人教版八年级上册轴对称变换
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(共33张PPT)
轴对称变换
平原四中 张勇
利用轴对称变换设计美丽图案
一个轴对称图形可以看作是以它的一部分作为基础,经轴对称变换扩展而来.
轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形的过程.
对称轴的方向和位置变化对得到的图形方向和位置是否有影响？
对称轴的方向和位置发生变化,得到图形的方向和位置也会发生变化.
左脚印和右脚印的形状、大小一样吗？
是否左脚印上的任意一点都可以在右脚印上找到一个对称点？
任意一对对应点的连线段和对称轴有何关系？
想一想
l
P
P’
动手在纸上画一个图形,将这张纸折叠,再打开纸,看看你得到了什么
改变折痕的位置并重复几次,你又得到了什么
像上面那样，由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。
由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；
新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；
连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。
l
P
P’
轴对称变换的特征:
一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的。
成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到。
1、过点A作直线l的垂线，垂足为点O，
在垂线上截取OA’=OA，
例1：如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形。
B
A
C
分析：△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别作出这三个顶点关于直线l的对称点，连接这些对称点，就能得到要作的图形。
l
作法：
2、类似地，分别作出点B、C关于直线l的对称点B’、C’；
3、连接A’B’、B’C’、C’A’。
∴△A’B’C’即为所求。
A’
B’
C’
O
点A’就是点A关于直线l的对称点；
由一个平面图形可以得到它关于一条直线L对称的图形，这个图形与原图形的( )完全相同；
新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的( )；
连接任意一对对应点的线段被对称轴( )．
轴对称变换的特征是什么？
答一答
形状和大小
对称点
垂直平分
例、 如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条对称轴吗？
·
·
A
B
分析、只要连接A和B，画出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和B的对称轴。你知道为什么吗？
怎样作线段AB的垂直平分线呢？由线段公理和线段垂直平分线性质，只要做出A、B距离相等的两个点就行了
作法
2、分别以点A、B为圆心，大于的长为半径作弧（为什么），两弧相交于C、D两点
3、 作直线CD。
CD就是所求的直线
1、连接AB
C
D
思考：怎样得到图形的对称轴？
对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到图形的对称轴
练一练，看看你能作下图的对称轴吗？能作多少条？
①
⑤
③
②
④
①
①
①
①
②
②
②
②
③
④
③
④
③
√
.
.
A
A0
l
o
如图：画AA0 l,而且OA=OA0
A0即为所求。
.
.
A
A0
l
B
B0
如图：画A的对称点A0，画B的对称点B0，
线段A0B0 即为所求。
.
.
A1
l
如图：画A的对称点A1，画B的对称点B1，
画C的对称点C1，△A1B1C1 即为所求。
A
B
C
C1
B1
.
.
A1
A2
对称轴
如何画线段AB关于
直线l 的对称线段A′B′
A
B
A’
B’
B’
A’
如何画 △ABC关于直线
l的对称图形
A
B
C
C’
先找（ ）,然后作出其（ ）,
最后顺次连接（ ）构成三角形.
特殊点
对称点
对称点
经验归纳:
你说我说
已知一个平面几何图形和一条直线,请你总结作该图形关于该直线对称的图形的步骤？
如图给出了一个图案的
一半，其中的虚线 l 是这个图
案的对称轴.
整个图案是个什么形状？
请准确地画出它的另一半.
例1：如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形。
B
A
C
B
A
C
l
B’
C’
B
A
C
A’
B’
∴△AB’C’即为所求。
作法：
1、分别作出点B、C关于直线l的对称点B’、C’；
2、连接A’B’、B’C’、C’A’。
B
A
C
l
作法：
1、分别作出点A、B关于直线l的对称点A’、B’；
2、连接A’B’、B’C’、CA’。
∴△A’B’C即为所求。
作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步聚:
1、找点
2、画点
3、连线
（确定图形中的一些特殊点）；
（画出特殊点关于已知直线的对称点）；
（连接对称点）。
B
A
C
A’
B’
l
至少需要几次轴对称变换？
轴对称变换的妙用
由一朵花变成八朵花至少需要几次轴对称变换？
思维启发：巧用轴对称变换可以节省时间！
如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
P
所以泵站建在点P可使输气管线最短
如图，如果A，B在燃气管道L的同旁，泵站应修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
思考？？？
为什么在P点的位置修建泵站，就能使所用的管线最短呢？
总结经验：
实际上是通过轴对称变换，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”加以解决。
拓展应用，巩固提高
八年级某班同学做游戏，在活动区域边放了一些球，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A处。
P
路线：小明——P——A
如果另一侧放着一些小木棍，小明先去捡球，还要跑到另一侧去取木棍，则小明又应按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，小木棍，才能最快跑到目的地A处。
D
E
C
路线：小明——D——E——A
如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边给马喝水，然后回到帐篷，请你帮助他确定这一天的最短路线。
轴对称变换
平原四中 张勇
利用轴对称变换设计美丽图案
一个轴对称图形可以看作是以它的一部分作为基础,经轴对称变换扩展而来.
轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形的过程.
对称轴的方向和位置变化对得到的图形方向和位置是否有影响？
对称轴的方向和位置发生变化,得到图形的方向和位置也会发生变化.
左脚印和右脚印的形状、大小一样吗？
是否左脚印上的任意一点都可以在右脚印上找到一个对称点？
任意一对对应点的连线段和对称轴有何关系？
想一想
l
P
P’
动手在纸上画一个图形,将这张纸折叠,再打开纸,看看你得到了什么
改变折痕的位置并重复几次,你又得到了什么
像上面那样，由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。
由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；
新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；
连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。
l
P
P’
轴对称变换的特征:
一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的。
成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到。
1、过点A作直线l的垂线，垂足为点O，
在垂线上截取OA’=OA，
例1：如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形。
B
A
C
分析：△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别作出这三个顶点关于直线l的对称点，连接这些对称点，就能得到要作的图形。
l
作法：
2、类似地，分别作出点B、C关于直线l的对称点B’、C’；
3、连接A’B’、B’C’、C’A’。
∴△A’B’C’即为所求。
A’
B’
C’
O
点A’就是点A关于直线l的对称点；
由一个平面图形可以得到它关于一条直线L对称的图形，这个图形与原图形的( )完全相同；
新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的( )；
连接任意一对对应点的线段被对称轴( )．
轴对称变换的特征是什么？
答一答
形状和大小
对称点
垂直平分
例、 如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条对称轴吗？
·
·
A
B
分析、只要连接A和B，画出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和B的对称轴。你知道为什么吗？
怎样作线段AB的垂直平分线呢？由线段公理和线段垂直平分线性质，只要做出A、B距离相等的两个点就行了
作法
2、分别以点A、B为圆心，大于的长为半径作弧（为什么），两弧相交于C、D两点
3、 作直线CD。
CD就是所求的直线
1、连接AB
C
D
思考：怎样得到图形的对称轴？
对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到图形的对称轴
练一练，看看你能作下图的对称轴吗？能作多少条？
①
⑤
③
②
④
①
①
①
①
②
②
②
②
③
④
③
④
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A
A0
l
o
如图：画AA0 l,而且OA=OA0
A0即为所求。
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A
A0
l
B
B0
如图：画A的对称点A0，画B的对称点B0，
线段A0B0 即为所求。
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A1
l
如图：画A的对称点A1，画B的对称点B1，
画C的对称点C1，△A1B1C1 即为所求。
A
B
C
C1
B1
.
.
A1
A2
对称轴
如何画线段AB关于
直线l 的对称线段A′B′
A
B
A’
B’
B’
A’
如何画 △ABC关于直线
l的对称图形
A
B
C
C’
先找（ ）,然后作出其（ ）,
最后顺次连接（ ）构成三角形.
特殊点
对称点
对称点
经验归纳:
你说我说
已知一个平面几何图形和一条直线,请你总结作该图形关于该直线对称的图形的步骤？
如图给出了一个图案的
一半，其中的虚线 l 是这个图
案的对称轴.
整个图案是个什么形状？
请准确地画出它的另一半.
例1：如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形。
B
A
C
B
A
C
l
B’
C’
B
A
C
A’
B’
∴△AB’C’即为所求。
作法：
1、分别作出点B、C关于直线l的对称点B’、C’；
2、连接A’B’、B’C’、C’A’。
B
A
C
l
作法：
1、分别作出点A、B关于直线l的对称点A’、B’；
2、连接A’B’、B’C’、CA’。
∴△A’B’C即为所求。
作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步聚:
1、找点
2、画点
3、连线
（确定图形中的一些特殊点）；
（画出特殊点关于已知直线的对称点）；
（连接对称点）。
B
A
C
A’
B’
l
至少需要几次轴对称变换？
轴对称变换的妙用
由一朵花变成八朵花至少需要几次轴对称变换？
思维启发：巧用轴对称变换可以节省时间！
如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
P
所以泵站建在点P可使输气管线最短
如图，如果A，B在燃气管道L的同旁，泵站应修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
思考？？？
为什么在P点的位置修建泵站，就能使所用的管线最短呢？
总结经验：
实际上是通过轴对称变换，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”加以解决。
拓展应用，巩固提高
八年级某班同学做游戏，在活动区域边放了一些球，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A处。
P
路线：小明——P——A
如果另一侧放着一些小木棍，小明先去捡球，还要跑到另一侧去取木棍，则小明又应按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，小木棍，才能最快跑到目的地A处。
D
E
C
路线：小明——D——E——A
如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边给马喝水，然后回到帐篷，请你帮助他确定这一天的最短路线。