北师大版数学八年级上学期第七单元二元一次方程组
知识总结与检测(专题版)
■专题一：二元一次方程（组）有关概念
1、二元一次方程（组）的识别（二元一次方程组是指含有两个未知数，且含未知数的项的次数是1的方程组。）
例1 下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A、；B、；C、；D、。
2、方程组的解
例2 方程组的解是（ ）
A． ；B．；C．；D．。
■专题二：利用二元一次方程组求字母系数的值
例1 若单项式与是同类项，则的值是 ．
分析与解：同类项中的相等关系是：相同字母的指数相等。因为与是同类项，所以m=3，n=2，所以m+n=5。
例2解方程组时，甲由于看错系数a，结果解得；乙由于看错系数b，结果解得，则原来的a=______，b=______.
分析与解：因为方程组的解是方程组中每个方程的公共解，所以看错系数a所得到的解不影响4x－by=－2的解，故4（－3）－b（－1）=－2，解得b=10；同理可得a=－1。
练习：
1、若，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．4。
2、若与2是同类项,则a－b的值等于______.
3、如果关于x、y的方程组的解满足3x+y=5，求k的值。
4、如果关于x、y的方程组的解与的解相同，求a、b的值。
■专题三：解二元一次方程组
1、求二元一次方程的整数数
例1 求方程2x+5y=50的所有正整数解。
分析与解：把方程变形为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后从最小的正整数入手一一求出另一个未知数，再剔除不合要求的。把方程变形为y=10－x，
取x=1，得y=10－不是正整数；同样地，分别取x=2、3、4，对应的y都不是正整数，可见，x的取值应是5的倍数；
取x=5，得y=8；
取x=10，得y=6；
取x=15，得y=4；
取x=20，得y=2；
取x=25，得y=0，不是正整数。
因此，2x+5y=50的所有正整数解是，，，。
点评：二元一次方程又称不定方程，意思是说它有不确定的解，但对于特殊的解（如正整数解、负整数解等）或在某些条件下的解往往是有限的。求不定方程的特殊解的一般方法是先把方程变形为“用含一个未知数的代数式表示另一个未知数”的形式，然后有次序地取值、验证。
2、解二元一次方程组
例2 解方程组。
点评：解二元一次方程组的基本思想是消元，但在消元过程中有繁有简，究竟采用代入消元法还是加减消元法，要注意根据题目的特征而确定。
练习：
1、解方程组时,可设=m,=n,则原方程组可化为关于m、n的方程组是______.
2、下列方程组适用代入法消元的是( )
A.；B.；C.；D..
3、方程组的解是( )
A.无解；B.只有一个解；C.有两个解；D.有无数多个解.
4、一个两位数,其十位上的数与个位上的数的和等于1,这个两位数是______.
5、求方程3x+7y=20的正整数解。
6解方程（组）。
■专题四：二元一次方程组的应用
1、二元一次方程的应用
例1 小明口袋里有5角和1元的硬币若干枚，面值6.50元，问5角和1元的各有多少枚？
分析与解：设5角的有x枚，1元的有y枚，则5x+10y=65，两边都除以5，得
x+2y=13，x=13－2y，
由题意，x、y都是正整数，解得此方程的所有正整数解为，，，，， HYPERLINK "http://" ，这就是5角和1元的硬币个数的所有可能。
2、二元一次方程组的应用
例2 汶川大地震发生后，为了不担误孩子们的学习，一所所帐篷学校在废墟旁悄然兴起，热心的张老板知道这些孩子们的课作业本都被埋在了倒塌教室的瓦砾下，急需笔记本做作业，于是购买一批笔记本送到某个救灾点的帐篷学校，在分发时发现，如果每人分发放2本，则可剩余180本；如果每人分发放3本，则不足80本。问这所帐篷学校共有多少名孩子？张老板买了多少本笔记本？
分析与解：这是一个孩子人数与笔记本数之间一个对应问题，题目给出两个等量关系：
（1）笔记本数=孩子人数×2+180；
（2）笔记本数=孩子人数×3－80；
显然，如果用x、y分别表示等量关系中的未知数孩子人数和笔记本数，即设孩子有x人，笔记本有y本，则由（1）、（2）可得如下方程组
，解之，得，
因此，这所帐篷学校共有孩子260人，张老板共买了笔记本700本。
点评：一方有难，八方支援是我们中华民族的优良传统，在5·12抗震救灾中，全国人民众志成城，团结一心，用爱的崇高、情的伟大谱写了一首首震天撼地的壮丽诗篇，用无私的大爱筑起了一道道震撼心灵的新长城。
练习：
1、甲、乙、丙三种商品，若购甲4件，乙7件，丙1件，共需36元；若购甲5件，乙9件，丙1件，共需45元；若购甲、乙、丙各1件，共需______元．
2（2008·台州）四川512大地震后，灾区急需帐篷．某企业急灾区所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共2000顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共安置9000人，设该企业捐助甲种帐篷顶、乙种帐篷顶，那么下面列出的方程组中正确的是（ ）
A． B． C． D． ( http: / / )
3（2008·益阳）5·12汶川大地震引起山体滑坡堵塞河谷后，形成了许多堰塞湖. 据中央电视台报道：唐家山堰塞湖危险性最大. 为了尽快排除险情，决定在堵塞体表面开挖一条泄流槽, 经计算需挖出土石方13.4万立方米，开挖2天后，为了加快施工进度，又增调了大量的人员和设备，每天挖的土石方比原来的2倍还多1万立方米，结果共用5天完成任务，比计划时间大大提前.
