沪教版（上海）数学高三上册-16.5 二项式定理 3（教案）

二项式定理
【教学目标】
1．掌握二项式定理和二项式系数的性质，
2．能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
【教学重难点】
教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
【授课类型】
新授课
【课时安排】
1课时
【教学准备】
多媒体、实物投影仪
【教学过程】
一、复习引入：
1．二项式定理及其特例：
（1），
（2）。
2．二项展开式的通项公式：
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性
4．二项式系数表（杨辉三角）
展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
5．二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是，，，…，。可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）
（1）对称性。与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）。
直线是图象的对称轴。
（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值。
（3）各二项式系数和：
∵，
令，则
二、讲解范例：
例1．
设，
当时，求的值
解：令得：
，
∴，
点评：对于，令即可得各项系数的和的值；令即，可得奇数项系数和与偶数项和的关系
例2．求证：。
证（法一）倒序相加：设
①
又∵　　　②
∵，∴，
由①+②得：，
∴，即。
（法二）：左边各组合数的通项为
，
∴
。
例3．已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大。
（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项
解：令，则展开式中各项系数和为，
又展开式中二项式系数和为，
∴，。
（1）∵，展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
∴，，
（2）设展开式中第项系数最大，则，
∴，∴，
即展开式中第项系数最大，。
例4．已知，
求证：当为偶数时，能被整除
分析：由二项式定理的逆用化简，再把变形，化为含有因数的多项式
∵，
∴，∵为偶数，∴设（），
∴
，
当=时，显然能被整除，
当时，（）式能被整除，
所以，当为偶数时，能被整除
三、课堂练习：
1．展开式中的系数为
，各项系数之和为
。
2．多项式（）的展开式中，的系数为
3．若二项式（）的展开式中含有常数项，则的最小值为（
）
A．4
B．5
C．6
D．8
4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应
（
）
A．低于5％
B．在5％～6％之间
C．在6％～8％之间
D．在8％以上
5．在的展开式中，奇数项之和为，偶数项之和为，则等于（
）
A．0
B．
C．
D．
6．求和：。
7．求证：当且时，。
8．求的展开式中系数最大的项
答案：1．
45，
0
2．
0
。提示：
3．
B
4．
C
5．
D
6．
7．
（略）
8．
四、小结
二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用
【作业布置】
1．已知展开式中的各项系数的和等于的展开式的常数项，而
展开式的系数的最大的项等于，求的值
答案：
2．设
求：①
②。
答案：①；
②
3．求值：。
答案：
4．设，试求的展开式中：
（1）所有项的系数和；
（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和
答案：（1）；
（2）所有偶次项的系数和为；
所有奇次项的系数和为
【板书设计】