 中旬的基础上上涨，新田水柿子的销售量在 11 月中旬的基础上减少，最终预计 11 月下旬水果摊两种柿子的销售总金额将与中旬持平，求的值．
【答案】（1）新田水柿子销售了千克，外地柿饼销售了千克；（2）的值为
【分析】
（1）设新田水柿子销售了千克，外地柿饼销售了千克，根据“水柿子比柿饼多售出千克”、“两种柿子的销售总金额为元”列出等量关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据销售总金额＝单价×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
设新田水柿子销售了千克，外地柿饼销售了千克，由题意得：
解得
答：新田水柿子销售了千克，外地柿饼销售了千克
由题意得
令，则原方程整理得
解得：（舍去）
答：的值为
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程（组）．
48．某保健柜加工销售芝麻核桃 ( http: / / www.21cnjy.com )粉，平均每天可销售20千克芝麻核桃粉，每千克赢利18元，双十一临近，为了抓住商机，增加赢利，尽快减少库存，该专柜决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每千克降价1元，专柜平均每天可多售出5千克，求该专柜平均每天赢利600元，且让顾客得到实惠，每千克芝麻核桃粉应降价多少元
【答案】每千克芝麻核桃粉应降价8元．
【分析】
设每千克芝麻核桃粉应降价x元，销售数量为（20＋5x）千克，利润为（18 x）元，从而可得方程，解出即可．
【详解】
解：设每千克芝麻核桃粉应降价x元，
根据题意，得（18 x）（20＋5x）＝600，
解得：x1＝6，x2＝8，
∵要尽快减少库存，
∴x＝8，
答：每千克芝麻核桃粉应降价8元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是正确表示出降价后的销量和利润，将实际问题转化为方程问题求解．
49．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程的两个根，且OA＞OB．
（1）求OA、OB的长．
（2）若点E为x轴的正半轴上的点，且S△AOE＝，求经过D、E两点的直线解析式．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）OA=4，OB=3；（2）
【分析】
（1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后结合题意即可求出结论；
（2）先求出点D的坐标，然后根据三角形的面积公式即可求出OE的长，从而求出点E的坐标，最后利用待定系数法即可求出结论．
【详解】
解：（1）
解得：
∵若OA、OB的长是关于x的一元二次方程的两个根，且OA＞OB
∴OA=4，OB=3；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠OAD=180°－∠AOC=90°
∴AD⊥y轴
∵OA=4，AD＝6，点D在第一象限
∴点D的坐标为（6，4）
如图所示
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵S△AOE＝
∴OE·OA=
解得OE=
∴点E的坐标为（，0）
设直线DE的解析式为y=kx＋b
将点D、E的坐标代入，得
解得：
∴直线DE的解析式为．
【点睛】
此题考查的是解一元二次方程、平行 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形的性质和求一次函数解析式，掌握利用因式分解法解一元二次方程、平行四边形的性质和利用待定系数法求一次函数解析式是解题关键．21教育网
50．如图，有一块长方形 ( http: / / www.21cnjy.com )铁皮，长40 cm，宽30 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】5
【分析】
由题意得底面积的长＝原来的长 2×切去的正方形的边长，宽＝原来的宽 2×切去的正方形的边长，根据长×宽＝600列方程求得合适的解即可．
【详解】
解：设切去的小正方形的边长为x cm.依题意，得
(40－2x)(30－2x)＝600.
解得x1＝5，x2＝30.
