高中数学人教A版选修（2—2）第二章2.2直接证明与间接证明测试题（含解析答案）

高中数学人教A版选修（2—2）第二章2.2直接证明与间接证明测试题（含解析答案）
一、选择题
1．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　)
A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．由a的取值确定
　解析　C　∵P2＝2a＋7＋2， Q2＝2a＋7＋2，
∴P2＜Q2.∵P＞0，Q＞0，∴P＜Q.
2．用反证法证明命题“＋是无理数”时，假设正确的是(　　)
A．假设是有理数 B．假设是有理数
C．假设或是有理数 D．假设＋是有理数
D 解析：假设结论的反面成立，＋不是无理数，则＋是有理数.
3．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法； ④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解析　D　由分析法、综合法、反证法的定义知，①②③④⑤都正确．
4．设x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三数(　　)
A．至少有一个不大于2 B．都小于2
C．至少有一个不小于2 D．都大于2
C 解析：a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6，因此a，b，c至少有一个不小于2.
5．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(　　)
A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0
　 解析　D　因为a2＋b2－1－a2b2≤0 (a2－1)(b2－1)≥0，故选D.
6．设平面内有四边形ABCD和点O，且＋＝＋，则四边形ABCD为(　　)
A．菱形 　 B．梯形 　 C．矩形 　 D．平行四边形
　解析　D　由＋＝＋，得－＝－，即＝，∴四边形 ABCD为平行四边形．
7．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)＝(　　)
A．a B．－b C. D．－
　 解析B　∵f(－x)＝lg＝lg－1＝－lg＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
∴f(－a)＝－f(a)＝－b.
8．设0＜a＜b，a＋b＝1，则下列不等式中正确的是(　　)
A．b＜2ab＜＜a2＋b2 B．2ab＜b＜a2＋b2＜
C．2ab＜a2＋b2＜＜b D．2ab＜a2＋b2＜b＜
D解析：由条件，得a2＋b2＞2ab，＞＝b，
b－(a2＋b2)＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)＞0，
故b＞a2＋b2，∴2ab＜a2＋b2＜b＜.
9. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是（ ）
A．假设三内角都不大于60° B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60° D．假设三内角至多有两个大于60°
　 解析　B　“至少一个”的否定是“一个都没有”．
10．对于任意实数a，b定义运算：a·b＝(a＋1)(b＋1)－1，给出以下结论：
①对于任意实数a，b，c，有a·(b＋c)＝(a·b)＋(a·c)；
②对于任意实数a，b，c，有a·(b·c)＝(a·b)·c；③对于任意实数a，有a·0＝a.
则以上结论正确的是________．(写出你认为正确的结论的所有序号)
　 A．①② B．② C.①③ D．②③
D解析　按新定义，可以验证a·(b＋c)≠(a·b)＋(a·c)，所以①不成立；而a·(b·c)＝(a·b)·c 成立，a·0＝(a＋1)(0＋1)－1＝a.所以正确的结论是②③.
11．设a、b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是(　　)
A．b－a>0 B．a3＋b3<0 C．a2－b2<0 D．b＋a>0
解析　D　∵a－|b|>0，∴|b|0. ∴－a0.
12.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]
＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：
①2 011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．
其中，正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
解析　C　由于[k]＝{5n＋k|n∈Z}，对于①，2 011＝402×5＋1，所以2 011∈[1]，所以 ①正确；对于②，－3＝－5＋2，所以－3∈[2]，所以②错；对于③，任意一整数 x，被5除余数为0,1,2,3,4，所以x∈[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，所以③正确；对于 ④，若a，b属于同一“类”，则有a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，所以a－b＝5(n1－n2) ∈[0]，反过来，如果a－b∈[0]，也可以得到a，b属于同一“类”，所以④正确． 综上有3个正确结论，故选C.
二、填空题
13．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________．
解析：假设x≥y，即≥， 则有＋≥，∴a＋b＋
2≥2(a＋b)，即2≥a＋b，矛盾，∴x＜y.
