沪教版（上海）数学高三上册-16.5 二项式定理 20（课件）(共50张PPT)

(共50张PPT)
二项式定理
一、二项式定理及相关概念
1.二项式定理：(a+b)n=_______________________________.
2.展开式：等号右边的多项式叫做(a+b)n的___________，展
开式中一共有______项.
3.二项式系数：各项的系数_______________.
二项展开式
(n+1)
思考：二项式系数与项的系数有什么区别？
提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项
式系数是指
它只与各项的项数有关，而与a，
b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不仅
与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的值有关．
二、二项展开式的通项
1.(a+b)n的通项：(a+b)n展开式中第k+1项Tk+1=
___________
__________________称为二项展开式的通项公式.
2.(a－b)n的通项：将-b看成b代入二项式定理中，得到(a－
b)n,展开式中第k+1项Tk+1=____________.
(k=0，1，2,…，n)
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响.(
)
(2)
是(a+b)n展开式中的第k项.(
)
(3)(a－b)n与(a+b)n的二项式展开式的二项式系数相同.(
)
提示：(1)错误.从整体看，(a＋b)n与(b＋a)n相同，但具体
到某一项是不同的，如(a＋b)n的第k＋1项
(b＋a)n的第k＋1项
解题时，题中给出的二项
式的两项是不能随意变换的.
(2)错误.
是(a+b)n展开式中的第k+1项，而不是第k
项.
(3)正确.二项式系数依次为
答案：(1)×
(2)×
(3)√
【知识点拨】
1.二项展开式的结构特征
(1)项数：共有n＋1项.
(2)二项式系数：依次为
(3)二项式系数
与展开式中项对应的系数不一定相等，
二项式系数一定为正，而项的系数有时可以为负.
(4)每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂、
b的升幂排列展开.
2.对通项公式的理解
(1)
是第k+1项，而不是第k项.
(2)通项公式
主要用于求二项式的指数n、求满
足条件的项或系数，根据不同问题选择不同的解法.
类型一
二项式定理的应用
【典型例题】
1.设S＝(x-1)4＋4(x-1)3＋6(x-1)2＋4(x-1)＋1，它等
于(
)
A.(x-2)4
B.(x-1)4
C.x4
D.(x＋1)4
2.用二项式定理展开
【解题探究】
1.逆用二项式定理进行化简应注意哪些事项？
2.二项式定理是什么？运用二项式定理展开二项式的关键是什么？
探究提示:
1.逆用二项式定理可将多项式化简，求解时，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.判断是否符合二项式定理．
2.二项式定理是
在展开二项式之前关键是记准展开式，根
据二项式的结构特征进行必要变形，可使展开二项式的
过程得到简化.
【解析】1.选C.S＝［(x－1)＋1］4＝x4.
2.方法一：直接利用二项式定理展开并化简：
方法二：
【拓展提升】运用二项式定理的解题策略
(1)正用：运用二项式定理展开二项式，要记准展开式，注意
二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项
式的前提条件.对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简
捷.如求(1－x)5(1+x+x2)5的展开式，可根据anbn=(ab)n将原
式变形为(1－x3)5，然后展开比较方便.
(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的
求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各
项的系数.
【变式训练】用二项式定理展开
【解析】方法一：
方法二：
类型二
利用通项公式求某些特定项或其系数
【典型例题】
1.(2013·江西高考)
展开式中的常数项为(
)
A.80
B.-80
C.40
D.-40
2.(2013·安徽高考)若
的展开式中x4的系数为7，
则实数a=________.
【解题探究】
1.常数项隐含的条件是什么？
2.如何求某一特定项的系数？
探究提示：
1.对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项).
2.利用通项公式
合并通项公式中同一字母的
指数，求出二项式的通项的最简形式，然后根据条件中的特
定项确定k的值，再将k代入求解.
【解析】1.选C.设展开式的通项为
所以当10-5k=0,即k=2时，Tk+1为常数.
即
2.因为
令
则k=3，
所以
解得
答案：
【拓展提升】
1.求二项展开式特定项的步骤
2.求二项展开式的特定项常见题型及处理措施
(1)求第k项.
(2)求常数项.对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次
项).
(3)求有理项.对于有理项，一般是根据通项公式所得到的
项，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必
须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属
于整数，再根据数的整除性来求解.
(4)求整式项.求二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
【提醒】在实际求解时，若通项中含有根式，宜把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误.
【变式训练】1.(2013·济南高二检测)
的展开式
中含
项的系数是(
)
A.7
B.-7
C.-21
D.21
【解析】选D.因为展开式的通项为Tk+1=
令
得k=6，所以系数为21.
2.(2013·天津高考)
的二项展开式中的常数项
为________.
【解析】根据二项展开式的通项
知当
即k=4时，该项为常数，此
时
答案：15
类型三
利用二项式定理解决整除及余数问题
【典型例题】
1.(2013·哈尔滨高二检测)已知2×1010+a(0≤a＜11)能被
11整除，则实数a的值为______.
2.求证：32n+2-8n-9(n∈N
)能被64整除.
【解题探究】
1.利用二项式定理解决整除问题的关键是什么？
2.利用二项式定理证明多项式的整除问题的关键是什么？
探究提示：
1.用二项式定理解决整除时，关键将幂底数写成除数m的整数倍加上或减去r(0≤r2.关键是将被除式变形为二项式的形式，使其展开后每一项均含有除式的因式.