当x＝30时，30－2x＜0，
∴x＝30不合题意，应舍去，
∴x＝5
答：铁皮各角应切去边长为5 cm的正方形．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用；得到无盖方盒的底面积的边长是解决本题的突破点．
51．果农张远原计划以每千克4元的单 ( http: / / www.21cnjy.com )价销售某种水果，由于部分果农盲目扩大种植，造成该水果代销，张远为了加快销售，减少损失，经过两次下调价格后，以每千克2.56元的单价销售．
（1）求平均每次下调价格的百分率；
（2）若张远第一次下调价格后卖出3吨该水果，第二次下调价格后又卖出2吨该水果，张远共获得销售款多少元？
【答案】（1）平均每次下调价格的百分率是20%；（2）张远共获得销售款14720元
【分析】
（1）设出平均每次下调价格的百分率，根据从4元下调到2.56元，列出一元二次方程求解即可；
（2）分别得到第一次下调后价格和第二次下调后价格，再分别得到它们的总价，相加即可求解．
【详解】
解：（1）设平均每次下调价格的百分率是x由题意，得
4（1﹣x）2＝2.56
解得x1＝0.2，x2＝1.8（不符合题意，舍去）
答：平均每次下调价格的百分率是20%．
（2）4×（1﹣0．2）×3000+2.56×2000＝9600+5120＝14720（元）．
答：张远共获得销售款14720元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，在解决有关增长率的问题时，注意其固定的等量关系．同时考查了单价、数量和总价之间的关系．
52．某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为156元/件，若以20 ( http: / / www.21cnjy.com )0元/件售出，平均每天能售出20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1600元，每件应降价多少元？
【答案】（1）该种商品每次降价的百分率为10%．（2）每件商品应降价4元
【分析】
（1）设该种商品每次降价的百分率为x ( http: / / www.21cnjy.com )，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）关系式为：每件商品的盈利×（原来的销售量＋增加的销售量）＝1600，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可．
【详解】
解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x，
依题意，得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝0．1＝10%，x2＝1．9（不合题意，舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
（2）设每件商品应降价x元，根据题意，得：
（200﹣156﹣x）（20+5x）＝1600
解方程得 x＝4或x＝36，
∵在降价幅度不超过10元的情况下，
∴x＝36不合题意舍去，
答：每件商品应降价4元．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键．
53．某工厂生产一批小家电，2018年的 ( http: / / www.21cnjy.com )出厂价是144元，2019年，2020年连续两年改进技术，降低成本，2020年出厂价调整为100元．
（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）某商场今年销售这批小家电的售价为14 ( http: / / www.21cnjy.com )0元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，单价应降低多少元？
【答案】（1）平均下降率为16.7％；（2）单价应降低15元．
【分析】
（1）设平均下降率为x，然后根据题意可直接列方程求解；
（2）设单价应降低x元，根据题意可得每天的销售量为台，然后根据题意可列方程求解．
【详解】
解：（1）设平均下降率为x，由题意得：
，
解得：（不符合题意，舍去），
∴，
答：平均下降率为16.7％．
（2）设单价应降低x元，根据题意得：
，
解得：；
答：单价应降低15元．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握一元二次方程的实际应用是解题的关键．
54．在一块长为16m， ( http: / / www.21cnjy.com )宽为12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，小文的设计方案如图所示（所建花园是“十”字形的两个矩形，且他们的宽度一样），请你帮她求出图中的x值．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】x的值为4
【分析】
根据花园所占面积：为荒地面积的一半，构建一元二次方程求解即可．
【详解】
解：由题意，16x+12x﹣x2＝，
整理得，x2﹣28x+96＝0，
解得：或，
经检验：不合题意，舍去，取．
∴x的值为4．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键．
55．为了响应国家“房住 ( http: / / www.21cnjy.com )不炒”的住房保障政策，某市自2017年开始实行了较严的“限购”“限贷”住房调控措施，却无形中引起了一波购房热潮，导致该市某区清水房均价从2017年的每平方米7000元上涨到2019年每平方米11830元．
（1）求2017到2019年，平均每年增长的百分率．
