沪教版（上海）数学高三上册-16.4 组合 3（教案）

组合
第三课时
教学目标：
掌握一些简单的组合问题的解法．
教学过程：
【设置情境】排列与组合的区别是什么？
（由一名学生回答，教师补充或纠正）
前面我们研究了排列应用题，组合应用题的解法与排列应用题的解法类似．首先要审题，看能不能把这个问题归结为组合问题来解．如果能够的话，就要考虑：这里的元素是指什么？每一种组合对应的是什么事情？
从本节课开始我们就来研究一些简单的常见的组会问题．
【探索研究】
例1
平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？
解：以每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即
由于有向线段的两个端点中一个是起点，一个是终点，以每2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即
教师点评：区别排列与组合的关键是看元素有无顺序，若不考虑线段两个端点的顺序，则是组合问题；若考虑线段两个端点的顺序，则是排列问题．
例2
一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
解：（1）从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是
（2）从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是
（3）由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是
教师点评：此题正好验证了组合数的性质2．
例3
在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件．
（1）一共有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
解：（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，为
（2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种．因此抽出的3件中格有1件是次品的抽法的种数是
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法的种数，就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法的种数，即
教师点评：注意间接计算法的运用．此题（3）若用直接法来计算可以分类．
恰有一件次品
恰有两件次品
故共有
但要注意这样一种错误：
即在2件次品中任选1件次品，而后在剩下的99件产品中任意选2件．
错因是：这个组合问题在分步解决中“出现了顺序”．
【演练反馈】
1．有5双不同型号的鞋子，从其中任取4只有多少种不同的取法？所取的4只中没有2只是同号的取法有多少种？所取的4只中有一双是同号的取法又有多少种？
（学生练习后，教师讲解，本题很容易重复计算，教师要说明原因）
2．有11个工人，其中5人只会当钳工，4人只会当车工，还有2人既会当钳工又会当车工．现在要从这11人中选出4人当钳工，4人当车工，一共有多少种选法？
（学生练习后，教师讲解分步的办法）
3．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现要挑选5名队员参加比赛，种子选手有且仅有一个在内，那么不同的选法共有多少种？
（学生练习后，教师讲解分类的方法）
【参考答案】
1．解：从中任取4只，就是从10只鞋子中任取4只，不同的取法有
所取的4只没有2只是同号的取法有
所取的4只有一双是同号的取法有
2．解：设a、b代表既会当钳工又会当车工的两人，那么合乎条件的选法可分为以下几类：
（1）a、b都没有被选在内的方法有＝5种．
（2）a、b中有一人被选在内．
①a、b中有一人被选当钳工的方法有种．
②a、b中有一人被选当车工的方法有种．
（3）a、b都被选在内．
①a、b都被选当钳工的方法有种．
②a、b都被选当车工的方法有种．
③a、b中有一人当钳工，另一人当车工的方法有种．
所以一共有
5＋20＋40＋10＋30＋80＝185种选法．
3．
【总结提炼】
一个问题是排列问题还是组合问题，在于取出的元素之间有没有顺序，交换其中两个元素是否改变所得的结果．组合问题的解法与排列问题类似，除注意两个计数原理的运用外，还要恰当地选择直接法或间接法．
板书设计：
组合（三）
（一）例题分析例1
例2例3
（二）练习（三）小结