沪教版（上海）数学高三上册-15.5 几何体的体积（教案）

球的体积公式及其应用
学校：上海市格致中学
执教者：林佳乐
一、教学目标
1．会运用祖暅原理推导球的体积公式；会解决与球的体积有关的问题．
2．经历运用祖暅原理构造辅助体的过程，体会化归与转化的数学思想；对球体积公式的应用，加强空间想象能力及运算能力．
3．感受数学的文化价值，发展探索精神．
二、教学重点
利用祖暅原理推导球的体积公式；球与正方体、正四面体的几个特殊的位置关系的问题．
三、教学难点
构造符合祖暅原理条件的几何体的过程．
四、教学过程
（一）温故求新
祖暅原理：用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积必然相等．
2．已知柱体的底面积为，高为，则体积．
3．已知锥体的底面积为，高为，则体积．
（二）探究新知
已知球的半径为，求球的体积．
利用祖暅原理，探究如何构造一个几何体来推导半球的体积公式．
〖设计意图〗教材中对于球的体积公式没有给出具体推导过程，本环节设计了运用祖暅原理推导半球的体积公式的过程．学生在经历公式推导的过程中，加深了对祖暅原理的理解，体会其中蕴含的数学思想方法．
（三）应用提升
例1
现有一个半径为5的实心球，以该球某条直径为中心轴挖去一个底面半径为3的球内接圆柱，再将余下部分熔铸成一个新的实心球，求新实心球的半径．
例2
设正方体的棱长为，求：
（1）正方体内切球的体积；
（2）正方体外接球的体积；
（3）与正方体的棱都相切的球的体积．
变式：设正四面体各棱长为，求：
（1）正四面体内切球的体积；
（2）正四面体外接球的体积；
（3）与正四面体的棱都相切的球的体积．
〖设计意图〗本例题是关于球与正方体、正四面体的几个特殊的位置关系的问题，是对球的体积公式的应用，也是对正方体、正四面体中寻找基本量所在的平面图形的巩固．从中体现类比、转化的思想方法．
（四）课堂小结
课后作业
一平面截一球得到直径是的圆面，球心到这个平面的距离是，求该球的体积．
圆柱形容器底半径为，两直径为的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，求容器内水面下降的高度．
3.
在球内有相距的两个平行截面，截面圆的面积分别为和，求该球的体积．
在三棱锥中，，侧棱与底面所成的角为，求该三棱锥外接球的体积．
在棱长为的正四面体内放一个内切球，然后再在正四面体的四个顶点空隙处各放一个小球，则放入的这四个小球的最大半径为多少？
6.
在平面上，将两个半圆弧和，两条直线和围成的封闭图形记为（如图），记绕轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积，请尝试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，求出几何体的体积．
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