（2）假设2020年房子均价以相同的百分率 ( http: / / www.21cnjy.com )增长，王老师有现金100万，个人住房公积金可贷40万，用这两笔钱可否在2020年买一套100平方米的房子？（房价以每平方米均价算）
【答案】（1）；（2）无法买到．
【分析】
（1）设2017至2019年，平均每年增长率为，根据题意列出方程求解即可；
（2）由题意得2020年房子均价为元，然后根据题意进行求解比较即可．
【详解】
解：（1）设2017至2019年，平均每年增长率为，
则，
解得，（舍），
答：平均每年增长率为．
（2）由题意得2020年房子均价为（元），
则100平方米房子要（万元），
∵王老师有（万元），
．
∴无法买到．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
56．如图，中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AC运动；同时点Q从点C出发，以每秒2cm的速度沿CB运动，当Q到达点B时，点P同时停止运动．
（1）运动几秒时的面积为5cm2？
（2）运动几秒时中PQ=6 cm？
（3）的面积能否等于10cm2？若能，求出运动时间，若不能，说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）1；（2）；（3）不能，理由见解析．
【分析】
（1）设运动t秒后△PCQ的面积等于5cm2，根据题意可直接列出方程进行求解；
（2）由（1）及三角形面积可直接列方程进行求解即可；
（3）根据题意列出方程，然后由一元二次方程根的判别式进行求解即可．
【详解】
解：（1）设运动t秒后△PCQ的面积等于5cm2，
根据题意得：
CP＝6 t，QC＝2t，
则△PCQ的面积是：CQ CP＝×（6 t）×2t＝5，
解得t1＝1，t2＝5，
∵当t2＝5时，QC=2×5=10>8
∴t2＝5不符合题意，舍去
所以运动1秒后，△PCQ的面积等于5cm2；
（2）根据题意可得：
，
解得（舍去），
所以运动秒时△PCQ中PQ=6 cm；
（3）根据题意可得：
×（6 t）×2t＝10，
整理得：，
，
∴方程无实数根，
即△PCQ的面积不能等于10cm2．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程与几何的问题，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
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21.3 实际问题与一元一次方程
【基础训练】
一、单选题
1．随着互联网技术的发展，我国 ( http: / / www.21cnjy.com )快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．某药品原价每盒25元，两次降价后，每盒降为16元，则平均每次降价的百分率是（ ）
A．10% B．20% C．25% D．40%
3．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
4．有位同学调查发现，2017年某 ( http: / / www.21cnjy.com )月麦积区城区的房价均价为7500/m2，2019年同期将达到8500/m2，假设这两年麦积区房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．为了迎接春节，某厂10月份生产春联万幅，计划在12月份生产春联万幅，设11、12月份平均每月增长率为根据题意，可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．如今网上购物已经成为一种时尚，某网店“双十一”全天交易额逐年增长，2015年交易额为40万元，2017年交易额为48.4万元，设2015年至2017年“双十一”交易额的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
8．某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁 ( http: / / www.21cnjy.com )、三保障”的住房保障工作，去年已投入5亿元资金，并计划投入资金逐年增长，明年将投入7.2亿元资金用于保障性住房建设，则这两年投入资金的年平均增长率为（ ）
A．5% B．10% C．15% D．20%
9．某校九年级毕业时，每一个同学都将自己的相 ( http: / / www.21cnjy.com )片向全班其他同学各送一张表示留念．全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意列出方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝2550 B．x（x+1）＝2550 C．2x（x+1）＝2550 D．＝2550
10．某果园2018年砂糖橘产量为80吨，2020年要达到100吨，设砂糖橘产量的年平均增长率为x，则依据题意所列方程为（ ）
A．80(1＋x)2＝100 B．80(1＋x)3＝100
C．80(1＋2x)＝100 D．100(1－x)2＝80
11．如图，把一块长为40cm，宽 ( http: / / www.21cnjy.com )为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600 B．（30﹣x）（40﹣x）＝600
C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600 D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600
