高中数学人教A版选修（2—2）第二章2.1合情推理与演绎推理测试题（含解析答案）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版选修（2—2）第二章2.1合情推理与演绎推理测试题（含解析答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 115.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-07-23 10:28:18 | ||
图片预览
文档简介
高中数学人教A版选修（2—2）第二章2.1合情推理与演绎推理测试题（含解析答案）
一、选择题
1．下列符合三段论推理形式的为( )
A．如果p q，p真，则q真 B．如果b c，a b，则a c
C．如果a∥b，b∥c，则a∥c D．如果a＞b，c＞0，则ac＞bc
B 解析：由三段论的推理规则可以得到B为三段论.
2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列 性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各面都是面 积相等的三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．
A．① B．② C．①②③ D．③
C 解析：由类比原理和思想，①②③都是合理、恰当的.
3．下面使用类比推理恰当的是( )
A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋”
C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”
C 解析：由类比推理的特点可知.
4．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0 a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0 a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di a＝c，b＝d”类比推出“若a，b， c，d∈Q，则a＋＝c＋d a＝c，b＝d”；
③若“a，b∈R，则a－b＞0 a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0 a＞b”． 其中类比结论正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
C 解析：①②正确，③错误．因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小.
5．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{an}为等差数列，a5 ＝2，则{an}的类似结论为( )
A．a1·a2·a3·…·a9＝29 B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29
C．a1·a2·a3·…·a9＝2×9 D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9
解析: D 根据等差数列中“若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq”， 等比数列中“若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am·an＝ap·aq”，可得a1＋a2 ＋a3＋…＋a9＝2×9.
6．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可推知扇形面 积公式S扇等于( )
A. B. C. D．不可类比
解析：C可将扇形的弧长与三角形的底边相类比，将扇形的半径与三角形的高相类比．
7．定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应下列图形：
那么下列图形中，可以分别表示A*D，A*C的是( )
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
解析 C 依据条件可知：A为、B为、C为———、D为，
∴A*D，A*C分别对应②，④.
8．如图是网络工作者用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第 一行；数字2,3出现在第二行；数字6,5,4(从左到右)出现在第三行； 数字7,8,9,10出现在第四行，依此类推数字2 011出现在( )
A．第63行，从左到右第5个数 B．第63行，从左到右第6个数
C．第63行，从左到右第7个数 D．第63行，从左到右第8个数
解析 B 从第1行到第63行共有数字＝2 016，依据蛇形模型的规律，
数字2 011在第63行，从左到右第6个数．
9．已知x∈R＋，有不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…，启 发我们可以推广为x＋≥n＋1(n∈N*，a＞0)，则a的值为( )
A．nn B．2n C．n2 D．2n－1
解析 A 由前面两个式子可得
10．如果f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(1)＝1，则＋＋…＋＋等于( )
A．1 005 B．1 007 C．2 007 D．2 010
解析：B∵f(x＋y)＝f(x)·f(y)，∴＝f(1)＝1，∴＋＋…＋＝1 007.
11．已知ai，bi∈R(i＝1,2,3，…，n)，a12＋a22＋…＋an2＝1，b12＋b22＋…＋bn2＝1，则 a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为( )
A．1 B．2 C．n D．2
A 解析：此结论为“a，b，c，d∈R，a2＋b2＝1，c3＋d2＝1，则ac＋bd≤＋ ＝1”的推广，类比可得a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤＋＋…＋＝1.
12．古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：
他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角
形数；类似的，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．
下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378
C解析：设图(1)中数列1,3,6,10，…的通项公式为an，
其解法如下：a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n.
故an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，∴an＝.
而图(2)中数列的通项公式为bn＝n2，因此所给的选项中只有1 225满足a49＝
＝b35＝352＝1 225.
二、填空题
13．观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦， 4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出________．
解析 设f(n)为n个点可连接的弦的条数，则f(2)＝1，f(3)＝3，f(4)＝6，f(5)＝10，…， f(n)＝.
【答案】 n个点可以连条弦
14．如下图，对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：
仿此，52的“分裂”中最大的数是 ，53的“分裂”中最小的数是 .
解析：由已知中“分裂”可得
故“52”的“分裂”中最大的数是9,53的“分裂”中最小的数是21.
答案：9 21
15．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地， 在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
解析 棱长比与面积比→棱比与体积比面积比是棱长比的平方，体积比是棱长比的
立方，可知它们的体积比为1∶8.