14．设奇函数f(x)的定义域为R，最小正周期T＝3，若f(1)≥1，f(2)＝，则a的取 值范围是________．
　解析：因为f(x)是奇函数，所以f(1)＝－f(－1)，又因为其最小正周期T＝3，所以f(1) ＝－f(－1)＝－f(2)．由f(1)≥1，f(2)＝，得－≥1，解得－115．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立 的条件的个数是________．
解析　要使＋≥2，只要>0且>0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．
16．设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC ＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB 为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于 D，连接OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E，则
图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段________的
长度是a，b的几何平均数，线段________的长度是a，b的
调和平均数．
解析　在Rt△ABD中，CD是斜边AB上的高，所以CD2＝AC·CB，所以CD＝ ＝，所以线段CD的长度是a，b的几何平均数．
在Rt△OCD中，因为CE⊥OD，所以＝， 所以线段DE的
长度＝＝＝. 所以线段DE的长度是a，b的调和平均数．
【答案】　CD　DE
三、解答题
17．实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一 个为负数．
　解析　假设a，b，c，d都是非负数，则由a＋b＝c＋d＝1，有1＝(a＋b)(c＋d)＝ac
＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，即ac＋bd≤1，这与ac＋bd>1矛盾，故假设不成立． 即a，b，c，d中至少有一个为负数．
18．已知a＞0，b＞0，求证＋≥a＋b.
解析：＋－(a＋b)＝＋＝＋
＝(a－b)(a＋b)＝(a－b)2(a＋b)，
∵a＞0，b＞0，∴＋≥a＋b.
19．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：≤.
解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，
要证≤，只需证|a|＋|b|≤|a＋b|，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，
只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，
即(|a|－|b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．
20．设f(x)＝3ax2＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，f(0)＞0，f(1)＞0，求证：a＞0且－2＜＜－1.
解析：∵f(0)＞0，∴c＞0，又∵f(1)＞0，即3a＋2b＋c＞0①
而a＋b＋c＝0即b＝－a－c代入①式，
∴3a－2a－2c＋c＞0，即a－c＞0，∴a＞c.
∴a＞c＞0.又∵a＋b＝－c＜0，a＋b＜0.
∴1＋＜0，∴＜－1.
又c＝－a－b，代入①式得，
3a＋2b－a－b＞0，∴2a＋b＞0，
∴2＋＞0，
∴＞－2.故－2＜＜－1.
综上，a＞0且－2＜＜－1.
21．(1)设x是正实数，求证：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3；
(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．
解析：(1)x是正实数，由基本不等式知
x＋1≥2，1＋x2≥2x，x3＋1≥2，
故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2·2x·2＝8x3
(当且仅当x＝1时等号成立)．
(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍然成立．
由(1)知，当x＞0时，不等式成立；
当x≤0时，8x3≤0，
而(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)(x2－x＋1)
＝(x＋1)2(x2＋1)≥0，
此时不等式仍然成立.
22. 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的一个零点是－1，且满足[f(x)－x]·≤0恒成立．
(1)求f(1)的值；
(2)求f(x)的解析式；
解析：(1)由均值不等式得≥＝x，
若[f(x)－x]·≤0恒成立，
即x≤f(x)≤恒成立，
令x＝1得1≤f(1)≤＝1，故f(1)＝1.
(2)由函数零点为－1得f(－1)＝0，即a－b＋c＝0，
又由(1)知a＋b＋c＝1，所以解得a＋c＝b＝.
又f(x)－x＝ax2＋x＋c－x＝ax2－x＋c，
因为f(x)－x≥0恒成立，所以Δ＝－4ac≤0，
因此ac≥①
于是a＞0，c＞0.再由a＋c＝，
得ac≤2＝②
故ac＝，且a＝c＝，
故f(x)的解析式是f(x)＝x2＋x2＋x＋.