根据以上信息，求原计划每天挖土石方多少万立方米？增调人员和设备后每天挖土石方多少万立方米？
4、课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几头（只）？
如果假设鸡有只，兔有只，请你写出关于的二元一次方程组；并写出你求解这个方程组的方法．
■专题五：二元一次方程（组）与一次函数的综合应用
例1（四川宜宾）为迎接2008年北京奥运会，某学校组织了一次野外长跑活动，参加长跑的同学出发后，另一些同学从同地骑自行车前去加油助威。如图，线段L1，L2分别表示长跑的同学和骑自行车的同学行进的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的函数图象。根据图象，解答下列问题：
（1）分别求出长跑的同学和骑自行车的同学的行进路程y与时间x的函数表达式；
（2）求长跑的同学出发多少时间后，骑自行车的同学就追上了长跑的同学？
分析与解：注意图象横轴与纵轴所表示的意义，以及两线段分别所代表的意义。
（1）因为L1、L2都是直线，且L1经过原点，故可设长跑对应的图象L1的解析式为y=kx，骑车对应的图象L2的解析式为y=ax+b，则由图象可知L1经过点（60，10），L2经过点（20，0）和（40，10），故可分别解得k=，a=，b=－10，所以长跑的：,骑车的：；
（2）联立以上两个函数解析式，得方程组：
解得：x=30,y=5,
即长跑的同学出发了30分钟后，骑自行车的同学就追上了长跑的同学。
点评：一次函数与二元一次方程（组）本是一家，在应用时命题者常常将它们捆绑在一起，考查两者的综合应用。
练习：
1、如图，以两条直线，的交点坐标为解的方程组是（ ）
A．； B．；
C．；D．。
2、小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是（ ）
A．106cm；B．110cm；C．114cm；D．116cm。
3、某班到毕业时共结余经费1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为纪念品．已知每件文化衫比每本相册贵9元，用200元恰好可以买到2件文化衫和5本相册．
（1）求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元？
（2）有几种购买文化衫和相册的方案？哪种方案用于购买老师纪念品的资金更充足？
班级_____________________ 姓名________ 考场号_____ 考号_____
---------------------------------------密--------------------封---------------------线------------------------------------
L1
L2
Ｏ
1
2
3
3
2
1
x
y北师大版数学八年级上学期第七单元二元一次方程组
■参考答案
专题二：
1、C；
2、－1。提示：a=1，b=2。
3、10。提示：两个方程直接相加，得3x+y=15－k=5，解得k=10。
4、解：联立x－y=6，x+y=8，解得x=7，y=1，从而，解得a=－4，b=－26。
专题三：
1、；
2、B；
3、A；
4、10；
5、；
6、解：（1）+（2），得3x=9，x=3，从而y=－2，故。
专题四：
1、9。提示：设甲、乙、丙每件单价分别为x、y、z元，则4x+7y+z=36（1），5x+9y+z=45（2），（1）×4－（2）×3，得x+y+z=9。
2、D。
3、解：设原计划每天挖土石方x万立方米，增调人员和设备后每天挖y万立方米，
可列出方程组：，解之得：。
答：原计划每天挖土石方1.3万立方米，增调人员和设备后每天挖3.6万立方米。
4、解：，用加减消元法，解得x=23，y=12。
专题五：
练习：
1、C。提示：观察图象，不难发现：两直线交点坐标是（2，3），因此，对应方程组的解是，验证选择支各个方程组的解，可知选C。
2、A。提示：仔细观察图中两摞杯子的个数，寻找其高度与杯子个数的关系。
设杯子x个时，高度为ycm，则y=kx+b，
由已知，得当x=3时，y=9；
当x=8时，y=14，故
，解得k=1，b=6，
故y=x+6，
当x=100时，y=106。选A。
3、解：题中既有相等关系，也有不等关系，根据需要列出方程（组）和不等式（组）。
（1）设文化衫和相册的价格分别为元和元，则，解得。故文化衫和相册的价格分别为35元和26元．
（2）设购买文化衫件，则购买相册本，则
，解得。
为正整数，，，，即有三种方案．
第一种方案：购文化衫23件，相册27本，此时余下资金293元；
第二种方案：购文化衫24件，相册26本，此时余下资金284元；
第三种方案：购文化衫25件，相册25本，此时余下资金275元；
所以第一种方案用于购买教师纪念品的资金更充足．