【答案】 1∶8
16．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形， 其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比 到空间：有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两 个正方体重叠部分的体积恒为________．
解析 本题考查类比推理知识．可取特殊情况研究，将一个正方体的一个顶点垂直 放在另一个正方体的中心时，易知两正方体的重叠部分占整个正方体的， 故其体积为.
【答案】
四、解答题
17．在三角形中有下面的性质：
(1)三角形的两边之和大于第三边；
(2)三角形的中位线等于第三边的一半；
(3)三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心；
(4)三角形的面积为S＝(a＋b＋c)r(r为三角形内切圆半径，a、b、c为三边长)．
请类比出四面体的有关相似性质．
解析：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；
(2)四面体的中位面(过三条棱的中点的面)的面积等于第四个面的面积的四分之一；
(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心；
(4)四面体的体积为V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r(r为四面体内切球的半径，S1、S2、S3、S4为 四面体的四个面的面积)．
18．若函数f(x)＝，g(x)＝，分别计算g(4)－2f(2)g(2)和g(6)－2f(3)g(3)的 值，由此归纳出函数f(x)和g(x)的对于所有实数x都成立的一个等式，并加以证明．
解析 g(4)－2f(2)g(2)＝0，g(6)－2f(3)g(3)＝0，
由此归纳出g(2x)－2f(x)g(x)＝0.
证明如下：
g(2x)－2f(x)g(x)＝－2··＝－＝0.
19．已知数列{an}中，a1＝且an＋1＝(n＝1,2，…)，写出a2，a3，a4，a5的值，观 察并归纳出这个数列的通项公式．
解析：∵a1＝，an＋1＝， ∴a2＝＝，a3＝＝，
a4＝＝，a5＝＝，
又∵a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，
a4＝＝，a5＝＝，
∴an＝.
20．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四 个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规 律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1)求出f(5)；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系，并根据你得到的
关系式求f(n)的表达式．
解析：(1)∵f(1)=1，f(2)=5，f(3)=13，f(4)=25，
∴f(5)=25+4×4=41.
(2)∵f(2)-f(1)=4=4×1， f(3)-f(2)=8=4×2， (4)-f(3)=12=4×3，f(5)-f(4)=16=4×4，
由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n.
∴f(n)-f(n-1)=4(n-1)，f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2)， f(n-2)-f(n-3)=4·(n-3)，
…f(2)-f(1)=4×1，
∴f(n)-f(1)=4[(n-1)+(n-2)+…+2+1]=2(n-1)·n，
∴f(n)=2n2-2n+1.
21．设{an}是集合{2t＋2s|0≤s＜t，且s、t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即 a1＝3，a2＝5，a3＝6，a4＝9，a5＝10，a6＝12，…，将数列{an}各项按照上小下大， 左小右大的原则写成如下所示的三角形数表：
(1)写出这个三角形数表的第四行、第五行；
(2)求a100.
解析：(1)用(s，t)表示s、t的取值，那么数列{an}中的项对应的(s，t)也构成一个三 角形表：
第一行右边的数是“1”；
第二行右边的数是“2”；
第三行右边的数是“3”；
于是第四行右边的数便是“4”；
第五行右边的数自然就是“5”了．
而左边的那个数总是从“0”开始逐个递增．
因此第四行的数是：20＋24＝17,21＋24＝18,22＋24＝20,23＋24＝24；
第五行的数是：20＋25＝33,21＋25＝34,22＋25＝36，
23＋25＝40,24＋25＝48.
(2)由1＋2＋…＋13＝＝91，知a100是第十四行中的第9个数，于是a100＝28 ＋214＝16 640.
22．已知双曲线－＝1，F1，F2分别是双曲线的两个焦点，点M在双曲线上．
(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积；
(2)若∠F1MF2＝120°，△F1MF2的面积是多少？若∠F1MF2＝60°，△F1MF2的面积又是 多少？
(3)观察上述运算结果，你能看出随∠F1MF2的变化，△F1MF2的面积将怎样变化吗(不 要求证明)
解析 (1)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝，
设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1＞r2)，
由双曲线定义，有r1－r2＝2a＝4，
两边平方得r＋r－2r1r2＝16，
∵∠F1MF2＝90°，∴r＋r＝|F1F2|2，S△F1MF2＝r1r2，
∴|F1F2|2－4S△F1MF2＝16，
即52－16＝4S△F1MF2，解得S△F1MF2＝9.
(2)若∠F1MF2＝120°，在△MF1F2中，
由余弦定理得|F1F2|2＝r＋r－2r1r2cos 120°，
∴|F1F2|2＝(r1－r2)2＋3r1r2，∴r1r2＝12，
求得S△F1MF2＝r1r2sin 120°＝3，
同理可求得若∠F1MF2＝60°，S△F1MF2＝9.