12．某服装店一月份营业额为万元，一季度的营业额共万元，若平均每月营业额的增长率为，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
13．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x） =182 B．50+50（1+x）+50（1+x） =182
C．50(1+2x)=182 D．50+50(1+x)+550（1+x） =182
14．某学校开展植树活动，连续三年植树共棵．已知第一年植树棵，若该校第二年植树和第三年植树的平均增长率均为，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．某市2018年平均房价为 ( http: / / www.21cnjy.com )每平方米5000元．连续两年增长后，2020年平均房价达到每平方米6500元，设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．6500（1+x）2=5000 B．6500（1﹣x）2=5000
C．5000（1﹣x）2=6500 D．5000（1+x）2=6500
16．今年元旦期间，某种女服装连续两次降价处理，由每件200元调至72元，设平均每次的降价百分率为，则得方程（ ）
A． B．
C． D．
17．城市书房是扬州市从20 ( http: / / www.21cnjy.com )15起打造的新生事物，至2019年底已建成36家城市书房．据调查：目前平均每月有10万人次走进城市书房阅读，扬州市民的综合阅读率位列全省第三．已知2017年底扬州城区共有18家城市书房，若2018、2019这两年城市书房数量平均每年增长的百分率相同，设平均每年增长的百分率为x，则根据题意列出方程（ ）
A． B． C． D．
18．用长为4米的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为25平方米，若设它的一边长为米，根据题意列出关于的方程为（ ）
A． B． C． D．
19．商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按 ( http: / / www.21cnjy.com )40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（ ）
A．50元 B．60元 C．70元 D．50元或70元
20．某工厂为了降低生产成本进行技术革新，已知2019年的生产成本为万元，以后每年的生产成本的平均降低率为，则预计2021年的生产成本为（ ）
A． B． C． D．
21．2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（ ）
A． B． C． D．
22．2020年12月17日凌晨，探月工程嫦娥五号返回器在内蒙古四子王旗预定区域成功着陆，标志着中国首次月球采样返回任务圆满成功！为庆祝这一历史性事件，某社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边，已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的，若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
23．国家实施“精准扶贫”政策以来，贫困地区逐渐走向了致富的道路．某地区年底有贫困人口万人，通过社会各界的努力，年底贫困人口减少至万人．设年底至年底该地区贫困人口的年平均下降率为，根据题意所列方程是（ ）
A． B． C． D．
24．新型冠状病毒 (COVID-19)是一种传染性极高的病毒，它可以通过飞沫、接触，甚至是有病毒株的污染源传播．在M市人群密集区因缺乏必要的预防措施，某新冠肺炎零号病人一天能传染人，如果统计得到在两天共有225人因此患病，求平均每天一人传染了人．列出方程因为（ ）
A． B．
C． D．
25．某品牌电视机今年三月份的单价为6000元，四、五月每月的平均增长率是，则五月份的单价为（ ）
A．6600元 B．7200元 C．7260元 D．4860元
26．某小区9月底的房价为3.2万元/，同年11月底的房价为3万元/．设平均每月降价的百分率为x，可列方程．（ ）
A． B．
C． D．
27．某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为 ( http: / / www.21cnjy.com )12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到1680元，设每份盒饭涨价x元，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
28．为防止疫情扩散，佩戴口罩 ( http: / / www.21cnjy.com )成为疫情期间有效防范措施之一，某工厂为了能给市场提供充足的口罩，第一个月至第三个月生产口罩由67500袋增加到90000袋，设该工厂第一个月至第三个月生产口罩平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A．67500（1+2x）=90000 B．67500(1+x) =90000
C．67500+67500（1+x）+67500（1+x）2=90000 D．67500×2(1+x)=90000
29．某小区2019年屋顶绿化面积为2000 ( http: / / www.21cnjy.com )平方米，计划2021年屋顶绿化面积要达到2880平方米．若设屋顶绿化面积的年平均增长率为ⅹ，则依题意所列方程是（ ）
A． B．
C． D．
30．某年爆发世界金融危机，某商品原价为200元，连续两次降价％后，售价为148元，则下面所列方程正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
