沪教版（上海）数学高三上册-16.5 二项式定理 （教案）

二项式定理
第一课时
教学目标
掌握二项式定理有其推导方法以及二项展开式的有关特征，并能用它们计算和论证一些简单问题。
教学过程:
【设置情境】
问题
某人投资10万元，有两种获利的可能供选择。一种是年利率11％，按单利计算，10年后收回本金和利息。另一种年利率9％，按每年复利一次计算，10年后收回本金和利息。
试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少元？
分析：本金10万元，年利率11％，按单利计算，10年后的本利和是
10×（1＋11％×10）＝21（万元）
本金10万元，年利率9％，按每年复利一次计算，10年后的本利和是
那么如何计算的值呢？能否在不借助计算器的情况下，快速、准确地求出其近似值呢？这就得研究形如的展开式。
【探索研究】
由
那么
展开后，它的各项是什么呢？
容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：
现在来看上面各项在展开式中出现的次数，也就是看展开式中各项的系数是什么？
在上面4个括号中：
每个都不取b的情况有1种，即种，所以的系数是；
恰有1个取b的情况下有种，所以的系数是；
恰有2个取b的情况下有种，所以的系数是；
恰有3个取b的情况下有种，所以的系数是；
4个都取b的情况下有种，所以的系数是；
因此
。
请同学们归纳、猜想
一般地，对于任意正整数n，上面的关系式也成立，即有
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式。
在这里，教师应当指出，上面的定理严格来说是必须证明的，由于知识的局限，以后再证明。
二项展开式有以下特征：
（1）共有项。
（2）各项里a的指数从n起依次减小1，直到0为止；b的指数从0起依次增加1，直到n为止。每一项里a、b的指数和均为n。
利用二项式定理可以求二项展开式。
例1
展开。
解：
。
例2
展开。
解：先将原式化简，再展开
。
例3
用二次式定理证明：
（1）能被100整除；
（2）能被整除。（）
证明：（1）∵
∴能被100整除。
（2）可先让学生仿照（1）证明，教师再讲解。
∵
而
∴是正整数。
故能被整除。
【演练反馈】
1．计算：。
（由一名学生板演后，教师讲解）
2．求证：。
（由一名学生板演后，教师讲解）
3．求展开式中含x项的系数。
（学生练习后，教师分析讲解）
4．解决本节课开始提出的问题。
【参考答案】
1．解：
。
2．证明：右边
左边
故原式得证。
3．解法1：
。
显然只有中含有x项，其系数为
。
解法2：由于
∴展开式中含x项的系数是
。
4．解：
由此可见，按年利率9％每年复利一次计算的要比年利率11％单利计算更有利，10年后多得利息1.645万元。
【总结提炼】
1．二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式，要理解和掌握展开式的规律。利用它就可以对二项式展开，进行计算或证明。
2．对课本这样一段话“容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积”，要能透彻理解，在解题中适时应用会显得很方便。
板书设计:
二项式定理（一）
（一）设置情境问题（二）二项式定理及其结构特征（三）例题与练习例1
例2例3
练习（四）小结