(3)由以上结果猜想，随着∠F1MF2的增大，△F1MF2的面积将减小．
一、选择题
1．下列符合三段论推理形式的为( )
A．如果p q，p真，则q真 B．如果b c，a b，则a c
C．如果a∥b，b∥c，则a∥c D．如果a＞b，c＞0，则ac＞bc
B 解析：由三段论的推理规则可以得到B为三段论.
2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列 性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各面都是面 积相等的三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．
A．① B．② C．①②③ D．③
C 解析：由类比原理和思想，①②③都是合理、恰当的.
3．下面使用类比推理恰当的是( )
A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋”
C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”
C 解析：由类比推理的特点可知.
4．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0 a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0 a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di a＝c，b＝d”类比推出“若a，b， c，d∈Q，则a＋＝c＋d a＝c，b＝d”；
③若“a，b∈R，则a－b＞0 a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0 a＞b”． 其中类比结论正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
C 解析：①②正确，③错误．因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小.
5．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{an}为等差数列，a5 ＝2，则{an}的类似结论为( )
A．a1·a2·a3·…·a9＝29 B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29
C．a1·a2·a3·…·a9＝2×9 D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9
解析: D 根据等差数列中“若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq”， 等比数列中“若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am·an＝ap·aq”，可得a1＋a2 ＋a3＋…＋a9＝2×9.
6．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可推知扇形面 积公式S扇等于( )
A. B. C. D．不可类比
解析：C可将扇形的弧长与三角形的底边相类比，将扇形的半径与三角形的高相类比．
7．定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应下列图形：
那么下列图形中，可以分别表示A*D，A*C的是( )
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
解析 C 依据条件可知：A为、B为、C为———、D为，
∴A*D，A*C分别对应②，④.
8．如图是网络工作者用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第 一行；数字2,3出现在第二行；数字6,5,4(从左到右)出现在第三行； 数字7,8,9,10出现在第四行，依此类推数字2 011出现在( )
A．第63行，从左到右第5个数 B．第63行，从左到右第6个数
C．第63行，从左到右第7个数 D．第63行，从左到右第8个数
解析 B 从第1行到第63行共有数字＝2 016，依据蛇形模型的规律，
数字2 011在第63行，从左到右第6个数．
9．已知x∈R＋，有不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…，启 发我们可以推广为x＋≥n＋1(n∈N*，a＞0)，则a的值为( )
A．nn B．2n C．n2 D．2n－1
解析 A 由前面两个式子可得
10．如果f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(1)＝1，则＋＋…＋＋等于( )
A．1 005 B．1 007 C．2 007 D．2 010
解析：B∵f(x＋y)＝f(x)·f(y)，∴＝f(1)＝1，∴＋＋…＋＝1 007.
11．已知ai，bi∈R(i＝1,2,3，…，n)，a12＋a22＋…＋an2＝1，b12＋b22＋…＋bn2＝1，则 a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为( )
A．1 B．2 C．n D．2
A 解析：此结论为“a，b，c，d∈R，a2＋b2＝1，c3＋d2＝1，则ac＋bd≤＋ ＝1”的推广，类比可得a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤＋＋…＋＝1.
12．古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：
他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角
形数；类似的，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．
下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378
C解析：设图(1)中数列1,3,6,10，…的通项公式为an，
其解法如下：a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n.
故an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，∴an＝.
而图(2)中数列的通项公式为bn＝n2，因此所给的选项中只有1 225满足a49＝
＝b35＝352＝1 225.
二、填空题
13．观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦， 4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出________．
解析 设f(n)为n个点可连接的弦的条数，则f(2)＝1，f(3)＝3，f(4)＝6，f(5)＝10，…， f(n)＝.
【答案】 n个点可以连条弦
14．如下图，对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：
仿此，52的“分裂”中最大的数是 ，53的“分裂”中最小的数是 .
解析：由已知中“分裂”可得
故“52”的“分裂”中最大的数是9,53的“分裂”中最小的数是21.
答案：9 21
15．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地， 在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
解析 棱长比与面积比→棱比与体积比面积比是棱长比的平方，体积比是棱长比的
立方，可知它们的体积比为1∶8.
【答案】 1∶8
16．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形， 其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比 到空间：有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两 个正方体重叠部分的体积恒为________．
解析 本题考查类比推理知识．可取特殊情况研究，将一个正方体的一个顶点垂直 放在另一个正方体的中心时，易知两正方体的重叠部分占整个正方体的， 故其体积为.