二、填空题
31．江老师建立的一个家长QQ群里有若干个成 ( http: / / www.21cnjy.com )员，元旦期间，每个成员都分别给群里的其他成员发送一条祝福消息，这样共有2450条消息，则这个QQ群里有_________个成员．
32．现准备开展教职工排球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），若安排21场比赛，设x个球队参赛，根据题意，可列方程为___
33．一个QQ群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息1980条，则可列方程为_______．
34．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀参加比赛的球队有个，则可以列方程为___________（化为一般形式）．
35．由于新能源汽车越来越多，为了解决充电难的问题，现对一面积为的矩形停车场进行改造．将该矩形停车场的长减少20m，减少的这部分区域用于修建电动汽车充电桩，原停车场的剩余部分就变成了正方形，则原停车场的长是________．
三、解答题
36．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，其中一边留一道宽的门．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）设图中（与墙垂直的边）的长为，请用含的式子表示的长并直接写出的取值范围；
（2）若整个菜园的总面积为，求的长．
37．如图，某教室矩形地面的长为，宽为，现准备在地面正中间铺设一块面积为的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求地毯长和宽分别是多少米？
( http: / / www.21cnjy.com / )
38．在长方形钢片剪去一个小长方形，制成一个四周宽相等的长方形框（如图），已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm，要使制成的长方形框的面积为．求这个长方形框的框边宽．
( http: / / www.21cnjy.com / )
39．“早黑宝”葡萄品种是 ( http: / / www.21cnjy.com )我省农科院研制的优质新品种在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“早黑宝”的种植面积达到196亩
（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；
（2）市场查发现，当“早黑宝”的售价为20元 ( http: / / www.21cnjy.com )千克时，每天售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广直传，基地决定降价促销，同时减存已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”天获利1750元，则售价应降低多少元？
40．已知甲种苹果每箱价格比乙种苹果每箱价格贵10元，每天平均销售甲种苹果70箱，乙种苹果60箱，销售总额为5900元．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求甲、乙两种苹果每箱的价格；
（2）在销售中发现，每箱苹果价格每下调1元，这两种苹果每天均可多销售5箱，为了促销，村里决定把两种苹果单价都下调元，在不考虑其他因素的情况下，求为多少时，每天的销售额为7460元．
41．“绿水青山就是金山银山”，为 ( http: / / www.21cnjy.com )加快城乡绿化建设，某市2018年绿化面积约1000万平方米，预计2020年绿化面积约为1210万平方米．假设每年绿化面积的平均增长率相同．
（1）求每年绿化面积的平均增长率；
（2）若2021年的绿化面积继续保持相同的增长率，那么2021年的绿化面积是多少？
42．如图所示，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点Q从点开始沿着边向点以的速度移动．
（1）如果分别从同时出发，那么几秒后，的面积等于？
（2）小明在解答上述问题时，求得？请你判断一下，他做得对吗？并说明理由 ．
( http: / / www.21cnjy.com / )
43．有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有121人患了新冠肺炎．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）若不采取措施，按原速继续传染，再经过几轮传染，患者将超过1万人？
44．网购已经成为了一种新的购物方式， ( http: / / www.21cnjy.com )越来越多的人熟悉和喜欢网购．某网站一店铺购进一批甲、乙两款羊毛衫共140件，其中每件甲款羊毛衫的进价为300元，每件乙款羊毛衫的进价为320元，共花费了43200元，两款羊毛衫深受顾客的喜爱，很快全部售完，共获利12400元．
（1）求购进甲、乙两款羊毛衫各多少件？
（2）在“双十一”购物狂欢节到来之际，该店铺又以同样的进价购进第二批甲、乙两款羊毛衫，并进行促销活动．在活动期间，每件甲款羊毛衫在进价的基础上提高销售，每件乙款羊毛衫在进价的基础上增加元销售，结果在促销活动中，甲款羊毛衫的销售量比第一批甲款羊毛杉的销售量上升了，乙款羊毛衫的销售量比第一批乙款羊毛衫的销售量下阵了，结果本次促销活动比第一批多获利2900元，求a的值．21·cn·jy·com
45．从上饶到杭州的火车原来的平均速度是180千米/时，经过两次提速后平均速度为217.8千米/时，这两次提速的百分率相同．
（1）求该火车每次提速的百分率；