【解析】1.根据题意，由于2×1010+a=2×(11-1)10+a,由于
2×1010+a(0≤a＜11)能被11整除，根据二项式定理展开式
可知,2×(11-1)10被11除的余数为2，从而可知2+a能被11整
除，可知a＝9.
答案：9
2.因为32n+2-8n-9=9n+1-8n-9=(1+8)n+1-8n-9
又
是整数，
所以32n+2-8n-9能被64整除.
【拓展提升】
1.整除性问题或求余数问题的处理方法
(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．
(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了．
(3)要注意余数的范围，a=cx+b式子中b为余数，b∈［0，r)，r是除数，利用二项式定理展开式变形后，若剩余部分是负数要注意转换．
2.利用二项式证明多项式的整除问题的策略
关键是将被除式变形为二项式的形式，使其展开后每一项均含有除式的因式．若f(x)，g(x)，h(x)，r(x)均为多项式，则
(1)f(x)＝g(x)·h(x) f(x)被g(x)整除．
(2)f(x)＝g(x)·h(x)＋r(x) r(x)为g(x)除f(x)后得的余式．
【变式训练】求证：1+3+32+…+33n－1能被26整除(n为大于1
的偶数).
【证明】因为
而(26＋1)n－1
因为n为大于1的偶数，
所以
能被26整除.
所以1＋3＋32＋…＋33n－1能被26整除.
求解复杂的二项式问题
【典型例题】
1.(2013·兰州高二检测)若［x2-(a-1)x-1］5的展开式中没
有x的奇次幂项，则含x8项的系数为(
)
A.5
B.-5
C.10
D.-10
2.
展开式中的常数项为(
)
A.1
B.46
C.4
245
D.4
246
【解析】1.选B.因为［x2-(a-1)x-1］5的展开式中没有x的奇
次幂项，所以a-1=0，所以a=1，故二项式为(x2-1)5,其展开
式通项为
令10-2r＝8得r＝1，故含x8的项为
其系数为-5.
2.选D.先求
的展开式中的通项为
再求
的展开式中的通项
两通项相乘得：
令
得4r=3k，这样一来，(r，k)只有三组：
(0，0)，(3，4)，(6，8)满足要求.
故常数项为：
【拓展提升】利用二项式定理求解复杂二项展开式中特定项问题的方法
(1)求形如(a+b)n±(c+d)m(n,m∈N
)的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数.
(2)求形如(a+b)n(c+d)m(n,m∈N
)的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式乘法求得所求项的系数.
(3)利用二项式定理的推导方法来解决问题，本质上是利用加法原理和乘法原理，这种方法可以直接求展开式中的某特定项.
【易错误区】将二项式系数与项的系数混淆致误
【典例】(2013·太原高二检测)设
展开式中，第二
项与第四项的系数之比为1∶2，则n的值为_______.
【解析】
展开式的第二项与第四项分别为
依题意得
即n2－3n－4＝0，解得n=4,n=-1(舍去),故得n＝4.
答案：4
【误区警示】
【防范措施】
1.注意概念的区分
对概念的把握和区分在解题中往往起到关键的作用.如本例容易将“二项展开式中的二项式系数”与“二项展开式中项的系数”混为一谈．
2.良好思维习惯的培养
在解决二项式问题时一定注意分析问题具体是哪一项，到底是什么样的系数.熟练把握二项式定理及通项公式.同时要养成良好的思维习惯.如本例条件是“第二项与第四项的系数”，一是指明第二项和第四项，二是指明是系数而不是二项式系数.
【类题试解】已知
的展开式中第5项的二项式系
数与第3项的二项式系数的比为14∶3，则展开式中的常数项
为_________.
【解析】由已知条件得：
整理得：n2－5n－50=0,
所以n=10,所以展开式的通项为：
令
得k=2,
所以常数项为第三项
答案：180
1.若(a＋b)n的展开式的第4项和第6项的二项式系数相等，
则该展开式的项数是(
)
A.8
B.9
C.10
D.11
【解析】选B.由题意知
故n＝8，展开式有9项.
2.已知f(x)=｜x+2｜+｜x-4｜的最小值为n,则二项式
展开式中含x2项的系数为(
)
A.15
B.-15
C.30
D.-30
【解析】选A.因为函数f(x)=｜x+2｜+｜x-4｜的最小值为
6，即n=6.展开式的通项公式为
由6-2k=2,得k=2,所以
即含x2项的系数为
15.
3.(1＋2x)5的展开式中，含x2项的系数等于(
)
A.80
B.40
C.20
D.10
【解析】选B.因为(1＋2x)5的展开式的通项为Tr＋1＝
令r＝2，得
故含x2项的系数为40.
4.若
则A－B＝__________.
【解析】A－B＝(3－1)7＝128.
答案：128
5.
展开式的常数项为______.
【解析】因为
令
得k=6，即常数项为
答案：2
268
6.若二项式
的展开式中x3的系数为A,常数项
为B，若B=4A,求a的值.
【解析】因为
令k=2,得
令k=4,得
由B=4A可得a2=4,又a>0,
所以a=2.