【答案】
四、解答题
17．在三角形中有下面的性质：
(1)三角形的两边之和大于第三边；
(2)三角形的中位线等于第三边的一半；
(3)三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心；
(4)三角形的面积为S＝(a＋b＋c)r(r为三角形内切圆半径，a、b、c为三边长)．
请类比出四面体的有关相似性质．
解析：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；
(2)四面体的中位面(过三条棱的中点的面)的面积等于第四个面的面积的四分之一；
(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心；
(4)四面体的体积为V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r(r为四面体内切球的半径，S1、S2、S3、S4为 四面体的四个面的面积)．
18．若函数f(x)＝，g(x)＝，分别计算g(4)－2f(2)g(2)和g(6)－2f(3)g(3)的 值，由此归纳出函数f(x)和g(x)的对于所有实数x都成立的一个等式，并加以证明．
解析 g(4)－2f(2)g(2)＝0，g(6)－2f(3)g(3)＝0，
由此归纳出g(2x)－2f(x)g(x)＝0.
证明如下：
g(2x)－2f(x)g(x)＝－2··＝－＝0.
19．已知数列{an}中，a1＝且an＋1＝(n＝1,2，…)，写出a2，a3，a4，a5的值，观 察并归纳出这个数列的通项公式．
解析：∵a1＝，an＋1＝， ∴a2＝＝，a3＝＝，
a4＝＝，a5＝＝，
又∵a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，
a4＝＝，a5＝＝，
∴an＝.
20．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四 个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规 律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1)求出f(5)；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系，并根据你得到的
关系式求f(n)的表达式．
解析：(1)∵f(1)=1，f(2)=5，f(3)=13，f(4)=25，
∴f(5)=25+4×4=41.
(2)∵f(2)-f(1)=4=4×1， f(3)-f(2)=8=4×2， (4)-f(3)=12=4×3，f(5)-f(4)=16=4×4，
由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n.
∴f(n)-f(n-1)=4(n-1)，f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2)， f(n-2)-f(n-3)=4·(n-3)，
…f(2)-f(1)=4×1，
∴f(n)-f(1)=4[(n-1)+(n-2)+…+2+1]=2(n-1)·n，
∴f(n)=2n2-2n+1.
21．设{an}是集合{2t＋2s|0≤s＜t，且s、t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即 a1＝3，a2＝5，a3＝6，a4＝9，a5＝10，a6＝12，…，将数列{an}各项按照上小下大， 左小右大的原则写成如下所示的三角形数表：
(1)写出这个三角形数表的第四行、第五行；
(2)求a100.
解析：(1)用(s，t)表示s、t的取值，那么数列{an}中的项对应的(s，t)也构成一个三 角形表：
第一行右边的数是“1”；
第二行右边的数是“2”；
第三行右边的数是“3”；
于是第四行右边的数便是“4”；
第五行右边的数自然就是“5”了．
而左边的那个数总是从“0”开始逐个递增．
因此第四行的数是：20＋24＝17,21＋24＝18,22＋24＝20,23＋24＝24；
第五行的数是：20＋25＝33,21＋25＝34,22＋25＝36，
23＋25＝40,24＋25＝48.
(2)由1＋2＋…＋13＝＝91，知a100是第十四行中的第9个数，于是a100＝28 ＋214＝16 640.
22．已知双曲线－＝1，F1，F2分别是双曲线的两个焦点，点M在双曲线上．
(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积；
(2)若∠F1MF2＝120°，△F1MF2的面积是多少？若∠F1MF2＝60°，△F1MF2的面积又是 多少？
(3)观察上述运算结果，你能看出随∠F1MF2的变化，△F1MF2的面积将怎样变化吗(不 要求证明)
解析 (1)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝，
设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1＞r2)，
由双曲线定义，有r1－r2＝2a＝4，
两边平方得r＋r－2r1r2＝16，
∵∠F1MF2＝90°，∴r＋r＝|F1F2|2，S△F1MF2＝r1r2，
∴|F1F2|2－4S△F1MF2＝16，
即52－16＝4S△F1MF2，解得S△F1MF2＝9.
(2)若∠F1MF2＝120°，在△MF1F2中，
由余弦定理得|F1F2|2＝r＋r－2r1r2cos 120°，
∴|F1F2|2＝(r1－r2)2＋3r1r2，∴r1r2＝12，
求得S△F1MF2＝r1r2sin 120°＝3，
同理可求得若∠F1MF2＝60°，S△F1MF2＝9.
(3)由以上结果猜想，随着∠F1MF2的增大，△F1MF2的面积将减小．