（2）填空：若上饶到杭州的铁路长396千米，则第一次提速后从上饶到杭州所用的时间比提速前少了_______小时．
46．成都放开地摊经济后，一夜增加近10万就 ( http: / / www.21cnjy.com )业．摊贩小王响应政府号召，摆地摊经销甲、乙两种商品．已知一件甲商品和一件乙商品进价之和为30元．每件甲商品的利润为4元，每件乙商品的售价比其进价的2倍少11元，顾客小张在该商店购买8件甲和6件乙共用262元．
（1）求甲、乙两种商品的进价各是多少元？
（2）小王统计发现平均每天可售出甲40 ( http: / / www.21cnjy.com )件和乙30件，如果将甲商品的售价每提高1元，则每天会少售出8件．于是小王决定将甲种商品的价格提高a元，乙种商品价格不变，不考虑其他因素，预期每天利润能达到234元，求a的值．
47．万州物产丰富，新田水柿子香甜多汁回味无穷，深秋时节正是品尝新田水柿子的最佳时机．某水果摊 贩看准商机，购进并销售新田水柿子和外地柿饼，11 月中旬，新田水柿子和外地柿饼的销售单价分别为元 /千克、元/千克，水柿子比柿饼多售出千克，两种柿子的销售总金额为元．
（1）11月中旬新田水柿子和外地柿饼各销售了多少千克？
（2）11月下旬新田水柿子开始过季其他水果开始上市，该水果摊贩准备将外地柿饼的销售单价在11中旬 的基础上下调，新田水柿子的单价在 11 月中旬的基础上上调 ，价格的变动导致销售量的变化， 其中，预计外地柿饼的销售量将在 11 中旬的基础上上涨，新田水柿子的销售量在 11 月中旬的基础上减少，最终预计 11 月下旬水果摊两种柿子的销售总金额将与中旬持平，求的值．
48．某保健柜加工销售芝麻核桃 ( http: / / www.21cnjy.com )粉，平均每天可销售20千克芝麻核桃粉，每千克赢利18元，双十一临近，为了抓住商机，增加赢利，尽快减少库存，该专柜决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每千克降价1元，专柜平均每天可多售出5千克，求该专柜平均每天赢利600元，且让顾客得到实惠，每千克芝麻核桃粉应降价多少元
49．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程的两个根，且OA＞OB．
（1）求OA、OB的长．
（2）若点E为x轴的正半轴上的点，且S△AOE＝，求经过D、E两点的直线解析式．
( http: / / www.21cnjy.com / )
50．如图，有一块长方形铁皮 ( http: / / www.21cnjy.com )，长40 cm，宽30 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
( http: / / www.21cnjy.com / )
51．果农张远原计划以每千克4元的单价销售 ( http: / / www.21cnjy.com )某种水果，由于部分果农盲目扩大种植，造成该水果代销，张远为了加快销售，减少损失，经过两次下调价格后，以每千克2.56元的单价销售．
（1）求平均每次下调价格的百分率；
（2）若张远第一次下调价格后卖出3吨该水果，第二次下调价格后又卖出2吨该水果，张远共获得销售款多少元？
52．某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为156元/件，若以 ( http: / / www.21cnjy.com )200元/件售出，平均每天能售出20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1600元，每件应降价多少元？
53．某工厂生产一批小家电，2 ( http: / / www.21cnjy.com )018年的出厂价是144元，2019年，2020年连续两年改进技术，降低成本，2020年出厂价调整为100元．
（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）某商场今年销售这批小家电的售价为14 ( http: / / www.21cnjy.com )0元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，单价应降低多少元？
54．在一块长为16m，宽 ( http: / / www.21cnjy.com )为12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，小文的设计方案如图所示（所建花园是“十”字形的两个矩形，且他们的宽度一样），请你帮她求出图中的x值．
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55．为了响应国家“房住不炒”的住 ( http: / / www.21cnjy.com )房保障政策，某市自2017年开始实行了较严的“限购”“限贷”住房调控措施，却无形中引起了一波购房热潮，导致该市某区清水房均价从2017年的每平方米7000元上涨到2019年每平方米11830元．
（1）求2017到2019年，平均每年增长的百分率．
（2）假设2020年房子均价以 ( http: / / www.21cnjy.com )相同的百分率增长，王老师有现金100万，个人住房公积金可贷40万，用这两笔钱可否在2020年买一套100平方米的房子？（房价以每平方米均价算）
56．如图，中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AC运动；同时点Q从点C出发，以每秒2cm的速度沿CB运动，当Q到达点B时，点P同时停止运动．
（1）运动几秒时的面积为5cm2？
（2）运动几秒时中PQ=6 cm？
（3）的面积能否等于10cm2？若能，求出运动时间，若不能，说明理由．
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